3 estágio - cálculo 2

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Unidade Acade^mica de Matema´tica e Estatı´stica - UAME
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral II (Computac¸~ao e
Ele´trica)
Turno: Manh~a - Turmas 01 e 02 - Perı´odo: 2007.2
Prova do terceiro esta´gio - Data: 31/03/2008
Aluno(a): Nota:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas.
Questa˜o 1: (3,0 pontos)
a) (2,0 pontos) Calcule, usando a definic¸a˜o, a se´rie de Maclaurin da func¸a˜o
f(x) = ln(1 + x), x > −1
e determine seu intervalo de convergeˆncia.
b) (1,0 ponto) Use a se´rie calculada em a), para encontrar a se´rie de Maclaurin
da func¸a˜o
g(x) = ln(2− 3x2), −2
3
< x <
2
3
.
Questa˜o 2: (2,0 pontos) Calcule a se´rie binomial de
f(x) =
1√
4− x2 , −2 < x < 2,
e seu raio de convergeˆncia.
Questa˜o 3: (3,0 pontos) Seja ~r : R→ R3 dada por
~r (t) = (et cos t, et sin t, et)
a) (1,0 ponto) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a esta
curva no ponto (1, 0, 1).
b) (2,0 pontos) Calcule o comprimento do arco desta curva que vai de (1, 0, 1)
ate´ (−epi, 0, epi).
Questa˜o 4: (2,0 pontos) Uma part´ıcula tem sua posic¸a˜o dada por
~r (t) = (t2, 5t, t2 − 16t), t ≥ 0.
Encontre o instante t em que a velocidade escalar ||~r ′(t)|| e´ m´ınima.