Matematica Financeira - ACA226 140817

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Matemática Financeira – ACA226 
 
 
Objetivos: 
 
Geral: Apresentar os conceitos básicos de matemática financeira. 
Especificos: Desenvolver o pensamento analítico envolvendo as questões de tempo e 
valor do dinheiro; Apresentar ferramentas de análise para as decisões de investimento 
das empresas. 
 
Ementa 
 
Juros, Taxa de Juros, Série Uniforme, Equivalência de Fluxos de Caixa e Planos de 
Financiamento, Desconto de Fluxo de Caixa, Fluxo de Caixa e Inflação, Racionamento de 
Capital, Medidas de Valor de Investimento. 
 
Referencias Bibliográficas 
 
• Sullivan, W.G., Bondatelli, J., Wicks, E.M., 2000, Engineering Economy, Prentice Hall. 
• Ayres Jr., F., Matemática Financeira. Coleção Schaum. 
 
 
 
Bibliografia Adicional: 
• Milton Juer: Matemática Financeira Aplicada ao Mercado de Capitais 
• Cezar das Neves: Análise de Investimentos 
• Geraldo Hess: Engenharia Econômica 
• Stephen A. Ross, Randolph W. Westerfield, Bradford D. Jordan, Fundamentals of 
Corporate Finance, Irwin, 1991 
 
2 
Conteúdo 
Terminologia 3 
O valor do dinheiro no tempo 4 
Juros 4 
Juros Compostos 5 
Inflação e Retorno 7 
Exercícios sobre Juros Simples 9 
Exercícios sobre Juros Compostos 16 
Prestações - Série Uniforme 20 
Sistemas de Amortização 30 
Sistema Francês de Amortização 30 
SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO (SAA) 33 
Debêntures 35 
Exercícios diversos 37 
Exercícios Extras 38 
Tabelas: 43 
Valor Futuro em Função do Valor Presente 43 
Valor Presente em função de Valor Futuro 44 
Valor Presente em função de Prestações 45 
Valor Futuro em função de Prestações 46 
Fórmulas: 47 
Soluções 48 
 
 
3 
 
Terminologia 
 
Juros Simples: Juros decorrentes do investimento do principal pelo mesmo 
período a que a taxa de juros se refere; 
 
Juros Compostos: Juros decorrentes do investimento do principal e 
reinvestimento dos juros por vários períodos consecutivos. 
Também chamados de juros capitalizados. 
 
Principal: Valor Inicial Investido ou Valor Presente (VP) do 
Investimento ou Valor Atual do Investimento; 
 
Montante: É o principal acrescido dos juros recebidos por sua aplicação, 
ou Valor Futuro (VF) do investimento; 
 
Valor de Face, Valor ao Par, ou Valor Final: Valor escrito sobre o título e que 
determina o valor da dívida, na data em que foi contraída ou, 
caso esse título seja descontado, o valor do título levado a 
desconto (também se pode chamar de valor nominal). 
 
Termo: Data de pagamento ou resgate. 
 
Desconto Comercial, por fora ou Bancário: Valor de Face x % de desconto ou de juros 
 
Desconto racional, ou por dentro: Valor de face descontado de tal modo que o valor 
recebido seja idêntico àquele que se encontraria caso se 
considerasse o valor de face como se fora o Valor Futuro 
(então o valor recebido seria o Valor Presente). 
 
Taxa Nominal: Taxa de juros por um determinado período, sendo que a 
capitalização se dá em períodos maiores ou menores. 
 Ex.: 12% a.a., capitalizado mensalmente, 6% a.s., capitalizado 
trimestralmente; 
 
Taxa Efetiva: Taxa de juros em que o período de capitalização coincide com 
o da taxa. 
 Ex.: 1% a.m. (capitalizado mensalmente), 6% a.s. (capitalizado 
semestralmente), 12% a.a. (capitalizado anualmente); 
 Juros Efetivos = [1 + Juro Nominal/m]m - 1 
 onde m = quantidade de vezes em que o juros é capitalizado. 
 
Taxa Equivalente: Taxa de juros em que o período de capitalização coincide com 
o da taxa. 
 Ex.: 1% a.m. (capitalizado mensalmente), 6,15% a.s. 
(capitalizado semestralmente) = 12,68% a.a. (capitalizado 
anualmente) 
4 
 
Inflação: Variação do poder de compra do dinheiro ao longo do tempo 
 
Retorno Nominal: Retorno de um investimento não descontado ou ajustado à 
taxa de inflação, ou tributação 
 
Retorno Real: Retorno normalmente ajustado dos efeitos da inflação e/ou 
da tributação 
 
 
O valor do dinheiro no tempo 
 
Num ambiente sem inflação e sem incertezas haveria indiferença entre o acesso a uma 
soma de dinheiro hoje e o acesso à mesma quantia num momento futuro? 
Mesmo numa situação sem inflação e sem incertezas, o valor do dinheiro no tempo 
varia, pois a utilidade do dinheiro agora é maior do que a no futuro. 
Pensemos por exemplo que um individuo quer comprar uma casa, e que, sem inflação, 
ele sempre possa compra-la por R$100.000,00. O que ele preferiria, compra-la agora ou 
compra-la daqui a 10 anos? Se ele a compra agora, ele tem aonde morar, sem pagar 
aluguel. Assim, os mesmos R$100.000,00 valem mais para ele agora do que daqui a 10 
anos. 
 
Juros 
 
Juros indicam a remuneração exigida pelo proprietário de recursos para adiar a 
possibilidade de seu consumo imediato, emprestando ou alugando os seus recursos 
financeiros para terceiros, bem como o pagamento que se faz para podermos utilizar 
recursos agora, recursos esses que, se não pegarmos emprestado, só teremos acesso no 
futuro. 
Num mundo com inflação e com incertezas, a relação apropriada de troca entre o acesso 
ao consumo imediato e a postergação deste consumo incluirá também valores adicionais 
para cobrir a expectativa de inflação e os riscos inerentes. 
O valor do dinheiro varia, portanto, no tempo. Valores Monetários de épocas diferentes 
não são diretamente comparáveis entre si. 
 
Por exemplo R$1.000,00 de Março de 2013 não é diretamente comparável com R$1.000,00 
de Março de 2014. 
 
Quando deixamos dinheiro por vários períodos, por exemplo $100 por 2 anos a 10% a.a., 
chegamos a $121. 
Final do Primeiro Ano: 100 + 10% de 100 = 110 
Final do Segundo Ano: 110 + 10% de 110 = 121 
 
Ou, 100 + 10% de 100 + 10% de (100 + 10% de 100) = 121 
 
Para podermos comparar valores de datas diferentes precisamos, portanto, trazê-los 
para uma mesma base temporal. 
5 
 
O Valor Futuro (VF) do dinheiro pode ser representado pela equação abaixo, básica para 
a maioria dos cálculos necessários à Matemática Financeira. 
 
VF = VP x (1 + i)n (para juros compostos) 
 
onde: 
 
VF = Valor Futuro 
VP = Valor Presente 
i = Taxa de Juros para um período, representativa do aluguel de um determinado valor 
presente (principal) durante um período determinado 
n = número de períodos 
 
Inicialmente consideraremos o período simples, em que a taxa é relativa a todo o 
período, introduzindo assim o conceito de juros simples, onde os juros não são 
reinvestidos. 
 
VF = VP x (1 + i) ou VF = VP x (1 + ni) 
 
onde: 
 
VF = Valor Futuro; 
VP = Valor Presente; 
i = Taxa de Juros para o período; 
n = quantidade de períodos 
 
Ex. 1: Qual o valor futuro (VF) de um investimento de R$1.000,00 feito hoje (VP), por um 
período de três meses, a uma taxa de juros de 45% para os três meses? 
 
VF = VP (1 + i) 
VF = 1.000 (1 + 0,45) 
VF = 1.450 
 
Neste exemplo o período especificado foi de 3 meses e a taxa de juros especificada 
referia-se ao total do período, incidindo sobre o investimento inicial. 
 
Não houve incidência de juros sobre juros. Neste caso estes juros são 
denominados de juros simples. 
 
Juros Compostos 
 
Existem situações em que são estabelecidos juros por período, que são acumulados 
(incidindo juros sobre juros) por diversos períodos. 
Por exemplo: 
Quando aplicamos dinheiro por vários períodos, por exemplo 100 por 2 anos a 10% a.a., 
chegamos a 121. 
6 
 
100 + 10% de 100 = 110 
110 + 10% de 110 = 121 
ou 
100 + 10% de (100) + 10% de (100 + 10% de 100) = 121 
 
Os últimos 1 (ou 10% de 10% de 100) são juros de juros (juros compostos). 
 
Os juros acumulados por mais de um período, (incidindo portanto juros sobre 
juros) são chamados de juros compostos. 
 
Nestes casos a fórmula de valor futuro é expressa da seguinte maneira: 
 
VF = VP x (1 + i) x (1 + i) x ........................ x (1 + i) 
 | no de períodos de reinvestimento| 
 ---------------------------------------------- 
 
ou 
 
VF = VP x (1 + i)n 
 
onde: 
VF = Valor Futuro 
VP = Valor Presente 
i = Taxa de Juros para o período, representativa do valor do dinheiro no tempo; 
n = numero de períodos 
 
Valor Futuro de $1 
 ^ 
 | . . . . . . . . . . 20% 
 6 | . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . .. . 
 5 | . . . . . . . . .. . 
 | . . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . .. . . 
 | . . . . . . . .. . . 
 4 | . . . . . . . . . . . 15% 
 | . . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . . . 
 3 | . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . . . 10% 
 | . . . . . . . . . . . . . 
 2 | . . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . 
 1 |.............................................................. 0 % 
 | . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . 
 | . . . . . . . . . . 
 ------.-----.-----.-----.-----.-----.-----.-----.-----.-----.---> 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 Tempo (anos) 
 
 
Podemos também inverter a fórmula: 
 
 
7 
 1 
VP = VF -------- 
 (1 + i)n 
 
Dados 3 elementos quaisquer podemos calcular o 4º. 
As contas podem ser feitas de diversas maneiras, de frente para traz, período a período, 
direto, etc., que as contas vão sempre dar o mesmo. 
Valores Presentes e Taxas de Desconto se movem em direções inversas: quando aumenta 
a taxa diminui o valor presente. 
 
Ex. 2: Qual o valor futuro (VF) de um investimento de R$1.000,00 feito hoje (VP), por um 
período de três meses, a uma taxa de juros de 15% por mês? 
 
VF = VP (1 + i)n 
VF = 1.000 (1 + 0,15)3 
VF = 1.420,88 
 
ou, (alt. 2) fazendo mês a mês: 
 
Valor futuro no final do 1o mês: 
VF = 1.000,00 (1 + 0,15) = 1.150,00 
 
Valor futuro no final do 2o mês: 
VF = 1.150,00 (1 + 0,15) = 1.322,50 
 
Valor futuro no final do 3o mês: 
VF = 1.322,50 (1 + 0,15) = 1.520,88 
 
ou, (alt. 3) consultando as tabelas: 
VF = 1.000,00 x 1,5209 = 1.520,90 
 
Note-se que o VF de R$1.000,00, investido por três meses com juros compostos de 15% 
ao mês é R$1.520,88 enquanto que o valor futuro de R$1.000,00 investido por três meses 
a uma taxa para os três meses de 45% é R$1.450,00. 
 
Juros de 45% por três meses é diferente de juros compostos de 15% ao mês. 
 
Juros compostos de 15% ao mês resultam em juros totais para os três meses de: 
( 1,15 x 1,15 x 1,15 ) - 1 = 1,52088 - 1 = 0,52088 = 52,088% 
 
Inflação e Retorno 
 
O retorno de um investimento normalmente embute uma parcela de crescimento do 
valor nominal investido correspondente à inflação, que é a perda do valor de compra do 
dinheiro ao longo do tempo, ocasionada por um desequilíbrio nas finanças de um país. 
Podemos então decompor a taxa obtida em duas parcelas: a inflação e a rentabilidade 
(juros) obtida: 
8 
 
(1 + iN) = (1 + iR)(1 + iI) 
iN = iR + iI + iRiI 
 
e, quando a inflação é baixa, 
 
iN ≅ iR + iI 
 
onde: 
iN = Taxa Nominal 
iR = Taxa de Juros Real 
iI = Taxa de inflação 
 
9 
Exercícios sobre Juros Simples 
 
1) Um investidor aplica R$1.000 a uma taxa de juros simples de 4% a.m. durante um mês 
e meio. Quais os juros obtidos? 
 
2) Qual o montante obtido por um investidor ao final dessa aplicação? 
 
3) Um investidor aplica uma certa quantia à taxa de juros simples de 4% a.m. durante 4 
meses e 20 dias, obtendo ao final desse período o resgate total de R$1.500,00. Qual o 
valor do rendimento (juros) auferido nessa aplicação? 
 
4) Qual o valor dos juros simples exatos, contados dia a dia, decorrentes da aplicação de 
R$3.800, à taxa de 60% a.a., no período de 02 de Janeiro de 2013 a 27 de Maio de 2013? 
 
5) Em juros simples, qual é a taxa quadrimestral proporcional à taxa semestral de 18% ? 
 
6) Um negociante precisa pagar duas promissórias: uma, de R$50.000,00 daqui a três 
meses, e outra de R$120.000,00 daqui a seis meses. Para tanto, decide aplicar hoje uma 
quantia tal que lhe permita retirar aqueles montantes nas épocas devidas, sem deixar 
saldo por ocasião da última retirada. Sabendo-se que a aplicação será remunerada a 
juros simples de 48% a.a., qual a importância a ser aplicada hoje? 
 
7) Um investidor aplica um capital, a juros simples, que no fim de 3 meses resulta no 
montante de R$18.180,00. Este montante é então reaplicado à mesma taxa de juros 
simples, por mais 6 meses, findo os quais o investidor resgata um total de R$21.452,40. 
Pede-se: a) Taxa de juros trimestral da aplicação? 
 b) Capital inicial aplicado? 
 
8) Determinada mercadoria é oferecida por uma loja ao preço de R$150.000,00 à vista ou 
então com 20% de entrada e mais um pagamento adicional de R$136.200,00 ao final de 
45 dias. Qual a taxa de juros cobrada pela loja, expressa em termos lineares mensais? 
 
9) Para fornecer matéria prima a uma industria, o fornecedor cobra 20% à vista, 40% em 
60 dias e os restantes 40% em 120 dias. Sabendo-se que os juros reais do período são 
proporcionais a 0,6% ao dia, qual será o valor equivalente desta dívida, no instante 
inicial ? 
 
10) Um titulo, faltando oito meses para seu vencimento, foi descontado em um banco a 
uma taxa de 12% a.a.. Sabendo-se que o valor do desconto obtido foi de R$3.200,00, 
pergunta-se: Qual o valor atual do titulo? 
 
11) Uma Nota Promissória datada de 1o de Julho e com Valor de Face (valor da dívida 
na data em que foi contraída) de 1.200 unidade monetárias, cujo Termo é de 120 dias 
(deve ser paga daí a 120 dias, ou seja, a 1o de Novembro), com juros simples de 5%a.m., 
foi descontada (paga antes da data limite), em 6 de Setembro em um banco para o qual a 
taxa corrente de juros simples é de 5,5% a.m. e que cobra 0,25% de taxa de expediente 
10 
sobre o valor nominal (importância a ser paga, declarada na Nota, ao final do Termo) ao 
mês. Qual o valor descontado? 
 
12) Um titulo de Valor Nominal de R$100.000,00 é descontado 55 dias antes de seu 
vencimento, à taxa de juros simples de 3% a.m.. 
Pergunta-se: 
a) Qual o valor do desconto racional (ou por dentro ou verdadeiro)? 
b) Qual o valor do desconto comercial (ou por fora ou bancário)? 
c) Qual o valor atual do título (valor pelo qual o titulo foi liquidado) nos dois casos? 
 
13) Um comerciante tem os seguintes compromissos para pagar: 
. 10.000 U.M. com vencimento em 8 meses; 
. 20.000 U.M. com vencimento em 1 ano; 
. 5.000 U.M. com vencimento em 4 meses; 
Esse comerciante consegue, na data de hoje, alterar o pagamento desses compromissos 
para: 
a) 4.000 U.M. em 5 meses; 
b) 8.000 U.M. ao final de 3 trimestres; 
c) restante em dois pagamentos de valores iguais, sendo o 1o. no final de 240 dias e o 2o. 
no final de 2semestres. 
Pergunta-se: Qual o valor desses dois pagamentos iguais, considerando-se uma taxa de 
juros simples de 36% a.a. 
11 
1) Solução: 
Juros = VF - VP imensal = 4% a.m. 
VF = VP (1 + i) i45 dias = 4% * 1,5 = 6% 
VF - VP = VP (1 + i) - VP 
Juros = VP + VP x i - VP 
 = VP x i 
 = 1.000 x 6% 
 = 60 
 
HP = On, 1000, enter, 4, %, 1.5, x; 
 
2) Solução: 
VF = VP (1 + i) imensal = 4% a.m. 
VF = 1.000 x (1 + 6%) i45 dias = 4% * 1,5 = 6% 
 = 1.060 
 
HP = On, f, fin, 1000, pv, 4, enter, 1.5, x, i, 1, n, fv; 
 
3) Solução: 
 
Juros = VF - VP imensal = 4% a.m. 
VF = VP (1 + i) i140 dias= 4% * 140/30= 18,66% 
VP = VF / (1 + i) 
Juros = VF - VF / (1 + i) 
 = VF (1 + i) / (1 + i) - VF / (1 + i) 
 = (VF + VF x i - VF)/ (1 + i) 
 = VF x i / (1 + i) 
 = 1.500 x 18,66% / (1+ 18,66%) 
 = 235,88 
 
4) Solução: 
Uma vez que se pediu juros exatos, é uma aplicação segundo o 
calendário civil. Consideramos apenas ou o dia da aplicação ou o 
dia do resgate como dias de rendimentos. 
 
Calculo do numero de dias: 
Janeiro 29 dias (31 dias - dia 1 e o dia da aplicação) 
Fevereiro 28 dias 
Março 31 
Abril 30 dias 
Maio 27 dias 
 --- 
 145 
 
Juros = VF - VP ianual = 60% a.a. 
VF = VP (1 + i) i145 dias =60%*145/365= 23,84% 
VF - VP = VP (1 + i) - VP 
Juros = VP + VP x i - VP 
 = VP x i 
12 
 = 3.800 x 23,84% 
 = 905,92 
 
Obs.: Se a aplicação fosse referida ao calendário comercial, os 
meses seriam, todos, de 30 dias e o ano de 360 dias. 
 
5) Solução: 
isemestral = 18% a.s. 
iquadrimestral = 18% * 4 meses / 6 meses = 12% 
 
6) Solução: 
Teremos que separar o problema em duas partes, cada uma delas 
correspondendo a uma retirada. 
 
 ^ 50 ^ 120 
 | | 
 |-------|-------|-------|-------|-------|-------| 
 0 1 2 3 4 5 6 
 
Retirada daqui a 3 meses: 
 
VF = VP (1 + i) ianual = 48% a.a. 
VP = VF / (1 + i) itrimestral = 48%*3/12 = 12% 
VP = 50.000 / (1 + 12%) 
VP = 44.642,86 
 
Retirada daqui a 6 meses: 
 
VF = VP (1 + i) ianual = 48% a.a. 
VP = VF / (1 + i) isemestral = 48%*6/12 = 24% 
VP = 120.000 / (1 + 24%) 
VP = 96.774,19 
 
Total: 44.642,86 + 96.774,19 = 141.417,05 
 
7) Solução: 
Primeiramente calculamos a taxa de juros (i), com base no período 
de 6 meses, no qual sabemos os valores aplicados e de resgate: 
 
 21.452,4O 
 ^ 
 | 
 |-------|-------|-------|-------|-------|-------| 
 | 1 2 3 4 5 6 
 v 
 18.18O,OO 
 
VF = VP (1 + i) 
1 + i = VF/VP 
i = VF / VP - 1 
13 
 = 21.452,40 / 18.180,00 - 1 
 = 18% a. s. 
 
a) Taxa de juros trimestral da aplicação: 
 
isemestral = 18% a.s. 
itrimestral= 18% / 2 = 9% a.t. 
 
b) Capital inicial aplicado 
 
VF = VP (1 + i) 
VP = VF / (1 + i) 
VP = 18.180,00 / (1 + 9%) 
VP = 16.678,90 
 
8) Solução: 
As opções apresentadas pela loja é receber 150 mil agora ou então 
receber apenas 30 mil agora e outros 136,2 mil passados 45 dias. 
Logo, ela financia na realidade somente 120 mil. 
 
VF = VP (1 + i) i45 dias = 13,5% 
1 + i = VF/VP imensal = 13,5 / 1,5 = 9%a.m. 
i = VF / VP - 1 
 = 136.200,00 / 120.000,00 - 1 
 = 13,5% 45 dias 
iMENSAL = O,135 * 3O / 45 = O,O9 = 9% a.m. 
 
9) Solução: 
Temos 3 parcelas, vamos calcular o Valor Presente de cada uma 
delas. 
 
VF = VP (1 + i) idiário = 0,6% a.a. 
VP = VF / (1 + i) i0 dias = 0,6% * 0 = 0% 
 i60 dias = 0,6% * 60 = 36% 
 i120 dias = 0,6% * 120 = 72% 
 
VP0 = 20% / (1 + 0%) = 20,00% 
VP60 = 40% / (1 + 36%) = 29,41% 
VP120 = 40% / (1 + 72%) = 23,25% 
 ----- 
 72,66% 
 
10) Solução: 
Há que se saber que um título com Valor de Face "100", ao ser 
descontado, acarreta o recebimento de um valor menor ao do 
título, sendo a diferença justamente o "Custo do Desconto". 
Desta forma um Titulo que valha "100" no vencimento, se só puder 
ser descontado a 2O%, vale, na realidade, apenas "80". O fato de 
14 
se descontar "comercialmente" esse título a 2O% equivale a se 
contrair um empréstimo, pelo mesmo prazo, de "8O" a uma taxa de 
juros real de 25%, quando serão pagos, ao final do período, os 
já mencionados "1OO". 
 
Desconto - > Titulo de 100 (no vencimento), descontado 20%, vale 
hoje 80 (taxa de juros = 25%). 
 
ianual = 12 a.a. 
i8 meses = 12% / 12 * 8 = 8% 
 
Desconto = Valor do Titulo x Percentual de desconto 
 
Valor do Titulo = Desconto / Percentual de desconto 
Valor do Titulo = 3.200 / 8% = 
 = 40.000 
 
Valor atual = Valor do titulo - Desconto 
 = 40.000 - 3.200 = 36.800,00 
 
11) Solução: 
a) Numero de dias entre a data do desconto e a data de 
vencimento: 06.09 e 01.11 ou seja 56 dias 
b) Valor Nominal: Valor de Face + Juros 
VF = VP (1 + i) imensal = 5,0 a.m. 
 = 1.200 x (1 + 20%) i4meses = 5,0 x 4 = 20,0% 
 = 1.440 
c) Valor pago pelo Banco: 
Juros imensal = 5,5% 
 i56 dias = 5,5%x56/30= 10,27% 
 
Taxa de expediente dmensal = 0,25% 
VP = VF / (1 + i) d56 dias = 0,25%x56/30= 0,47% 
 
Total = Juros + Taxa de Expediente = 10,27% + 0,47% = 10,74 
 
1.440,00 x (1 - 10,74%) = 1.285,34 
 
12) Solução: 
a) Juros = VF - VP imensal = 3% a.m. 
VF = VP (1 + i) i55 dias =3%*55/30= 5,5% 
VF = 100.000,00 
VP = VF / (1 + i) 
 = 100.000,00 / (1 + 5,5%) 
 = 94.786,73 
Juros = 100.000,00 - 94.786,73 = 5.213,27 
 
b) Juros = VF x i = 100.000,00 x 5,5% = 5.500,00 
 
15 
c) 94.786,73 e 94.500,00 
 
13) Solução: 
VF = VP (1 + i) ianual = 36% a.a. 
VP = VF / (1 + i) i8 meses = 36% * 8 / 12 = 24% 
 ianual = 36% 
 i4 meses = 36% * 4 / 12 = 12% 
 
VP8 = 10.000 / (1 + 24%) = 8.064,52 
VPa = 20.000 / (1 + 36%) = 14.705,88 
VP4 = 5.000 / (1 + 12%) = 4.464,29 
 --------- 
 27.234,69 
 
VF = VP (1 + i) i5 meses = 36% x 5 / 12 = 15% 
VP = VF / (1 + i) i9 meses = 36% * 9 / 12 = 27% 
 ianual = 36% 
 i4 meses = 36% * 4 / 12 = 12% 
 
VP5 = 4.000 / (1 + 15%) = 3.478,26 
VP9 = 8.000 / (1 + 27%) = 6.299,21 
VP8 = Vd / (1 + 24%) = Vd / (1 + 24%) 
VPa = Vd / (1 + 36%) = Vd / (1 + 36%) 
 --------- 
 27.234,69 
 
Vd / (1,24) + Vd / (1,36) = 27.234,69 - 3.478,26 - 6.299,21 
Vd / (1,24) + Vd / (1,36) = 17.457,22 
1,36 Vd + 1,24 Vd = 1,36 x 1,24 x 17.457,22 
2,6 Vd = 29.439,86 
Vd = 11.323,02 
16 
Exercícios sobre Juros Compostos 
 
1) Calcular o valor do resgate, no fim de 10 meses, de uma aplicação de R$1.000,00 feita à 
taxa de juros compostos de 3% a.m. 
 
2) Calcular o valor de emissão de um titulo que, no final de 8 meses, sob juros compostos 
de 2,5% a.m., tem o resgate de R$5.000,00. 
 
3) Calcular o montante resultante de uma aplicação de R$1.000,00 sob taxa de juros 
compostos de 5% a.m., durante 8 anos. 
 
4) Uma aplicação de R$5.000 durante três meses, a juros compostos, gerou um montante 
de R$7.024,64. Qual a taxa de juros adotada? 
 
5) Uma pessoa tem uma dívida que pode ser paga ou à vista, no valor de R$12.312,00, ou 
à prazo, em duas parcelas iguais de R$6.840,00 cada uma, vencendo a 1a. na mesma data 
do pagamento à vista e a 2a. trinta dias depois. Sabendo-se que a taxa de juros de 
mercado é de 18% a.m., qual seria a opção mais vantajosa para essa pessoa? 
 
6) Qual o montante, a valor corrigido para o instante 6, resultante do seguinte fluxo de 
caixa, a juros compostos de 10% ao período:50.000 60.000 40.000 
 ^ ^ ^ 
 | | | 6 
---------------------------------------------------------> 
0 1 2 3 4 5 | 
 | 
 v 
17 
1) Solução: 
Valor da Aplicação = VP = 1.000,00 
Valor do Resgate = VF = ? 
i = 3% a.m. (juros compostos) 
n = 10 meses 
 
VF = VP (1 + i)n 
 = 1.000,00 (1 + 3%)10 
 = 1.000,00 x 1,34392 
 = 1.343,92 
 
O fator 1,34392 pode ser obtido através de maquina de calcular 
que tenha função yx ou pelas tabelas de calculo do Valor Futuro 
com base no valor presente, na taxa de juros compostos e no 
numero de períodos. 
 
2) Solução: 
Valor de emissão = VP = ? 
Valor do Resgate = VF = 5.000,00 
i = 2,5% a.m. (juros compostos) 
n = 8 meses 
 
VF = VP (1 + i)n 
VP = VF / (1 + i)n = VF (1 + i)-n 
 = 5.000,00 / (1 + 2,5%)8 = 5.000,00 (1 + 2,5%)-8 
 = 5.000,00 / 1,21840 = 5.000,00 x 0,82075 
 = 4.103,73 
 
Os fatores 0,82075 e 1,21840 podem ser obtidos através de maquina 
de calcular que tenha função yx ou pelas tabelas de calculo do 
Valor Presente com base no Valor Futuro e cálculo do Valor Futuro 
com base no Valor Presente, respectivamente, e na taxa de juros 
compostos e no numero de períodos. 
Podemos fazer interpolações no caso dos juros e podemos 
particionar os períodos em diversos pedaços (a(x + y) = ax.ay) 
Note-se que um é o inverso do outro. 
 
3) Solução: 
Valor aplicado = VP = 1.000,00 
Montante resultante = VF = ? 
i = 5% a.m. (juros compostos) 
n = 8 anos = 8 x 12 meses = 96 meses 
 
VF = VP (1 + i)n 
 = 1.000,00 (1 + 5%)96 
 = 1.000,00 x 108,18641 = 108.186,41 
 
18 
Obs.: Consultando tabelas podemos ter problemas do tipo não 
existe dados para determinado valor de juros ou a tabela não 
abrange o numero de períodos que queremos. 
Podemos fazer interpolações no caso dos juros e podemos 
particionar os períodos em diversos pedaços (a(x + y) = ax.ay) 
 
4) Solução: 
Valor aplicado = VP = 5.000,00 
Montante resultante = VF = 7.024,64 
i = ?% a.m. (juros compostos) 
n = 3 meses 
 
VF = VP (1 + i)n 
(1 + i)n = VF/VP 
1 + i = (VF/VP)1/n 
i = (VF/VP)1/n - 1 
 = (7.024,64/5.000,00)1/3 - 1 
 = (1,40493)1/3 - 1 
 = 1,12 - 1 
 = 0,12 = 12% 
 
Podemos também tentar achar nas tabelas, ou seja, tentar achar um 
fator próximo de 1,404, para n = 3, nas tabelas em que, dado o 
valor presente, se quer calcular o valor futuro. 
 
5) Solução: 
Para este tipo de problema temos que calcular o fluxo 
diferencial, ou seja, a pessoa deixa de pagar 12.312, pagando 
apenas 6.840 inicialmente (desembolsa a menos 12.312 - 6.840 = 
5.472) mas por isto vai ter de pagar 6.840 no final de um mês) 
 
VF = VP (1 + i)n 
(1 + i)n = VF/VP 
1 + i = (VF/VP)1/n 
i = (VF/VP)1/n - 1 
 = (6.840,00/5.472,00)1/1 - 1 
 = (1,25)1/1 - 1 
 = 1,25 - 1 
 = 0,25 = 25% 
Ou seja, os juros pedidos são maiores do que 18%, não valendo a 
pena, pois. 
 
6) Solução: 
 
 50.000 60.000 40.000 
 ^ ^ ^ 
 | | | 6 
---------------------------------------------------------> 
0 1 2 3 4 5 | 
 v 
19 
 
VF = VP (1 + i)n 
VF6 = VF3>6 + VF4>6 + VF5>6 
 
VF6 = 50000 (1 + 10%)3 + 60000 (1 + 10%)2 + 40000 (1 + 10%)1 
VF6 = 66.550,00 + 72.600,00 + 44.000,00 
VF6 = 183.150,00 
20 
Prestações - Série Uniforme 
 
Em alguns casos temos fluxos de caixa em que uma determinada quantia constante é 
recebida ou paga em iguais intervalos de tempo. A esse tipo de fluxo denomina-se "série 
uniforme de pagamentos" 
 O 1 2 N-1 N 
 |------|------|---......---|------|- 
 | | | | 
 v v v v 
 PMT PMT PMT PMT 
 
Podemos querer saber qual o Valor Presente (VP) que corresponde a esse fluxo uniforme 
de pagamentos ou de recebimentos ou qual o Valor Futuro (VF) correspondente também 
a essa série uniforme de recebimentos ou pagamentos. 
Vamos calcular inicialmente o valor presente: 
 
 PMT PMT PMT PMT 
VP = -------- + -------- + -------- + ... + -------- 
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n 
 
 | 1 1 1 1 | 
VP = PMT | -------- + -------- + -------- + ... + -------- | 
 | (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n | 
 
O fator em colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma progressão 
geométrica, cujo termo inicial é: 
 
1 ------- 
(1 + i) 
e cuja razão é: 
1 ------- 
(1 + i) 
O seu valor é: 
 
 | 1 |n | 1 |n 
 1 - | ------ | 1 - | ------ | 
 1 | 1 + i | 1 | 1 + i | 
----- x -------------- = ----- x -------------- = 
1 + i 1 1 + i 1 + i - 1 
 1 - ----- --------- 
 1 + i 1 + i 
 
 | 1 |n 1 (1 + i)n - 1 
 1 - | ------ | 1 - ------- ------------ 
 | 1 + i | (1 + i)n (1 + i)n 
= -------------- = -------------- = ------------ = 
 i i i 
 
 (1 + i)n - 1 
= ------------ 
 i x (1 + i)n 
 
21 
donde, 
 
 (1 + i)n - 1 
VP = PMT x -------------- 
 i x (1 + i)n 
e, como: 
 
VF = VP (1 + i)n 
 
 (1 + i)n - 1 
VF = PMT x --------------- x (1 + i)n = 
 i x (1 + i)n 
 
donde, 
 (1 + i)n - 1 
VF = PMT x --------------- 
 i 
e, 
 i x (1 + i)n 
PMT = VP x ------------ 
 (1 + i)n - 1 
e, 
 i 
PMT = VF x ------------ 
 (1 + i)n - 1 
 
Para perpetuidades, podemos imaginar como ficam essas equações com n tendendo a 
infinito, ou por outro lado, podemos imaginar que a cada período o investidor só pode 
retirar o juros do período, de forma que o “principal” permaneça sempre o mesmo, sem 
capitalizar ou sem ser consumido. 
 
VP x i = PMT 
 
 PMT 
 VP = --- 
 i 
 
 (1 + i)n 
 VF = PMT -------- 
 i 
 
 i 
 PMT = VF -------- 
 (1 + i)n 
 
Perpetuidades crescentes à uma taxa constante, podem ser calculadas conforme abaixo: 
 
 C C x (1 + g) C x (1 + g)2 C x (1 + g)n-1 
VP = ------- + ----------- + ------------ + .. + -------------- 
 (1 + r) (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)n 
22C 
VP = ----- 
 r - g 
 
onde, 
C = fluxo de caixa a ser recebido dentro de um período; 
r = taxa de juros; 
g = taxa de crescimento por período; 
 
Neste caso a taxa de juros deve ser maior do que a taxa de crescimento. À medida que a 
taxa de crescimento se aproxima da taxa de juros o valor presente da série vai 
aumentando. O valor passa a indeterminado quando g > r. Não podemos esquecer, 
também, que os valores e os intervalos de tempo tem de ser constantes, para a fórmula 
poder ser aplicada. 
 
23 
Exercícios: 
 
1) Quanto se deve investir hoje a juros de 8% a.a. capitalizados trimestralmente, para se 
ter R$15.000,00 daqui a 12 anos? 
R: R$5.798,06 
 
2) Qual o montante acumulado a partir do principal de R$2.895,00 empregado a 3,5% 
a.m. durante 42 meses? 
R.: R$12.278,44 
 
3) Qual o valor atual de uma série uniforme de R$400,00 durante 12 meses, a juros de 
2,5% a.m.? 
R.: R$4.103,11 
 
4) Quanto teremos acumulado ao fim de 75 meses, se investirmos mensalmente R$150,00 
a 6% ao mês? 
R.: R$195.142,30 
 
5) Quanto deveremos depositar trimestralmente numa conta que rende 6% por trimestre, 
para termos R$22.800,00 daqui a 8 anos e 9 meses? 
R.: R$204,60 
 
6) Uma dívida de R$1.000,00 deve ser paga em 12 parcelas mensais, a juros de 3% a.m.. 
Qual o valor da mensalidade? 
R.: R$100,46 
 
7) Determine o valor atual do fluxo de caixa que se segue, a juros de 4% por período. 
(Saídas de 294,40 do primeiro ao décimo-sexto mês e entradas de 2.000,00 do décimo-
sétimo ao vigésimo mês). 
 ^ ^ ^ ^ 
 | | | | 
0 5 10 15 |2.000,00| 
------------------------------------------------------------ 
 | 294,40 | 20 
 | | | | | | | | | | | | | | | | 
 v v v v v v v v v v v v v v v v 
R.:R$445,63 
 
8) Um artigo custa R$2.200,00 à vista. O pagamento a prazo implica num sinal de 
R$500,00 e 4 mensalidades de R$500,00. Qual a taxa de juros cobrada? 
R.: 6,83% a.m. 
 
9) Determine a série uniforme equivalente ao fluxo de caixa que se segue, a juros de 10% 
por período. 
 
0 1 2 3 4 5 6 
------------------------------------------------------- 
24 
| | | | | | | 
v v v v v v v 
6.000 1.000 1.200 1.400 1.800 2.300 2.600 
 
R.: R$3.002,77 
 
10) Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 10% a.m., qual o valor atual (data 
zero) do seguinte fluxo de caixa, calculando o valor em 7 e depois trazendo para o 
instante 0 
 
 500 500 500 500 500 
 ^ ^ ^ ^ ^ 
 | | | | | 
--------------------------------------------------------- 
0 1 2 3 4 5 6 7 
 
R.: 1.566,44 
 
11) Mesmo exercício anterior, levando a série para o instante 2 e depois trazendo para o 
instante 0. 
 
R.: 1.566,44 
 
12) Mesmo exercício anterior, acrescentando receitas e despesas do mesmo valor das 
entradas do fluxo, nos instantes 1 e 2, como abaixo: 
 
 500 500 500 500 500 500 500 
 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 
 | | | | | | | 
--------------------------------------------------------- 
0 | 1 | 2 3 4 5 6 7 
 v v 
 500 500 
 
R.: 1.566,44 
 
13) Um turista aluga um apto. para uma temporada de 3 (três) meses, pagando 100,00 
por mês, antecipadamente. 
Qual o montante que o proprietário terá, ao final do 3º mês, se o mesmo aplicar cada 
recebimento imediatamente, a juros compostos de 5% a.m.? 
R.: 331,01 
 
14) Uma dívida foi paga através de desembolsos mensais nos meses 3, 4, 5, 6 e 10 no 
valor de 200 cada desembolso. Se a taxa de juros compostos é de 4% a.m., calcular o 
Valor Atual para os instantes 0 e 10. 
R.: 806,32 no instante 0 e 1.193,55 no instante 10 
 
25 
15) Dado o fluxo de caixa a seguir, calcular o valor atual no instante 0 e no instante 6, 
sabendo-se que i é de 6% a.a. 
 
 10 10 10 10 
 ^ ^ ^ ^ 
 | | | | 
--------------------------------------------------------- 
0 1 2 | 3 4 | 5 6 7 
 v v 
 10 10 
 
R: 18,78 no instante 0 e 26,64 no instante 6 
26 
Solução 
 
1) VP = ? 
VF = 15.000,00 
i = 8% a.a., capitalizados trimestralmente 
n = 12 anos ou 48 trimestres 
 
it = 8% /4 = 2% a.t., devido à capitalização ser trimestral 
 
VF = VP (1 + i)n 
VP = VF / (1 + i)n = VF (1 + i)-n 
 = 15.000 (1 + 2%)-48 
 = 5.798,06 
 
2) VF = Montante = ? 
VP = Principal = 2.895,00 
i = 3,5% a.m. 
n = 42 meses 
 
VF = VP (1 + i)n 
 = 2.895,00 (1 + 3,5%)42 
 = 12.278,44 
 
3) VP = ? 
PMT = 400,00 
n = 12 meses 
i = 2,5% a.m. 
 
 (1 + i)n - 1 
VP = PMT x ------------ 
 i x (1 + i)n 
 
 (1 + 2,5%)12 - 1 
VP = 400,00 x ------------------- 
 2,5% x (1 + 2,5%)12 
 
VP = 4.103,11 
 
4) VF = ? 
n = 75 meses 
PMT = 150,00 
i = 6% a.m. 
 
 (1 + i)n - 1 
VF = PMT x ------------ 
 i 
 
 (1 + 6%)75 - 1 
27 
VF = 150,00 x -------------- 
 6% 
 
VF = 195.142,30 
 
5) PMT = ? 
i = 6% a.t. 
VF = 22.800,00 
n = 8 anos e 9 meses = 35 trimestres 
 
 i 
PMT = VF x ------------ 
 (1 + i)n - 1 
 
 6% 
PMT = 22.800,00 x -------------- 
 (1 + 6%)35 - 1 
 
PMT = 204,60 
 
6) VP = 1.000,00 
n = 12 meses 
i = 3% a.m. 
PMT = ? 
 
 i x (1 + i)n 
PMT = VP x ------------ 
 (1 + i)n - 1 
 
 3% x (1 + 3%)12 
PMT = 1.000,00 x --------------- 
 (1 + 3%)12 - 1 
 
PMT = 100,46 
 
7) Temos dois fluxos: 
a) PMT = -294,40 
 n = 16 períodos 
 i = 4% por período 
 
e, b) PMT = 2.000,00 
 n = 4 
 i = 4% por período, 
 
e desejamos saber o valor presente, que será a soma dos dois; 
 
a) 
 (1 + i)n - 1 
VP = PMT x ------------ 
28 
 i x (1 + i)n 
 
 (1 + 4%)16 - 1 
VP = -294,40 x --------------- = -3.430,44 
 4% x (1 + 4%)16 
 
b) 
 (1 + i)n - 1 
VP = PMT x ------------ 
 i x (1 + i)n 
 
 (1 + 4%)4 - 1 
VP = 2.000,00 x -------------- = 7.259,79, 
 4% x (1 + 4%)4 
 
mas este valor presente o é no instante 16, donde temos de traze-
lo para o instante 0 
 
VF = VP (1 + i)n 
VP = VF / (1 + i)n 
VP = 7.259,79 / (1 + 4%)16 
VP = 3.876,06 
 
VPt = -3.430,44 + 3.876,06 = 445,62 
 
8) PMT = 500,00 
n = 4 
VP = 2.200 - 500 = 1.700 
i = ? = 6,83% a.m. 
 
A resposta pode ser calculada na máquina, ou por interpolação de 
tabela ou ainda por tentativa e erro. 
 
9) Primeiramente temos de calcular o valor presente desse fluxo 
de caixa: 
i = 10% por período 
VPtotal = 6.000 + 1.000/(1 + 10%)1 + 1.200/(1 + 10%)2 + 
 1.400/(1 + 10%)3 + 1.800/(1 + 10%)4 + 
 2.300/(1 + 10%)5 + 2.600/(1 + 10%)6 = 
 = 6.000 + 909,09 + 991,74 + 1.051,84 + 1.229,42 + 
 1.428,12 +1.467,63 = 
 = 13.077,84 
 
 i x (1 + i)n 
PMT = VP x ------------ 
 (1 + i)n - 1 
 
29 
 10% x (1 + 10%)6 
PMT =13.077,84 x ---------------- = 3.002,77 
 (1 + 10%)6 - 1 
 
30 
Sistemas de Amortização 
 
A concessão de um empréstimo de maior vulto para pagamento em 
prazos maiores (longo prazo) requer a negociação não só do valor 
do empréstimo e dos juros mas também, e muitas vezes 
principalmente, da maneira como esse empréstimo vai ser pago. Na 
busca de uma maneira razoável e racional de reembolso desse 
capital foram desenvolvidos vários sistemas de amortização: 
 
. Sistema Francês ou Tabela Price; 
. Sistema de Amortização Constante (SAC); 
. Sistema de Amortização Mista; 
. Sistema Americano de Amortização; 
 
Esses sistemas são utilizados complementarmente aos demais 
acertos como, por exemplo, prazo de carência e diversas taxas 
bancárias, das quais destacamos a de abertura de crédito. 
Na realidade esses sistemas diferem unicamente quanto ao valor da 
amortização pois em todos os juros devidos no período são sempre 
pagos - a amortização é que varia de acordo com a capacidade do 
devedor de pagar ou do credor de impor o pagamento que mais lhe 
convém. 
 
Sistema Francês de Amortização 
 
O Sistema Francês de Amortização é aquele em que os valores das 
prestações são sempre iguais, mudando apenas a sua composição. 
Como os pagamentos são iguais, nas primeiras amortizações a 
dívida é grande e decorrentemente, os juros são altos, pouco 
sobrando para amortizar. Assim, nas primeiras amortizações, 
percentualmente, os juros contam muito e a amortização quase 
nada, pouco sendo amortizado. Ao final, inversamente, como a 
dívida foi sendo paga, amortiza-se cada vez mais rapidamente dado 
que cada vez há menos capital sobre o qual os juros devam 
incidir. 
 
Exemplo: Um empréstimo de Cr$ 5OO.OOO,OO deve ser amortizado pelo 
sistema francês, em cinco prestações iguais, à taxa de 4% a.m.. 
 
 ( 1 + i)n - 1 
VP = PMT * -------------- 
 i x ( 1 + i )n 
 
 (1 + O,O4)5 - 1 
5OO.OOO = PMT * ----------------- 
 O,O4 x (1 + O,O4)5 
 
 O,O4 x (1 + O,O4)5 
PMT = 5OO.OOO * ------------------- = 112.313,56 
 (1 + O,O4)5 - 1 
 
31 
N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
O 5OO.OOO,OO 
1 112.313,56 2O.OOO,OO 92.313,56 4O7.686,44 
2 112.313,56 16.3O7,46 96.OO6,1O 311.68O,34 
3 112.313,56 12.467,21 99.846,35 211.833,99 
4 112.313,56 8.473,36 1O3.84O,2O 1O7.993,79 
5 112.313,56 4.319,75 1O7.993,81 -O,O2 
TOTAIS 561.567,8O 61.567,78 5OO.OOO,O2 
 
TABELA PRICE 
 
A Tabela Price, desenvolvida pelo economista inglês Richard 
Price, é tão somente um caso particular do Sistema Francês de 
Amortização, em que a taxa é anual mas a prestação é paga 
mensalmente. 
 
A fórmula é a mesma salvo que a taxa de juros do período é 
dividida pelo número de prestações passando a semestral, mensal 
etc. Inversamente, a quantidade de períodos é multiplicada pelo 
número de prestações de cada período, para ser obtido o novo 
número de períodos. 
 
Como os pagamentos serão feitos entre os períodos expressos na 
taxa de juros (pagamentos mensais apesar dos juros estarem 
expressos em taxas anuais, por exemplo) deveremos ajustar o valor 
de i e de n. 
 
 ir x ( 1 + ir )
k
 
PMTr = VP * ---------------- , 
 ( 1 + ir)k - 1 
 
em que: 
ir = i dividido pelo número de períodos, e 
k 
= número de prestações que serão efetivamente pagas. 
 
Exercícios: 
 
1 - Construir um quadro de amortização de um empréstimo de R$ 
1OO.OOO,OO a juros compostos de 8% a.a. paga segundo o método 
francês de amortização, em 1O prestações mensais, vencendo a 
primeira cinco meses após o empréstimo. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (sac) 
 
Neste sistema o que é igual não é mais o valor das prestações mas 
sim o valor das amortizações. Assim, as prestações tem valor 
decrescente, pois como a cada pagamento o saldo devedor vai 
diminuindo, a cada vez os juros a pagar também vão diminuindo, 
até à liquidação da dívida. 
32 
 
VP = 5OO.OOO 
im = 4% a.m. 
n = 5 
 
N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
O 500.OOO,OO 
1 120.000,00 2O.OOO,OO 1OO.OOO,OO 4OO.OOO,OO 
2 116.000,00 16.OOO,OO 1OO.OOO,OO 3OO.OOO,OO 
3 112.000,00 12.OOO,OO 1OO.OOO,OO 2OO.OOO,OO 
4 108.000,00 8.OOO,OO 1OO.OOO,OO 1OO.OOO,OO 
5 104.000,00 4.OOO,OO 1OO.OOO,OO - 
TOTAIS 560.000,00 6O.OOO,OO 5OO.OOO,OO - 
 
Exercícios: 
 
1) Objetivando expandir negócios, uma empresa obtém um 
financiamento de R$8.000.000,00 à taxa de 8% a.a., pelo prazo de 
5 anos, a ser pago pelo sistema SAC (Sistema de Amortizações 
Constantes). 
Construir a planilha de financiamento. 
 
2) Uma dívida deveria ser amortizada pelo Sistema de Amortizações 
Constantes (SAC) no prazo de 6 anos, em prestações semestrais de 
R$ 480.000,00, à taxa de 22% a.s. No entanto, 3 meses após a 5a 
prestação foi resolvido que o restante da dívida seria paga em 
prestações trimestrais, mantido o mesmo prazo, se bem que os 
juros passando para 11% a.s. Calcular o valor da nova prestação e 
informar se essa mudança foi vantajosa para o devedor ou para o 
banqueiro. 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (sam) 
 
Este é um sistema híbrido entre o Sistema Francês e o Sistema de 
Amortizações Constantes. 
 
VP = 5OO.OOO 
im = 4% a.m. 
n = 5 
 
 PMT(sfa)n + PMT(sac)n 
PMT(sam)n = --------------------- 
 2 
 
 
 PMT(sfa)1 + PMT(sac)1 
PMT(sam)1 = --------------------- 
 2 
33 
 
 PMT(sfa)2 + PMT(sac)2 
PMT(sam)2 = --------------------- 
 2 
 
 PMT(sfa)n + PMT(sac)n 
PMT(sam)n = --------------------- 
 2 
 
N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
O 5OO.OOO,OO 
1 116.156,78 2O.OOO,OO 96.156,78 4O3.843,22 
2 114.156,78 16.153,73 98.OO3,O5 3O5.84O,17 
3 112.156,78 12.233,61 99.923,17 2O5.917,OO 
4 11O.156,78 8.236,68 1O1.92O,1O 1O5.996,OO 
5 1O8.156,78 4.159,88 1O3.996,9O O,OO 
TOTAIS 560.783,9O 6O.783.9O 5OO.OOO,OO - 
 
SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO (SAA) 
 
Neste Sistema os juros é que são constantes. Isso porque, como 
nos outros casos, a cada prestação devem ser pagos os juros 
acumulados no período. Como não temos nenhuma parcela do capital 
sendo amortizada, o capital resta constante, donde os juros sobre 
esse capital também permanecem constantes. Resultado? O 
empréstimo permanece para ser pago integralmente ao final. 
Como resolver o problema de encontrar todo esse valor ao final do 
prazo do empréstimo? Nos Estados Unidos da América, onde o 
sistema funciona normalmente, os tomadores de empréstimo são 
obrigados a preparar um "fundo" de poupança em alguma instituição 
para poder amortizar parte da dívida quando da renovação do 
empréstimo. Este fundo, conhecido como Sinking Fund recebe as 
parcelas iguais de amortização que servirão para liquidar a 
dívida contraída. 
 
Como os Bancos ganham na intermediação do dinheiro, normalmente 
eles recebem juros maiores pelos empréstimos que concedem do que 
pagam pelos depósitos que aceitam, mesmo que sejam depósitos em 
contrapartida a empréstimos, como é o caso de um Sinking Fund. 
Pode, no entanto, acontecer que o cliente encontre modo de 
acumular o necessário ao resgate de sua dívida a juros iguais ao 
de seu empréstimo. Neste caso estará pagando o mesmo valor total 
por período que estaria pagando pelo sistema francês. 
Num caso ainda pouco provável de acontecer na vida real, o 
cliente obteria um empréstimo e organizaria um Sinking Fund que 
lhe pagasse mais de juros que o que ele próprio estaria pagando. 
Nesse caso o cliente estaria alavancando o dinheiro do Banco, 
contrariamente ao que normalmente ocorre. 
 
34 
Exemplo: Um cliente quer tomar um empréstimo por 15 meses, a 8%a.t., num montante de R$ 4OO.OOO,OO junto a um banco que opera 
pelo Sistema Americano de Amortização e que, portanto, exige o 
pagamento dos juros decorridos a cada trimestre. 
A fim de dispor do dinheiro necessário para pagar a dívida ao 
final dos quinze meses, o cliente pretende constituir um Sinking 
Fund onde depositará trimestralmente e auferirá juros da ordem de 
6% a.t. 
Como calcular, neste caso, o valor do desembolso mensal referente 
aos juros do financiamento e para o fundo de amortização? 
 
VP = 4OO.OOO 
it = 8% 
n = 5 trimestres 
jt = ? 
 
jt = VP * it 
jt = 4OO.OOO * O,O8 = 32.OOO 
 
N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR 
O 4OO.OOO,OO 
1 32.OOO,OO 32.OOO,OO O,OO 4OO.OOO,OO 
2 32.OOO,OO 32.OOO,OO O,OO 4OO.OOO,OO 
3 32.OOO,OO 32.OOO,OO O,OO 4OO.OOO,OO 
4 32.OOO,OO 32.OOO,OO O,OO 4OO.OOO,OO 
5 432.OOO,OO 32.OOO,OO 4OO.OOO,OO O,OO 
TOTAIS 56O.OOO,OO 16O.OOO,OO 4OO.OOO,OO - 
 
A evolução do Sinking Fund, necessário à obtenção dos R$ 
4OO.OOO,OO ao final dos quinze meses, se fará como abaixo: 
 
VF = 4OO.OOO 
it = 6% 
n = 5 trimestres 
PMT = ? 
 
 it 
PMT = VF * ---------------- 
 ( 1 + iT)N - 1 
 
 O,O6 
PMT = 4OO.OOO * ---------------- = 7O.958,56 
 ( 1 + O,O6)5 - 1 
 
N Juros Depósito Saldo Final 
O 0 0 0 
1 0 7O.958,56 7O.958,56 
2 4.257,51 7O.958,56 146.174,63 
3 8.770,48 7O.958,56 225.9O3.67 
35 
4 13.554,22 7O.958,56 31O.416,45 
5 18.624,99 7O.958,56 4OO.OOO,OO 
TOTAIS 45.207,2 354.792,8O 
 
Debêntures 
 
Debêntures são títulos usados para financiamentos a longo prazo. 
Isso não quer dizer, no caso brasileiro, que o capitalista deva, 
necessariamente, emprestar seu capital por um prazo muito longo. 
As debêntures brasileiras, após um debut quando tinham um prazo 
de resgate muito longo e pagamentos de juros semestrais ou mesmo 
trimestrais, banalizaram-se e hoje são repactuadas anualmente, 
tornando-se assim, na prática, papéis de curto prazo. 
 
No mais são papeis que se apropriaram de todas as possibilidades 
da chamada engenharia econômica, não existindo provavelmente 
dois papéis iguais. Diferenças mais comuns: 
 
a) valor da emissão, dividida ou não em séries; 
 
b) valor do papel, lançado ou não com desconto ou ágio (vendido 
acima ou abaixo do valor de face ou par); 
 
c) maior ou menor prazo de resgate (com ou sem repactuação); 
 
d) conversíveis ou não em ações; 
 
e) juros mais ou menos altos; 
 
f) pagamentos anuais, semestrais etc.; 
 
Quando todas essas alternativas são definidas pela empresa 
tomadora do empréstimo pela modalidade de debentures junto da 
instituição financeira que liderará o lançamento, e a CVM já 
tiver dado sua autorização, o público alvo terá de analisar a 
conveniência de aplicar nesse papel. 
 
E toda a matéria que foi dada no curso será talvez pouca para que 
a decisão tomada seja a mais correta. Porquê? 
 
Porque em qualquer decisão financeira há a considerar, além da 
taxa interna de retorno face a outras alternativas semelhantes, 
qual o risco inerente ao papel e, no caso das debêntures 
conversíveis, por exemplo, qual o benefício real ou possível que 
advirá de uma eventual conversão. 
 
De qualquer forma temos basicamente dois tipos de risco nesses 
títulos: o devido ao período de tempo até a maturidade e o nível 
da taxa de juros. 
36 
Quanto maior o tempo, maior o risco, porque o valor de face e os 
recebimentos futuros terão maior quantidade de períodos a 
percorrer. 
Quanto menor a taxa, maior o risco, porque o valor do papel fica 
mais dependente do valor de face, que só é recebido no final. 
 
Ex.: 
 
 ^ 
 | $2.000 |............................................................................................................................... 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | Título de 30 anos 
 | 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . $1.500 |............................................................................................................................... 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . . 
 | . . . 
 | 
.
 . 
 
. $1.000 |................................................................................................................................. 
 | . . 
 | . . 
 | . . 
 | . . 
 | . . 
 | . . Título de 1 ano 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 | . 
 |. 
 | . . $ 500 |...................................................................................................................................... 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | 
 | . 
 |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 5 10 15 20 
 
 
 
37 
 
Exercícios diversos 
 
Sobre Matemática Financeira/Análise de Investimentos 
 
1) A fim de estimular o pagamento imediato de suas faturas, um 
fabricante oferece aos comerciantes que as pagarem antes das 
datas de seus vencimentos um desconto, em dinheiro, de 3% sobre o 
seu valor total. Para obter esse desconto, portanto, basta que os 
compradores paguem essas faturas dentro de 1O dias a contar da 
data de sua emissão e não em 3O dias, como poderiam fazer. 
Supondo que uma fatura tenha como valor total (nominal) 
R$2.8OO.OOO,OO, pergunta-se qual a maior taxa de juros simples, 
ao ano, que um comerciante poderá pagar, para fazer juz a este 
desconto? 
R.: 3,0928% em 20 dias ou 56,44% a.a. 
 
2) Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ 2.OOO,OO 
mas pode ser financiado com 2O% de entrada e o restante pela 
Tabela Price a 96% a.a. Sabendo-se que o financiamento deve ser 
amortizado em 5 meses, quanto será, aproximadamente, o valor dos 
juros que serão pagos pelo comprador? 
 
3) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 12O.OOO,OO a uma taxa 
de juros compostos de 2% a.m., que deverá ser pago em 1O parcelas 
iguais. Qual será o valor dos juros pagos quando da 8a parcela? 
 
38 
Exercícios Extras 
 
1) Um capital foi aplicado por dois meses a 20 % a.m.. Quanto rendeu de juros ao final 
de dois meses? 
R: 44% do Principal 
 
2) Pelo pagamento de um carne em atraso pagou-se uma multa de 7,5% de seu valor. 
Quanto foi pago sabendo-se que o valor da mensalidade era de R$1.200,00? 
R = R$90,00 
 
3) Sobre o valor de uma compra um comerciante faz uma proposta ao comprador: caso 
ele não queira pagar à vista e fazer juz a um desconto de 2O%, receber em duas vezes 
com desconto de 1O% cada vez. Caso não seja indiferente para o comprador, qual a 
melhor proposta? Em que condições seria indiferente para o comprador? 
R = Nível de juros de 28,6% ao período 
 
4) Um título, cujo valor nominal é de R$80.000,00, foi pago três meses antes mediante um 
desconto comercial simples de R$1.500,00. Qual a taxa anual de desconto? 
R = 7,5% a.a. 
 
5) Tendo encontrado uma aplicação praticamente sem risco rendendo 40% ao semestre, 
um poupador quer saber em quanto tempo dobrará seu capital. 
R = Aproximadamente um ano 
 
6) Certo Banco cobra, para descontar notas promissórias, uma taxa de juros simples de 
15% a.m. sobre seu valor nominal. Qual seria o valor nominal de uma NP com 
vencimento para daqui a 6O dias que pudesse ser hoje descontada por R$280.000,00? 
R = 400.000,00 
 
7) Uma casa, comprada por R$24.000.000,00 foi vendida, após um ano, com um prejuízo 
de 2O% sobre o preço de venda. Por quanto foi ela vendida? 
R = R$20.000.000,00 
 
8) Uma certa aplicação duplica o capital investido em dois meses. Quanto tempo deverá 
se passar até se poder contar com um rendimento de 700%? 
R: 6 meses 
 
9) Calcular a que taxa foi aplicado um capital de R$4.000,00 durante 3 anos, sabendo-se 
que, se o capital tivesse sido de R$10.000,00 e os juros, simples, de 5% a.a., teríamos 
aufruido apenas mais R$600,00. 
R: 7% a.a. 
 
10) Dois capitais estão entre si como 2 e 3. Em quanto a taxa do menor deverá superar a 
do maior para que, ao final de um mesmo período, os capitais se igualem? 
R: Variável 
 
39 
11) Quando é que um investidor que aplicou R$2.000.000,00 no dia 06.06.13 a uma taxa 
de 22,5% a.m. obterá um montante de R$2.195.000,00? 
R: 14 dias 
 
12) Um cliente obteve de um comerciante um desconto de 20% sobre o valor de venda de 
uma mercadoria que o interessou. Sabendo-se que a margem de lucro do comerciante é 
de 20% sobre o preço de custo, qual ficou sendo o lucro/prejuízo do comerciante nesta 
venda em particular? 
R: 4% do preço de custo 
 
13) Em quantas prestações, mensais e sucessivas, de R$10.000,00 cada, pode ser 
desdobrada uma dívida atual de R$43.294,76, se o financiamento tiver sido feito a 5% 
a.m., em regime de juros compostos? 
R: 5 prestações 
 
14) Na compra de um objeto é possível escolher entre pagar à vista, com 20 % de 
desconto, ou em duas parcelas iguais, sem desconto, sendo uma à vista e a outra a 30 
dias. Quem faria melhor negócio, aquele que aplicar o desconto a 30 % ao mês ou o outro 
que pagará em duas vezes, deixando o valor da segunda prestação rendendo à mesma 
taxa de juros? 
R: Quem paga à vista faz melhor negocio 
 
15) Utilizando o desconto racional, qual o valor que devo pagar por um título com 
vencimento para daqui a seis meses, se o seu valor nominal for de R$29.500,00 e eu 
quiser ganhar 36% a.a.? 
R: 25.289,36 
 
16) Qual o preço de uma mercadoria cujas doze prestações mensais, iguais e sucessivas, 
à taxa de juros - compostos - de 6% a.m., foram de R$30.000,00 cada? 
R: 215.515,32 
 
17) Numa loja que concede 15% de desconto a quem pagar suas prestações até 15 dias 
antes do vencimento, quanto devemos prever deixar de pagar se pudermos liquidar uma 
prestação de R$520,00, com vencimento para o dia 30 de janeiro até ao dia 15 daquele 
mês? 
R: 78,00 
 
18) Duas aplicações financeiras foram realizadas num determinado dia, a uma taxa de 
72% a.a. sob regime de juros simples, sendo a primeira pelo prazo de 4 meses e a 
segunda por um mês a mais. 
Sabendo-se que a soma dos juros totalizaram R$39.540,00 e que os juros da segunda 
aplicação excederam os juros da primeira em R$12.660,00, qual foi o total aplicado? 
R: 143.000 
 
19) Um investidor cauteloso resolveu investir o capital de que dispunha em duas 
aplicações iguais, ambas a juros simples, sendo que a primeira por apenas quatro meses 
40 
e a segunda por dois meses mais. Sabendo-se que ao resgate recebeu R$117.000,00 e 
R$108.000,00, de quanto dispôs para aplicar? 
R: 180.000,00 
 
20) O preço de uma mercadoria, à vista, é de R$100,000,00. Os compradores podem, no 
entanto, pagar apenas 20% no ato da compra e o restante numa única parcela de 
R$100.160,00, vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, 
qual a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo? 
R: ia = 100,8% a.a. 
 
21) Para refinanciar uma dívida de R$1.500,000,00 um devedor deve pagar R$148.000,00 
e assinar novo título de R$1.400.000,00 com vencimento para daí a 90 dias. Qual a taxa 
de desconto comercial (juros simples) adotada nessa operação? 
R: 1,14% a.m. 
 
22) Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 84% 
a.a. e o desconto comercial simples. O valor do desconto foi de R$10.164,00. Se na 
operação fosse adotado o desconto racional simples, o valor do desconto seria reduzido 
em R$ 1.764,00. Nestas condições, qual seria o valor nominal da duplicata? 
R = 48.400,00 
 
23) Um cliente deve a um banco R$ 190.000,00 que vencem daqui a 30 dias. Por saber que 
não disporá do numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. 
Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial 
simples de 72% a.a., qual será o valor do novo título? 
R: 235.000,00 
 
24) Uma pessoa aplicou R$ 10.000.00 a juros compostos de 15% a.a. pelo prazo de 3 anos 
e 8 meses. Qual omontante ao final do prazo? 
R: 16.693,94 
 
25) Uma empresa tem o compromisso de R$ 100.000,00 para ser pago dentro de 30 dias. 
Para ajustar seu fluxo de caixa, propõe ao banqueiro a seguinte forma de pagamento: R$ 
20.000,00 antecipado, à vista, e dois pagamentos iguais para 60 e 90 dias. Admitindo-se a 
taxa de juros compostos de 7% a.m., o valor dessas parcelas deverá ser de quanto? 
R = 43.472,92 
 
26) Uma letra de câmbio no valor de R$ 800.000,00, com vencimento daqui a três anos, 
deve ser substituída por duas letras de câmbio de mesmo valor nominal, com 
vencimentos para daqui a 2 e 5 anos, respectivamente. Qual deverá ser o valor nominal 
das novas letras se a taxa de juro composto utilizada for de 8% a.s. e a taxa do juro 
composto do desconto é de 10% a.s.? 
R: R$422.590,00 
 
27) Uma máquina que tem o preço de R$ 2.000.000,00 pode ser financiada com 10% de 
entrada e o restante em prestações trimestrais, iguais e sucessivas. Se a financiadora 
41 
cobrar juros compostos de 28% a.a. capitalizados trimestralmente e se o comprador 
pagar R$ 205.821,00 por trimestre, quando vencerá a última prestação? 
R: 14 trimestres após 
 
28) Um investidor comprou 100.000 ações de uma empresa por R$ 7,00 cada em 
setembro de 1984 revendendo-as quatro meses após por R$ 10,00 cada, afirmando ter 
obtido na transação um lucro excepcional. Sabendo-se que no ato da compra e da venda 
ele paga uma comissão de 2% sobre o valor da operação e que teria podido, 
alternativamente, ter colocado esse dinheiro na caderneta de poupança, onde auferiria 
correção monetária e ainda capitalizaria mensalmente um juro de 6% a.a., capitalizado 
mensalmente, qual foi afinal o seu lucro (ou prejuízo)? 
 Valores da ORTN 
 
agosto R$ 14.619,90 
setembro R$ 16.169,61 
outubro R$ 17.867,00 
novembro R$ 20.118,71 
dezembro R$ 22.110,46 
janeiro R$ 24.432,06 
fevereiro R$ 27.510,50 
 
R: Prejuízo de 10,9% 
 
29) Um capital de R$ 100.000,00 foi depositado por um prazo de 4 trimestres à taxa de 
juros de 10% a.t., com correção monetária mensal igual à inflação. Admitamos que as 
taxas de inflação observadas naqueles trimestres tenham sido de 10%, 15%, 20% e 25% 
respectivamente. Qual a disponibilidade do depositante ao final do terceiro trimestre? 
R: 202.045,80 
 
30) Escolha entre as duas opções de equipamento, destinados a fazer a mesma função, 
usando uma taxa de atratividade de 5% a.a. e considerando que a inflação não tenha 
reflexos no investimento (ou seja que todas as variáveis sejam igualmente afetadas): 
Equipamento A: Investimento de R$10.000, vida útil de 20 anos, sem valor residual, 
Custo anual de manutenção de R$600,00; 
Equipamento B: Investimento de R$23.000, vida útil de 60 anos, valor residual de 
R$3.000, Custo anual de manutenção de R$100,00; 
R: Custo Anual do Equipamento A: R$1.402,40, Custo Anual do Equipamento B: 
R$1.306,55 
 
42 
Respostas: 
 
22)Valor da duplicata = W 
W x i = 10.164 (desconto comercial simples) 
Desconto racional = 10.164 – 1.764 = 8.400 
(W – 8.400) x (1 + i) = W (VP x (1 + i) = VF) 
 
Wi = 10.164 
W + Wi – 8.400 – 8.400i = W, donde Wi – 8.400 – 8.400i = 0 
 
Substituindo Wi na segunda equação, 
10.164 – 8.400 – 8.400i = 0 
1.764 – 8.400i = 0 
i = 1.764 / 8.400 = .21 = 21% 
 
W = 10.164 / 21% = 48.400 
 
E, logo, n = 3 meses, o que não foi pedido. 
 
43 
Tabelas: 
 
 
 
Valor Futuro em Função do Valor Presente 
 
 
 
 
Valor Futuro de $1 ao final de t periodos = (1 + i)n 
 
Taxa de Juros (i) 
N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 
1 1.0100 1.0200 1.0300 1.0400 1.0500 1.0600 1.0700 1.0800 1.0900 
2 1.0201 1.0404 1.0609 1.0816 1.1025 1.1236 1.1449 1.1664 1.1881 
3 1.0303 1.0612 1.0927 1.1249 1.1576 1.1910 1.2250 1.2597 1.2950 
4 1.0406 1.0824 1.1255 1.1699 1.2155 1.2625 1.3108 1.3605 1.4116 
5 1.0510 1.1041 1.1593 1.2167 1.2763 1.3382 1.4026 1.4693 1.5386 
6 1.0615 1.1262 1.1941 1.2653 1.3401 1.4185 1.5007 1.5869 1.6771 
7 1.0721 1.1487 1.2299 1.3159 1.4071 1.5036 1.6058 1.7138 1.8280 
8 1.0829 1.1717 1.2668 1.3686 1.4775 1.5938 1.7182 1.8509 1.9926 
9 1.0937 1.1951 1.3048 1.4233 1.5513 1.6895 1.8385 1.9990 2.1719 
10 1.1046 1.2190 1.3439 1.4802 1.6289 1.7908 1.9672 2.1589 2.3674 
11 1.1157 1.2434 1.3842 1.5395 1.7103 1.8983 2.1049 2.3316 2.5804 
12 1.1268 1.2682 1.4258 1.6010 1.7959 2.0122 2.2522 2.5182 2.8127 
13 1.1381 1.2936 1.4685 1.6651 1.8856 2.1329 2.4098 2.7196 3.0658 
14 1.1495 1.3195 1.5126 1.7317 1.9799 2.2609 2.5785 2.9372 3.3417 
15 1.1610 1.3459 1.5580 1.8009 2.0789 2.3966 2.7590 3.1722 3.6425 
16 1.1726 1.3728 1.6047 1.8730 2.1829 2.5404 2.9522 3.4259 3.9703 
17 1.1843 1.4002 1.6528 1.9479 2.2920 2.6928 3.1588 3.7000 4.3276 
18 1.1961 1.4282 1.7024 2.0258 2.4066 2.8543 3.3799 3.9960 4.7171 
19 1.2081 1.4568 1.7535 2.1068 2.5270 3.0256 3.6165 4.3157 5.1417 
20 1.2202 1.4859 1.8061 2.1911 2.6533 3.2071 3.8697 4.6610 5.6044 
21 1.2324 1.5157 1.8603 2.2788 2.7860 3.3996 4.1406 5.0338 6.1088 
22 1.2447 1.5460 1.9161 2.3699 2.9253 3.6035 4.4304 5.4365 6.6586 
23 1.2572 1.5769 1.9736 2.4647 3.0715 3.8197 4.7405 5.8715 7.2579 
24 1.2697 1.6084 2.0328 2.5633 3.2251 4.0489 5.0724 6.3412 7.9111 
25 1.2824 1.6406 2.0938 2.6658 3.3864 4.2919 5.4274 6.8485 8.6231 
30 1.3478 1.8114 2.4273 3.2434 4.3219 5.7435 7.6123 10.063 13.268 
40 1.4889 2.2080 3.2620 4.8010 7.0400 10.286 14.974 21.725 31.409 
50 1.6446 2.6916 4.3839 7.1067 11.467 18.420 29.457 46.902 74.358 
60 1.8167 3.2810 5.8916 10.520 18.679 32.988 57.946 101.26 176.03 
 
 
44 
Valor Presente em função de Valor Futuro 
 
 
 
 
Valor Presente de $1 a ser recebido em t periodos = 1 / (1 + i)n 
 
Taxa de Juros (i) 
N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 
1 0.9901 0.9804 0.9709 0.9615 0.9524 0.9434 0.9346 0.9259 0.9174 
2 0.9803 0.9612 0.9426 0.9246 0.9070 0.8900 0.8734 0.8573 0.8417 
3 0.9706 0.9423 0.9151 0.8890 0.8638 0.8396 0.8163 0.7938 0.7722 
4 0.9610 0.9238 0.8885 0.8548 0.8227 0.7921 0.7629 0.7350 0.7084 
5 0.9515 0.9057 0.8626 0.8219 0.7835 0.7473 0.7130 0.6806 0.6499 
6 0.9420 0.8880 0.8375 0.7903 0.7462 0.7050 0.6663 0.6302 0.5963 
7 0.9327 0.8706 0.8131 0.7599 0.7107 0.6651 0.6227 0.5835 0.5470 
8 0.9235 0.8535 0.7894 0.7307 0.6768 0.6274 0.5820 0.5403 0.5019 
9 0.9143 0.8368 0.7664 0.7026 0.6446 0.5919 0.5439 0.5002 0.4604 
10 0.9053 0.8203 0.7441 0.6756 0.6139 0.5584 0.5083 0.4632 0.4224 
11 0.8963 0.8043 0.7224 0.6496 0.5847 0.5268 0.4751 0.4289 0.3875 
12 0.8874 0.7885 0.7014 0.6246 0.5568 0.4970 0.4440 0.3971 0.3555 
13 0.8787 0.7730 0.6810 0.6006 0.5303 0.4688 0.4150 0.3677 0.3262 
14 0.8700 0.7579 0.6611 0.5775 0.5051 0.4423 0.3878 0.3405 0.2992 
15 0.8613 0.7430 0.6419 0.5553 0.4810 0.4173 0.3624 0.3152 0.2745 
16 0.8528 0.7284 0.6232 0.5339 0.4581 0.3936 0.3387 0.2919 0.2519 
17 0.8444 0.7142 0.6050 0.5134 0.4363 0.3714 0.3166 0.2703 0.2311 
18 0.8360 0.7002 0.5874 0.4936 0.4155 0.3503 0.2959 0.2502 0.2120 
19 0.8277 0.6864 0.5703 0.4746 0.3957 0.3305 0.2765 0.2317 0.1945 
20 0.8195 0.6730 0.5537 0.4564 0.3769 0.3118 0.2584 0.2145 0.1784 
21 0.8114 0.6598 0.5375 0.4388 0.3589 0.2942 0.2415 0.1987 0.1637 
22 0.8034 0.6468 0.5219 0.4220 0.3418 0.2775 0.2257 0.1839 0.1502 
23 0.7954 0.6342 0.5067 0.4057 0.3256 0.2618 0.2109 0.1703 0.1378 
24 0.7876 0.6217 0.4919 0.3901 0.3101 0.2470 0.1971 0.1577 0.1264 
25 0.7798 0.6095 0.4776 0.3751 0.2953 0.2330 0.1842 0.1460 0.1160 
30 0.7419 0.5521 0.4120 0.3083 0.2314 0.1741 0.1314 0.0994 0.0754 
40 0.6717 0.4529 0.3066 0.2083 0.1420 0.0972 0.0668 0.0460 0.0318 
50 0.6080 0.3715 0.2281 0.1407 0.0872 0.0543 0.0339 0.0213 0.0134 
60 0.5504 0.3048 0.1697 0.0951 0.0535 0.0303 0.0173 0.0099 0.0057 
 
 
45 
Valor Presente em função de Prestações 
 
 
 
 
Valor Presente de anuidade de $1 porperiodo, recebido por t periodos = [1 - 1 /(1 + i)n]/i 
 
Taxa de Juros (i) 
N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 
1 0.9901 0.9804 0.9709 0.9615 0.9524 0.9434 0.9346 0.9259 0.9174 
2 1.9704 1.9416 1.9135 1.8861 1.8594 1.8334 1.8080 1.7833 1.7591 
3 2.9410 2.8839 2.8286 2.7751 2.7232 2.6730 2.6243 2.5771 2.5313 
4 3.9020 3.8077 3.7171 3.6299 3.5460 3.4651 3.3872 3.3121 3.2397 
5 4.8534 4.7135 4.5797 4.4518 4.3295 4.2124 4.1002 3.9927 3.8897 
6 5.7955 5.6014 5.4172 5.2421 5.0757 4.9173 4.7665 4.6229 4.4859 
7 6.7282 6.4720 6.2303 6.0021 5.7864 5.5824 5.3893 5.2064 5.0330 
8 7.6517 7.3255 7.0197 6.7327 6.4632 6.2098 5.9713 5.7466 5.5348 
9 8.5660 8.1622 7.7861 7.4353 7.1078 6.8017 6.5152 6.2469 5.9952 
10 9.4713 8.9826 8.5302 8.1109 7.7217 7.3601 7.0236 6.7101 6.4177 
11 10.3676 9.7868 9.2526 8.7605 8.3064 7.8869 7.4987 7.1390 6.8052 
12 11.2551 10.5753 9.9540 9.3851 8.8633 8.3838 7.9427 7.5361 7.1607 
13 12.1337 11.3484 10.6350 9.9856 9.3936 8.8527 8.3577 7.9038 7.4869 
14 13.0037 12.1062 11.2961 10.5631 9.8986 9.2950 8.7455 8.2442 7.7862 
15 13.8651 12.8493 11.9379 11.1184 10.3797 9.7122 9.1079 8.5595 8.0607 
16 14.7179 13.5777 12.5611 11.6523 10.8378 10.1059 9.4466 8.8514 8.3126 
17 15.5623 14.2919 13.1661 12.1657 11.2741 10.4773 9.7632 9.1216 8.5436 
18 16.3983 14.9920 13.7535 12.6593 11.6896 10.8276 10.0591 9.3719 8.7556 
19 17.2260 15.6785 14.3238 13.1339 12.0853 11.1581 10.3356 9.6036 8.9501 
20 18.0456 16.3514 14.8775 13.5903 12.4622 11.4699 10.5940 9.8181 9.1285 
21 18.8570 17.0112 15.4150 14.0292 12.8212 11.7641 10.8355 10.0168 9.2922 
22 19.6604 17.6580 15.9369 14.4511 13.1630 12.0416 11.0612 10.2007 9.4424 
23 20.4558 18.2922 16.4436 14.8568 13.4886 12.3034 11.2722 10.3711 9.5802 
24 21.2434 18.9139 16.9355 15.2470 13.7986 12.5504 11.4693 10.5288 9.7066 
25 22.0232 19.5235 17.4131 15.6221 14.0939 12.7834 11.6536 10.6748 9.8226 
30 25.8077 22.3965 19.6004 17.2920 15.3725 13.7648 12.4090 11.2578 10.2737 
40 32.8347 27.3555 23.1148 19.7928 17.1591 15.0463 13.3317 11.9246 10.7574 
50 39.1961 31.4236 25.7298 21.4822 18.2559 15.7619 13.8007 12.2335 10.9617 
60 44.9550 34.7609 27.6756 22.6235 18.9293 16.1614 14.0392 12.3766 11.0480 
 
 
46 
Valor Futuro em função de Prestações 
 
 
 
 
Valor Futuro de anuidade de $1 por periodo, recebido por t periodos = [(1 + i)n - 1]/i 
 
Taxa de Juros (i) 
N 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 
1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 
2 2.0100 2.0200 2.0300 2.0400 2.0500 2.0600 2.0700 2.0800 2.0900 
3 3.0301 3.0604 3.0909 3.1216 3.1525 3.1836 3.2149 3.2464 3.2781 
4 4.0604 4.1216 4.1836 4.2465 4.3101 4.3746 4.4399 4.5061 4.5731 
5 5.1010 5.2040 5.3091 5.4163 5.5256 5.6371 5.7507 5.8666 5.9847 
6 6.1520 6.3081 6.4684 6.6330 6.8019 6.9753 7.1533 7.3359 7.5233 
7 7.2135 7.4343 7.6625 7.8983 8.1420 8.3938 8.6540 8.9228 9.2004 
8 8.2857 8.5830 8.8923 9.2142 9.5491 9.8975 10.260 10.637 11.028 
9 9.3685 9.7546 10.159 10.583 11.027 11.491 11.978 12.488 13.021 
10 10.462 10.950 11.464 12.006 12.578 13.181 13.816 14.487 15.193 
11 11.567 12.169 12.808 13.486 14.207 14.972 15.784 16.645 17.560 
12 12.683 13.412 14.192 15.026 15.917 16.870 17.888 18.977 20.141 
13 13.809 14.680 15.618 16.627 17.713 18.882 20.141 21.495 22.953 
14 14.947 15.974 17.086 18.292 19.599 21.015 22.550 24.215 26.019 
15 16.097 17.293 18.599 20.024 21.579 23.276 25.129 27.152 29.361 
16 17.258 18.639 20.157 21.825 23.657 25.673 27.888 30.324 33.003 
17 18.430 20.012 21.762 23.698 25.840 28.213 30.840 33.750 36.974 
18 19.615 21.412 23.414 25.645 28.132 30.906 33.999 37.450 41.301 
19 20.811 22.841 25.117 27.671 30.539 33.760 37.379 41.446 46.018 
20 22.019 24.297 26.870 29.778 33.066 36.786 40.995 45.762 51.160 
21 23.239 25.783 28.676 31.969 35.719 39.993 44.865 50.423 56.765 
22 24.472 27.299 30.537 34.248 38.505 43.392 49.006 55.457 62.873 
23 25.716 28.845 32.453 36.618 41.430 46.996 53.436 60.893 69.532 
24 26.973 30.422 34.426 39.083 44.502 50.816 58.177 66.765 76.790 
25 28.243 32.030 36.459 41.646 47.727 54.865 63.249 73.106 84.701 
30 34.785 40.568 47.575 56.085 66.439 79.058 94.461 113.28 136.31 
40 48.886 60.402 75.401 95.026 120.80 154.76 199.64 259.06 337.88 
50 64.463 84.579 112.80 152.67 209.35 290.34 406.53 573.77 815.08 
60 81.670 114.05 163.05 237.99 353.58 533.13 813.52 1253.2 1944.8 
 
 
47 
Fórmulas: 
 
Juros Simples: 
VF = VP x (1 + i) ou VF = VP x (1 + ni) 
 
onde: 
 
VF = Valor Futuro; 
VP = Valor Presente; 
i = Taxa de Juros para o período; 
n = quantidade de períodos 
 
Juros Compostos: 
 
VF = VP x (1 + i)n (para juros compostos) 
 
 1 
VP = VF -------- 
 (1 + i)n 
 
 (1 + i)n - 1 
VP = PMT x -------------- 
 i x (1 + i)n 
 
 (1 + i)n - 1 
VF = PMT x -------------- 
 i 
 
 i x (1 + i)n 
PMT = VP x ---------------- 
 (1 + i)n - 1 
 
 i 
PMT = VF x ------------- 
 (1 + i)n - 1 
 
 
onde: 
 
VF = Valor Futuro 
VP = Valor Presente 
i = Taxa de Juros para um período, representativa do aluguel de um determinado valor 
presente (principal) durante um período determinado 
n = número de períodos 
 
48 
Soluções 
 
1) VF - VP = Juros 
VF = VP (1 + i)n 
VF = VP (1 + 20%)2 
VF = VP x 1,44 
Juros = (1,44 - 1) VP 
 = 44% VP 
 
2) Multa = 7,5% x 1.200,00 = 90,00 
 
3) Supondo Preço = 100,00, pagando-se à vista poder-se-ia pagar 80,00. Pagando-se em 
duas vezes se pagaria 50 de cada vez, que com desconto de 10% chegaria a duas 
prestações de 45,00. 
 
 ^ 45 ^ 45 ^ 45 
 | | | 
 |--------------| = |--------------| 
 | | 
 v 80 v 35 
 
VF = 45 
VP = 35 
n = 1 
i = ? 
 
VF = VP (1 + i) 
i = 45/35 - 1 
i = 0,286 = 28,6% 
Se custo de capital for superior a 28,6%, prefiro pagar em duas vezes. Senão, prefiro 
pagar à vista. 
 
4) VP x (n x i) = Desconto comercial 
80.000 x 3 x i = 1.500, i = 1.500 / 80.000 / 3 = 0,00625 = 0,625% a.m. 
ia = im x 12 = 0,625% x 12 = 7,5% a.a. 
 
5) VF = VP (1 + i)n 
VF = 2 VP 
2 VP = VP (1 + 40%)n 
2 = 1,4n 
Por tentativa chegamos a algo como n = 2, ou um ano 
 
6) VN x (1 - n x i) = Valor a ser recebido 
VN x (1 - 2 x 15%) = 280.000,00 
VN = 280.000,00 / 0,70 = 400.000,00 
 
7) (1 + 20%) Preço de Venda = Preço de Compra 
Preço de Venda = 24.000.000,00 / 1,20 = 20.000.000,00 
49 
 
8) VF = VP (1 + i)n 
2VP = VP (1 + i)2 
2 = (1 + i)2 
21/2 = 1 + i 
i = 0,414 = 41,4% 
 
(7 + 1) VP = VP (1 + i)n 
8 = 1,414n 
Por tentativa, n = 6 meses 
 
9) Com capital de 10.000 e juros simples de 5% a.a. ao longo de 3 anos obtemos 11.500. 
VF = VP (1 + ni) = 10.000 (1 + 3 x 5%) = 11.500 
Logo os juros foram de 1.500 (11.500 - 10.000); 
Logo os juros dos 4.000 foram de 900 (1.500 - 600), e temos 
VF = VP (1