Ondas e Linhas- P2 2016 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC3314 - Ondas e Linhas 2a. Prova - 13/10/2016 NOTAS:
Prova sem consulta ! Qualquer tentativa de cola será 1a. (3,0) 
 punida com nota zero! 2a. (2,0) 
Duração: 1h40min 3a. (3,0) 
4a. (2,0) 
TOTAL 
GABARITO
1a. Questão (5,0) Uma linha de transmissão, sem perdas, interliga um gerador senoidal a uma carga
desconhecida. A linha tem impedância característica Z0 =100 Ω, possui ar como dielétrico, e comprimento L.
O gráfico da tensão eficaz medida próximo à carga é mostrado na figura abaixo.
z
25 V
ef
5 V
ef
25 cm 16,35 cm
carga
a) (1,0) Qual a frequência do gerador? Qual o valor eficaz da tensão incidente?
Ar → v = 3 x 108 m/s.
λ=50 cm → f = 3 x 108/0,5 = 600 MHz
|V +| = (25+5)/2 = 15 Vef.
 f = ___600____ MHz V+ = ___15____ Vef
b) (1,0) Determine o coeficiente de reflexão na carga (módulo e fase em graus) e a impedância de carga ZL
(parte real e imaginária);
COE=25
5
=5⇒|ρ|=
COE−1
COE +1
=0,667
ρmin=0,667e
− jπ⇒ρ(z=L)=0,667e− jπ e+ j
4π
λ 0,327λ=0,667e jπ 0.308=0.667 ⟨55o
Z L=Z 0
1+ρL
1−ρL
=(80+ j 160)Ω
ρ(z = L) = __0,667 /55º___ ZL = _(80 + j 160)_Ω .
1/8
c) (1,0) Trace o gráfico cotado da corrente, próximo à carga, explicitando as posições e os valores dos pontos
de mínimo e máximo de corrente.
Mínimos se invertem com os máximos e 
V max
I max
=
V min
I min
=Z 0
z
25 cm 16,35 cm
carga
|I(z)| (A
ef
)
0,25
0,05
2/8
2a. Questão (2,0) Considere uma linha de transmissão, com perdas desprezíveis, impedância característica
igual a 100 Ω e v = 3 108 m/s terminada por uma carga de (110 – j 155) Ω na frequência de 600 MHz. 
a) (0,5) Sabendo-se que o gerador ligado a essa linha tem impedância interna igual a 100 Ω, e uma potência
máxima disponível de 12 W, qual a potência fornecida a essa carga?
ρL=
Z L−Z 0
Z L+Z 0
=0,6 /_−50o
gerador casado com a linha → potência incidente = potência máxima disponível. Assim:
P L=P inc (1−|ρ|
2)=12(1−0,62)=7,68W
PL = __7,68_ W
b) (1,0) Deseja-se efetuar o casamento dessa carga com a linha, colocando, o mais próximo possível da carga,
um toco simples em curto, também com Z0 = 100 Ω e v = 3  108 m/s. Determine o tamanho desse toco e a sua
distância, d, à carga.
=
3×108
600×106
=50cm
marco na carta a impedância da carga normalizada (ponto 1) e traço circunferência e radial.
Transformo para admitância (ponto 2) (y2 = 0,3 + j 0,43)
Rodo em direção ao gerador até interceptar circunferência de parte real unitária: ponto 3
y3 = 1 + j 1,5
deslocamento foi de 0,106 λ portanto d = 5,32 cm
O toco deve apresentar, portanto uma admitância normalizada yt = – j 1,5 (ponto 4)
A distância até o curto (y5=∞) será: 0,094 λ. Portanto, o comprimento do toco deve ser
ltoco = 4,7 cm.
d = __5,32_ cm ltoco = __4,7___ cm
c) (0,5) Após o casamento, qual será a nova potência dissipada pela carga? 
Após o casamento, a potência dissipada será a máxima potência disponível (já que a linha não tem perdas), ou
seja, 12 W.
PL = __12 __ W
3/8
4/8
3a. Questão (3,0) Na figura abaixo, uma linha de transmissão com perdas tem Z0 = 100 Ω e velocidade de
propagação v = 2108 m/s, com comprimento L = 100 m. Sua atenuação, αdB, é desconhecida. A carga é
resistiva, com RL = 700 Ω, e o gerador ligado à entrada da linha tem fem = 10 Vef, resistência interna Rg=100 Ω e
frequência f = 400 MHz. Foi medida a taxa de onda estacionária (TOE ou COE) nas proximidades da entrada da
linha, tendo-se encontrado o valor 1,75.
~
100 Ω
10 V
ef
Z
0
=100 Ωv
 
=2×108 m/s, 
dB
 = ? 700 Ω
(carga)
f = 400 MHz
z = 0 z = 100 m
COE = 1,75
a) (1,0) Determine os coeficientes de reflexão (módulo e fase) na carga e na entrada.
ρ(z=L)=700−100
700+100
=+0,75
λ= 2×10
8
400×106
=0,5 m⇒ L=100
0,5
=200λ⇒ fase em z=0 é igual à fase em z=L
|ρ(z=0)|=COE−1
COE +1
=0,273 portanto: ρ( z=0)=0,273
 ρ(z = 0) = __+0,273 __ ρ (z = L) = __+0,75___
b) (0,5) Determine a impedância vista na entrada da linha.
Z (z=0)=Z0
1+ρ(z=0)
1−ρ(z=0)
=175Ω
Z(z =0) = ___175___Ω
5/8
c) (0,5) Determine o valor da constante de atenuação αdB da linha.
|ρ(z=0)|=|ρ(z=L)|×10
−α dB L
10 ⇒αdB=
10
L
log(|ρ(z=L)||ρ( z=0)|)=0,05 dB/m
αdB = __0,044__dB/m
d) (1,0) Qual seria o valor da potência dissipada na carga de 700 Ω, se fosse inserida, a 10 cm dessa carga, um
trecho de linha de transmissão, com o mesmo dielétrico da linha original, mas com impedância característica
igual a 100 Ω, tendo comprimento igual a 30 cm?
~
100 Ω
10 V
ef
Z
0
=100 Ωv
 
=2×108 m/s, 
dB
 = ? 700 Ω
(carga)
f = 400 MHz
z = 0 z = 100 m
Z
0
=37,8 Ω Z
0
=100 Ω
12,5 cm 37,5 cm
Impedância a 37,5 cm (3λ/4) da carga = 100
2
700
=14,3Ω
impedância a 12,5 cm (λ/4 ) do ponto anterior = 37,8
2
14,3
=100Ω
portanto a linha, agora está casada! Assim a atenuação total é a atenuação nominal, 
ou seja, 100 x 0,044 dB = 4,4 dB.
E a potência incidente é dada por ( 10 V ef100Ω+100Ω )
2
×100Ω=0,25W
Dessa forma, P (z=L)=P (z=0)10−A /10=P inc 10
−A /10=0,25×10− 4,4/ 10=0,09W
P(z = L) = __0,09_____ W
6/8
4a. Questão (2,0) Uma linha de transmissão, com perdas, tem Z0 = 100 Ω, velocidade de propagação v = 2108
m/s, comprimento L = 100 m e atenuação αdB = 0,05 dB/m. Sabe-se que a potência incidente no início dessa
linha (próximo ao gerador) é igual a 3 W e que, próximo à carga, tem-se o padrão de onda estacionária de
tensão mostrado na figura abaixo.
z
V
max
V
min
25 cm d 
carga
a) (0,5) Sendo Vmax/Vmin = 2,5, e sabendo que a carga é resistiva pura e menor que Z0, determine o valor dessa
carga, RL, e o valor da distância d (menor valor possível, d>0).
O COE é igual a 2,5; como a carga é resistiva pura e menor que Z0, ela deve ser igual a Z0/COE = 40 Ω.
O menor valor, não nulo, de d é, portanto λ/2 = 25 cm.
RL = ___40___Ω d = __25____ cm
b) (0,5) Sendo Vmax/Vmin = 2,5, com αdB = 0,05 dB/m, determine o valor do coeficiente de reflexão (módulo e
fase) próximo ao gerador, admitindo que o tamanho dessa linha seja, exatamente, 100 m.
Como a carga é resistiva e menor que Z0, temos aí, um ponto de mínimo, ou seja, fase do coeficiente de
reflexão = 180o. Portanto, na carga, o coeficiente de reflexão vale −
COE−1
COE+1
=−0,43 .
ρ(z=0)=ρ(z=L)10
−α dB L
10 e− j
4π
λ L=−0,43×10
−0,05×100
10 e
− j 4π0,5 100=0,136 /_ 180o
 ρ(z = 0) = __0,136_/_180_º
c) (1,0) Calcule a atenuação total (Pentrada/Pcarga) em dB e determine o valor da potência dissipada na resistência
RL, lembrando que a potência incidente no início dessa linha é igual a 3 W
AdB=αdb×L+10 log( 1−|ρ( z=0)|
2
1−|ρ(z=L)|2 )=0,05×100+10 log( 1−|0,136|
2
1−|0,43|2 )=5+0,8=5,8 dB
P (z=L)=P (z=0)10−A /10=P inc(1−|ρ( z=0)|
2)10−A /10=3(1−0,1362)×10−5,8/10=0,774 W
A = __5,8___dB P(z = L) = __0,77_____ W
7/8
Formulário:
V˙  z =V˙ 0  e− z e− j  zV˙ − 0  e z e j  z=V˙  0  e− z e− j  z [1  z  ]
I˙  z =
V˙  0 
Z 0
e− z e− j  z−
V˙− 0 
Z 0
e z e j  z=
V˙  0 
Z 0
e− z e− j  z [1−  z  ]
  z =V
−  z 
V  z 
=
Z  z −Z 0
Z  z Z 0
Z  z = V˙  z 
I˙  z 
=Z 0
1  z 
1−  z 
  z =  z1  e
2  z− z1 e
2 j  z− z1 =  z1  10
dB  z−z1 
10 e
2 j  z−z 1
COE=
V max
V min
=
1∣∣
1−∣∣
P  z =∣V˙
 0 ∣2e−2  z
Z 0
1−∣  z ∣2 
P  z 
P  z1 
=
1−∣  z ∣2
1−∣  z1 ∣
2 e
−2Np  z−z1 =
1−∣  z ∣2
1−∣  z1 ∣
2 10
−
dB  z− z1 
10
 dB /m=Np /m×20 loge=8,686×Np /mε 0 = 8,85410–12 F/m μ0 = 4 π 10–7 H/m c=
1
 μ0 ε0
≃3×108 m/s
8/8