Livro Texto Unidade II economia e adm

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Economia E administração
Unidade II
5 AnuidAde ou Série uniforme de PAgAmentoS
Quando se contrai uma dívida, ela pode ser paga de uma só vez após um determinado período, ou 
pode ser parcelada em prestações iguais, sendo amortizada a cada período.
Da mesma maneira, quando se investe um dinheiro, ele pode ser resgatado de uma só vez, ou pode 
ser recebido em parcelas iguais e sucessivas, sendo capitalizado a cada período.
Os casos de pagamento de dívida e recebimento de investimento de uma só vez, após um determinado 
período, já foram vistos anteriormente nos itens sobre capitalização simples e composta.
Neste módulo serão vistos os casos de parcelamentos iguais das dívidas e dos investimentos, 
utilizando amortização e capitalização composta. Será usado o método Price, em que as prestações 
possuem o mesmo valor.
Suponha que você contraiu uma dívida no valor “C”, a uma taxa de juros compostos de “i” por 
período e deverá pagar essa dívida em “n” parcelas periódicas de valor “P” cada.
Ainda existem duas modalidades de pagamento:
1. As parcelas são pagas ao final de cada período. Nesse caso denomina-se pagamento “postecipado”.
2. As parcelas são pagas no início de cada período. Nesse caso denomina-se pagamento “antecipado”.
Se um problema for omisso quanto ao pagamento antecipado ou postecipado, adota-se sempre o 
segundo.
5.1 Prestação e valor presente
Aplicam-se as fórmulas apresentadas a seguir, principalmente, em empréstimos e financiamentos 
com pagamento em prestações fixas. Considera-se o valor presente como o valor financiado.
a) Parcelas postecipadas (pagamento no final do período)
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Unidade II
Em que:
P = valor da prestação
C = valor financiado
n = número de prestações
i = taxa de juros
b) Parcelas antecipadas (pagamento no início do período)
São “n” parcelas de valor P cada (a primeira na data 0 e a última em n – 1).
Como a primeira parcela é paga na data 0 (dada como entrada), podemos considerar que o valor 
financiado é C – P e que o número de parcelas é de n – 1.
Essa modalidade é mais aplicada para compras financiadas, em que o primeiro pagamento é a 
entrada.
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Economia E administração
5.2 Prestação e valor futuro
Aplicam-se as fórmulas apresentadas a seguir, principalmente, em aplicações com depósitos 
periódicos e de valores iguais e deseja-se calcular o valor do montante após o último depósito.
a) Parcelas postecipadas (pagamento no final do período)
b) Parcelas antecipadas (pagamento no início do período)
5.3 renda perpétua
Se você aplicar um capital de R$ 100 mil a 1% ao mês e retirar apenas os rendimentos (juros) de R$ 
1.000 todos os meses, você terá uma renda R$ 1.000 perpetuamente, pois o capital de R$ 100 mil não 
se altera.
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Unidade II
A renda perpétua, como o próprio nome diz, não tem prazo para acabar e, portanto, não há montante 
a ser calculado. O que ela garante é uma renda periódica (baseada na taxa de juros e capital inicial) e o 
capital inicial (que não será capitalizado nem depreciado).
Para o cálculo da renda periódica perpétua é utilizada a seguinte fórmula:
Exercícios resolvidos
1. Um financiamento de R$ 10.000 a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira 
após 30 dias do empréstimo e com uma taxa de juros de 2% ao mês terá o seguinte valor da prestação:
2. Quanto deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retorno 12 parcelas mensais de R$ 
1.800, sendo a primeira um mês após a aplicação e sabendo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês?
3. Quanto deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$ 100.000 daqui a 12 meses, no 
momento do depósito da última parcela, aplicando o dinheiro a uma taxa de 1,5% ao mês?
4. Quanto terá, ao final de 5 anos, uma pessoa que deposita no final de cada ano R$ 15.000 aplicados 
a uma taxa de 21% ao ano?
5. Qual o valor à vista de uma mercadoria vendida a prazo em 8 prestações mensais de R$ 160,00, 
sendo a primeira de entrada, sabendo que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês?
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Economia E administração
6. Que capital aplicado deverá ter uma pessoa que deseja uma renda mensal perpétua de R$ 2.000, 
sabendo-se a taxa de juros paga é de 1% ao mês?
6 finAnciAmento e SiStemAS de AmortizAção
Quando se contrai um empréstimo, ele pode ser pago de uma só vez, após um determinado prazo 
ou pode ser pago de forma parcelada. O primeiro já foi visto nos Módulos 1 e 2 (capitalizações simples 
e composta).
Amortização significa diminuição do capital principal que foi financiado.
Existem vários tipos de amortização e aqui serão estudados os dois tipos mais utilizados: o Sistema 
Price ou Sistema Francês de Amortização e o Sistema de Amortização Constante (SAC).
Tanto em um sistema como no outro, o valor da prestação é a soma da parcela de amortização com 
os juros do período.
Definições e nomenclatura:
SDj = saldo devedor no período
j = valor da dívida em um determinado instante
Jj = juros no período j
Aj = amortização no período j
Pj = prestação no período j
Em qualquer sistema de amortização, são válidas as seguintes fórmulas:
6.1 Sistema Price ou Sistema francês de Amortização (SfA)
Consiste em um sistema em que o valor da prestação é igual em qualquer período, sendo que a 
parcela correspondente à amortização cresce ao longo tempo e a parcela correspondente aos juros 
decresce ao longo tempo.
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Unidade II
Nesse sistema, o regime de capitalização é o de juros compostos e para o cálculo da prestação é 
utilizada a fórmula de parcelas postecipadas, vista no Módulo 5:
 
Exemplo:
Seja um financiamento de $ 1.000.000 a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a 
tomada do dinheiro) com amortização pelo Sistema Price e com taxa de juros de 15% ao ano:
Valor da prestação: $ 264.236,91
 
Para demonstrar a evolução de um financiamento no decorrer do seu prazo, é elaborada uma planilha 
em que constam o período, o saldo devedor, os juros, a amortização e a prestação.
Utilizando as fórmulas vistas no item 1, monta-se a seguinte “planilha do financiamento”:
Ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 1.000.000,00
1 885.763,09 150.000,00 114.236,91 264.236,91
2 754.390,64 132.864,46 131.372,45 264.236,91
3 603.312,33 113.158,60 151.078,31 264.236,91
4 429.572,27 90.496,85 173.740,06 264.236,91
5 229.771,20 64.435,84 199.801,07 264.236,91
6 - 34.465,68 229.771,20 264.236,91
 observação
- Os juros de um determinado ano são calculados sobre o saldo 
devedor do ano imediatamente anterior. Por exemplo, os juros de 
$ 113.158,60 do ano 3 é correspondente a 15% (taxa de juros) de 
$ 754.390,64 (saldo devedor do ano anterior, ou seja ano 2);
- O saldo devedor de um determinado ano é a diferença do saldo 
devedor do ano imediatamente anterior pela amortização do ano 
vigente (ano 2: $ 754.390,64 = $ 885.763,09 – $ 131.372,45)
- No último ano, o saldo devedor deveráser igual a zero.
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Economia E administração
Com período de carência
Existem empréstimos em que há um período de carência, ou seja, o pagamento da primeira prestação 
ocorrerá alguns períodos após a tomada do empréstimo. Geralmente, nesse tipo de empréstimo, os juros 
são capitalizados no período de carência.
Só é considerado período de carência se a primeira prestação ocorrer após dois ou mais períodos de 
capitalização da tomada do empréstimo.
Exemplo: seja um empréstimo de $ 250.000, com 4 meses de carência, a ser pago em 7 prestações 
bimestrais, com taxa de juros de 4,5% ao bimestre, Sistema Price e juros capitalizados e não pagos 
durante o período de carência.
No período de 0 a 2 bimestres (carência) serão capitalizados juros.
Para calcular a prestação deve-se calcular o saldo devedor no primeiro bimestre imediatamente 
anterior ao da primeira prestação (no caso, bimestre 1) e, então, colocar esse valor na fórmula de 
parcelas postecipadas.
O resultado $ 261.250 é o valor da dívida no bimestre 1.
Então, o valor da prestação fica:
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Unidade II
Planilha de amortização:
Bimestre Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 250.000,00
1 261.250,00 11.250,00
2 228.671,74 11.756,25 32.578,26 44.334,51
3 194.627,46 10.290,23 34.044,28 44.334,51
4 159.051,19 8.758,24 35.576,27 44.334,51
5 121.873,98 7.157,30 37.177,21 44.334,51
6 83.023,80 5.484,33 38.850,18 44.334,51
7 42.425,37 3.736,07 40.598,44 44.334,51
8 - 1.909,14 42.425,37 44.334,51
3. Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês
Nesse sistema, o valor da amortização é igual em qualquer período, variando as prestações e os 
juros. Nesse sistema tanto os juros como as prestações decrescem ao longo tempo.
O valor de cada amortização é a divisão do valor financiado pelo número de prestações.
Exemplo: seja um empréstimo de $ 1.000.000 a ser pago em seis prestações anuais (a primeira, um 
ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SAC e taxa de juros de 15% ao ano:
Para calcular o valor da amortização:
A tabela de amortização fica:
Ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 1.000.000,00
1 833.333,33 150.000,00 166.666,67 316.666,67
2 666.666,67 125.000,00 166.666,67 291.666,67
3 500.000,00 100.000,00 166.666,67 266.666,67
4 333.333,33 75.000,00 166.666,67 241.666,67
5 166.666,67 50.000,00 166.666,67 216.666,67
6 0,00 25.000,00 166.666,67 191.666,67
Exercícios resolvidos
1. Montar a planilha de um financiamento de $ 205.000, pelo Sistema Price, que deve ser amortizado 
em 12 prestações mensais, sem carência e com taxa de juros de 1,8% ao mês.
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Economia E administração
Mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 205.000,00 
1 189.542,59 3.690,00 15.457,41 19.147,41 
2 173.806,96 3.411,77 15.735,64 19.147,41 
3 157.788,08 3.128,53 16.018,88 19.147,41 
4 141.480,86 2.840,19 16.307,22 19.147,41 
5 124.880,11 2.546,66 16.600,75 19.147,41 
6 107.980,54 2.247,84 16.899,56 19.147,41 
7 90.776,79 1.943,65 17.203,76 19.147,41 
8 73.263,36 1.633,98 17.513,42 19.147,41 
9 55.434,70 1.318,74 17.828,66 19.147,41 
10 37.285,12 997,82 18.149,58 19.147,41 
11 18.808,85 671,13 18.476,27 19.147,41 
12 0,00 338,56 18.808,85 19.147,41 
2. Montar a planilha de um financiamento de $ 62.500 a ser amortizado em seis parcelas semestrais, 
com dois anos de carência e uma taxa nominal de juros de 36% ao ano, pelo sistema SAC.
Taxa efetiva de juros:
Semestre Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 62.500,00 
1 73.750,00 11.250,00 
2 87.025,00 13.275,00 
3 102.689,50 15.664,50 
4 85.574,58 18.484,11 17.114,92 35.599,03 
5 68.459,67 15.403,43 17.114,92 32.518,34 
6 51.344,75 12.322,74 17.114,92 29.437,66 
7 34.229,83 9.242,06 17.114,92 26.356,97 
8 17.114,92 6.161,37 17.114,92 23.276,29 
9 0,00 3.080,69 17.114,92 20.195,60 
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Unidade II
7 dePreciAção
Depreciação significa desvalorização.
Quando uma empresa adquire um ativo imobilizado (máquina, equipamentos, veículos, imóveis etc.), 
ele sofre um desgaste no decorrer do tempo e, consequentemente, uma desvalorização.
A depreciação real de um ativo desses, em um determinado período, é a diferença entre o seu valor 
de aquisição e o seu valor de revenda.
A legislação dos países permite que as empresas recuperem parte desse prejuízo, lançando no seu 
balanço, periodicamente, parte da depreciação como despesa, diminuindo a base de cálculo e o valor a 
ser pago do Imposto de Renda.
As empresas devem seguir as regras impostas pela legislação, tais como o método do cálculo da 
depreciação (a depreciação lançada não é a real, e sim a depreciação contábil ou teórica) e o prazo para 
a depreciação total de cada ativo (por exemplo: máquinas e equipamentos em 10 anos, imóveis em 20 
anos etc.).
Para o cálculo da depreciação teórica existem vários métodos. É permitida às empresas a escolha de 
um desses métodos.
Serão abordados neste módulo três métodos: o Linear, o de Cole e o Exponencial.
Definições e fórmulas comuns:
Para qualquer um dos métodos, as definições e as fórmulas a seguir são válidas:
Em que:
DPt = depreciação total nos período 1 a n
DPj = depreciação no período j
Em que:
VRn = valor residual após n períodos
VA = valor de aquisição
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Economia E administração
Por exemplo, seja um ativo adquirido por R$ 80.000 e depreciado em 3 anos por R$ 24.000. O seu 
valor residual, ao final do terceiro ano, é de R$ 56.000.
7.1 método Linear
No método linear, a depreciação por período é constante, portanto, a depreciação por período é 
calculada por:
Em que n é o número total de períodos para a depreciação total do ativo.
Exemplo:
Um veículo foi adquirido por uma empresa por R$ 50.000. Se para esse tipo de ativo é permitida uma 
depreciação total em 5 anos, qual o valor da depreciação por ano?
Montar uma tabela contendo o plano de depreciação.
Ano Depreciação Depreciação acumulada Valor residual
0 50.000
1 10.000 10.000 40.000
2 10.000 20.000 30.000
3 10.000 30.000 20.000
4 10.000 40.000 10.000
5 10.000 50.000 0
7.2 método de cole ou da Soma dos dígitos
No método de Cole, a depreciação por período decresce no decorrer do tempo, segundo a fórmula:
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Unidade II
Em que:
DPj = depreciação no período j
Frj = fração a depreciar
j = período da apuração da depreciação
n = total de períodos para a depreciação total do ativo
Exemplo:
Um equipamento foi adquirido por uma empresa por R$ 120.000. Se para esse tipo de ativo é 
permitida uma depreciação total em 10 anos, montar o plano de depreciação.
Ano Fração Depreciação Depreciação 
acumulada
Valor residual
0 120.000
1 10/55 21.818 21.818 98.182
2 9/55 19.636 41.455 78.545
3 8/55 17.455 58.909 61.091
4 7/55 15.273 74.182 45.818
5 6/55 13.091 87.273 32.727
6 5/55 10.909 98.182 21.818
7 4/55 8.727 106.909 13.0918 3/55 6.545 113.455 6.545
9 2/55 4.364 117.818 2.182
10 1/55 2.182 120.000 0
7.3 método exponencial
No Método Exponencial, a depreciação por período decresce no decorrer do tempo exponencialmente.
Nesse método, é impossível depreciar cem por cento do ativo, pela própria definição do método.
As fórmulas utilizadas são:
Em que:
VRj = valor residual no final do período j
td = taxa de depreciação
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j = número de períodos de depreciação
= depreciação acumulada até o período j
VA = valor de aquisição do ativo
Exemplo: uma empresa adota o método exponencial para o cálculo da depreciação dos seus 
ativos. Um ativo foi adquirido por R$ 70.000 e será depreciado em 5 anos a uma taxa de 25% ao 
ano. Montar o plano de depreciação.
Ano Depreciação Depreciação acumulada Valor residual
0 70.000
1 17.500 17.500 52.500
2 13.125 30.625 39.375
3 9.844 40.469 29.531
4 7.383 47.852 22.148
5 5.537 53.389 16.611
Exercícios resolvidos
1. Qual o valor residual de um ativo, após seis anos de depreciação linear, adquirido por R$ 75.000 e 
cujo prazo de depreciação total é de 10 anos?
2. Qual a depreciação no 15o ano de um imóvel, adquirido por R$ 1.400.000 e depreciável cem por 
cento em vinte anos, se o método utilizado for o da Soma dos Dígitos?
3. Qual o valor residual de um ativo, após oito anos de depreciação exponencial, a uma taxa de 18% 
ao ano, adquirido por R$ 200.000 e cujo prazo de depreciação total é de 10 anos?
8 AnáLiSe de inveStimentoS
A análise de investimentos se refere à tomada de decisão entre duas ou mais alternativas de 
investimento, sob o ponto de vista financeiro.
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Unidade II
Neste módulo são tratadas duas técnicas (métodos) para a análise. Para a utilização das duas técnicas 
são necessários a taxa mínima de atratividade e o fluxo de caixa projetado das alternativas de investimentos.
A taxa mínima de atratividade (tma) é uma taxa de juros que indica o mínimo de rendimento esperado 
pelo investidor para as alternativas analisadas. O seu valor varia de investidor para investidor e também 
para um determinado investidor, de acordo com os riscos envolvidos em cada tipo de alternativa. Quanto 
maior os riscos envolvidos, maior será o rendimento esperado.
O fluxo de caixa do investimento mostra os valores projetados de saída de caixa (investimento) e 
entrada de caixa (retorno). Portanto, todos os valores do fluxo de caixa se referem ao futuro. São uma 
estimativa do que se espera daquele projeto ou investimento.
Os riscos estão relacionados, além com os próprios fatores inerentes a cada investimento, como 
também ao tempo. Quanto maior o prazo do investimento, maior são os riscos devido à incerteza dos 
números projetados.
Os conceitos principais da análise de investimento são:
• não existe decisão com uma única alternativa;
• apenas as diferenças entre as alternativas são relevantes;
• os métodos de avaliação devem considerar o valor do dinheiro no tempo;
• todas as alternativas têm um prazo definido (não existe alternativa perpétua);
• as alternativas devem ter valores de investimento (saída de caixa) e valores de retorno (entrada de caixa).
8.1 fluxo de caixa
O fluxo de caixa é uma representação das entradas e das saídas de dinheiro ao longo do tempo, do 
ponto de vista do investidor.
Saídas de caixa são os valores investidos e são sempre negativos. As entradas de caixa são os valores 
retornados e são sempre positivos.
Os valores sempre se referem ao final do período.
Ele pode ser representado por uma tabela ou por um diagrama como mostrado a seguir:
Período Entradas Saídas
-1.500
1 -1.200
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Economia E administração
2 1.000
3 1.500
4 1.800
5 1.700
8.2 método do valor Presente Líquido (vPL)
Esse método consiste em transportar todos os valores do fluxo de caixa, por meio da taxa mínima de 
atratividade, até a data 0 (presente) e somá-los. O resultado é o VPL.
Se o valor do VPL for igual a zero, significa que os valores previstos do investimento renderão, caso 
ocorram como planejados, exatamente o mínimo que o investidor deseja. Se o valor for maior do que 
zero renderão acima do desejado e menor do que zero, abaixo do desejado.
A decisão é tomada para o investimento que apresentar o maior VPL desde que ele seja maior ou 
igual a zero.
Para a utilização desse método, todos os investimentos devem ter a mesma duração. Caso isso não 
ocorra, devem-se equalizar todos os fluxos de caixa, tornando-os com durações iguais, repetindo os 
investimentos tantas vezes até que a duração seja o mínimo múltiplo comum entre as durações originais.
Para o cálculo do VPL é utilizada a seguinte fórmula:
Em que:
FCj = valor do fluxo de caixa na data j
tma = taxa mínima de atratividade
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Unidade II
Por exemplo, considerando o fluxo de caixa do item 2 e uma tma de 15% ao período:
O resultado positivo significa que a previsão é que o investimento renderá acima dos 15% por 
período esperado.
8.3 método da taxa interna de retorno (tir)
Esse método consiste em encontrar a taxa de juros que faz o VPL do fluxo de caixa se igualar a zero. 
Se essa taxa (TIR) for igual à tma significa que a previsão é que o investimento renderá exatamente o 
esperado.
O investimento será atrativo se a TIR for maior ou igual à tma e adota-se o investimento que 
apresentar a maior TIR.
Não há uma fórmula direta para o cálculo da TIR. Pode-se recorrer às planilhas eletrônicas (MS-
Excel, BrOffice.org Calc) ou às calculadoras financeiras, que possuem funções para o cálculo da TIR.
Caso não seja possível o acesso a um desses recursos, utilizam-se métodos numéricos, como método 
iterativo ou um método gráfico por aproximação.
Utilizando o fluxo de caixa do item 2, monta-se a seguinte fórmula:
A questão é encontrar a taxa i que faz VPL = 0.
Utilizando um método iterativo, deve-se adotar um valor inicial para i. Um ponto de partida pode 
ser a tma.
Para uma tma de 15% por período, VPL = 1.073,30 já calculado no item 3.
Como esse valor é positivo, aumenta-se o valor de taxa para diminuir o VPL.
Adotando 20% por período, VPL = 613,74.
Como esse valor ainda é positivo, aumenta-se novamente o valor da taxa.
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Economia E administração
Adotando 30% por período, VPL = -60,52. Como esse valor é negativo, a TIR está entre 20% e 30% 
por período.
A próxima taxa é a média aritmética dessas duas últimas: 25%. VPL = 242,34.
A TIR está entre 25% e 30% (sempre entre os dois últimos VPLs de sinais opostos).
Próxima taxa: média de 25% e 30%, 27,5%. VPL = 83,35.
A TIR está entre 27,5% e 30%.
Próxima taxa: média de 27,5% e 30%, 28,75%. VPL = 9,63.
E assim sucessivamente até se obter o valor com o erro máximo, considerando o valor de VPL o mais 
próximo de zero.
A TIR, nesse caso, é de 28,92% por período. Como é maior que a tma, o investimento é atrativo.
 Exercícios resolvidos
1. Um investidor comprou um apartamento por $ 180.000. Ele gastou nas reformas: $ 15.000 no 
primeiro mês, $ 12.000 no segundo mês, $ 12.000 no terceiro mês, $ 10.000no quarto mês e $ 9.000 no 
quinto mês e vendeu o apartamento no sétimo mês por $ 330.000. Usando o método do VPL, verificar 
se esse investimento é atrativo para uma taxa mínima de atratividade de 42,6% ao ano.
Fluxo de caixa:
Como o período é mensal, deve-se utilizar a taxa equivalente ao mês:
Portanto, o investimento é atrativo (VPL > 0).
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Unidade II
2. Utilizar os métodos do VPL e da TIR para analisar qual dos investimentos a seguir, representados 
pelos seus fluxos de caixa, é o mais atrativo para uma tma de 25% ao ano.
Ano Invest1 Invest2
0 -3.000 -5.000
1 2.500 2.000
2 2.500 3.000
3 3.000 8.000
4 3.500 10.000
5 3.400 10.000
Utilizando as fórmulas e os métodos apresentados, obtêm-se os seguintes valores:
Invest1: VPL1 = 4.684 e TIR1 = 85,3% a.a.
Invest2: VPL2 = 9.989 e TIR2 = 78,6% a.a.
Pelo método do VPL, Invest2 é mais atrativo que Invest1 e pelo método da TIR, Invest1 é mais 
atrativo que Invest2.
Qual a decisão a ser tomada?
A análise isolada em cada método leva a decisões diferentes.
Se forem adotados os dois métodos e se houver uma divergência no resultado entre eles, prevalece 
o resultado encontrado pelo método do VPL.
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REFERênCIAS
SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática Financeira Aplicada. 1. ed. São Paulo: Editora Atlas. 
2005.
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Editora Atlas. 2002.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2004.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 10. ed. São Paulo: Editora Atlas, 2008.
EHRLICH, Pierre Jacques; MORAES, Edmilson Alves de. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de 
projetos de investimento. São Paulo: Editora Atlas, 2009.
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000