Séries Temporais em Métodos Quantitativos

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MÉTODOS QUANTITATIVOS 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Zannardini 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Chegamos à sexta e última aula de Métodos Quantitativos. Nessa 
aula abordaremos as séries temporais e teremos a oportunidade não só de 
compreender melhor os conceitos relacionados a essas séries, mas também de 
aprendermos a importância e a utilização desses conhecimentos em situações 
reais, bem como as relações das séries temporais com outros importantes temas 
da disciplina de Métodos Quantitativos. 
TEMA 1 – SÉRIES TEMPORAIS 
Uma série temporal é uma importante distribuição estatística cuja principal 
característica é a de que a variável que é objeto de estudo está organizada em 
função de determinados períodos de tempo. 
É muito comum o uso de séries temporais em problemas práticos 
relacionados ao processamento de sinais tais como áudio, vídeo, imagens, 
comunicação sem fio, sistemas de controle, entre outros. 
Também é possível encontrarmos séries temporais em problemas 
relacionados a matemática financeira, matemática aplicada, estatística, 
marketing e muito mais. 
Quando trabalhamos com séries temporais, a ordem de observação dos 
dados é fundamental. Esses dados não são organizados necessariamente em 
ordem crescente ou decrescente, mas em ordem de datas de ocorrência. 
Como exemplo, podemos considerar os valores mensais pagos pelo 
consumo de energia elétrica durante um certo intervalo de tempo: 
Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho 
Valor R$ 234,66 R$ 268,21 R$ 255,10 R$ 248,27 R$ 266,67 R$ 252,13 
 Podemos observar que nesse caso há uma série de dados que estão 
associados ao tempo. 
 Graficamente esses dados são distribuídos como segue: 
 
 
 
3 
Gráfico 1 – Energia elétrica 
 
 
É importante ressaltar que no caso de séries temporais não é possível 
organizar esses dados em ordem crescente, pois nosso objetivo é verificar 
variações e tendências desses dados em relação ao tempo. 
Uma série temporal geralmente é uma sequência de pontos observados 
em intervalos uniformes, mas não é obrigatório que os intervalos de coleta de 
dados sejam regulares. 
Temos ainda, como exemplos de séries temporais, muitas outras 
situações, tais como os níveis diários de produção de uma indústria, as 
quantidades de acidentes anuais em uma determinada rodovia, a cotação diária 
do dólar, a inflação de um país medida a cada ano e muitos outros exemplos. 
No entanto, se considerarmos, por exemplo, os salários dos diversos 
trabalhadores de uma empresa referentes ao mês de janeiro, temos vários dados 
associados a esses salários, mas não temos uma série temporal, pois não 
estamos analisando o comportamento de uma variável em relação ao tempo e 
sim um conjunto de dados obtidos em um determinado mês. 
Se pensarmos, por exemplo, em uma pesquisa de preços de um certo 
modelo de refrigerador em diversas lojas, teremos os respectivos valores, mas 
também não é o caso de uma série temporal. Isso ocorre porque temos os preços 
do refrigerador em diferentes lojas, mas não temos o acompanhamento desses 
preços com o passar do tempo. 
Quando estamos trabalhando com uma série temporal, temos alguns 
elementos relacionados ao comportamento dessa variável. 
 
 
4 
Um deles é a tendência. Por meio da tendência é possível observarmos 
se há crescimento ou decrescimento da variável. 
Temos também a estacionalidade. Esse comportamento ocorre quando 
não há mudanças em relação à variável. Nesse caso não ocorre crescimento e 
nem decrescimento. A variável apresenta um equilíbrio estável em torno de um 
valor constante. 
Um outro comportamento é a sazonalidade. Esse comportamento é 
muito corriqueiro quando há mudanças tais como crescimento e decrescimento 
que ocorrem em determinadas épocas. 
Além desses elementos, há situações onde ocorrem períodos cíclicos. 
Esse tipo de comportamento se refere às mudanças que se repetem em 
determinados períodos de tempo. 
Por exemplo, podemos imaginar uma loja de materiais escolares que tem 
a cada mês um determinado volume de vendas e identifica que todos os anos, 
nos meses de janeiro e fevereiro, há um aumento considerável nessas vendas. 
Por meio das séries temporais podemos estudar o comportamento de 
uma variável de uma forma mais completa e coerente, observando essa variável 
não só em um determinado instante de tempo, mas durante um período, 
podendo assim conhecer o histórico dessa variável e consequentemente tendo 
condições de melhorar a qualidade dos estudos feitos. 
Para compreendermos melhor alguns desses elementos, vamos pensar 
em um exemplo associado a uma indústria que produz pacotes de massa para 
pastel. 
Durante os meses do ano, a produção dessa indústria acompanha a 
demanda e por esse motivo tem variações. 
A tabela a seguir apresenta os doze meses do ano e as respectivas 
quantidades produzidas. 
Mês Produção Mês Produção 
Janeiro 12.000 Julho 17.000 
Fevereiro 13.000 Agosto 17.000 
Março 14.000 Setembro 17.000 
Abril 13.000 Outubro 18.000 
Maio 15.000 Novembro 19.000 
Junho 15.000 Dezembro 20.000 
 Graficamente é possível observarmos que a produção apresenta um 
crescimento com o passar do tempo. Podemos dizer então que há uma 
tendência de crescimento. 
 
 
5 
Gráfico 2 – Produção de pacotes de massa de pastel 
 
 
Quando pensamos em séries temporais, podemos utilizar os 
conhecimentos adquiridos para realizarmos os estudos necessários. 
TEMA 2 – O USO DA REGRESSÃO LINEAR NO ESTUDO DE SÉRIES 
TEMPORAIS 
Em muitos casos, podemos utilizar a regressão linear para obter 
estimativas e analisar melhor o comportamento de séries temporais. 
No exemplo apresentado anteriormente, utilizamos um gráfico de linha 
para representarmos as quantidades de pacotes de massa para pastel que são 
produzidos a cada mês. Dessa maneira é possível acompanhar a relação que 
há entre os meses de ano e as respectivas produções. 
No entanto, muitas vezes é preciso saber se há uma correlação entre os 
dados, qual é a taxa de crescimento ou qual é a previsão de produção para um 
determinado mês. 
Com base nos meses e nas produções, podemos utilizar o GeoGebra para 
obter a reta que melhor se aproxima ao seguinte conjunto de pontos: 
Mês Produção Mês Produção 
Janeiro 12000 Julho 17000 
Fevereiro 13000 Agosto 17000 
Março 14000 Setembro 17000 
Abril 13000 Outubro 18000 
Maio 15000 Novembro 19000 
Junho 15000 Dezembro 20000 
 
 
6 
Inicialmente, precisamos criar uma lista de pontos. Nessa lista iremos 
associar o número 1 ao mês de janeiro, o 2 ao mês de fevereiro e assim por 
diante: 
Lista={(1,12000),(2,13000),(3,14000),(4,13000),(5,15000),(6,15000),(7,1
7000),(8,17000),(9,17000),(10,18000),(11,19000),(12,20000)} 
Agora podemos utilizar o comando RegressãoLinear para obtermos a reta 
de regressão e o respectivo gráfico: 
RegressãoLinear[Lista] 
A reta de regressão é dada por y=692,31x+11333,33. 
Nesse caso é possível observar que a estimativa de crescimento é de 
aproximadamente 692 unidades a cada mês. Esse valor corresponde ao 
coeficiente angular da reta. 
Gráfico 3 – Estimativa de crescimento 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Também é possível calcularmos o coeficiente de correlação de Pearson. 
O comando a ser utilizado é CoeficienteDeCorrelação. 
 
 
 
7 
Logo, basta digitarmos 
CoeficienteDeCorrelação[Lista] 
na caixa de entrada do GeoGebra. 
Como o coeficiente corresponde a 0,9779, ou seja, 97,79%, a correlação 
é forte. 
Nem sempre a reta de regressão é a que melhor se ajusta a uma série 
temporal. Podemos ter situações em que esse ajuste é feitopor outros tipos de 
funções. 
 TEMA 3 – AJUSTES NÃO LINEARES PARA SÉRIES TEMPORAIS 
Em muitos casos não há um comportamento linear para uma série 
temporal. Vamos ver a seguir alguns exemplos. 
3.1 Exemplo 1 
Um investidor decidiu aplicar R$ 100.000,00 em um fundo cuja 
remuneração está sujeita a variações. A tabela a seguir apresenta o saldo desse 
investidor a cada mês durante um ano: 
Mês Saldo Mês Saldo 
Janeiro R$ 5.348,05 Julho R$ 43.044,98 
Fevereiro R$ 12.013,83 Agosto R$ 51.230,33 
Março R$ 15.436,57 Setembro R$ 55.010,76 
Abril R$ 23.910,14 Outubro R$ 62.667,77 
Maio R$ 29.015,10 Novembro R$ 73.098,99 
Junho R$ 33.006,99 Dezembro R$ 81.084,06 
Nesse caso é possível utilizarmos uma função exponencial para fazermos 
o ajuste a esses pontos. 
O procedimento é bastante parecido com o que foi feito na regressão 
linear. 
Primeiro precisamos criar uma lista de pontos: 
Lista={(1,5348.05),(2,12013.83),(3,15436.57),(4,23910.14),(5,29015.10),(6,330
06.99),(7,43044.98),(8,51230.33),(9,55010.76),(10,62667.77),(11,73098.99),(12
,81084.06)} 
Em seguida, vamos utilizar o comando RegressãoExponencial: 
RegressãoExponencial[Lista] 
 
 
8 
A função exponencial que melhor se ajusta aos pontos é y=7724,28e0,22x 
onde e= 2,718281828... 
O gráfico é apresentado a seguir. 
Gráfico 4 – Representação da função (Exemplo 1) 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
3.2 Exemplo 2 
Um supermercado fez um levantamento das vendas de potes de sorvete 
nos anos de 2015 e 2016. Os dados foram obtidos a cada dois meses e são 
apresentados a seguir: 
 
 
 
9 
Mês/Ano Vendas 
Janeiro de 2015 560 
Março de 2015 410 
Maio de 2015 350 
Julho de 2015 180 
Setembro de 2015 290 
Novembro de 2015 420 
Janeiro de 2016 550 
Março de 2016 390 
Maio de 2016 330 
Julho de 2016 200 
Setembro de 2016 320 
Novembro de 2016 490 
Atribuindo os números 1, 2, 3 e assim por diante a cada mês e criando a 
respectiva lista de pontos, temos: 
Lista={(1,560),(2,410),(3,350),(4,180),(5,290),(6,420),(7,550),(8,390),(9,330),(1
0,200),(11,320),(12,490)} 
Como há um comportamento dos pontos em que notamos aumentos e 
diminuições em períodos específicos, uma curva que se ajusta melhor a esses 
pontos é uma sinusoidal, ou seja, uma curva relacionada à função seno. 
O comando do GeoGebra é RegressãoSinusoidal: 
RegressãoSinusoidal[Lista] 
Podemos perceber que há um aumento do consumo de potes de sorvete 
em janeiro e uma redução em julho de cada ano. 
Gráfico 5 – Consumo de potes de sorvete 
 
Fonte: GeoGebra, 2017. 
Esse tipo de comportamento é cíclico, pois temos uma repetição de 
comportamentos em determinados intervalos de tempo. 
 
 
10 
Também há a possibilidade de ocorrerem oscilações aleatórias em séries 
temporais. 
Esses acontecimentos nem sempre podem ser previstos. Enchentes, 
terremotos, epidemias ou outros eventos podem acontecer de forma isolada, 
sem que seja possível prevê-los. Também podemos ter mudanças drásticas na 
economia, greves, crises em determinados países, novas descobertas e muitos 
outros eventos. Existem muitos elementos que podem ocorrer de forma 
randômica. 
Sendo assim, ao analisarmos séries temporais precisamos ter o maior 
número possível de informações e também verificar se há sinais de tendência, 
de sazonalidade, de ciclo ou de aleatoriedade. 
TEMA 4 – MÉDIA MÓVEL 
Além da regressão linear ou não linear, é muito comum o uso do método 
da média móvel para a análise de séries temporais. 
O método da média móvel consiste em considerarmos uma sequência de 
médias de valores em um determinado período de tempo do problema a ser 
analisado. 
Essa sequência de médias apresenta uma tendência do que se está 
observando. 
É possível utilizarmos médias referentes a curtos períodos de tempo ou a 
períodos de tempo maiores. Quanto mais curta for a média, maior será a 
sensibilidade às variações que podem ocorrer. 
Como o número de valores utilizados para o cálculo da média móvel é 
fixo, a cada nova observação considerada na média móvel, a mais antiga é 
eliminada. 
Repetindo esse procedimento para todo o conjunto de pontos, temos uma 
sequência de médias móveis que tem como objetivo suavizar o comportamento 
da série temporal e com isso auxiliar no estudo da série. 
Se considerarmos o conjunto de n dados observados e calcularmos a 
sequência de médias de k desses dados, temos 
 
 
 
11 
k
yyy
MM k


21
1
 
k
yyy
MM k 1322


 
k
yyy
MM k 2433


 
e assim por diante. 
Por exemplo, vamos considerar o problema da indústria que produz 
pacotes de massa para pastel cuja produção de pacotes em relação ao tempo é 
dada a seguir: 
Mês Produção Mês Produção 
Janeiro 12000 Julho 17000 
Fevereiro 13000 Agosto 17000 
Março 14000 Setembro 17000 
Abril 13000 Outubro 18000 
Maio 15000 Novembro 19000 
Junho 15000 Dezembro 20000 
Vamos calcular as médias móveis para k=5. O primeiro valor obtido é 
dado pela soma dos cinco primeiros valores com o resultado dividido por 5: 
k
yyy
MM k


21
1
 
5
1500013000140001300012000
1

MM
 
5
67000
1 MM
 
134001 MM
 
Depois precisamos calcular a soma do segundo ao sexto elemento e 
dividir o resultado por 5: 
k
yyy
MM k 1322


 
5
1500015000130001400013000
2

MM
 
5
70000
2 MM
 
140002 MM
 
Esse procedimento se repete até calcularmos a última média móvel. 
A tabela a seguir apresenta os resultados. 
 
 
 
12 
Mês Produção Média Móvel para k=5 
Janeiro 12.000 --- 
Fevereiro 13.000 --- 
Março 14.000 --- 
Abril 13.000 --- 
Maio 15.000 (12.000+13.000+14.000+13.000+15.000)/5=13.400 
Junho 15.000 (13.000+14.000+13.000+15.000+15.000)/5=14.000 
Julho 17.000 (14.000+13.000+15.000+15.000+17.000)/5=14.800 
Agosto 17.000 (13.000+15.000+15.000+17.000+17.000)/5=15.400 
Setembro 17.000 (15.000+15.000+17.000+17.000+17.000)/5=16.200 
Outubro 18.000 (15.000+17.000+17.000+17.000+18.000)/5=16.800 
Novembro 19.000 (17.000+17.000+17.000+18.000+19.000)/5=17.600 
Dezembro 20.000 (17.000+17.000+18.000+19.000+20.000)/5=18.200 
É importante observar que, como estamos considerando 5 períodos, 
temos as médias móveis apenas a partir do mês de maio. 
É possível representarmos graficamente os valores da média móvel. 
No gráfico a seguir, temos a comparação entre os dados originais e a 
média móvel. 
Gráfico 6 – Dados originais e média móvel 
 
Também é possível fazermos a comparação entre os dados originais, a 
média móvel e a reta de regressão. 
Gráfico 7 – Comparação entre os métodos 
 
0
5000
10000
15000
20000
25000
Comparação entre os métodos
Dados originais Média móvel Reta de regressão
 
 
13 
TEMA 5 – APLICAÇÕES 
Sabemos que as séries temporais estão diretamente relacionadas a 
situações reais do nosso cotidiano. 
Vamos acompanhar alguns exemplos nos quais é possível observar a 
importância das séries temporais. 
5.1 Exemplo 1 
De acordo com dados do IBGE, a tabela a seguir apresenta o rendimento 
médio mensal de pessoas em idade ativa. 
Tabela 1 – Rendimento médio mensal de pessoas em idade ativa 
 
Fonte: IBGE, S.d. 
Esse é um caso de séries temporais, pois são apresentados dados 
referentes a cada faixa etária em determinados intervalos de tempo. 
 
1999 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
 T o tal 1 054 1 034 1 000 917 918 966 1 026 1 052 1 071 1 094
Até 10 125 105 88 66 73 84 86 102 103 109
M ais de 10 a 20 258 263 252 219 224 251257 297 308 312
M ais de 20 a 30 274 311 315 322 329 362 406 425 433 465
M ais de 30 a 40 351 347 341 332 345 366 413 433 442 472
M ais de 40 a 50 466 465 448 419 427 457 488 515 537 554
M ais de 50 a 60 590 588 576 534 547 574 613 635 665 682
M ais de 60 a 70 778 752 716 678 687 724 778 816 837 863
M ais de 70 a 80 1 074 1 034 995 923 930 971 1 028 1 054 1 086 1 102
M ais de 80 a 90 1 693 1 628 1 566 1 443 1 448 1 488 1 584 1 629 1 647 1 672
M ais de 90 a 100 4 936 4 848 4 712 4 234 4 177 4 384 4 613 4 613 4 646 4 709
 M ais de 95 a 100 7 042 6 964 6 765 6 072 5 973 6 303 6 616 6 586 6 642 6 738
 M ais de 99 a 100 13 741 14 115 13 470 12 087 11 988 12 862 13 453 13 328 13 400 13 810
1 Rendimento
1.1 - Pessoas em idade ativa
Rendimento médio mensal real das pessoas de 10 anos ou mais de idade, 
com rendimento (R$) (1)
Tabela 1.1.2 - Rendimento médio mensal real das pessoas de 10 anos ou mais de idade, 
com rendimento, segundo as classes de percentual das pessoas de 10 anos ou mais de idade, 
em ordem crescente de rendimento - Brasil - 1999/2009
Classes de percentual
das pessoas de 10 anos ou mais de idade, 
em ordem crescente de rendimento (%)
Simples
 
 
14 
5.2 Exemplo 2 
Ainda considerando dados do IBGE, temos o rendimento médio mensal 
real de pessoas em idade ativa separados por grandes regiões e registrados a 
cada ano no período que vai de 1999 a 2009. 
Tabela 2 – Rendimento médio mensal real de pessoas em idade ativa separados 
por grandes regiões – 1999-2009 
 
Fonte: IBGE, S.d. 
Grandes Regiões
Norte urbana Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste
1999 621 484 351 766 711 677
2001 631 494 354 781 728 700
2002 631 491 360 778 716 727
2003 587 438 332 718 703 656
2004 603 480 353 720 733 702
2005 639 504 372 773 760 732
2006 692 540 418 834 812 781
2007 704 555 425 835 847 851
2008 734 571 456 864 875 895
2009 750 598 477 875 901 899
1999 867 663 474 1 076 1 000 953
2001 864 688 470 1 073 997 973
2002 852 662 467 1 060 975 995
2003 787 579 428 969 961 882
2004 804 638 448 968 994 946
2005 842 667 467 1 029 1 018 968
2006 901 698 514 1 107 1 069 1 017
2007 919 723 529 1 099 1 125 1 115
2008 950 735 563 1 134 1 137 1 175
2009 969 765 588 1 142 1 179 1 180
1999 393 320 236 482 433 411
2001 417 311 245 517 468 441
2002 426 331 259 519 473 472
2003 401 305 240 487 462 440
2004 418 332 265 495 489 471
2005 451 354 281 539 519 509
2006 499 392 328 586 574 557
2007 505 401 328 593 586 595
2008 535 418 357 618 630 627
2009 549 444 374 632 641 634
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios 1998/2009.
Nota: Exclusive as informações das pessoas sem declaração de rendimento.
(1) Valores inflacionados pelo INPC com base em setembro de 2009. (2) Exclusive o rendimento das pessoas da área rural de Rondônia, Acre, 
Amazonas, Roraima, Pará e Amapá. 
1 Rendimento
1.1 - Pessoas em idade ativa
Tabela 1.1.5 - Rendimento médio mensal real das pessoas de 10 anos ou mais de idade,
 por Grandes Regiões e sexo - 1999/2009
H o mens
M ulheres
Ano
Brasil
(2)
Rendimento médio mensal real das pessoas de 10 anos ou mais de idade
(R$) (1)
T o tal
 
 
15 
5.3 Exemplo 3 
Neste exemplo temos mais um exemplo de série temporal. Este é o gráfico 
associado à dívida líquida do setor público. É possível perceber que há um 
crescimento acentuado nos dois últimos anos. 
Gráfico 8 – Dívida Líquida do Setor Público 
 
Fonte: Freitas, 2017. 
5.4 Exemplo 4: 
Gerado a partir dos dados do Banco Central do Brasil, o gráfico a seguir 
é um exemplo de série temporal e apresenta a soma das exportações com a 
receita de serviços de 1947 a 2007. 
Gráfico 9 – Exportações Bens e Serviços/RTC 
 
Fonte: Cysne; Grahl, 2007. 
 
 
16 
5.5 Exemplo 5: 
Neste exemplo temos a projeção da inflação acumulada em 12 meses. 
Gráfico 10 – Projeção da inflação acumulada em 12 meses 
 
Fonte: Wilher, 2017. 
Nesse caso temos mais um exemplo de uma série temporal relacionada 
a dados reais. 
FINALIZANDO 
Estamos chegando ao final não só da nossa aula de Métodos 
Quantitativos, mas também da disciplina. Nesta aula vimos o que são séries 
temporais e como muitos fenômenos do nosso cotidiano estão diretamente 
relacionados com o tempo. Vimos que é possível acompanhar a evolução de 
variáveis em decorrência da variação do tempo e com isso como podemos fazer 
previsões ou estimativas. Vimos também que há diversos fenômenos de caráter 
aleatório que existem, mas não podem ser previstos com exatidão. Esperamos 
que todos os temas abordados tenham sido úteis não só para o bom 
desempenho acadêmico, mas também para melhorias no desempenho pessoal 
e profissional. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Matemática Aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
CYSNE, R. P.; GRAHL, P. G. Brasil 2007: uma análise das contas externas. Rio 
de Janeiro: FGV, 2007. 
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2. ed. São Paulo: Pearson, 2007. 
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<https://analisemacro.com.br/economia/macroeconometria/replicando-modelos-
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