Ondas e Linhas- P2 2017 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC-3314 – Ondas e Linhas 2a. Prova - 02/12/2017 
Prova sem consulta! Qualquer tentativa de cola será punida com nota zero!NOTAS: 
Duração: 100 min.
1a. (4,0) 
No. USP: Nome: 2a. (2,0) 
 3a. (2,5) 
 4a. (1,5) 
Assinatura: TOTAL 
 1a. Questão (4,0) Na figura abaixo, uma linha de transmissão com perdas tem Z0 = 50 Ω e velocidade de
propagação u = 2108 m/s, com comprimento L = 60 m. Sua atenuação nominal é αdB = 0,04 dB/m. A carga
é resistiva, com RL = 200 Ω, e o gerador ligado à entrada da linha tem fem = 7,5 Vef, resistência interna
Rg = 50 Ω e frequência f = 400 MHz.
 
~
50 
7,5 V
ef
Z
0
=50 , 
 
u = 2,0×108 m/s, 
dB
 = 0,04 dB/m R
L
=200
f = 400 MHz
z = 0 z = 60 m
 a)(1,0) Determine a impedância na entrada da linha. 
ρl=
200−50
200+50 =0,6
|ρ ( z )|=|ρ ( z1 )| 10
 dB( z− z1 )
10 ⇒|ρ (0 )|=0,6×10−(60×0,04)/10=0,345
λ=
u
f =0,5m⇒60 m=120λ⇒ρ(0)=0,345
Z (0)=Z 0
1+ρ(0)
1−ρ(0)
=103
Z(0) = 103 Ω
 b)(1,0) Calcule a atenuação total da linha e o valor da potência dissipada na carga de 200 Ω.
10 log( PentradaP carga )=dB l+10 log (1−|ρ(0)|
2
1−|ρl|
2 )=0,04×60+10 log ( 1−|0,345|
2
1−|0,6|2 )=2,4+1,4=3,8 dB
P (0)=R (0)
E g
2
|Z g+Z (0)|
2=103
7,52
(50+103)2
=0,2475W
P l=P (0)10
−A /10=0,2475×10−0,38=0,1W
A = 3,8 dB Pl = 0,1 W
1/7
 c) (1,0) Determine a posição, zt, na linha e o comprimento h, de um toco em curto, a ser colocado em
paralelo com a linha, para efetuar o casamento de impedância nessa frequência, com a maior banda
possível.
Ver carta de Smith: pto 1: imedãncia da carga ; pto 2: admitância da carga; pto 3: onto com admitância
unitária.
Distância entre 2 e 3 = 0.17621 λ = 8,81 cm. Portanto zt = 60 – 0,0881= 59,911895 m
Admitância normalizada do toco deve ser de – 1,5 j, (pto 4). Distância entre esse ponto e o curto (pto. 5) =
0.093584 λ = 4,68 cm
zt = 59,912 m h = 4,68 cm
 d)(1,0) Calcule a atenuação total da linha e o valor da potência dissipada na carga de 200 Ω nas condições
do item anterior (com casamento).
10 log( PentradaP carga )=dB l=0,04×60=2,4 dB
P (0)=R (0)
E g
2
|Z g+Z (0)|
2=50
7,52
(50+50)2
=0,28125W
P l=P (0)10
−A /10=0,28125×10−0,24=0,16W
A = 2,4 dB Pl = 0,16 W
2/7
 2a. Questão (2,0) A figura abaixo mostra as interfaces planas entre 3 meios, com as suas respectivas 
propriedades eletromagnéticas. Sabe-se que, no meio 1, há uma onda incidente, propagando-se na direção z 
positiva, com uma amplitude de 2 Vef/m na frequência de 300 MHz, polarizado com o campo elétrico 
perpendicular à página. Admita que no instante t=0 o campo elétrico dessa onda incidente aponta para fora
da página com seu valor máximo, no plano z=0.
 
 a) (0,5) Indique a direção, o sentido e a magnitude do campo magnético da onda incidente no plano z=0 no 
instante t=0.
| ⃗H+ (z=0, t=0)|= 2√2η0 =0,0075
 A/m direção/sentido: _____________
 b)(1,0) Sabendo-se que o vetor de Poyinting médio da onda no meio 3 é igual a 4 /η0 , determine os 
valores de L e de ε r 2.
N 1
+=
22
η0
=
4
η0
ou seja, toda a potência incidente é transmitida ao meio 3, portanto, não há reflexão no 
meio 1. Para isso ocorrer, devemos ter:
 η2=√η1η3 ⇒εr 2=√εr1ε r3 =3
L=
λ2
4 =
c
4 f √ε r 2
=
1
4√3
=0,144 m
 ε r 2.= 3 L = 0,144 m
 c) (0,5) Faça um gráfico cotado do valor eficaz de E em função de z. Explicite os valores máximos e
mínimos e suas posições.
E1
2
η0
=
E3
2
η3
⇒ E3
2=
E1
2
3
⇒E 3=2
√3
3
z (m)
|Ex| 
(Vef/m)
L0
2
1,155
3/7
ε1 = ε0, μ1 = μ0,
σ = 0
E+ = 2 Vef/m
ε3 = 9ε0, μ3 = μ0,
σ = 0
z = 0 z = L
μ2 = μ0, 
ε2= εr2 ε0
 3a. Questão (2,5) Uma onda plana polarizada circularmente à direita, na frequência de 300 MHz, propaga-se 
no ar e incide, normalmente, na interface com um material bom condutor (μ0, σ=6×107 S/m). 
Considere a interface como sendo o plano z = 0, e o campo da onda incidente sendo dado por
˙⃗E+( z )=377 (u^ x− j u^ y)e
− j k0 z Vef/m (z<0), k0=2 π rad/m, η0=377 .
 a) (1,0) Determine o coeficiente de reflexão (do campo elétrico) na interface (utilize apenas 2 casas 
decimais no módulo e zero casas decimais na fase em graus) e utilize esse resultado para escrever a 
expressão do campo magnético da onda refletida (vetor complexo).
ηc=(1+ j)√ π f μσ =(1+ j) π√21000=0,00444(1+ j)
ρ0=
ηc−η0
ηc+η0 =−1
˙⃗E−( z )=ρ0 377( u^x− j u^y)e
+ j k 0 z=377(−u^ x+ j u^ y)e
+ j k0 z
˙⃗H −( z )=
−u^z×
˙⃗E−(z )
η0 =(u^ y+ j u^ x)e
+ j k0 z
ρ0=1 ⟨180o ˙⃗H −( z )=(u^ y+ j u^x )e+ j k 0 z Aef/m (z < 0).
 b) (0,5) Qual a polarização da onda refletida? Especifique o sentido. Justifique.
Polarização circular à esquerda, pois o vetor H (e o E) gira de x para y, com a onda propagando-se na 
direção -z.
 
 c) (1,0) Escreva a expressão do campo magnético dentro do material condutor, completando os espaços 
abaixo. Dica: utilize a continuidade do campo magnético.
˙⃗H (0)= ˙⃗H +(0)+ ˙⃗H −(0)=( u^y+ j u^ x)+(u^ y+ j u^ x)=2( u^ y+ j u^x ) H deve ser contínuo. Portanto:
˙⃗H ( z)=2 (u^ y+ j u^ x)e
− j k c z j k c=(1+ j)√π f μ σ=(1+ j)266573=+ jβ Assim:
˙⃗H ( z)=2 (u^ y+ j u^ x)e
−266573 z e− j 266573 z
H⃗ ( z , t)=2 √2e−266573 z [ u^ y cos(ω t−266573 z )−u^ x sin (ω t−266573 z )] A/m
4/7
 4a. Questão (1,5) Uma pequena antena transmissora, operando no ar, na frequência de 300 MHz, pode ser
considerada equivalente a um dipolo infinitesimal de tamanho h = 1 cm. Essa antena é excitada por uma
corrente de valor eficaz I0 =1 Aef, e está colocada a uma altura de 10 m do solo (que será suposto sem perdas
por simplicidade), como mostra a figura abaixo. O receptor está a uma distância d da antena transmissora,
também a 10 m de altura.
φ φ
φ”
x
z
d
10
 m
Ar: ε
0
, μ
0
, σ = 0
Solo: 4 ε
0
, μ
0
, σ = 0
I
0 receptor
O
direta
refletida
 a)(1,0) Determine a orientação do dipolo (x, y ou z) e a distância d entre as antenas para que não haja onda 
refletida pelo solo na região do receptor, e a onda direta tenha a máxima amplitude.
tan θ p=√ 4ε0ε0 =2⇒ d /210 =2⇒d=40m Para incidência TM, ou seja, o dipolo não pode gerar campo na 
direção y, portanto o dipolo deve estar contido no plano x z. Para radiar com máximo no receptor, ele deve
estar, portanto, alinhado com a direção z.
D = 40 m orientação: z
 b)(0,5) Nas condições do item anterior, determine a intensidade do campo elétrico bem como sua 
orientação, na região do receptor.
d =40 m≫λ⇒ ⃗|E|=| jβη I 0 h4π e
− jβr
r
sen θ|u^θ=2π377×0,014 π40 sen (π/2) u^z=0,047125 u^z V ef /m
E⃗ rec= 0,047 Vef/m orientação: z (não é necessário determinar a fase)
5/7
Formulário
ε0 = 8,85410-12 F/m μ0 = 4 π 10-7 H/m c=
1
 μ0 ε0
≃3×108 m/s
V˙  z =V˙  0  e− z e− j  zV˙ − 0  e z e j  z=V˙  0  e− z e− j  z [1  z  ]
I˙  z = V˙
  0 
Z 0
e− z e− j  z−
V˙ − 0 
Z 0
e z e j  z=
V˙  0 
Z 0
e− z e− j  z [1−  z  ]
  z =V
−  z 
V  z 
=
Z  z −Z 0
Z  z Z 0
Z  z = V˙  z 
I˙  z 
=Z 0
1  z 
1−  z 
  z =  z1  e
2  z− z1 e
2 j  z− z1 =  z1  10
dB  z−z1 
10 e
2 j  z−z 1
COE=
V max
V min
=
|V +|+|V −|
|V +|−|V −|
=
1+|ρ|
1−|ρ|
P ( z )=P inc( z )(1−|ρ ( z )|
2 )=|V˙
+(0)|2 e−2  z
Z 0
(1−|ρ ( z )|2 )
P ( z )
P ( z1 )
=
1−|ρ ( z )|2
1−|ρ ( z1 )|
2 e
−2Np ( z−z 1)=
1−|ρ ( z )|2
1−|ρ ( z1 )|
2 10−
 dB (z−z 1)
10
dB /m=Np/m×20 log e=8,686×Np /m
10 log( P (z1)P (z ) )=dB(z−z 1)+10 log( 1−|ρ(z1)|
2
1−|ρ(z )|2 )
 k=    '− j  ' '− j/  ; j k= j 
bons condutores: j k=(1+ j)√π f μσ ; 
bons dielétricos: j k=  ' [  ' '2  ' j ] ; sem perdas: k=  
 v=/  ; =2 /  ; =v / f ; meios sem perdas: v=1/ 
 =  '− j  ' '− j/ ; bons condutores: η=(1+ j)√ π f μσ ; 
bons dielétricos: =  ' [1 j  ' '2  ' ] ; sem perdas = .
 N=ℜ {˙E× ˙H*˙E×˙H e j2 t }; N médio=ℜ {˙E× ˙H * } ;
 polarização circular, propag. na direção z: à direita: ˙E=E0 ux− j E0 uy , à esquerda: ˙E=E0 ux j E0 uy
 i  z =
E˙− z 
E˙ z 
=i0e
2 j k i z ;  i  z =
Z  z − i
Z  z  i
 Z  z = i
1 i  z 
1− i  z 
 ; Z  z = i
Z 0− j  i tan k i z
 i− j Z 0  tan k i z
 rotação de eixos:
˙E=  E˙ y uyE˙ u  e− j k =
= [ E˙ y u yE˙  ux cos−uz sen  ] e− j k  z cos x sen 

sen 2
sen 1
=
v2
v1
 para meios não magnéticos e sem perdas: 2=sen
−1sen 1 12  ; 

Z z2=2 cos 2  Z z1=1 cos θ 1  E no plano de incidencia
Z z2=2 sec 2  Z z1=1sec 1  H no plano de incidencia
6/7
 0=
E˙ xy 1−
E˙ xy 1
=
Z z2−Z z1
Z z2Z z1
; τ 0=
E˙xy 2
E˙xy 1
=10
Incidência oblíqua:

 x= k sen  ; z= k cos
v fx=

 x
=
v
sen 
; v fz=

 z
=
v
cos

˙E1=˙E10 e
− j  x1 x  z1 z  ; ˙E1−=˙E10− e
− j  x1' x − z1' z 
˙E2=˙E20 e
− j  x2' ' x  z2' ' z
Ângulos de Brewster (polarização):
 TM:  p=sen
−1 2/1−2 /12/1−1/2 ,  1= 2 :   p=sen−1 212= tan−1 21
 TE:  p=sen
−1 2/1−2 /12/1−1/2
 Reflexão total: sen c=v1/v2=2/1
campo de elemento infinitesimal de corrente:
 E⃗=
jβη I 0 h
4 π
e− jβ r
r [ 2jβ r− 2β2 r 2 ] cosθ u^r+ jβη I 0 h4 π e
− jβr
r [1+ 1jβ r − 1β2 r2 ]sen θ u^θ
H⃗=
j β I 0 h
4 π
e− jβr
r [1+ 1jβr ]senθ u^ϕ
 campo distante: E⃗=
jβη I 0 h
4 π
e− jβ r
r
senθ u^θ H⃗=
j β I 0 h
4 π
e− jβr
r
sen θ u^ϕ=
Eθ
η
u^ϕ
7/7