6.3 Volumes CascasCilindricas 20180826 2101

Prévia do material em texto

Cálculo II
6.3 – Volumes por Cascas 
Cilíndricas
Bibliografia: Stewart , James
Exemplo 1
Encontre o volume do sólido 
obtido pela rotação em torno 
do eixo y da região delimitada 
por 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥3 e 𝑦 = 0
Casca Cilíndrica
𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1
𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ∆𝑟
Cascas Cilíndricas
Agora, considere 𝑆 o sólido obtido pela rotação em torno do 
eixo 𝑦 da região delimitada por 𝑦 = 𝑓(𝑥), onde 𝑓(𝑥) ≥ 0, 
𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, onde 𝑏 > 𝑎 ≥ 0
Cascas Cilíndricas 𝑉 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑉𝑖 =෍
𝑖=1
𝑛
2𝜋 ҧ𝑥𝑖𝑓 ҧ𝑥𝑖 ∆𝑥
Esta aproximação parece tornar-se melhor quando 𝑛 → ∞
Cascas Cilíndricas
Pela definição de uma integral, sabemos que
lim
𝑛→∞
σ𝑖=1
𝑛 2𝜋 ҧ𝑥𝑖𝑓 ҧ𝑥𝑖 ∆𝑥 = ׬𝑎
𝑏
2𝜋𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Cascas Cilíndricas
A melhor maneira para se lembrar da fórmula do volume 
por cascas cilíndricas é pensar em uma casca típica, 
cortada e achatada com raio 𝑥, altura 𝑓(𝑥) e espessura 
∆𝑥 ou 𝑑𝑥.
න
𝑎
𝑏
2𝜋𝑥
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑓(𝑥)
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
ด𝑑𝑥
𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎
Exemplo 1
Encontre o volume do sólido 
obtido pela rotação em torno 
do eixo y da região delimitada 
por 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥3 e 𝑦 = 0
Exemplo 1
Encontre o volume do sólido 
obtido pela rotação em torno 
do eixo y da região delimitada 
por 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥3 e 𝑦 = 0
Exemplo 1
Encontre o volume do sólido 
obtido pela rotação em torno 
do eixo y da região delimitada 
por 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥3 e 𝑦 = 0
Exemplo 2 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑦 da 
região ℛ, delimitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥
Exemplo 3 
Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela 
rotação em torno do eixo 𝑥 da região sob a curva 𝑦 = 𝑥 de 0 a 1.
Exemplo 4 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da 
região delimitada por 𝑦 = 𝑥 − 𝑥2 e 𝑦 = 0 em torno da 
reta 𝑥 = 2.