Transformador Quarto Onda - Resposta Binomial

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Pontifícia Universidade Católica do Paraná
ESCOLA POLITÉCNICA
CURSO DE ENGENHARIA eletrônica
vinicius henrique de godoi simonetti
TRANSFORMADOR DE QUARTO DE ONDA
RESPOSTA BINOMIAL
CURITIBA
2017
vinicius henrique de godoi Simonetti
TRANSFORMADOR DE QUARTO DE ONDA
RESPOSTA BINOMIAL
Trabalho acadêmico apresentado na disciplina de Eletrônica de RF do Curso de Graduação em Engenharia Eletrônica da Pontifícia Universidade Católica do Paraná como forma parcial de avaliação referente a 2a Parcial.
Orientador: Prof. Thomaz M. N. Verastegui
Curitiba, 30 de novembro de 2017.
SUMÁRIO
1	introdução	5
2	TRANSFORMADOR DE QUARTO DE ONDA	6
3	teoria pequenas reflexões	7
3.1	APROXIMAÇÃO DA TEORIA PARA TRANSFORMADORES DE QUARTO DE ONDA DE MULTI-SECÇÕES	9
4	CASAMENTO COM TRANSFORMADOR BINOMIAL	10
5	MICROSTRIP	13
6	desenvolvimento do projeto	15
6.1	parametros calculados	16
6.2	confecção da placa	17
6.3	resposta característica esperada	18
7	CONCLUSÃO	20
8	referências	21
Figura 1 – Teoria de Pequenas Reflexões	7
Figura 2 - Transformador de Quarto de Onda Multi-Secções	9
Figura 3 - Banda Passante	12
Figura 4 - Ilustração de uma Linha Microstrip	13
Figura 5 – Utilização do Amanogawa para cálculo de parâmetros do projeto	17
Figura 6 – Placa Impressa	18
Figura 7 - Resposta dos transformadores	19
Tabela 1 – Parâmetros calculados	16
introdução
Transformadores de impedância são amplamente utilizados em circuitos de equipamentos de comunicação para as faixas de radiofrequência e micro-ondas como filtros, amplificadores, entre outros. O foco deste projeto está no estudo dos transformadores de impedâncias de múltiplas seções de quarto de onda.
	Transformadores de impedância de quarto de onda de múltiplas seções proporcionam o aumento na largura de faixa ao serem comparados com transformadores de uma única seção. 
Destaca-se as principais características como impedância característica de cada seção, coeficiente de reflexão total, largura de faixa (largura de banda) e por fim o desenvolviemento analítico baseado na teoria das pequenas reflexões e no transformador binomial. São apresentadas equações para os respectivos cálculos e a análise de um transformador de impedância multi-seções, bem como, sua resposta em frequência.
TRANSFORMADOR DE QUARTO DE ONDA
O transformador de quarto de onda é um dispositivo que tem como função transformar impedâncias de um gerador e de uma carga atendendo uma frequência de operação e uma largura de banda. Quando o casamento é realizado em uma única frequência de operação, um segmento de linha com comprimento de um quarto de onda é suficiente. Porém, para atender a uma determinada faixa de frequência, utilizam-se dois ou mais segmentos de quarto de onda.
Considerando o acomplamento de impedâncias de carga puramente resistiva ZL em uma linha de transmissão com impedância característica Z0, por meio de uma seção de linha com impedância característica Z2. A impedância de carga resultante da junção de ZL com Z2 vista pela linha, é redigida pela equação:
Onde é o fator de fase e o comprimento de onda. Portanto, quando Z2 é igual a , então Z = Z0 e há o casamento entre a carga e a linha.
Em um sistema com reatâncias, o casamento ocorrre apenas para a frequência do projeto. Com transformadores de impedâncias sem perdas obtém-se em sua entrada a impedância transformada.
Os transformadores de quarto de onda mais utilizados são os que possuem resposta Binomial e resposta Chebyshev. Estes transformadores são construídos com uma linha de e o projeto destas estruturas é referenciada na teoria de pequenas reflexões utilizando como a própia nomenclatura cita, transformadores de N seções de 
teoria pequenas reflexões
Para analisar uma aproximação do transformador de quarto de onda com várias secções, são necessários alguns estudos relativos ao coeficiente de reflexão total resultante de pequenas reflexões. Portanto, considera-se uma impedância de carga ZL conectada a uma linha de transmissão com impedância característica Z1, através de outra seção com impedância Z2 e comprimento elétrico (figura 1). Considera-se que é o comprimento da secção em metros e , como dito anteriormente, o fator de fase em radianos por metro.
Figura 1 – Teoria de Pequenas Reflexões
Para a onda incidente com amplitude unitária, têm-se os coeficientes de transmissão e reflexão de cada junção, explicitados a seguir:
Quando a onda incide na primeira junção é produzida uma reflexão parcial da sua amplitude e uma onda é transmitida com amplitude incidindo na seunda junção, sendo parte desta última refletida com com amplitude que incide na primeira junção, produzindo novamente uma parcela refletida e outra transmitida.
Desta forma ocorrem inifitas reflexões e a soma de todas as ondas refletidas compõe o sinal total refletido:
O qual por fim, resulta numa séria geométrica dada por:
Assim, realizando as substituições e considerando e pequenos ao serem comparados com a unidade, encontra-se a expressão a seguir: 
Este resultado mostra que para pequenas reflexões, são consideradas apenas as reflexões de primeira ordem.
APROXIMAÇÃO DA TEORIA PARA TRANSFORMADORES DE QUARTO DE ONDA DE MULTI-SECÇÕES
A figura 2 ilustra um transformador de quarto de onda com N secções.
Figura 2 - Transformador de Quarto de Onda Multi-Secções
O coeficiente de reflexão na primeira junção é dado por:
 	
E na n-ésima junção, o coeficiente é:
A impedância de carga ZL é puramente resistiva e pode ser maior ou menor que a impedância da linha Z0. Caso seja maior, todo , onde é a magnitude de , e se ZL for menor que Z0, todo será um número negativo, então deve-se substituir a magnitude pelo seu módulo.
	O coeficiente de reflexão total é a soma das reflexões de primeira ordem, então: 
Onde é o “retardo” (atraso) de fase gerado pelas diferentes distâncias em que as ondas se propagam. Considerando um transformador simétrico tem-se e . Portanto, para um transformador simétrico o coeficiente de reflexão total é dado pela série de Fourier: 
Sendo a série de cossenos uma série periódica dentro do intervalo , correspondente a faixa de frequência na qual o comprimento de cada segmento do transformador muda de meio comprimento de onda.
CASAMENTO COM TRANSFORMADOR BINOMIAL
Obtém-se uma máxima largura de faixa ao utilizar vários segmentos de onda em cascata, como apresentado anteriormente. E para uma máxima largura de banda deve-se determinar ρ. Desta forma as primeiras (N-1) derivações com respeito a frequência desaparecem para a frequência f0 onde .
Desta forma, 
Quando ou tem se . Então a constante A é dada por:
Ao utilizar a teoria das pequenas reflexões, a constante A pode ser determinada por outra maneira (não apenas A como chega-se nas equações que determinam as impedâncias de cada segmento). Expandindo [13] pelo binômio de expansão:
Os coeficientes binomiais são:
Desta forma ao realizar a comparação de [16] e [11] chega-se a: 
Assim considerando que é pequeno é possível obter uma equação que proporciona uma simples solução para a impedância de cada segmento (impedância característica ). Porém, mais uma aproximação é conveniente:
Portanto, a solução simples é descrita a seguir:
Sendo o índice da secção do transformador, N o número total de secções (segmentos).
Como Z0 e ZL são definidos, é possível iniciar os cálculos isolando Zn+1 (no primeiro instante Zn+1 = Z1), e em seguida calcular as demais impedâncias.
A equação [20] traz a solução para o logaritmo das impedâncais desde que essas sejam proporcionais aos coeficientes binomiais. Portanto, deve-se considerar que a aproximação é válida somente para se 0,5Z0 < ZL <2Z0. 
Para o transformador binomial a largura de banda é descrita por:
Onde é dado por: 
Realizando as devidas substituições, encontras-se:
No qual é o máximo valor de magnitude do coeficiente de reflexão dentro da banda passante. Normalmente esta magnitude é definida pelo projetista. A relação da banda passante com e é apresentada pela figura a seguir:
Figura 3 - Banda Passante
MICROSTRIP
Microstrip é uma linha de transmissão normalmente fabricada utilizando a tecnologia de circuito impresso. Ela consiste em ter uma linha de transmissão separada do plano terra por um dielétrico, como ilustra a figura a seguir:
Figura 4 - Ilustração de uma Linha Microstrip
Onde é a espessura do material condutor (por exemplo, cobre), é a largura da linha, o comprimento da linha e a altura do material dielétrico.
	Ao utilizar o Microstrip em transformador de quarto de onda, deve-se considerar as equações que proporcionam os cálculos de cada segmento, ou seja, para cada segmento haverá um diferente, consequentemente um e outros fatores como serão demonstrados pelas equações a seguir:
 , 
 , 
Onde, 
Os cálculos de desconsideranto o são demonstrados a seguir:
:
 
:
Onde é a impedância de cada segmento, e os coeficientes A e B são dados por:
Para o cáluculo do comprimento da linha é utilizado a equação simplificada:
desenvolvimento do projeto
O projeto consiste em casar uma linha de com uma carga de em uma frequência de operação de 1.9GHz utilizando transformador de quarto de onda, 4 seções, com resposta binomial.
Para a execução do mesmo, utilizou-se as equações citadas anteriormente, porém, em alguns casos algumas considerações foram realizadas, o passo a passo dos cálculos está descrito abaixo. No entanto, alguns valores foram definidos em função da placa do projeto, como , , .
Nos cálculos das impedâncias de cada segmento, utilizou-se a equação [20].
Nos cálculos dos coeficientes de reflexão, utilizou-se a equação [10].
Nos cálculos de , desconsiderando , utilizou-se as equações [30], [31], [32] e [33].
Nos cálculos do comprimento de linha, desconsiderando e como todos foram maiores que 1 utilizou-se as equações [26], [28] e [34]. Ao encontrar o resultado foi divido por 4.
Por fim, todos os valores foram encontrados como apresenta a tabela na seção 6.1. A tabela também apresenta a comparação com o site utilizado www.amanogawa.com, o mesmo gera alguns resultados ao configurar os parâmetros do projeto. Como frequência de operação, permissividade relativa do material, impedância da carga e da linha, entre outros fatores.
:
parâmetros calculados
A tabela abaixo apresenta os parêmetros obtidos utilizando as equações explicitadas anteriormente, bem como os procedimentos descritos em 6.
	
	Amanogawa
	Calculado
	Erro %
	
	50
	50
	0
	
	48.1049
	48.1110
	0.0126
	
	41.2371
	41.2423
	0.1260
	
	32.7374
	32.7333
	0.0125
	
	28.0636
	28.0601
	0.0124
	 (mm)
	10.0
	10.0
	-
	 (mm)
	21.925
	22.031
	0.4811
	 (mm)
	21.70
	21.807
	0.4906
	 (mm)
	21.35
	21.491
	0.5913
	/4 (mm)
	21.125
	21.292
	0.6560
	 (mm)
	3.0360
	3.0777
	1.354
	 (mm)
	3.2355
	3.2183
	0.5295
	 (mm)
	4.1225
	4.1572
	0.8300
	 (mm)
	5.7576
	5.8138
	0.9666
	 (mm)
	7.0928
	7.1688
	1.060
	
	-
	0.01866
	-
	
	-
	0.074675
	-
	
	-
	0.112012987
	-
	
	-
	0.074675
	-
	
	-
	0.01866
	-
	
	0.2
	0.2
	-
	(°)
	25.23
	25.23
	-
	
	1.422
	1.4392
	1.195
	 (GHz)
	2.7028
	2.73461
	1.1632
	F1 (MHz)
	547.2
	532.8
	2.7027
	F2 (GHz)
	3.253
	3.2672
	0.4346
Tabela 1 – Parâmetros Calculados
Escolheu-se um comprimento arbitrário para a linha de, que está explicitado na tabela acima como .
Abaixo, pode-se ver um exemplo de como foram encontradas as impedâncias de cada seção do transformador de quarto de onda, utilizando o site Amanogawa:
Figura 5 – Utilização do Amanogawa para cálculos dos parâmetros do projeto
Para obter as impedâncias, deve-se fornecer ao software: a impedância da linha (Zo), o valor da carga (RL), a frequência de projeto (1.9GHz), o número de sessões desejadas no transformador (N=4) e o .
CONFECÇÂO DA PLACA
Depois de calculados os parâmetros e feita a comparação com o site Amanogawa notou-se que os erros percentuais foram aceitáveis, portanto as configurações do projeto estavam coerentes.
Para o desenho das microstrips foi utilizado o software Eagle, e posteriormente foi feito o processo clássico de placas de circuito impresso, imprimindo o desenho desejado termicamente e depois realizando o processo de corrosão da placa.
Feito isso, o resistor SMD () foi soldado de modo que um dos terminais tivesse contato com a ultima seção do transformador e o outro terminal tivesse contato com o plano de massa (terra). Por fim, um conector modelo BNC-FÊMEA foi soldado para fazer os testes com o equipamento analisador de espectros. Abaixo, segue uma imagem de como ficou a placa:
Figura 6 - Placa Impressa
RESPOSTA CARSCTERÍSTICA ESPERADA
A figura a seguir apresenta as diferenças de resposta em frequência dos transformadores (única seção, binomial com N secções e chebyschev com N secções). É possível averiguar que o transformador com resposta chebyshchev, possui uma banda passante maior, porém, possui um nível de ripple. A banda passante da resposta do transformador binomial é menor, porém mais plana. Por fim, o transformador de única seção possui uma banda passante bem baixa, pois o seu funcionamento é específico para a frequência de operação.
Figura 7 - Respostas dos Transformadores
A resposta em frequência esperada desse projeto é denotada pela curva de cor azul, onde espera-se que o coeficiente de reflexão seja nulo na frequência de projeto (1.9GHz) e menor 0.2 para frequências que estão contidas na banda passante calculada.
CONCLUSÃO
Com a necessidade de realizar casamentos de impedância para diversas aplicações, foi possível analisar como o transformador de quarto de onda com multi-seções e resposta binomial é implementado para este fim.
Por apresentar uma banda passante larga, este método é vantajoso para alguns fins, ao mesmo tempo em que pode ser desaconselhável, tudo depende das características do projeto. Com a implementação deste projeto em linhas de microstrip, foi possível analisar e destacar uma otura tecnologia para confecção de placas e projetos de RF.
O teste prático do casamento de impedância deve ser feito com um aparelho analisador de espectros, porém o teste não foi realizado devido à falta do equipamento nos laboratórios da PUCPR. O analisador de espectros fornece a respota em frequência para um sinal alternado aplicado na entrada do circuito, com uma determinada frequência.
Algumas dificuldades podem eventualmente aparecer na prática e prejudicar o resultado do projeto, tais como: falta de extrema precisão nas dimensões das trilhas que constituem as microstrips e problemas de corrosão da placa, contudo, essa experiência foi de notável relevância para observar na prática, os conceitos relacionados às linhas de transmissão e casamento de impedâncias, vistos ao longo da disciplina de Eletrônica de Rádio Frequência.
referências
COLLIN, Robert E. Foundations for Microwave Engineering. 2ª Ed. New York: McGraw Hill, 1992.
FLEMING e GALVAO. PROJETOS DE ALTA FREQUÊNCIA E ANTENAS AUXILIADOS POR MICROCOMPUTADORES. Volume Único. Ed. São Paulo: McGraw Hill, 1987.
GOTTLIEB, Irving M. Practical RF power design techniques. Volume Único. Ed. New York : TAB Books, 1993.
RIBEIRO, José Justino. Engenharia de microondas : fundamentos e aplicações. 1ª Ed. São Paulo : Érica, 2008.
AMANOGAWA. Interactive Software for Education. Disponível em: <http://www.amanogawa.com>. Acesso em: 27 nov. 2017.