Calculo ll Integrais Indefenidas

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APOSTILA DE CÁLCULO II
Integral Definida.
Seja f(x) uma função e g(x) uma de suas primitivas. Portanto,
		∫f(x)dx=g(x)+c.
	Definimos a integral definida de f(x) entre os limites a e b como a diferença g(b)-g(a), e indicamos simbolicamente:
		
Exemplo:
Vamos calcular a integral definida 
Calculemos a integral definida . 
Exercícios.
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule a área delimitada pelos gráficos das funções nos seguintes casos:
f(x) = x e g(x) = x³ (com x>0);
f(x) = 3x e g(x) = x²;
f(x) = x² e g(x) = ;
f(x) = x e g(x) = x²;
f(x) = x²-1 e g(x) = 1 – x²;
f(x) = x² + 1 e g(x) = 3 – x²;
f(x) = 2x e g(x) = x²;
f(x) = x² e g(x) = -x²+4x;
f(x) = x²-4x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3;
f(x) = x³-2x²-5x+6, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.
Obs.: Caso f(x) seja negativa no intervalo [a, b], a área A da região delimitada pelo gráfico de f(x), eixo x, e pelas verticais que passam por a e por b é dada por: 
	
– Técnicas de integração.
- Integração por partes.
Sabemos que se U(x) e V(x) são funções deriváveis, então pela regra da derivada do produto: [U(x).V(x)]’=U’(x).V(x)+U(x).V’(x);
e, consequentemente, U(x).V’(x)=[U(x).V(x)]’-U’(x).V(x).
Integrando ambos os membros, obtemos:
 ∫U(x).V’(x)dx=U(x).V(x)-∫U’(x).V(x)dx,
que é chamada fórmula da integração por partes.
Exemplo: Vamos encontrar a integral:
Exercícios:
-Integração por substituição.
	Essa técnica consiste em substituir a variável da função a ser integrada de modo a obtermos uma integral imediata, ou que seja mais simples de calcular.
	A ideia baseia-se na seguinte relação
Exemplo. 
Calcule as seguintes integrais pelo método da substituição:
Funções de duas variáveis.
3.1. Introdução.
Em muitas situações que ocorrem, quer no plano teórico quer na prática, há necessidade de considerar diversas variáveis. É muito importante, nesses casos, tentar descrever quantitativamente a forma pela qual elas se relacionam. Uma das formas de expressar tal relacionamento é descrevendo como uma delas se expressa em função das outras, tal conceito é chamado de função de várias variáveis.
Exemplo 1: A demanda semanal de manteiga num supermercado depende de certos fatores, como seu preço unitário, preço unitário de bens substitutos (por exemplo, margarina), renda familiar, gostos pessoais e outros.
Em primeira aproximação, suponhamos que a demanda por manteiga dependa de seu preço unitário p₁ e do preço unitário da margarina p₂. Dizemos, então, que a quantidade demandada q é função de p₁ e p₂ e escrevemos:
 q = f(p₁, p₂).
Exemplo 2: Seja D = R² e f(x, y) = x²+y². Tal função associa, a cada par de números reais, a soma de seus quadrados. Assim, por exemplo:
f(2, 3) = 2² + 3² = 13
f(1, -2) = 1² + (-2)² = 5.
É fácil perceber que as imagens dessa função são números reais não negativos.
Observação: Quando não for especificado o domínio de uma função, convenciona-se que o mesmo é o mais amplo conjunto de R², de modo que a imagem f(x, y) seja um número real; além disso, se a função for decorrente de uma situação prática, os valores de x e y devem assumir valores compatíveis com as características das variáveis consideradas (por exemplo, se x e y forem quantidades, elas não podem ser negativas).
 3.2 Gráficos de funções de duas variáveis.
 Vimos, no estudo de funções de uma variável, que seu gráfico era o conjunto:
{(x, y) Є R²/y = f(x) e x Є D}.
 De modo totalmente análogo, definimos gráfico de uma função de duas variáveis. Seja f(x, y) uma função de duas variáveis x e y. O gráfico da função é o conjunto:
{(x, y, z) Є R³/z = f(x, y) e (x, y) Є D}.
 Portanto, o gráfico de f(x, y) será representado no espaço tridimensional, de tal forma que a cada par (x, y) do domínio corresponda uma cota z = f(x, y).
Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x, y) = 4, com domínio D = R²;
f(x, y) = 6 – 2x – 3y, com domínio D = R²;
f(x, y) = 2, com domínio D = R²;
f(x, y) = 12 – 3x – 4y, com domínio D = R²;
f(x, y) = x + y, com D = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2)};
f(x, y) = 3 + x – y, com domínio D = R²;
f(x, y) = x² + y², com domínio D = R²;
f(x, y) = 1 – x², com domínio D = R²;
f(x, y) = 1 – y², com domínio D = R²;
f(x, y) = xy, com D = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2)};
f(x, y) = 5, com domínio D = R².
 3.3 Derivadas Parciais.
 Consideremos uma função f(x, y) de duas variáveis. É um problema importante sabermos qual o ritmo de variação de f(x, y) correspondente a pequenas variações de x e y.
 Uma primeira abordagem que podemos fazer desse problema consiste em manter fixa uma das variáveis e calcular o ritmo de variação de f(x, y) em relação à outra variável. A ideia que norteia esse estudo chama-se derivada parcial.
Exemplos:
Exercícios:
Considere a função Calcule 
Considere a função Calcule 
Considere a função Calcule 
Usando as técnicas de derivação, calcule 
Considere a seguinte função de produção em que P é a quantidade colhida de um produto (em toneladas), x é o número de homens-hora empregados (em milhares) e y é o número de hectares plantados. Calcule:
Seja a equação de demanda semanal de manteiga num supermercado (em kg), x o preço kg da manteiga e y o preço por kg da margarina.
3.4 Função composta – Regra da Cadeia.
 Consideremos uma função de produção em que x e y são as quantidades de dois insumos, capital e trabalho, e P, a quantidade produzida de um produto.
 Suponhamos que o capital x cresça com o tempo t, de acordo com a relação x = 0,16t e o trabalho cresça de acordo com a relação y = 0,09t.
 Se quisermos expressar a produção em função do tempo, temos que substituir x = 0,16t e y = 0,09t na relação . Procedendo dessa forma, teremos:
 À função de t, dada por P(t)=0,72t, chamamos de função composta de P com x e y.
 A derivada da função composta dada por P(t)=0,72t em relação a t é imediata (função de uma variável):
 Isto é, a taxa de crescimento do produto em relação ao tempo é 0,72.
 De modo geral, a derivada da função composta pode ser obtida facilmente por mera substituição e derivação da função de uma variável, como vimos no exemplo. Entretanto, existe uma fórmula alternativa de cálculo da derivada da função composta, conhecida como regra da cadeia.
Regra da cadeia.
Exemplo: Sejam f(x, y) = 2x + 5y – 3, x(t) = 2t e y(t) = 3t – 1. A função composta de f com x e y é dada por:
Exercícios:
Obtenha pela regra da cadeia:
 3.5 Máximos e mínimos para funções de duas variáveis.
 Uma importante aplicação do estudo das derivadas parciais é a da otimização de funções. Otimizar uma função significa encontrar seu ponto de máximo ou de mínimo. Assim, determinar a máxima produção de uma firma com um dado orçamento constitui um problema de otimização; entre as possíveis combinações de insumos, aquela que nos permite obter certo nível de produção, a custo mínimo, consiste em resolver um problema de minimização. 
 Seja f uma função de duas variáveis x e y. Dizemos que um ponto (xₒ, yₒ) do domínio D é um ponto de máximo global (ou absoluto) de f se, para todo ponto P(xₒ, yₒ) do domínio, tivermos: f(x, y) ≤ f(xₒ, yₒ).
 Analogamente, dizemos que um ponto (xₒ, yₒ) do domínio D é um ponto de mínimo global (ou absoluto) de f se, para todo ponto P(x, y) do domínio, tivermos: f(x, y) ≥ f(xₒ, yₒ).
Teorema 1) Seja f uma função com duas variáveis x e y e seja (xₒ, yₒ) um ponto interior ao domínio. Se (xₒ, yₒ) for um ponto de máximo ou de mínimo de f e se existirem as derivadas parciais e então: 
 O Teorema 1 permite determinar os possíveis pontos de máximo ou de mínimo no interior do domínio, sem, contudo, identificá-los. O Teorema2, que veremos a seguir, permitirá esta identificação. 
Teorema 2) Seja f uma função de duas variáveis x e y, contínua, com derivadas parciais até segunda ordem contínuas. Seja (xₒ, yₒ) um ponto crítico de f. Chamamos o determinante:
 
de Hessiano (em homenagem ao matemático alemão Ludwig Otto Hesse, 1811-1874) de f no ponto (xₒ, yₒ). Se:
 OBS.: De um modo geral, todo ponto crítico (xₒ, yₒ) que não é de máximo nem de mínimo é chamado ponto de sela. 
Exemplo:
ou seja, x = 1 e y = 0. Portanto, (1, 0) é o único ponto crítico.
Por outro lado,
e, portanto, 
Desta forma, 
Exercícios.
Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-os:
 3.6 Integrais Duplas.
	Consideremos uma função de duas variáveis f(x, y) e suponhamos que a derivada parcial em relação a x, seja 
Mantendo y como constante e integrando essa derivada parcial em relação a x, obtemos a função f(x, y):
	
	A integral calculada é chamada integral parcial em relação a x. A constante de integração c(y) é função de y, pois y é mantido constante na integração parcial em relação a x.
	Caso quiséssemos calcular a integral definida de com limites de integração entre 0 e 2y, teríamos:
	
 Analogamente, se em uma função f(x, y) conhecêssemos a derivada parcial em relação a y, o cálculo de f(x, y) seria feito pela integral parcial em relação a y, ou seja:
 
em que c(x) é uma constante que depende de x. Caso estivéssemos calculando a integral parcial definida, em relação a y, entre os limites 1 e x, teríamos:
 
Calcule as integrais parciais.
 
Calcule o volume do sólido sob o gráfico da função f(x, y)= x + y e acima do domínio dado pelas inequações 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 4.
Determine o volume do sólido sob o gráfico da função f(x, y) = x² + y² e acima do domínio dado pelas inequações 2 ≤ x ≤ 4 e 1 ≤ y ≤ 2.
Calcule a integral dupla em que D é dado pelas inequações 0≤x≤ 5 e 1≤y≤3.
Encontre por integração dupla a área da região no plano xy, limitado pelas curvas y=x² e y=4x-x².
Determine a área delimitada no plano xy pelas curvas y = x e y = x³.
Calcule a área delimitada pelos gráficos das funções utilizando integrais duplas:
 
Determine o volume do sólido sob o gráfico da função f(x, y) = 2 e acima do domínio dado pelas inequações 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2.
Determine o volume do sólido sob o gráfico da função f(x, y) = 4 e acima do domínio dado pelas inequações 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2.
Determine a área da região delimitada pelas inequações 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2.
Determine a área da região delimitada pelas inequações 1 ≤ x ≤ 3 e 1 ≤ y ≤ 3.
Determine o volume do sólido sob o gráfico da função f(x, y) = 3 e acima do domínio dado pelas inequações 1 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ y ≤ 5.
 3.7 Vetores e equações vetoriais.
 Na aplicação de matemática à física e engenharia, frequentemente estamos interessados em quantidades que possuem grandeza, direção e sentido; exemplos disso são força, velocidade, aceleração e deslocamento. Tais quantidades podem ser representadas geometricamente por um segmento de reta orientado. Físicos e engenheiros referem-se a um segmento de reta orientado como um vetor, e as quantidades que têm direção, sentido e grandeza são chamadas quantidades vetoriais. O estudo de vetores é chamado análise vetorial.
 Denota-se um vetor no plano por um par ordenado de números reais e usa-se a notação <x, y> no lugar de (x, y) para evitar confusão na notação de um vetor com a notação de um ponto. Um vetor no espaço tridimensional é uma tripla ordenada de números reais <x, y, z>. Os números x, y e z são chamados componentes do vetor <x, y, z>.
 Denota-se por Vn o conjunto de vetores em um espaço vetorial.
 Tomamos agora um vetor arbitrário em V₂ e o escrevemos na forma especial:
A = <a₁, a₂> = <a₁, 0> + <0, a₂> = a₁<1, 0> + a₂<0, 1>.
 Como o comprimento de cada um dos dois vetores<1, 0> e <0, 1> é uma unidade, estes são chamados vetores unitários. Utiliza-se a seguinte notação para vetores unitários:
i = <1, 0> e j = <0, 1>. 
 Assim, representa-se cada um destes vetores unitários da seguinte maneira:
<a₁, a₂> = a₁<1, 0> + a₂<0, 1> = a₁i + a₂j.
 Segue que qualquer vetor em V₂ pode ser escrito como uma combinação linear dos dois vetores i e j. Por isso, dizemos que os vetores i e j formam uma base para o espaço vetorial V₂. O número de elementos na base de um espaço vetorial é chamado a dimensão do espaço vetorial. Então, V₂ é um espaço vetorial bidimensional.
Exemplo: Expresse o vetor <3, -4> em termos de i e j.
 <3, -4> = 3<1, 0>+(-4)<0, 1> = 3i – 4j.
 Seja A o vetor <a₁, a₂> e θ a medida do ângulo que dá o sentido de A. Assim, 
a₁ = |A|cosθi + |A|senθj que equivale a,
A = |A|(cosθi + senθj) (1) 
que expressa o vetor A em termos de seu comprimento, o cosseno e o seno da medida em radianos do ângulo que dá o sentido de A, e os vetores unitários i e j.
Exemplo: Expresse o vetor <-5, -2> na forma da equação (1).
Exemplo: Dados A = <3, 1> e B = <-2, 4>, encontre o vetor unitário que tenha o mesmo sentido de A – B.
Exercícios:
Expresse os vetores em termos de i e j:
<2, 3> =
<-1, -4> =
<-3, 1> =
<4, 5> =
<-6, -3> =	
Expresse os vetores na forma da equação (1):
<3, 2> =
<-1, 4> =
<2, -3> =
<1, 1> =
<-3, 1> =
Dados os vetores, encontre o vetor unitário que tenha o mesmo sentido de A – B:
A = <2, 1> e B = <-1, 3> 
A = <-1, 4> e B = <3, 2>
A = <4, -2> e B = <-2, 6>
A = <-3, -1> e B = <4, 5>
 3.8 A Derivada direcional.
 Agora, generalizaremos a definição de derivada parcial para obter a taxa de variação de uma função em relação à distância em qualquer direção. Isto nos leva ao conceito de derivada direcional.
 Seja f uma função de duas variáveis x e y e seja P(x, y) um ponto do plano xy. Supomos que U seja o vetor unitário fazendo um ângulo de θ radianos com o lado positivo do eixo x. Então, U = cos θi + sen θj.
Teorema 4) Se f é uma função diferencial de x e y e U = cos θi + sen θj, então:
 
3.9 Vetor Gradiente 
 A derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar de dois vetores. Como:
 
4. Coordenadas Polares.
 No sistema de coordenadas cartesianas, as coordenadas são números chamados a abscissa e a ordenada, e estes números são distâncias orientadas a duas retas fixas. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a um raio fixo (ou semirreta).
 O ponto fixo é chamado polo (ou origem), e ele é designado pela letra “O”. O raio fixo é chamado eixo polar (ou reta polar), que se designa por OA. O raio AO é normalmente traçado horizontalmente e para a direita, e é estendido indefinidamente.
 Seja P um ponto qualquer no plano distinto de O. Seja θ a medida em radianos do ângulo orientado AOP, positivo quando medido no sentido anti-horário e negativo quando medido em sentido horário, tendo como seu lado inicial o raio AO e, como seu lado terminal, o raio OP. Então, se r é a distância de O a P, um conjunto de coordenadas polares de P é dado por r e θ, e escrevemos estas coordenadas como (r, θ). 
Exercícios:
Represente graficamente os pontos em coordenadas polares:
 Frequentemente desejamos nos referir a ambas coordenadas cartesianas e coordenadas polares de um ponto. Para fazer isto, tomamos de modo que coincidam a origem do primeiro sistema e o polo do segundo sistema, o eixo polar com o lado positivo do eixo x, e o raio para o qual com o lado positivo do eixo y.
 Suponhamos que P seja um ponto cuja representação em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares é (x, y) e (r, θ) seja uma representante em coordenadas polares de P. Distinguimos dois casos: r > 0 e r < 0. No primeiro caso,se r > 0 então o ponto P está no lado terminal do ângulo de θ em radianos, e Então, 
 No segundo caso, se r < 0, então o ponto P está sobre a extensão do lado terminal e
Logo, y = r senθ.
Exercícios:
Dadas as coordenadas polares, encontre as coordenadas cartesianas retangulares correspondentes:
 Para obtermos fórmulas que dão um conjunto de coordenadas polares de um ponto quando suas coordenadas cartesianas são conhecidas:
x² = r² cos²θ e y² = r² sen²θ.
 Igualando a soma dos membros esquerdos com a soma dos membros direitos acima, temos:
x² + y² = r² cos²θ + r² sen²θ
x² + y² = r²(cos²θ + sen²θ)
x² + y² = r²
E assim, 
Exemplo: Dada a equação polar de um gráfico r² = 4 sen 2θ, encontre uma equação cartesiana:
Exercícios:
Encontre a equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar dada.
r² = 2 sen2θ;
r² cos2θ = 10;
r² = cosθ;
r² = θ;
r² = 4 cos2θ;
r = 2 sen3θ.
Exemplo: Dada a equação cartesiana de um gráfico x² + y² - 4x = 0, encontre a equação polar.
Substituindo x = r cosθ e y = r senθ em x² + y² - 4x = 0, temos
r² cos²θ + r² sen²θ – 4r cosθ = 0
r² - 4r cosθ = 0
r.(r – r cosθ) = 0.
Logo, r = 0 ou r – 4 cosθ = 0.
O gráfico de r = 0 é o polo. Contudo, o polo é um ponto sobre o gráfico de r – 4 cosθ = 0 pois r=0, quando Portanto, a equação polar do gráfico é r = 4 cosθ.
O gráfico de x² + y² - 4x = 0 é uma circunferência. A equação pode ser escrita na forma
(x – 2)² + y² = 4, que é a equação da circunferência com centro em (2, 0) e raio 2.
Exercícios.
Encontre a equação polar do gráfico tendo a equação cartesiana dada.
x² + y² = a²;
x³ = 4y²;
y² = 4.(x + 1);
x² - y² = 16;
(x² + y²)² = 4.(x² - y²);
2xy = a²;
x³ + y³ - 3axy = 0. 
4.1 Área de uma região em coordenadas polares.
 Veremos um método para encontrar a área de uma região limitada por uma curva cuja equação é dada em coordenadas polares e por duas retas através do polo.
Seja f uma função contínua e não-negativa no intervalo fechado [α, β]. Seja R a região limitada pela curva cuja equação é r = f(θ) e pelas retas θ = α e θ = β. Encontramos a área através da integral definida:
Exemplo 1) Encontre a área da região limitada pelo gráfico de r = 2 + 2cosθ.
Solução: Como a curva é simétrica em relação ao eixo polar, tomamos os limites de θ de 0 a π que determinam a área da região limitada pela curva acima do eixo polar. Assim, a área de toda a região é determinada se multiplicarmos aquela área por 2. Então, se A unidades quadradas for a medida da área requerida, 
Exemplo 2) Encontre a área da região interior à circunferência r = 3senθ e exterior à limaçon r=2 – senθ.
Solução: Para encontrarmos os pontos de intersecção, consideramos 3senθ = 2 – senθ 
logo, senθ = ½.
Assim, 
Se considerarmos f(θ) = 3senθ e g(θ) = 2 – senθ, então a equação da circunferência é r = f(θ), e a equação da limaçon é r = g(θ). Temos então:
Exercícios.
Encontre a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas:
r = 3 cosθ;
r = 4 sen²
r = 2 – senθ;
r = 4 cos3θ.
4.2 Secções cônicas em coordenadas polares.
 Uma secção cônica (ou cônica) é uma curva de intersecção de um plano com um cone circular reto de duas folhas, e os três tipos de curvas de intersecção que ocorrem são a parábola, a elipse e a hipérbole. O matemático grego Apolônio estudou as secções cônicas em termos de geometria, usando este conceito.
 Considerando a geometria das secções cônicas, um cone tem duas folhas que se estendem indefinidamente em ambas as direções. Um gerador (ou elemento) de um cone é uma reta situada no cone, e todos os geradores de um cone contêm o ponto V, chamado vértice do cone.
 Elipse Parábola Hipérbole
 Uma elipse é obtida, se o plano secante que intercepta cada gerador não for paralelo a nenhum gerador. 
 A parábola é formada por um cone e um plano secante paralelo a um e somente um gerador do cone. 
 Se o plano secante é paralelo a dois geradores, este intercepta as duas folhas do cone e temos uma hipérbole.
 Um caso especial de elipse é uma circunferência que é formada se o plano secante que intercepta cada gerador, for perpendicular ao eixo do cone. 
 Existem muitas aplicações das secções cônicas em matemática pura e aplicada. As órbitas dos planetas e satélites são elipses. As elipses são usadas na fabricação de engrenagens de máquinas. Os arcos das pontes são, algumas vezes, de forma elíptica ou parabólica. A trajetória de um projétil é uma parábola se o movimento considerado for considerado num plano e a resistência do ar for desprezada. As parábolas são usadas no desenho de espelhos parabólicos, refletores e faróis de automóveis. Hipérboles são usadas em combate para localizar a posição das armas inimigas pelo som do disparo dessas armas. Se uma quantidade varia inversamente em relação à outra, tal como pressão e o volume na lei de Boyle para um gás perfeito a uma temperatura constante, o gráfico será uma hipérbole.
Definição: Uma cônica é o conjunto de todos os pontos P num plano, de tal modo que a distância de P a um ponto fixo esteja na razão constante com a distância de P a uma reta fixa, que não contenha o ponto fixo.
 A razão constante na definição acima é chamada excentricidade da cônica e é denotada por e. A excentricidade e é um número não-negativo, pois é a razão de duas distâncias. De fato, para cônicas não degeneradas e > 0. Se e = 1, a cônica é uma parábola. Se e < 1 a cônica será uma elipse e se e > 1, a cônica será uma hipérbole.
 O ponto fixo a que se refere a definição acima chama-se um foco da cônica, e a reta fixa chama-se diretriz correspondente.
 A reta que passa por um foco de uma cônica e é perpendicular à diretriz chama-se eixo principal da cônica. Os pontos de intersecção da cônica e o eixo principal chamam-se os vértices da cônica. Uma parábola tem um vértice, a elipse e a hipérbole têm dois vértices.
Teorema: Se e é a excentricidade de uma cônica não-degenerada, então, se e ≠ 1, a cônica tem dois vértices e se e = 1, a cônica tem somente um vértice.
4.2 Equações polares das cônicas.
 Obtemos as equações polares das cônicas tomando o polo num foco e o eixo polar e sua extensão ao longo do eixo principal. Consideremos inicialmente a situação quando a diretriz correspondente ao foco no polo está à esquerda do foco. Seja D o ponto de intersecção desta diretriz com o eixo principal e d a distância entre um foco e sua diretriz. Seja P(r, θ) um ponto qualquer da cônica à direita da diretriz e no lado terminal do ângulo de medida θ. Traçando-se perpendiculares PQ e PR ao eixo principal e à diretriz, respectivamente, o ponto P está na cônica se e somente se 
 Como P está à direita da diretriz, 
 Agora vamos discutir o gráfico da Equação (3) para cada um dos três casos: e = 1, e < 1 e e
> 1. Discussões análogas são válidas aos gráficos das Equações (4) e (5).
Caso 1: e = 1. A cônica é uma parábola. A Equação (3) transforma-se em:
r não é definido quando θ = 0; contudo r está definido para todos os valores de θ, tal que 0< θ <2π. Diferenciando em (6), obtemos:
 Exercícios:
Uma parábola tem seu vértice em (4, π) e seu foco no polo. Encontre a equação da parábola e a equação da diretriz. Trace um esboço da parábola e a diretriz.
Siga as instruções do exercício anterior, se a parábola tem se foco no polo e seu vértice em 
 
 Caso 2: e < 1. A cônica é uma elipse.
 Quando e < 1 o denominador da fração na Equação (3) nunca se anula e, portanto, r existe para todos os valores de θ. Para determinarmos o extremo absoluto de r no intervalo [0,2π), encontramos e obtemos
.
Para no intervalo [0, 2π), =0 quando = 0 e π. 
Quando Então, quando r tem um valor máximo absoluto de e quando 
Deste modo, r tem um valor mínimo absoluto de 
Os pontos são os vérticesda elipse. Denotemo-los por respectivamente. Segue então, que a distância do foco (0, 0) a um ponto da elipse é máxima quando o ponto da elipse for e é mínima quando for 
 A elipse é simétrica em relação a seu eixo principal. Não existe valor de que anule r, e, assim, a curva não contem o polo.
Exercícios:
Encontre a equação da elipse que tem um foco no polo e seus vértices em (5, 0) e (2, π). Escreva a equação da diretriz correspondente ao foco no polo. Trace um esboço da elipse.
A equação de uma cônica é Encontre a excentricidade; identifique a cônica; escreva a equação da diretriz correspondente ao foco no polo; encontre os vértices e trace um esboço da curva.
 Caso 3: e > 1. A cônica é uma hipérbole.
 Na dedução da Equação (3), suponhamos que o ponto P na cônica esteja à direita da diretriz dada e no lado terminal do ângulo de radianos, tornando r positivo. Nos dois casos anteriores, quando a cônica era uma elipse ou uma parábola, obtivemos a curva inteira com essas hipóteses. Contudo, quando e > 1, somente um dos ramos da hipérbole é obtido quando r > 0, e esse ramo está à direita da diretriz. Existe também um ramo à esquerda da diretriz dada; este é obtido se r assumir valores negativos e positivos quando toma valores no intervalo [0, 2π).
 Se e > 1 na Equação (3), r é indefinido quando Existem dois valores de em [0, 2π) que satisfazem esta equação. Estes valores são 
 Investigamos os valores de r quando cresce de 0 a Quando = 0, e como Desse modo, o ponto é o vértice esquerdo da hipérbole. A função cosseno decresce no intervalo (0, ); assim quando ou, equivalentemente, Portanto, para cada valor de no intervalo (0, ),
 Quando não é definido; entretanto,
 Concluímos então, que quando cresce de 0 a , aumenta sem limite. Destes valores de obtemos a metade do ramo esquerdo da curva.
 Agora, consideremos os pontos da hipérbole quando cresce, tomando valores entre Quando ou então, Portanto, para valores de no intervalo (,), r > 0.
 Quando portanto o ponto está à direita do vértice direito da hipérbole. Encontrando da Equação (3), obtemos:
.
 Quando portanto, e concluímos que r decresce quando está no intervalo Portanto, para valores de no intervalo obtemos a metade superior do ramo direito da hipérbole.
 Quando assim, da Equação (8), Logo, r é crescente quando está no intervalo Além disso, 
 Consequentemente, para valores de no intervalo temos a metade inferior do ramo direito da hipérbole. A outra assíntota da hipérbole é paralela à reta 
 A função cosseno é crescente no intervalo Assim, quando ou, de modo equivalente, Desse modo, vemos da Equação (3) que para valores de no intervalo Também,
 Segue da Equação (8) que portanto, r é crescente, quando Quando r < 0 e r é crescente, é decrescente. Assim, para valores de no intervalo obtemos a metade superior do ramo esquerdo da hipérbole. 
Exercícios.
O eixo polar e sua extensão estão ao longo do eixo principal de uma hipérbole com um foco no polo. A diretriz correspondente está à esquerda do foco. Se a hipérbole contém o ponto , encontre:
A equação da hipérbole;
Os vértices;
O Centro;
A equação da diretriz correspondente ao foco no polo. Trace um esboço da hipérbole.
Encontre a equação polar da hipérbole que tem a reta como diretriz correspondente ao foco no polo, e 
Para cada equação de uma cônica que tem um foco no polo, encontre a excentricidade, identifique a cônica, escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco no polo e trace um esboço da curva:
			Fórmulas de Integração
 
 
 
Integração por Partes
Fórmulas de Derivadas
Relações trigonométricas