ÁLGEBRA LINEAR - PROVA 4

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UNIVERSIDADE ESTAUAL DA PARAÍBA - CAMPUS VIII 
CENTRO DE CIENCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE - CCTS 
COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
ALUNO(A): 
 
Álgebra Linear – 2014.2 
Prof. Israel B. Galvão 
2ª PROVA DA 2ª UNIDADE – 09/12/2014 
 
Obs.: Expresse suas ideias com clareza e organização. Respostas sem as devidas 
justificativas serão sumariamente desconsideradas. Esta avaliação tem duração máxima 
de 1h:40m (UMA HORA E QUARENTA MINUTOS). 
 
𝟏. (2,0 pontos) Sejam 𝛼 e 𝛽 as bases canônicas de ℝ2 e 𝑀2×2(ℝ), respectivamente. 
Se 𝑆:ℝ2 ⟶ 𝑀2×2(ℝ) é uma transformação linear e 
[𝑆]𝛽
𝛼 = [
2 1
1 −1
−1 0
0 1
]. 
Ache 𝑆. Ademais, se for possível, determine (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 tal que 
𝑆(𝑎, 𝑏) = [
1 0
0 1
]. 
 
𝟐. (2,0 pontos) Seja 𝐴 = [
0 2
1 1
]. Determine os autovalores de 𝐴 e 𝐴−1. O que se 
observa? 
 
𝟑. (2,0 pontos) Se 𝑣 ∈ 𝑉 é autovetor de 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑉 e 𝑆: 𝑉 ⟶ 𝑉, simultaneamente, 
com respectivos autovalores 𝜆1 e 𝜆2, determine os autovetores e autovalores de 𝑆 + 𝑇 e 
𝑆 ∘ 𝑇 
 
𝟒. (2,0 pontos) Sejam 𝑇:ℝ3 ⟶ℝ3 linear, 𝛼 a base canônica de ℝ3 e 
[𝑇]𝛼
𝛼 = [
2 0 1
0 −3 1
0 0 −3
]. 
Encontre o polinômio característico de 𝑇, os autovalores e autovetores associados 
de 𝑇. E, se possível, determine uma base 𝛾 de ℝ3 tal que a matriz [𝑇]𝛾
𝛾
 seja diagonal. 
 
𝟓. (2,0 pontos) Mostre que a matriz 𝐴 = [
3 0 1
0 2 −5
0 1 −2
] não é diagonalizável. 
 
 
VAI DAR TUDO CERTO!