MATEMÁTICA PMSBC CURSÃO SANTA RITA

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 Conjuntos numéricos 
 
 
Os números, cujas propriedades e cujas interações são o objetivo da álgebra elementar, são classificados da 
seguinte forma: 
 
Conjunto dos números naturais 
 
Números naturais são aqueles que não utilizados na contagem dos elementos de um conjunto. Temos 
então: 
|N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
Conjunto dos números inteiros 
 
Números inteiros são todos os números naturais e também os opostos dos naturais; os opostos dos 
naturais são os números –1, -2, -3, -4,... Representando o conjunto dos números inteiros por Z, tem: 
 Z = {.., -3, -2. –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 Vamos ver agora alguns conceitos importantes aplicáveis aos números inteiros. 
 Múltiplos e divisores Sendo a e b números inteiros, a é múltiplo de b, se a é o produto de b por um outro número 
inteiro c. 
 
Exemplos 
15 é múltiplo de 3, pois 15 = 3 * 5 
15 é múltiplo de 5, pois 15 = 5 * 3 
-8 é múltiplo de 4, pois –8 = 4 * (-2) 
Zero é múltiplo de 5, pois 0 = 5 * 0 
Repare que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, pois 0 = a * 0, para qualquer números inteiros a. 
Sendo a , b e c números inteiros, definimos que a é múltiplo de b ou de c se a =b * c; nestas condições os números b 
e c são chamados de divisores de a. 
 
 
Exemplos 
 
3 é divisor de 15, pois 15 = 3 * 5 
-2 é divisor de 10, pois 10 = (-2) * (-5) 
1 é divisor de 7, pois 7 = 1 * 7 
-1 é divisor de 7, pois 7 = (-1) * (-7) 
 Repare que 1 e –1 são divisores de todos os números inteiros. 
 
OBSERVAÇÃO Indica-se por D(a) o conjunto dos divisores de a e por M(a) o conjunto dos múltiplos de a. 
 
 D(a) = {x E Z | x é divisor de a} 
 M(a) = {x E Z | x é múltiplo de a} 
 
Exemplos 
 
D(8) = {x E Z | x é divisor de 8} = {+ 1, + 2, + 4, + 8} 
D(-5) = {x E Z | x é divisor de -5} = {+ 1, + 5} 
M(3) = {x E Z | x é divisor de 3} = {0, + 3, + 6, + 9, ...} 
M(-2) = {x E Z | x é divisor de 3} = {0, + 2, + 4, + 8, ...} 
 
Números primos 
Um número inteiro p, p ≠ 0, p ≠ -1, p ≠ 1, é primo se, e somente se, seus únicos divisores são 1, -1, p, -p. 
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Por esta definição, repare que: 
• Os números 1 e –1 não são primos; 
• Os únicos números primos e pares são 2 e –2. 
Deste modo, a seqüência dos primeiros números naturais primos é: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, .... 
 
Máximo divisor comum 
Dados dois inteiros a e b, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por m.d.c. (a,b), é o maior 
elemento do conjunto D(a) ∩ D(b) 
 
Exemplo 
 
Para os inteiros 6 e 15, temos: 
 
D(6) = {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6} 
D(15) = {-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15} 
D(6) ∩ d(15) = {-3, -1, 1, 3} é o conjunto dos divisores comuns de 6 e 15 
 O maior elemento de D(6) ∩ D(15) é 3. Então: m.d.c. (6, 15) = 3. 
 
Números primos entre si 
Diz-se que dois inteiros a e b são primos entre si, ou que a é primo com b, quando m.d.c. (a, b) = 1 
 
Exemplo 
5 e 8 são primos entre si, pois m.d.c. (5, 8) = 1 
Os conceitos de números primo e números primos entre si não absolutamente distintos: dizemos que um número é 
primo e que dois ou mais números são primos entre si. 
Quando dois números distintos são ambos primos e que mesmo sinal (ambos negativos ou ambos positivos), então 
os dois números são também primos entre si (por exemplo: 3 e 5 são ambos primos entre si (8, 9) = 1). Mais, se dois 
números são primos entre si, não podemos concluir que sejam ambos primos e nem mesmo que um deles sejam 
primo (por exemplo: os números 8 e 9 são primos entre si, pois m.d.c. (8, 9) = 1, e, no entanto nenhum dos dois é 
primo). 
 
Mínimo múltiplo comum 
Dados dois inteiros a e b, não nulos, seu mínimo múltiplo comum, que se indica por m.m.c. (a, b), é o menor 
elemento positivo do conjunto M(a) ∩ M(b). 
 
Exemplo 
Para os inteiros 10 e 12, temos: 
M(10) = {..., -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...} 
M(12) = {..., -24, -12, 0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} 
M(10) ∩ M(12) = {..., -60, 0 60, ...} é o conjunto dos múltiplos comuns de 10 e 12. O menor elemento positivo de 
M(10) ∩ M(12) é 60. Então: m.m.c. (10, 12) = 60. 
O m.d.c. de dois ou mais números podem ser obtidos a partir da descomposição dos números em seus fatores 
primos. 
 
Exemplo 
Para os números 20 e 36, temos: 
 
20 2 36 2 
10 2 18 2 
5 5 9 3 
1 3 3 
 1 
20 = 22 * 5 36 = 2
2 * 32 
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O m.d.c. de 20 e 36 é igual ao produto dos fatores primos comuns a 20 e 36, tomados com seus menores 
expoentes, ou seja: 
m.d.c. (20; 36) = 22 = 4 
O m.m.c. de 20 e 36 é igual ao produto dos fatores primos comuns a 20 e 36, tomados com seus maiores 
expoentes, ou seja: 
m.m.c. (20; 36) = 22 * 32 * 5 = 180 
 
Conjunto dos números racionais 
 
Chama-se racional todo número que é o quociente entre dois números 
inteiros 
 
 
Vamos agora apresentar alguns exemplos de números racionais: 
• Os números inteiros. 
Exemplo 
O inteiro 2 é o quociente entre os inteiros 2 e 1 ou 4 e 2 ou –10 e –5 etc; portanto, 2 = 2/1 = 4/2 = -10/-5 
• Os decimais exatos. 
 
Exemplos 
 
1,3 = 13/10; 0,243 = 243/1000; 3,17 = 317/100 
 
• Os decimais não exatos e periódicos (dízimas). 
 
Exemplos 
 
0,222... 0,2 = 2/9 
 
1,444.. = 1,4 = 1 + 0,4 = 1 + 4/9 =9/9 + 4/9 = 13/9 
 
0,999.. = 0,9 = 9/9 = 1 
 
Agora vamos apresentar a definição formal de número racional, indicando por Q o conjunto formado por 
eles: 
Q = {p/q | p E Z, q E Z, q E Z, q ≠ 0} 
 
Pela definição dos inteiros e dos racionais, concluímos facilmente que: 
N ⊂ Z ⊂ Q 
 
Conjunto dos números reais 
 
Números irracionais Facilmente construir números decimais não exatos não e não periódicos. Veja, por 
exemplo: 0,101001000100001..., onde o número de “zeros” aumenta de uma unidade após cada algarismo 
1. 
Números como esse, cuja representação contém infinitas casas decimais após a vírgula e onde não são 
números racionais; esses números são chamadas de irracionais: 
π = 3,1415926... V2 = 1,4142435... 
 
V3 = 1,7320508.. 
 
Representaremos o conjunto dos números irracionais por I. 
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Números reais A união do conjunto Q dos números irracionais chama-se conjunto dos números reais e representa-se 
por R: 
R = Q ∪ I 
 
 Pela definição dos racionais e dos reais, concluímos facilmente: 
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R 
 
Podemos portanto fazer a seguinte representação: 
 
 
 
 R 
 
 
 
 
 
Os números reais podem ser representados numa reta de tal modo que a todo número real corresponde 
um ponto na reta e a ponto da reta corresponde um número real. 
 
 
-2 γ2 -1 -1/2 01/3 1 γ3 2 3 π 4 
 
 
 
OBSERVAÇÃO Adotam-se as seguintes convenções: 
• O sinal * (asterisco) elimina o número zero de um conjunto. 
• O sinal + (mais) elimina os números negativos de um conjunto. 
• O sinal – (menos) elimina os números positivos de um conjunto. 
 
 
Números opostos ou simétricos 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 
 
 
 
Números opostos ou simétricos são aqueles marcados a distâncias iguais do zero, porém em lados opostos. 
Ex.: -4 é o oposto (ou simétrico) de 4 
 4 é o oposto (ou simétrico) de –4 
 
Isto significa que a distância do ponto que representa o número –4 do zero é a mesma que representa o 
número 4 do zero, ou seja 4 unidades para cada lado. 
Concluindo, os números inteiros, que na reta, distam igualmente do zero recebem o nome de números 
oposto ou simétricos. 
 
Número -8 7 -20 0 15 
Oposto 8 -7 20 0 -15 
Número 17 -13 19 -12 55 
Oposto -17 13 -19 12 -55 
Como você observou, o zero é oposto dele mesmo. 
 
 
 
Q I 
Z 
N 
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Valor Absoluto ou módulo 
 
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro é a distância do ponto da reta que representa até o ponto que 
representa o zero (origem). 
 Dois números inteiros opostos têm o mesmo valor absoluto, isto é, o mesmo módulo. 
Concluímos que o módulo de um número inteiro é sempre um número natural, ou seja , é sempre um número 
positivo. 
Ex.: o módulo de –3 é 3. Indicamos |-3| = 3. Usamos barras verticais para indicar o módulo de um número. 
 O módulo de 3 é 3. Indicamos |3| =3. 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 
 
 
 
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
• Todos número negativo é menor que qualquer número positivo. 
Ex.: -8 < 2, 2>-8, -8<8, 8>-8 
 
• De dois números positivos, o menor é aquele que possui o menor valor absoluto. 
Ex.: 33<40, 40<35 
 
• De dois números negativos o menor é aquele que possui o maior valor absoluto. 
Ex.: -15<-7, -20>-35 
 
• Todo número negativo é menor que zero. 
Ex.: -4<0, 0>-4 
 
• Todo número positivo é maior que zero. 
Ex.: 2>0, 0<2 
 
• Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor. 
 
• Dois números inteiros são consecutivos se um deles é sucessor do outro. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) A independência do Brasil foi proclamada em 1822 d.C.; a Grécia foi conquistada pela Macedônia, na Batalha de 
Queronéia em 338 a.C.; a América foi descoberta por Cristóvão Colombo em 1492 d.C.; o termino da construção 
da Pirâmide de Queóps, no Egito, aconteceu em 2500 a.C. 
a) Que fato ocorreu primeiro? 
b) Que fato ocorreu por último? 
c) Que datas podemos indicar com números negativos? 
d) Que datas podemos indicar com números positivos? 
 
2) Um termômetro está marcando uma temperatura de +6 graus. Que temperatura ele marcará se a temperatura: 
a) Abaixar 5 graus? 
b) Subir 5 graus? 
c) Abaixar 8 graus? 
d) Abaixar 6 graus? 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Calcule a soma algébrica: 
a) –150 –200 +100 +300 = 
b) –3 +8 +5 –7 = 
c) 12 –18 –15 +20 +9 –7 –2 = 
d) –35 –15 +47 = 
e) 12 +20 –16 –16 = 
 
 
 
2) Calcule 
a) (+239)+(-416)+(-325)+(407) = 
b) (-13)+(18)+(52)+(-45)+(-21)+(12) = 
c) (-30)+(-8)+(32) = 
d) (-64)+(39)+(18)+(25) = 
 
3) Complete com >, < ou =: 
a) –38 +20-17 +13 –14 –12 +16 –11 _____ -60 
b) –5 +3 –4 –8 –11 +2 +1 _____ -22 
c) –1 +5 –6 –7 –0 +2 _____ 5 
d) 17 –14 –15 +12 –11 –18 –20 +11 _____ -15 
 
4) Calcule X + Y + z, sendo X= -7, Y= 2, Z= -4 
 
5) Júlio tinha 20 figurinhas para jogar bafo, Jogou com Beto e perdeu 7 figurinhas, jogou com João e ganhou 2, ao 
jogar com Ricardo ganhou 3 e perdeu 8 e com Luciano ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas Júlio ficou 
ao final do jogo? Represente em soma algébrica. 
 
6) Américo tem numa 6a feira R$ 750,00 em sua conta bancária. Retira R$ 120,00 para passar o final de semana, na 
2 a feira deposita o que sobrou dos R$ 80,00 que gastou, paga R$ 420,00 de aluguel, R$ 32,00 de conta 
telefônica, R$ 60,00 de convênio médico e 4a feira retida R$ 85,00. Seu saldo na 5a feira será devedor ou credor? 
Quanto? Demonstre. 
 
 
RESPOSTA 
 
1) a) 50 b) 3 c) –1 d) –3 e) 0 
2) a) –95 b) 3 c) –6 d) 18 
3) a) > b) = c) < d) < 
4) -9 
5) Nenhuma: 20 –7 +2 +3 –8 +1 –11 
6) Saldo credor de R$ 73,00 
750,00 –120,00 +40,00 –420,00 –420,00 –32,00 –60,00 –85,00 = 73,00 
 
 
 
EXEMPLO 
 
Dada a expressão literal 3x –2y +5z qual é o seu valor numérico para: 
a) x = 2 y = -3 z = -1 
b) x = -2 y = -4 z = -3 
c) x = 0 y = 1 z = 2 
 
 
 
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1) Calcule as expressões numéricas: 
a) 32 ÷ {14 ÷ (1 -3) –3 *3} –3 [(0 -10) ÷ 2 +3] 
b) –5 (4 –8 ÷ 4) +4 
c) 4 *20 ÷ (-10) + (-32) ÷ (16) * (-2) 
d) (-4 + 12) ÷ (-1 -3) – {-3 – [(-5) – ( -8 -4) ÷ (5 -3)] * (-3 +5)} ÷ (-9 +8) 
e) (26 –16 ÷ 2) (-13 +4 -3) 
 
2) Sendo a = -20 determine: 
a) a ÷ 2 
b) a ÷ 4 +5 
c) a ÷ (-4) 
d) a ÷ 5 +3 –1 
 
3) Em cada item, a letra x representa números inteiros. Quais são esses números? 
a) x > 6 ÷ 2 
b) x ≥ -8 ÷ 4 
c) x ≤ -4 ÷ 2 
d) x < -6 ÷ (-2) 
 
4) Quando o dividendo e o divisor têm sinais contrários, qual o sinal do quociente? 
 
5) Quando ima divisão em Z é considerada não exata? 
 
6) Que relação com a multiplicação demonstra que uma divisão é exata? 
 
 
 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
Potenciação 
 
 
Potência de expoente natural 
 Dados um número real a e um número natural n > 1, 
Chama-se potência enésima de a, e indica-se por an, o produto de n fatores iguais a a. 
 
an = a * a * a * ....* a 
n fatores 
 
Na potência an , o número real a chama-se base e o número natural n, expoente. Há dois casos particulares 
que foram excluídos da definição anterior: os casos de expoente 1 e expoente 0. Colocamos, então, por definição: 
 
ar = a e a0 =1 
 
Exemplos 
32 = 3 * 3 = 9 
(-2)3 = (-2) * (-2) * (-2) = -8 
(-2)4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 16 
(-1)2 = (-1) * (-1) = 1 
1230 = 1 
05 = 0 
 O próximo consiste em considerar expoentes inteiros quaisquer e não apenas naturais. 
 
 
 
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Potência de expoente inteiro 
 
Inicialmente, você deve observar que, se o expoente da potência for inteiro e não negativo e a base seja não nula, 
colocamos, por definição: 
a-n = 1/an , a ≠ 0 
 
Exemplos 
 
2-1 = 1/21 = ½; (-2)-3 = 1/(-2)3 = 1/-8 = -1/8 
 
4 – 2 = 1/42 = 1/16; (-2)-2 = 1/(-2)2 =1/4 
 
 
 
 
 
Propriedades operatórias das potências 
 
Para operar com potências, é muito importante que você conheça uma série de propriedades que passamos a 
expor.O domínio dessas propriedades é fundamental, principalmente em termos de rapidez de operação. Vamos a 
elas: 
 
Produto de potência de mesma base. Conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
 
am * an = am + n 
 
Divisão de potência de mesma base. Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes: 
 
am/an = am – n 
 
Potência de potência. Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
 
(am)n = am * n 
 
Potência de um produto. Distribui-se o expoente para os fatores e multiplicam-se as potências assim obtidas. 
 
(a * b)n = an * bn 
 
Potência de quociente. Distribui-se o expoente para o dividendo e o divisor e dividem-se as potências assim obtídas. 
 
(a/b)n = an/bn 
 
Potência de base fracionária e expoente negativo. Inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente. 
 
(a/b)-n = (a/b)n 
 
Exemplos 
a) 23 * 25 = 23 + 5 = 28 b) 32 ÷ 32 = 35 - 2 = 33 
c) (52)3 = 52 * 3 = 56 d) (3 * 5)4 = 34 * 54 
e) (3/5)4 = 34/54 f) (3/5)-4 = (5/3)4 = 54/34 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1) Classificação em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) (-7)2 + (-2) 2 = (-9)2 
b) (-4) 2 = 16 e -42 = -16 
c) (-1)0 * (-1)2 * (-1)3 * (-1)4 = (-1)9 
d) (-2)3 > (-3)2 
e) 32 * 30 * 33 = 35 
f) [5 -(-1)]2 = 52 – (-1)2 
g) 32 + 22 = 52 
h) (33)3 = 36 
i) [(-5)(4)]2 = (-5)2 * 42 
j) 20 = 1 e 01 = 0 
 
2) qual é a base (pode haver 2 bases ou até mesmo nenhuma) 
a) x3 = -8 
b) x2 = 16 
c) x2 = -9 
d) x0 = 1 
e) x5 = -1 
 
 
3) Qual é o expoente? 
a) 3x = 1 
b) -2x = 4 
c) –3x = -27 
d) –3x = 9 
e) –4x = 4 
Resposta 
 
1) a) F b) V c) V d) F e) V f) F g) F h) F i) V j) V 
 
2) a) –2 b) 4 ou –4 c) não existe d) qualquer número inteiro e) -1 
 
3) a) 0 b) 2 c) 3 d) 2 e) 1 
 
RADICIAÇÃO 
 
Vamos definir, agora, o símbolo √𝑎𝑎𝑛𝑛 , onde a é um número real qualquer e n um número natural maior que 1. Antes 
de definição é bom lembrar a terminologia usada: o símbolo √𝑎𝑎𝑛𝑛 lê-se “raiz enésima de a”. O número real a chama-
se radicando, o número n, índice da raiz e o sinal √ , radical. 
O símbolo n√a é definido nos seguintes casos: 
 
Para a real qualquer e n ímpar 
 
n√a é a número real b tal que bn =a 
 
 a ∈ R, n ∈ N, n ímpar 
n√a = b ⇔ bn = a 
 
Exemplos 
3√27 = 3 pois 33 =27 
3√8 = 2 pois 23 = 8 
3√-8 = -2 pois (-2)3 = -8 
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5√-1 = -1 pois (-1)5 = -1 
Para a real não negativo e n par 
 
n√a é a número real não negativo b tal que bn =a 
 
a ∈ R, n ∈ N, n par 
n√a = b ≥ bn = a 
 
 
 
Exemplos 
4√16 = 2 pois 24 = 16 
√9 = 3 pois 32 = 9 
6√1 = 1 pois 16 = 1 
 
ATENÇÃO √9 = 3 e não √9 = + 3. A definição, para o caso de índice n par, exige radicando a não negativo e resultado 
b não negativo. No caso específico de √9, por exemplo, não estamos procurando todos os números reais cujos 
quadrados resultem em 9, mas sim o número real não negativo cujo quadrado seja 9 (e este número é 3). 
Finalmente, observe que, para a < 0 e n par, o símbolo n√a não é definido em R. Por exemplo: √-9 ∉ R, pois não 
existe número real cujo quadrado seja –9 (lembre-se de que toda potência de expoente par é não negativa). 
 
 
 
1) Resolver: 
a) (-8) ÷ (√64 - √36) 
b) (23 - 32) ÷ √25 
c) (-7)2 ÷ √49 + 20 
d) √32+42 - 32 +10 
 
2) Usando a tabela de potências calcule: 
a) 5√16807 
b) 3√125 
c) 4√50625 
d) √64 
e) 5√a=5 
f) 4√256 
g) √a=4 
h) 3√27 + 3√216 + 3√512 + 3√3375 
i) 3√729 + 4√216 + 3√512 + 3√3375 
j) 4√2401 
 
3) Encontre a diferença entre o cubo de 8 e a raiz cúbica de 8. 
 
 
RESPOSTA 
 
1) a) –4 
b) –5 
c) 8 
e) 6 
 
2) a) 7 
b) 5 
c) 15 
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e) 8 
f) 4 
g) 16 
h) 32 
i) 23 
j) 7 
 
 
CRITÉRIOS DA DIVISIBILIDADE 
 
Um número é divisível por: 
2 ⇒ quando este número for par. 
3 ⇒ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. 
5 ⇒ quando terminar em zero ou 5. 
6 ⇒ quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. 
8 ⇒ quando os três últimos algarismo forem zero (000) u formarem um número divisível por 8. 
9 ⇒ quando a soma dos seus valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. 
10 ⇒ quando terminar em zero. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule o modo pelo método das divisões sucessivas. 
a) (80, 40, 72, 124) 
b) (144, 216, 288) 
c) (56, 84, 210) 
d) (63, 18) 
e) (72, 90, 108) 
 
2) Calcule o modo pelo método da decomposição em fatores primos. 
a) (84 e 150) 
b) 315 e 525 
 
3) Encontre os divisores comuns de: 
a) 30 e 50 
b) 24, 32 e 40 
 
4) Classifique os números em primo ou composto: 
a) 391 
b) 127 
c) 253 
d) 618 
e) 103 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Qual o menor número que devemos subtrair de 200 para obter um múltiplo de 7? E o menor número que 
devemos adicionar? 
 
2) Calcule o m.m.c. de: 
a) 48, 20, 40 e 36 
b) 6, 8 e 12 
c) 72, 80 
 
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3) Seja A o conjuntos dos 10 primeiros múltiplos de 15 e B o conjuntos dos 10 primeiros múltiplos de 20. Sendo 
assim: 
a) Escreva o conjunto A. 
b) Escreva o conjunto B. 
c) Quais são os múltiplos comuns de 15 e 20? 
d) Qual é o m.m.c. de 15 e 20? 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) Subtrair 4 e adicionar 3 pois, Como o resto é 4 subtraimos 4 para dar divisão exata, sendo assim fica o número 
196 e 196 ÷ 4 = 44. E como o resto é 4, adicionamos 3 para chegar a 7, assim o número fica 203 ÷ 7 =29. 
2) a) 720 b) 24 c) 720 
3) 
a) A = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135} 
b) B = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180} 
c) 0, 60 e 120 
d) 60 
 
 
 
NÚMERO MISTO 
 
Toda fração imprópria e não aparente pode ser transformada em número misto, ou seja, um número formado por 
uma parte inteira e uma parte fracionária. Esta transformação é obtida dividindo-se o numerador pelo 
denominador: o quociente é a parte inteira do número misto, o resto é o numerador e o denominador é o mesmo 
da fração original. 
 Veja: 
5/3 equivale a 1 2/3 (lê-se um inteiro e dois terços) 
 9/2 = 4 ½ (quatro inteiros e um meio); 
 15/4 = 3 ¾ (três inteiros e três quartos) 
 
 
TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA 
 
Para transformar um número misto em fração imprópria, multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-
se o produto com numerador, obtendo-se o novo numerador, o denominador mantém-se o mesmo. 
 Ex: 5/3 equivale a 1 2/3, pois 3 * 1 + 2 = 5 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Coloque as frações em ordem crescente, empregando o sinal <. 
a) 2/9, 6/9, 5/9, 8/9, 9/9, 4/9, 1/9, 3/9, 10/9, 7/9; 
 
b) 3/12, 3/9, 3/7, ¾, 3/5, 3/8, 3/11, 3/6, 3/10; 
 
c) 4/5, 7/10, 2/5, ½, 6/3; 
 
2) Transforme os números mistos em frações impróprias: 
a)3 ¼ 
b) 1 2/3 
c) 8 2/7 
 
 
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3) Transforme as frações impróprias em números mistos: 
a) 37/5 
b) 23/4 
c) 46/8 
 
4) Trone as frações irredutíveis: 
a) 10/6 
b) 4/12 
c) 12/36 
d) 30/45 
e) 28/48 
 
5) Reduza as frações ao mesmo denominador: 
2/5, 1/3, 3/2. 
 
6) Complete as frações de modo que elas sejam equivalentes: 
a) 6/? * 3/5 
b) 8/10 * 4/? 
c) 1/3 * ?/15 
 
7) Determine: 
a) Uma fração equivalente a 2/3 cujo denominador seja 15. 
b) Uma fração equivalente a 4/7 cuja numerador seja 16. 
c) Uma fração equivalente a 7/9 cujo denominador seja 72. 
 
8) Identifique as frações decimais e ordinárias: 
a) 6/10 
b) 3/7 
c) 8/12 
d) 68/100 
 
 
9) Classifique as frações em próprias, impróprias e aparente: 
a) 3/11 
b) 7/8 
c) 32/30 
d) 35/5 
e) 4/9 
f) 15/8 
g) 13/15 
h) 18/12 
i) 70/35 
 
10) Escreva como se lêem as frações: 
a) 1/5 
b) 3/7 
c) 7/9 
d) 1/15 
e) 4/18 
f) 73/1000000 
g) 12/100 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Qual o número que multiplicado por 4/7 dá 1? Como se chama este número em relação a 4/7? 
 
2) Uma cooperativa colocou 465 quilos de café em pacotes com ¾ de quilo cada um. Quandos pacotes foram 
obtidos? 
 
3) Se você dividir 6 3/10 por 9/20, que número você vai obter? 
 
4) Determine a fração que representa: 
a) A metade de um terço. 
b) A terça parte de um meio. 
c) O dobro de um quinto. 
d) O triplo de um quarto. 
e) A Quarta parte de um terço. 
5) Calcule e não esqueça de dar o resultado irredutível. 
a) 2/3 + 1/5 
b) ¾ + 5/2 
c) 3 1/3 + 7/3 
d) 3 + 1/9 
e) 10/3 ÷ 8/9 
f) 5/8 + 2 
g) 5/8 + 10/3 
h) 7/5 * 2/21 
i) 3/5 * 5/9 
j) 1 2/3 * 6/7 * 14 
 
6) Calcule: 
a) ¼ de 20 
b) 1/5 de 3/8 
c) 3/7 de 1/3 
 
7) Quanto dá 7/9 de 2/3 de 5/8? 
 
8) 1/3 de dia corresponde a quantas horas? 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) o número é 7/4 de 2/3 e recebe o nome de inverso. 
2) 620 
3) 14 
4) a) 1/6 b) 1/6 c) 2/5 d) ¾ e) ½ 
5) a) 10/3 b) 3/10 c) 10/7 d) 27 e) 15/4 
f) 5/16 g) 3/16 h) 2/15 i) 1/3 j) 20 
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EXERCÍCIOS 
Resolva as seguintes expressões numéricas: 
1) [9/2 –1/4(2 + 2/5)] + [11/3 + 11/7 + 4/3 * ½ + 5/6] 
 
2) 3 1/7 + 4/5 * [1/7 – 1/5 * (1/2 – 1/7 * 3)] 
 
3) [(3 – 1/5 * 2/3) * (1 – ½ * 1/5) -1] * (1 – 2/5 + 2/3) 
 
4) 5/4 + 3/5 * 2/5 ÷ ½ - 1/8 * 8/5 
 
5) 10/3 * 1/5 + 4/3 + 1/9 
 
6) 3 ¼ + 3/8 + 1 ½ - ¼ 
RESPOSTAS 
1) 117/94 ou 1 23/94 
2) 99/196 
3) 79/125 
4) 37/6 
5) 5/3 
6) 9 11/12 ou 119/12 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Determine o valor das expressões: 
a) (2 1/3)2 – [(3/5 + 1) * (1/2) 2 + 1/10] 
b) (1/2 + 2/3) 2 ÷ (1/2)2 + (2/3)2 + (3/5)2 
c) 1 – 2/7 * 1/3 ÷ 3/7 * 1/5 + 1/3 
 
7) Sendo A = 3/5 e b = 1/3, verifique se as expressões são verdadeiras ou falsa. 
a) (A + B) 2 = A2 + B2 
b) (A/B)2 = A2/B2 
 
8) Sendo A = ½, B = 1/3 e C = 2/5 encontre o valor numérico de: 
a) A – B + 5 * C 
b) A/3 + B/5 – C/2 
c) (A/B)2 + (A/C) 2 
d) A2 – B2 + C2 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
1) a) (7/3) 2 – [(3/5 + 5/5) * ¼ + 1/10] = 49/9 – [8/5 * ¼ + 1/10] = 49/9 – [2/5 + 1/10] = 49/9 – [4/10 + 1/10] 
 
= 49/9 – 5/10 = 49/9 – ½ = 98/18 – 9/18 = 89/18 
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c) (3/6 + 4/6)2÷¼ + 4/9 ÷ 9/25 = (7/6)2÷9/36 + 16/36 ÷ 9/25 = 49/36÷25/36 ÷ 9/25 – 49/36 * 36/25 * 25/9 = 
49/9 
 
d) 1 – 2/21÷3/35 + 1/3 = 21/21 – 2/21÷9/105 + 35/105 = 19/21÷44/105 = 19/21 * 105/44 = 5/44 
 
2) a) falsa 
(3/5 + 1/3)2 = (9/15 + 5/15)2 =(14/15)2 = 196/225 * (3/5)2 + (1/3)2 = 9/25 + 1/9 = 81/225 + 25/225 = 106/225, 
196/225, 106/225 
 
 
NÚMERO DECIMAL 
 
Observe: 
 
17/10 = 10+7/10 = 10/10 + 7/10 = 1 7/10 = 1,7 
 
235/100 = 200+30+5/100 =200/100 + 35/100 = 2 35/100 = 2,35 
 
42731/1000 = 42000+700+30+1/1000 = 42000/1000 + 731/1000 = 42 31/1000 = 42,731 
 
Os números 1,7 2,35 e 42,731 são chamados números decimais. 
Obs: Usamos a vírgula para separar as unidades decimais. 
 
Parte Inteiro , Parte Decimal 
Milhar Centena Dezena Unidade , Décimo Centésimo Milésimo 
 
Como você pode observar nos exemplos acima, um zero = um algarismo na decimal e três zeros = três 
algarismos na casa decimal. 
Assim: Para escrever um fração decimal na forma de número decimal, devemos escrever apenas, o numerador e 
nele esquerda, o número de zeros que tem denominador. 
 
 
Ex.: 172/100 = 1,72 245/10 = 24,5 
 
Se for necessário acrescentamos zeros à esquerda do número: 
 
15/100 = 0,15 32/1000 = 0,032 
 5/1000 = 0,004 
 
 
LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL 
 
Para fazer a leitura de um número decimal, devemos ler: 
• a parte inteiro do número 
• a parte decimal, seguida das palavras décimos, centésimos, milésimos, etc. 
 
Veja: 
 
5,63 = cinco inteiros e sessenta e três centésimos (duas casa decimais) 
0,35 = trinta e cinco centésimos (duas casas decimais) 
4,5 = quatro inteiros e cinco décimos (uma casa decimal) 
12,136 = doze inteiros e cento e trinta e seis milésimos (três casas decimais) 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Vamos considerar os números decimais 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300. Entre eles há números iguais? Quais 
são? 
 
2) Usando os sinais = ou ≠, compare os números. 
a) 0,07000 e 0,07 
b) 6 e 6,000 
c) 0,015 e 0,150 
d) 2,025 e 2,25 
e) 1,010 e 1,01 
 
3) Numa calculadora Sandra digitou 6,21 e Márcia 6,198. Qual delas digitou o menor número? 
 
4) O números 5,05 está situado entre 2 números naturais. Quais são esses números? 
 
5) A fração decimal 31/100 representa o número 0,031? 
 
6) Considerando o número 18,406 responda: 
a) Quantos algarismos há na parte decimal? 
b) Quantos algarismos há na parte inteira? 
c) Que ordem ocupa o algarismo 0? 
d) Que ordem ocupa o algarismo 1? 
e) Que algarismo ocupa a ordem dos décimos? 
 
7) Quais igualdades são verdadeiras? 
a) 3,65 = 36,5 
b) 48,1 = 481/10 
c) 0,03 = 0,030 
d) 0,04 = 0,4 
e) 87,900 = 87,9 
f) 489,35 = 48935/100 
 
 
8) Transforme em número decimal de fração decimal. 
 
a) 54/10 
b) 5,3 
c) 351/100 
d) 5,18 
e) 5320/1000 
f) 53,41 
g) 35/100 
h) 18,35 
i) 8/1000 
j) 4,315 
l) 14274/10000 
m) 0,2 
n) 85/1000 
o) 0,31 
p) 0,93 
q) 415/100000 
r) 0,04 
s) 59/1000 
t) 0,081 
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u) 0,093 
v) 8/10000 
x) 0,0005 
z) 2358/100 
 
9) Escreva o número decimal correspondente a: 
a) dois inteiros e três décimos 
b) um inteiro e dezessete milésimos 
c) oitenta e três centésimos 
d) cinco décimos 
e) mil quinhentos e vinte e nove décimos milésimos 
 
10) Iguale o número de casas decimais. 
a) 1,4 e 3,428 
b) 4,53 e 0,30000 
c) 40,300 e 2,7 
d) 1,83; 1,5 e 0,002 
e) 0,0064 e 1,3 
 
 
Potenciação de Decimais 
Para elevar um número decimal a um expoente natural: 
1) Elevamos o numeral ao expoente natural 
2) Damos ao numero encontrado tantas casa decimais quanto seja o número de casas decimais da base 
multiplicado pelo expoente 
Exemplo: (0,5)2 = (0,5) (0,5) = 5/10 x 5/10 = 25/100 = 0,25 
Exercícios: 
1) Coloque na forma de numerais decimais as seguintes frações: 
a) 16/3 b) 13/6 c) 4/9 d) 217/5 e) 611/4 
 
2) Calcule: 
a) o quadrado de dois décimos 
b) o quadrado de dois inteiros e três décimos 
c) o cubo de doze centésimos 
d) o cubo de dois inteiros e quatro centésimos 
e) a quinta potência de um décimo 
 
Respostas: 
1) a) 5,33 b) 2,16 c) 0,44 d) 43,4 e) 152,75 
2) 
a) (0,2)2 = 0,04 
b) (2,3) 2 = 5,29 
c) (0,12) 3 = 0,001728 
d) (2,04) 3 = 8,489664 
e) 0,00001 
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
1) Seja a equação ax+b = 0 com a e b ∈ R, a≠0 de modo x = -b/a 
 
Exemplo: 
 3x –9 = 0 
 3x =9 
 x = 9/3 
 x = 3 S+{3} 
2) Determinar no Universo R, o conjunto verdade, ou conjunto solução da equações: 
 
a) 5x – 4 + = -2 + 2x S = {2/3} 
b) –x/3 + x/4 –2 = -3x +5 S = {84/35} 
c) 1/3 + 2/x = 2/6 S = {} ou S = 0 
d) 1/2x + 1/5 = 2/10x S = {-2/3} 
e) x+1/3x + 1/6 = 1/2x S = {-1/5} 
f) 3x + (2-x) = 4 S = {1} 
g) 4x – 12x + 6 + 3x = 5 + 3x S = {1/8} 
h) 2(3+2x)/3 – 2 = -4+2/5 +4 S = {3/10} 
i) x-4/5 – x+2/10 = x-5/2 S = {19/10} 
 
3) Problemas do 1º grau. 
 
a) Qual o número que adicionado a 27 igual a 59? S = {32} 
b) Subtraindo 31 de um certo número, obtemos 76. Qual é esse número? S = {107} 
c) Determine um número natural que multiplicado por 21, resulte 273. S = {13} 
d) Determine um número natural que dividido por 17 resulte 65. S = {1.105} 
e) O triplo de um número menos 7 é igual a 80. Qual é o número? S = {29} 
f) Em uma prova do campeonato de fórmula 1, ¼ dos carros bateram na largada e ficaram fora da corrida. 
durante corrida, 2/7 dos carros tiveram de abandonar a prova por defeito mecânico. Apenas 13 carros 
terminaram a corrida. Nesses condições, quantos carros iniciaram a prova? S = {28} 
g) São dados dois números cuja soma é 63. O maior deles supera o menor em 21 unidades. Quais são esses 
números? S = {21 e 42} 
h) Em um estacionamento há carros e motos, num total de 38 veículos e 136 rodas. Quantos carros e quantas 
motos há no estacionamento? Resp = 30 carros e 8 motos. 
i) A soma da Sexta parte com a Quarta parte de um determinado número é a mesma que a diferença entre esse 
número e 56. Qual é a número? Resp = 56 
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j) Numa certa cidade, os taxímetros marcam nos percursos sem paradas, uma quantia inicial de 4 UT (unidade 
taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. O taxímetro marcou 8,2 UT. Qual o total de quilômetros 
percorridos? Resp = 21 Km 
k) A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Qual é o produto desses três números? 
 
 
 
RAZÃO E PROPORÇÕES 
 
 
 
I – Chama-se razão entre dois números, a e b dados numa certa ordem, com b = 0, ao quociente 1º e pel 2º ou seja r 
= a/b, b ≠ 0, onde a é chamado antecedente e b conseqüente. 
 Exemplo: 
 
A razão entre 4 e 8 é r = 4/8 u 0,5 
 
A razão entre 8 e 4 é r = 8/4 = 2 
 
II – Proporção é a expressão que indica uma igualdade entre 2 razões. 
 
Ex.: a/b = c/d então a * b = b *c, 
 
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
 
Exercícios 
 
1) Calcular x e y, na proporção: 
 
X/5 = y/2, sendo x –y = 21 
Res: 35 e 14 
 
2) Calcular a e b, na proporção: 
 
8/a = 3/b, sendo a – b = 50 
Res: 80 e30 
 
 
3) Calcular x e y, na proporção 
 
X/7,5 = y/2,3 , sendo x – y = 20,8 
Res: 30 e 9,2 
 
4) Na série de razões iguais x/2 = y/5 = z/9, calcular x, y, z sabendo que : x + y + z = 64. 
Res: 8; 20; 36 
 
 
 
REGRA DE TRÊS 
 
 Grandeza é tudo aquilo que pode ser comparado ou medido. 
 
 
 
 
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a) GRANDEZA DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer de uma das 
grandezas é igual à razão dos valores correspondentes da outra grandeza, isto é, as grandezas variam na mesma 
proporção: se uma aumenta, a outra aumenta na mesma proporção ou se uma diminui a outra diminui na 
mesma proporção. 
Nós usamos flechas para demonstrar se a proporção aumenta ou diminui, e se as flechas estiverem no 
mesmo sentido as razão resultam de grandezas dietamente proporcionais. 
 
Exemplo: Com 4 Kg de farinha de trigo um padeiro faz 60 pães. Com 60 Kg de farinha ele faz 90 pães. 
 
Veja: 4/6 = 60/90 
 
 
Como você viu, se aumentar a quantidade de farinha, aumenta-se também a quantidade de pães, por isso, 
dizemos que estas grandezas são diretamente proporcionais. 
 
 
b) GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão de dois valores quaisquer de uma 
grandezas é igual à razão inversa de valores correspondentes da outra, isto é, as grandezas variam na proporção 
inversa: se uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção ou se uma diminui, a outra aumenta na mesma 
proporção. 
Neste caso as flechas estarão em sentido contrário para ver que as razões resultam de grandezas 
inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: 4 pedreiros fazem um serviço em 24 dias e 12 pedreiros farão esse mesmo serviço em 8 dias. 
 
 4/12 = 24/8 
 
Como você viu, se aumentou o número de pedreiros, diminuiu o número de dias, por isso, dizemos que as 
grandezas são inversamente proporcionais. 
 
 
REGRAS DE TRÊS 
 
É um problema em que se procura uma quantidade desconhecida, por meio de outras conhecidas, as quais mantém 
relações de proporção. A regra de três pode ser simples ou composta. 
 
I – REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
A regra de três é considerada simples quando envolve somente dois pares de grandeza, ou seja, envolve quatro 
termos sendo um deles desconhecido. Os pares de grandeza são denominados termos principais e termos relativos. 
 Termos Principais – são os dois termos conhecidos, de espécies diferentes. 
 Termos Relativos – são os dois termos da mesma espécie dos principais, sendo um deles desconhecidos. 
 
Exemplo: Numa pesquisa em cada 10 pessoas entrevistadas, 8 acham o seu salário injusto. Se fossem 
pesquisadas 50 pessoas, quantas achariam o seu salário injusto? 
 
 Pessoa Salário injusto 
 10 8 Termos principais: (10 e 8) 
 50 X 
Termos Relativos:(50 e x) 
 
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a) REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA: 
 
Quando as grandezas que nela aparecem são diretamente proporcionais, Exemplos: 
 
1) Numa oficina, 20 costureiras fazem 40 calças por dia. Quantas calças fariam 32 costureiras. 
 
Costureiras Calças 
20 40 
32 X 
 
As grandezas são diretamente proporcionais pois se 20 costureiras fazem 40 calças, mais costureiras farão 
mais calças, então as flechas ficam no mesmo sentido. 
 
Agora eu resolvo a proporção: 
 20 * x = 40 * 32 
 20x = 1280 
 x = 1280/20 
 x = 64 
 
 20/32 = 40/x 
Res. 32 costureiras fariam 64 calças. 
 
2) uma Parati percorreu 330 Km em 5 horas. Quantos quilometros percorrerá em 9 horas se conservar a mesma 
velocidade? 
 
Km horas 
330 5 
331 9 
 
se em 5 horas ele percorre 330 Km em 9 horas ele percorrerá mais, então flechas no mesmo sentido.(mais 
hora, mais Km) 
 
330/x = 5/9 
5 * x = 330 * 9 
5x = 2970 
x = 2970 ÷ 5 
x = 594 
 
Res. A parati percorrerá 594 Km 
 
 
b) REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA: 
 
Quando as grandezas que aparecem são inversamente proporcionais. Exeplos: 
 
1) Uma revista foi impressa com 80 páginas tendo 32 linhas por página. Se fosse impressa com 20 linhas por 
página, qual seria o número de páginas de revista? 
 
linhas páginas 
32 80 
20 x 
 
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Se com 32 linhas eu tenho 80 páginas, com menos linhas eu tenho mais páginas, então, as grandezas são 
inversamente proporcionais e as flechas são em sentido contrário. 
Para resolver esta proporção, eu inverto a primeira razão para que as flechas fiquem no mesmo sentido, 
(portanto, eu inverto o sentido da 1ª flecha) 
 
32/20 passa a 20/32. Veja : 20/30 = 80/x 
 
agora resolvo normalmente. 
 
20 * x = 80 * 32 
20x = 2560 
x = 2560/20 
x = 128 
 
Res. Com 20 linhas por página a revista teria 128 páginas. 
 
2) Uma turma de 60 operários constrói um prédio em 20 meses. Em quanto tempo um equipe de 80 operários 
construiria o mesmo prédio? 
 
 
Operários meses 
60 20 
80 x 
 
grandezas inversamente proporcionais 
 
80 * x = 20 * 60 
80x = 1200 
x = 1200/80 
x = 15 
 
 80/60 = 20/x 
 
 Res. Com 80 operários a equipe construiria o prédio em 15 meses 
 
3) um avião com a velocidade de 320 Km/h, quanto tempo levaria para fazer a viagem? 
 
Km/h horas 
320 6 
360 x 
 
grandezas inversamente proporcionais. 
 
 
 320/360 = 6/x 
 
 360 * x = 320 * 6 
 
 360x = 1920 
 x = 1920/360 
 
Como não dá para dividir eu simplifico e deixo o resultado como fração. 
 
X = 1920/120÷360/120 = 16/3 
 
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Res. Com velocidade de 360 Km/h o avião fará a viagem em 16/3 h, ou seja, 5 horas e 20 minutos. 
 
Transformaremos 16/3 h em horas e minutos para não ficar um resultado estranho. 
Veja: 
 
 16 h | 3 
 1h 5 h 20 min 
 x 60 
 60 min 
 00 
 
II – REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
 É a regra de três que relaciona três ou mais grandezas. 
A resolução é feita analisando a grandeza desconhecida (x) com cada grandeza dada, para saber se as grandezas são 
diretas ou inversamente proporcionais. 
 
 Coloca-se a seta para baixo na grandeza pedida e discute-se cada outra grandeza dada. 
 
a) se for diretamente proporcional as setas serão no mesmo sentido. 
 
b) se for inversamente proporcional, as setas serão em sentido contrário. 
 
 Na proporção, conserva-se a ordem das grandezas diretamente proporcionais e inverte-se a ordem das 
inversamente proporcionais. Exemplos: 
 
1) Dez operários trabalhando 8 horas por dia, levam 3 dias para executar uma obra. Quantos operários serão 
necessários para fazer a mesma obra, se trabalharem 10 horas por dia durante 6 dias? 
 
 
 
 
 
 
a) comparando operários com horas: trabalhando mais horas, precisarei de menos operários, portanto, 
inversamente proporcional. 
 
b) comparando operários com dias: trabalhando mais dias, precisarei de menos operários, portanto, 
inversamente proporcional. 
 
Para calcular, inverterei os valores da 2ª e 3ª grandeza: 
 
10/X = 10/8 * 6/3 = 10/x = 60/24 
 
60x = 24 * 10 
60x = 240 
x = 240/60 
x = 4 
 
Res. Para trabalhar em 6 dias eu precisarei de 4 operários. 
 
 
 
 
Operários Dias Horas 
10 3 8 
x 6 10 
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2) Dezoito operários constróem um muro de 600m em 72 dias. Diminuindo-se 6 operários, quanto tempo levará o 
restante da turma para construir 900 m do mesmo muro? 
 
 
 
 
 
 
Comparando dias com operários: se eu tenho menos operários, eu precisarei de mais dias, portanto, inversamente 
proporcionais. 
Comparando dias com metros: se eu tenho mais metros, eu precisarei de mais dias, portanto, diretamente 
proporcional. 
 
 Neste caso, eu inverterei os valores somente da 2ª grandeza: 
 72/x = 12/18 * 600/9000 
 72/x = 7200/16200 
 7200 * x = 16200 * 72 
 7200x = 1166400 
 x = 1166400/7200 
 x = 162 
 
 Res. Doze operários levarão 162 dias para construir 900 m de muro. 
 
3) Uma empresa cobrou R$ 200,00 para transportar 10 caixas a uma distância de 20km. Quanto deverá cobrar 
para transportar 50 caixas a uma distância de 40 km? 
 
 
 
 
 
 
Comparando custo cm caixas: se número de caixas é maior, o custo também será maior, portanto, diretamente 
proporcional. 
Comparando custo com distância: se a distância for maior, o custo também será maior, portanto, diretamente 
proporcional. 
 
 200/x = 10/50 * 20/40 
 200/x = 200/2000 
 200x = 200 * 2000 
 200x = 400000 
 x = 400000/2000 
 x = 2000 
 
 Neste caso, não precisarei inverter o valor de nenhuma grandeza. 
 Res. Para transportar 50 caixas a uma distância de 40 Km a empresa cobrará R$ 2.000,00. 
 
 
 
PROBLEMAS 
1) Quinze pessoas, trabalhando 3 horas por dia, durante 20 dias produzem 300 peças. Quantas pessoas, 
trabalhando 4 horas por dias, durante 30 dias, seriam necessárias para fazer 1200 peças? 
 
2) Uma pilha de 50 jornais iguais, com 30 páginas cada um, pesa 75 Kg. Quantos kg pesaria uma pilha de 100 
jornais com 20 páginas cada um? 
 
Dias Metros Operários 
72 600 18 
x 900 12 
Custo Distância Caixas 
R$ 200,00 20 km 10 
x 40 km 50 
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3) Sabendo-se que a carga máxima de umelevador é de 7 adultos com 80 Kg cada um, quantas crianças, pesando 
35 Kg cada uma, atingiriam a carga máxima desse elevador? 
 
4) Se 5 homens podem arar um campo de 10 há em 9 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos homens serão 
necessários para arar 20 há, em 10 dias, trabalhando 9 horas por dia? 
 
5) Uma montadora de automóveis demora 10 dias de trabalho, a 9 horas por dia, para produzir 250 veículos. 
Quantos dias serão necessários para produzir 300 veículos trabalhando 12 horas por dia? 
 
6) Para alimentar 50 coelhos durante 15 dias são necessários 90 kg de ração. Quantos coelhos é possível alimentar 
por 20 dias com 117 kg de ração? 
 
7) Um fumante consome 20 cigarros por dia e tem uma expectativa de vida de 68 anos. Qual será sua expectativa 
de vida fumando 40 cigarros por dia? 
 
8) Um Escort consome, em média, 9 litros de álcool num trecho de 81 Km. Qual será o consumo de álcool em 180 
Km? 
 
9) Se, de cada 30 Kg de café cru resultam 25 Kg de café torrado, quantos Kg de café cru serão necessários para se 
obter 200 kg de café torrado? 
 
10) Um livro tem 250 páginas de 40 linhas cada e tendo cada 66 letras. Reimprimindo-o com os mesmos caracteres, 
porém cm páginas de 30 linhas de 50 letras cada uma, quanto as páginas terá o livro? (+ letras + páginas; + 
linhas – páginas). 
 
11) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra. Têm respectivamente, 24 e 108 dentes. Quantas voltas dará a 
menor, enquanto a maior dá 16 voltas? 
 
12) Completamente aberta, uma torneira enche um balde de 20 Lts em 33 segundos. Qual é o tempo necessário 
para encher um tanque de 1240 lts? 
 
13) Um automóvel com a velocidade média de 60 Km/h, rodando 7 horas por dia, leva 20 dias para fazer certo 
percurso. Quantos dias levaria o mesmo automóvel, para fazer aquele percurso, se viajasse 12 horas por dia, 
com a velocidade média de 50 km/h? 
 
14) Uma roda de engrenagem dá 5820 voltas em 15 minutos. Quantas voltas dará em 1 hora e 18 minutos? 
 
15) Com 50kg de farinha pode-se obter 75 kg de pão. Quantos kg de farinha serão necessários para fabricar 120 kg 
de pão? 
 
16) Cem quilogramas de arroz fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz com casca serão 
necessários para produzir 300 kg de arroz sem casca? 
 
17) Em 8 dias, cinco pintores pintam uma casa. Se fossem três pintores a mais , quantos dias seriam necessários 
para pintar a mesma casa? 
 
18) Um rato está 30 metros à frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8m, o gato corre 11m, com 
o mesmo tempo. Qual a distância que o gato terá de percorrer para alcançar o rato? 
 
19) Uma torneira enche um tanque em 6 horas enquanto outra faria o mesmo em 4 horas. Em quanto tempo as 
duas torneiras juntas, encheriam o tanque? 
 
20) Em dois tanques há 3.300 litros de águas. Calcule as capacidades dos dois tanques sabendo que as suas 
capacidades estão entre si como 5 está para 6. 
 
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21) Dividir 540 em partes proporcionais aos números 1,2,3. 
 
22) Dividir 840 em partes proporcionais aos números 2/3, ½ e 5/6. 
 
23) Dividir 6.500 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 
 
 
RESPOSTA 
 
1) 30 pessoas 
2) 100kg 
3) 16 crianças 
4) 8 homens 
5) 9 dias 
6) 48 coelhos 
7) 34 anos 
8) 20 litros 
9) 240 kg 
10) 440 páginas 
11) 72 voltas 
12) 34 min. 6 s 
13) 14 dias 
14) 30264 voltas 
15) 80 kg 
16) 312,5 kg 
17) 5 dias 
18) 110 m 
19) 2 h e 24 min 
20) 1500 litros e 1800 litros 
21) 90, 180 e 270 
22) 280; 210; 350 
23) 3000; 1500; 2000 
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
 
• MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
 
A unidade fundamental utilizada para comprimento é o METRO. 
A tabela abaixo mostra a relação entre o metro e seus múltiplos e submúltiplos. 
 
MÚLTIPLOS NOME 
EQUIVALENTE 
 SÍMBOLO 
 Quilômetro 1000 m Km 
 Hectômetro 100 m Hm 
 Decâmetro 10 m Dam 
SUBMÚLTIPLOS 
 Decímetro 0,1 m Dm 
 Centímetro 0,01 m Cm 
 Milímetro 0,001 m Mm 
 
 
 
 
 
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- TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES 
 
Para transformar uma unidade em outra imediatamente inferior, multiplicamos por 10 e para transformar em 
outra imediatamente superior, dividimos essa unidade por 10. 
 
Exemplos: 
a) 32,4 hm = 324 m = 3.240 km 
 
b) 852 m = 85,2 dam = 8,52 hm = 0,852 km 
 
c) 30 cm = 3 dm = 0,3 m = 0,03 dam = 0,003 hm 
 
- MEDIDAS DE SUPERFÍCIE 
 
A unidade fundamental para medir superfície ou área, é o METRO QUADRADO. Por exemplo, o tamanho, o 
tamanho de um terreno é dado pela sua área: 250 m2 , 500 m2 , 1000 m2 , etc. 
 
MÚLTIPLOS NOME EQUIVALENTE SÍMBOLO 
1.000.000 m2 Quilômetro quadrado Km2 
10.000 m2 Hectômetro quadrado Hm2 
100 m2 Decâmetro quadrado Dam2 
 
METRO 
QUADRADO 
 
0,01 m2 Decímetro quadrado Dm2 
0,0001 m2 Centímetro quadrado Cm2 
0,000001 m2 Milímetro quadrado Mm2 
 
• Transformação de Unidades 
 
Para transformar uma unidade em outra imediatamente inferior ou superior, multiplicamos ou dividimos 
essa unidade por 100. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) 5 Km2 = 500 hm2 = 50.000 dam2 = 5.000.000 m2 
b) 532 cm2 = 5,32 dm2 = 0,0532 m2 
 
 
EXERCÍCIO 
 
1) Faça as transformações indicadas: 
 
a) 5 dam = m 
b) 2 dm = dm 
c) 83,2 m = cm 
d) 56,43 m = m 
e) 8 Km = m 
f) 53 dam = km 
g) 324,2 cm = km 
h) 3 dam2 = m2 
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i) 8 dm2 = m2 
j) 65m2 = cm2 
k) 8,6 Km2 = m2 
l) 968.702 mm2 = cm2 
m) 580,3 hm2 = dm2 
 
• MEDIDASS DE CAPACIDADE 
 
A unidade fundamental utilizada para medir capacidade é o LITRO. 
A tabela abaixo mostra os múltiplos e submúltiplos do litro. 
 
MÚLTIPLOS NOME 
EQUIVALENTE 
SÍMBOLO 
1.000 L Quilolitro Kl 
100 L Hectolitro Hl 
10 L Decalitro Dal 
1 L LITRO L 
SUBMÚLTIPLOS 
0,1 L Decilitro Dl 
0,01 L Centilitro Cl 
0,001 L Mililitro Ml 
 
 
• Relação entre Volume e Capacidade 
 
Um decímetro cúbico corresponde a um litro. 
 
 1 dm3 = 1 Litro 
 
Utilizando a correspondência entre decímetro cúbico e litro, podemos transformar uma unidade de 
capacidade. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) 1 m2 = 1.000 dm2 = 1.000 L 
b) 0,21 dam2 = 210 m3 = 210.000 dm3 = 210.000 L 
c) 1.453 cm3 = 1,453 dm3 = 1,453 L 
d) 53 dL = 5,3 L = 5,3 dm3 
 
EXERCÍCIO 
 
a) 5 dm3 = _________________L 
b) 2 m3 =_________________dm3 
c) 0,43 Kl =_________________ hl 
d) 524 cl =_________________L 
e) 0,32 hl =_________________ dm3 
f) 2,3 dam3 =_________________L 
 
 
 
 
 
 
 
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PORCENTAGEM 
 
 Porcentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo % (Porcento). 
 
 
 51% 
• Cinqüenta e um por cento 51/100 
 0,51 
 
Essa forma de representação (71%, 51%, etc) – chama-se TAXA PORCENTUAL. 
 
 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: 
 
Calcular 5% de800. 
 
Solução: 
Podemos resolver de dois modos: 
 
A) 5% de 800 = 5/100 de 800 = 5*800/100 = 4000/100 = 40 
 
B) 5% de 800 = 0,05 de 800 = 0,05 * 800 = 40 
 
Resposta 40. 
 
Exemplo 2: 
 
Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes, Calcule o número de rapazes. 
 
Solução: 
 
 42% de 900 = 42*900/100 = 37800/100 = 378 
 
Resposta 378 rapazes 
 
Exemplo 3: 
 
Numa classe de 40 alunos, 25% são meninas. Quantos são meninos? 
 
Solução: 
• porcentagem de meninos – 100% - 25% = 75% 
• 75% de 40 = 75*40/100 = 3000/100 = 30 
 
Resposta 30 meninos 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule: 
 
1. 0,5% de R$ 120.000,00 
2. 0,25% de 70.000,00 
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3. 3,5% de R$ 34.000,00 
4. 16,5% de R$ 28.000,00 
5. 182% de R$ 50.000,00 
6. 210% de R$ 600.000,00 
 
2) Calcule: 
 
a) (10% de 20) + (20% de 30) + (30% de %50) 
b) (5% de 40) + (10% de 72) + (20% de 135) 
 
3) Calcule 2% de A, onde A = (1 + 1/2)2 ÷ ¾ - 2/3 (1 – 1/4) 
 
4) Um objeto que custava R$ 1.500,00 teve um aumento de 120%. Qual o valor de objeto após o aumento? 
 
5) Num lote de 1.00 peças. 65% são do tipo A e 35% do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo b são 
defeituosas, quantas peças defeituosas deve haver no lote? 
 
6) Um senhor contrata um advogado e ele consegue receber 90% do valor da questão avaliada em R$ 80.000,00 
cobrando a títulos de honorários, 25%, da quantia recebida. Qual a importância que sobra para quem contratou 
o advogado? 
 
7) Uma vendedora de uma loja ganha um salário fixo mensal de R$ 750,00 acrescido de 3% do valor das vendas 
efetuadas durante o mês. Responda: 
a) Qual salário mensal quando vende no mês R$ 1.600,00 ? 
b) Qual salário mensal quando vende no mês R$ 7.180,00 ? 
c) Qual salário mensal quando vende no mês R$ 77,00 ? 
 
8) um comerciante pretendia obter R$ 100,00 pela venda de 500 laranjas. Ao receber as laranjas de seu 
fornecedor, constatou que 20% estavam imprestáveis ao consumo. Para conseguir a quantia prevista 
inicialmente, por quanto teve que vender cada laranja restante? 
 
9) Uma geladeira é oferecida por R$ 600,00. Este preço sofre um desconto de 20% e depois de 15%. Qual o novo 
preço de venda ? 
 
10) Um vendedor disse inicialmente que dava 15% de desconto sobre uma mercadoria mais, no fim, deu mais 10% 
de desconto sobre o primeiro desconto. Qual foi o desconto único equivalente que ele deu no fim ? 
 
EQUAÇÕES DO 1° GRAU 
 
Chamamos de equação do 1° grau as sentenças matemáticas separadas pelo sinal de igual onde o intento é isolar a 
variável para descobrimos seu valor real. 
 
EXEMPLO: 
 
 3x + 5x = -24 
 8x = -24 
 x = -24/8 
 x = 3 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Determine o valor de x. 
 
a) 2x – x – 4= 0 
b) 3x + x – 1/3 = 0 
c) x + 0,25x = 500 
d) x – 0,1x = 540 
e) x + 3x = √2 
f) 8x + 2x = √3 
g) 3x – 2x -2√2 =0 
h) 4x + 6x - √2 = 1 
i) 8x – 7x - 2 = √3 
j) 2 * (x - 1) = √10 + x 
 
 
PROBLEMAS DO 1° GRAU 
 
São problemas onde a partir da sua leitura montamos uma equação do 1° grau e só então resolvemos. 
 
EXEMPLO: 
Qual número adicionado com sua metade dá 4,5 ? 
 
Solução: x + x/2 = 4,5 
 2x + x = 9 
 3x = 9 
 x = 9/3 
 x = 3 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Um número adicionado com sua décima parte dá 55. Qual é esse número ? 
 
2) Os 2/3 de um número adicionado com o próprio número dá –10. Qual é esse número ? 
 
3) Se adicionarmos um número à sua metade e a sua Terça parte, obteremos 16,5. Que número é esse ? 
 
4) Qual é o número que acrescido a 10% de seu valor resulta em 1650 ? 
 
5) Num certo não, a produção de uma indústria alcançou 720.000 unidades. Essa produção representou um 
aumento de 20% em relação ao ano anterior ? 
 
6) Neste bimestre, a metade dos alunos da escola de Adriana obteve média acima de cinco, a terça parte de turma 
obteve média cinco e os outros 70 alunos alcançaram média inferior a cinco. Quantos alunos têm a escola de 
Adriana ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DO 2° GRAU 
 
Toda equação do tipo ax² + bx + c = 0 é uma equação do 2° grau, com a ≠ 0 
Uma das formas de resolvê-la é através da Fórmula de Bhaskara. 
A letra x é a incógnita, e as letras a, b e c são números reais que exercem a função de coeficientes da 
equação. Apenas o coeficiente a deve ser diferente de zero. Se nenhum dos coeficientes for nulo, dizemos que se 
trata de uma equação completa; mas se algum dos coeficientes b e c for zero, dizemos que é uma equação 
incompleta. 
Quando resolvemos uma equação do 2° grau, podemos encontrar até dois resultados. Esses valores são 
chamados de raízes da equação. A fórmula de Bhaskara apresenta-se da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
Achar as raízes das equações: 
a) x2 - x - 20 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) x2 - 3x -4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você 
vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Resolva as equações: 
 
1) x² - 5x + 6 = 0 (R: 2, 3) 
2) x² - 8x + 12 = 0 (R: 2, 6) 
3) x² + 2x - 8 = 0 (R: 2, -4) 
4) x² - 5x + 8 = 0 (R: vazio) 
5) 2x² - 8x + 8 = 0 (R: 2,) 
6) x² - 4x - 5 = 0 (R: -1, 5) 
7) -x² + x + 12 = 0 (R: -3, 4) 
8) -x² + 6x - 5 = 0 (R: 1, 5) 
9) 6x² + x - 1 = 0 (R: 1/3 , -1/2) 
10) 3x² - 7x + 2 = 0 (R: 2, 1/3) 
11) 2x² - 7x = 15 (R: 5, -3/2) 
12) 4x² + 9 = 12x (R: 3/2) 
13) x² = x + 12 (R: -3 , 4) 
14) 2x² = -12x - 18 (R: -3 ) 
15) x² + 9 = 4x (R: vazio) 
 
 
 
 
 
 
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Problemas envolvendo equações do 2º grau: 
 
1) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 
48. (R: 8) 
 
2) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R: 1 e 2) 
 
3) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? (R: 5 , -8) 
 
4) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número. (R: 5 e -3) 
 
5) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R: 7 e -4) 
 
6) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número? (R: -7) 
 
7) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o 
número.(R: 7) 
 
8) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13) 
 
9) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do 
lado de cada azulejo? (R:15 cm) 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
Consideremos os seguintes fatos: 
• Emprestei R$ 100.000,00 para um amigo pelo prazo de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24.000,00 de 
juros ? 
• O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. Se eu comprar mesma televisão em 10 prestações, vou pagar 
por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar R$ 750,00 de juros. 
 
No 1° fato, R$ 24.000,00 é uma compensação em dinheiro que se recebe por emprestar uma quantia por 
determinado tempo. 
No 2° fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinheiro que se paga quando se compra uma mercadoria a prazo. 
 
Assim: 
 
a) Quando depositamos ou emprestamos certa quantia por determinado tempo, recebemos uma compensação 
em dinheiro. 
b) Quando pedimos emprestado certa quantia por determinado tempo, pagamos uma compensação em dinheiro. 
c) Quando compramos uma mercadoria a prazo, pagamos uma compensação em dinheiro. 
 
Pelas considerações feitas na introdução, podemos dizer que: 
 
 
 
Juro é uma compensação em dinheiro que se recebe ou que se paga. 
 
Nos problemas de juros simples, usamos a seguinte nomenclatura: 
• Dinheiro depositado ou emprestado denomina-se capital. 
• O porcentual denomina-se taxa e representa o juro recebido ou pago a cada R$ 100,00, em 1 ano. 
• O período de depósito ou de empréstimo denomina-se tempo. 
• A compensação em dinheiro denomina-se juro. 
 
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
• 1° exemplos: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 720.000,00, empregado a 25% ao ano, durante 5 
anos. 
 
De acordo com os dados do problema, temos: 
 
 25% em 1 ano = 125% (25 * 5) em 5 anos 
 
 125% = 125/100 = 1,25 
 
Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema: 
 
Calcular 125% de R$ 720.000,00. Daí: 
 
 X = 125% de 720.000 = 1,25 * 720.000 = 150.000 
 
Resposta: Os juros produzidos são de R$ 150.000,00 
 
• 2° exemplo: Apliquei um capital de R$ 10.000,00 a uma taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto esse 
capital ma renderá de juros ? 
 
1,8% em 1 mês = 6 * 1,8% = 10,8% em 6 meses = 10,8% = 10,8/100 = 0,108 
 
Daí: 
 X = 0,108 * 10.000 = 1080 
 
Resposta: Renderá juros de R$ 1.080,00 
 
3º´exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 6 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e devo pagar R$ 
3.6000,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? De acordo com os dados do problema> 
 
 1,2% em i mês = mês 6 * 1,2% 0 7,2% em 6 meses 
 
 7,2% = 7,2/100 = 0,072 
 
Nessas condições. Devemos resolver o seguinte problema: 
 
3.600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x. 
Daí: 
 
 3600 = 0.076 * x 0 0.072x = 3600 = 
x = 3600/0.072 
x = 50.000 
 
Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00 
 
4º Exemplo: um Capital de R$ 80.000,00. Aplicado durante 6 meses. Rendeu juros de R$ 4.800,00. Qual foi a taxa 
(em %) ao mês? De acordo com os dados do problema: 
 
x% em 1 mês = (6x)% em 6 meses 
Devemos, então, resolver o seguinte problema: 
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4.800 representam quantos % de 80.000? 
Daí: 
 4.800 = 6x * 80.000 
 480.000X = 4.800 
 x = 4.800/480.000 
 x = 48/4.800 
 x = 0,01 
 0,01 = 1/100 = 1% 
 
Resposta: A taxa foi de 1% ao mês. 
 
 
RESOLVA OS PROBLEMAS: 
 
a) Emprestando R$ 50.000,00 à taxa de 1,1% ao mês, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros? 
 
b) Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, à taxa de 15% ao ano, recebe R$ 21.000,00 de juros. Qual foi a 
quantia aplicada? 
 
c) Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final desse tempo 
quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)? 
 
d) Um aparelho de televisão custa R$ 4.500,00. Como vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará juros 
simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho. 
 
e) A quantia de R$ 500.000,00 aplicado durante 6 meses, rendeu juros de R$ 31.000,00. Qual foi a taxa(%) mensal 
da aplicação? 
 
f) Uma geladeira custa R$ 1.000,00. Como vou compra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobrara juros 
simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se todos 
elas são iguais. 
 
g) Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros 
simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual foi taxa (%) mensal dos juros cobrados? 
 
Respostas 
a) R$ 4.400,00 
b) R$ 70.000,00 
c) R$ 48.000,00 e R$ 248.000,00 
d) R$ 5.220,00 
e) 1,1% 
f) R$ 1.075,00 e R$ 215,00 
ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 
 
Como já vimos anteriormente área de uma figura plana é o número que expressa a medida da superfície dessa 
figura numa certa unidade. 
 Veja agora as fórmulas que traduzem as regras que devem ser aplicadas para se encontrar a área. 
 
 
Noções de Média Aritmética 
Média aritmética de dois ou mais termos é o quociente do resultado da divisão da soma dos números dados pela 
quantidade de números somados. Pode ser considerada uma medida de tendência central, pois focaliza valores 
médios dentre os maiores e menores. 
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Para o melhor entendimento sobre média aritmética acompanhe os exemplos a seguir: 
Exemplo 1) Em uma escola, a média final a ser alcançada por qualquer aluno no intuito de obter aprovação é 7,0. 
Carlos obteve as seguintes notas na disciplina de Matemática durante o ano letivo: 
 
1º Bim 5,5 
2º Bim 7,0 
3º Bim 9,0 
4º Bim 8,0 
 
 
Vamos calcular a média final de Carlos, para isso devemos somar as notas obtidas nos bimestres e dividir o total pelo 
número de bimestres. 
 
Exemplo 2) O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso, o seu valor diário possui variações. 
Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana, foram verificadas estas variações: 
 
 
Determine o valor médio do preço do dólar nessa semana. 2,30 + 2,10 + 2,60 + 2,20 + 2,005 
O valor médio do dólar na semana apresentada foi de R$ 2,24. 
Exercício 1) No segundo bimestre, João alcançou as seguintes médias: 
Matemática: 8,5 
Português: 7,3 
História: 7,0 
Geografia: 7,5 
Inglês: 9,2 
Espanhol: 8,4 
Física: 9,0 
Química: 7,2 
Biologia: 8,0 
Educação Física: 9,5 
Determine a média aritmética bimestral de João. [RESPOSTA: João alcançou a média de 8,2 aproximadamente] 
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Exercício 2) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. 
Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritméticadas notas das meninas é igual a: 
 
Resposta: a média aritmética das notas das meninas é 7,2. 
Exercicio 3) Um grupo de pessoas apresenta as idades de 10, 13, 15 e 17 anos. Se uma pessoa de 12 anos se juntar 
ao grupo, o que acontecerá com a média de idade do grupo? 
A média de idade será 13,4. 
Exercício 4) Os agentes comunitários de saúde de uma determinada cidade foram visitar residências em 
três bairros e diagnosticaram que vários moradores apresentavam pressão arterial alta. A distribuição do 
problema se apresentou da seguinte forma: • 10 moradores no primeiro bairro; • 8 moradores no 
segundo bairro; • 3 moradores no terceiro bairro. Qual foi a média de moradores por bairro dessa cidade 
com pressão arterial alta? 
A média de moradores da cidade com pressão arterial alta, por bairro, é 7. 
Exercício 5) Em uma clínica médica, foram atendidas 5 pessoas pesando 90kg, 60kg, 40kg, 45kg e 100kg, 
respectivamente. Qual o peso médio dessas pessoas? 
Peso médio das pessoas é igual a 67kg. 
 
 SISTEMAS DE MEDIDA - DECIMAL E NÃO DECIMAL 
 
a) CONCEITO DE MEDIR 
O que é medir ? 
Medir é comparar: 
Você pode medir a distância entre sua casa e seu trabalho em quarteirões, passos etc. 
Portanto para dar um comprimento você usou passos e quarteirões que também são comprimentos, então foi feita 
uma comparação com outras medidas consideradas unidades, portanto 
 
Medir um comprimento é dizer quantas vezes um comprimento cabe dentro do outro 
Mas como informar a seu amigo, quantos quarteirões e qual o tamanho de cada um? E o passo como fica?. Para 
facilitar a comunicação, foi necessário introduzir medida padrão, não só de comprimento, como também de área, 
volume, tempo, massa e capacidade. 
A medida de uma grandeza é um número que indica quantas vezes a unidade cabe na grandeza 
Antigamente para medir comprimentos, o homem usava: 
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 Curiosidade 
*Palmo é uma medida de comprimento que se obtém com a mão toda aberta, em torno de 22 centímetros. Além 
disso, palmo também é uma unidade de medida inglesa, ainda utilizada em alguns países, como nos Estados Unidos. 
**A polegada é uma unidade de comprimento usada no sistema imperial de medidas britânico. Uma polegada são 
2,54 centímetros ou 25,4 milímetros 
A polegada tem sua origem na medida realizada com o próprio polegar humano (não todo ele, mas a distância entre 
a dobra do polegar e a ponta). Uma medida rápida do polegar de um ser humano adulto fornece aproximadamente 
2,5 cm de comprimento para esta distância. 
Aparelhos de TV e monitores de computador costumam ser vendidos com medidas da diagonal em polegadas. Para 
formatos 4:3, uma regra prática para converter para centímetros é usar 1 polegada de diagonal = 2 cm de largura. 
Essa medida também é utilizada em aros de pneus, tanto de bicicletas tanto de veículos automotores. 
a) O nosso sistema métrico é o SISTEMA MÉTRICO DECIMAL (BASE 10) 
O sistema métrico decimal utiliza as seguintes unidades: 
Comprimento: metro 
Capacidade: litro 
Massa: grama 
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Existem múltiplos e sub-múltiplos 
Como o nosso sistema é decimal, as unidades variam de 10 em 10, o que pode ser observado na tabela, que será 
construída apenas trocando o nome da unidade. 
Nome Nome para medidas Símbolo 
Mil Quilo k 
Cem Hecto h 
Dez Deca da 
Unidade 1 
Décimo Deci d 
Centésimo Centi c 
milésimo Mili m 
Observe o quadro completo para comprimento, que usando a simbologia acima poderá ser usado para capacidade e 
massa. 
Quilometro hectômetro decâmetro Metro 
 
decímetro centímetro milímetro 
 Km 
 1000 m 
 hm 
100 m 
 dam 
 10 m 
 1 m dm 
 0,1 m 
 cm 
 0,01 m 
 mm 
0,001 m 
Importante: A mesma variação é utilizada para massa e capacidade, apenas substituindo a palavra metro 
por grama ou litro, assim um quilolitro vale 1000 l etc. 
1.Determine quantos centímetros há em
a) 3m b) 2 km
 2 - Calcule quantos metros valem 
a) 1000 cm b) 2 km
3 - Para ir da minha casa ao local do trabalho eu tenho que caminhar dois quilômetros e meio. Portanto, eu 
caminho: 
a) 2,50 m b) 2000 m c) 200 m d) 2500m
4 - Os médicos recomendam para um adulto 800 mg de calcio por dia e informam que 1 litro de leite contém 1880
mg de cálcio. Se um adulto tomar 200 ml de leite, o percentual da dose diária recomendada de cálcio que ele
absorve é:
a) 17% b)27% c) 37% d) 47%
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5 - Paulo pretende percorrer 125,5 km. Essa é a distância entre a sua casa e a casa de sua mãe. Num primeiro 
momento, ele percorreu 45,5 km. Parou para almoçar e, depois, percorreu 23,15 km. Para ele chegar à casa de sua 
mãe faltam: 
(A) 68,65 km. (B) 56,85 km. (C) 45,65 km. (D) 23,85 km.
6- Ricardo fará um churrasco. Ele estimou que cada convidado comeria 350 g de carne. Foram convidadas 15
pessoas.De acordo com a sua estimativa, Ricardo deverá comprar,no mínimo,
(A) 6,750 kg de carne. (B) 6,250 kg de carne.
(C) 5,250 kg de carne. (D) 3,500 kg de carne.
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. 
A necessidade de medir é quase tão antiga quanto a de contar. Quando o homem começou a construir 
suas habitações e a desenvolver a agricultura, precisou criar meios de efetuar medições. Para isso, ele 
tomava a si próprio como referência.Foi assim que surgiram unidades de medidas tais como a polegada e 
o pé.
Veja os seus valores correspondentes em centímetros: 
1 polegada = 2,54 cm 1 pé = 30,48 cm 
(Adaptado de: MACHADO, N.J. "Vivendo a Matemática - Medindo comprimentos". São Paulo: Scipione) 
7) Durante um vôo, o piloto informou aos passageiros: - "O avião está a uma altitude de 3000 pés".
Logo, naquele momento, a altitude desse avião, em metros, era
a) 9,144.b) 91,44. c) 914,4. d) 9.144. e) 91.440.
8) O perímetro de um triângulo é de 79,6 cm. Dois de seus lados medem 25 cm e 16,5 cm. A medida do terceiro
lado, em polegadas, é
a) 12. b) 15. c) 22. d) 25. e) 32.
9) VUNESP – SJ dos CAMPOS – 2010: Em alguns países ainda são usadas pés e polegadas como unidade de
comprimento O quadro mostra a relação entre estas unidades e o sistema métrico decimal
A altura de um homem é de 6 pés e duas polegadas. No sistema métrico decimal essa altura é 
aproximadamente igual a: 
1,75 m b) 1,79 c) 1,83 d)1,88
Gabarito a) 300cm b) 200.000cm 2) a) 10m b) 2.000m 3)d 4) d
5)b 6) c 7)c 8) b 9)d
 1 polegada = 2,54 mm ///1 polegada = 1/12 do pé 
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UNIDADE DE ÁREA 
Para medir a área de uma superfície, usamos outra superfície como unidade. A unidade é um quadrado . 
E a medida da área indica quantas vezes o quadrado-unidade cabe na superfície. 
No sistema métrico decimal, a unidade de área é um quadrado com um metro de lado: o metro quadrado 
1 cm 
Para transformação, observe esse quadrado. Cada lado mede 1dm e foi