Ondas e Linhas- P1 2016 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC-3314 – Ondas e Linhas 1a. Prova - 01/09/2016 
Prova sem consulta! Qualquer tentativa de cola será punida com nota zero! NOTAS: 
Duração: 100 min. 1a. (2,5) 
Gabarito 2a. (2,5) 
 3a. (2,5) 
 4a. (2,5) 
TOTAL 
 1a. Questão (2,5) Considere a linha de transmissão, sem perdas, com Z0 = 50  e v = 2  108 m/s, mostrada
abaixo, terminada em um curto-circuito,
t
e(t)
100 ns
40 V
e(t) Z
0
=50 Ω, u =2×108 m/s curto
z = 0 z = 200 m
150 Ω
+
–
sendo e(t) um pulso retangular de amplitude 40 V e duração 100 ns:
 a)(0,5) Determine os coeficientes de reflexão da carga e do gerador.
ρL=
0−50
0+50
=−1 ρg=
150−50
150+50
=
1
2
ρL = __-1_____ ρg =___0,5____
 b)(1,0) Esboce os gráficos cotados da tensão em z = 0, para 0≤t≤5μ s (utilize o verso da página para 
fazer o zig-zag).
t (μs)
v(z=0, t)
1 2 3 4 50
10 V
–15 V
7,5 V
 c) (1,0) Esboce os gráficos cotados da corrente em z = 200m, para 0≤t≤5μ s .
t (μs)
i(z=200m, t)
1 2 3 4 50
0,4 A
-0,2 A
0,1 A
1/6
z
t
1
2
3
4
5
200m0
10V; 0,2A
-10V; 0,2A
-5V; -0,1A
5V; -0,1A
2,5V; 0,05A
-2,5V; 0,05A
 0,4 A
 -0,2 A
 0,1 A
 -15 V
 7,5 V
2/6
 2a. Questão (2,5) Quando a linha com perdas, mostrada abaixo, é excitada por um degrau de tensão,
25,6 V Z0=50 Ω, u = 2×10
8 m/s, γ(s) = A + s B
z = 0 z = 150m
t = 0
350Ωv0 vL
30Ω
A = 0,001488 Np/m
observa-se a forma de onda mostrada a seguir, para a tensão em sua entrada.
t 
v
0
T
1
0
E
2
E
1
 a)(2,0) Determine os valores de E1, E2 e T1, justificando com um diagrama de zig-zag .
z
t (μs)
0,75
1,5
2,25
3
150m0
16
12,8
9,6
7,68
-1,92
-1,536
-1,152
-0,9216
0,2304
E1=
25,6×50
30+50
=16V
T 1=2 B l=
2 l
v
=
2×150
200×106
=1,5μ s
ρL=
350−50
350+50
=0,75
ρg=
30−50
30+50
=−0,25
e−A l=0,8
E2=16+7,68−1,92=21,76V
E1 = ___16____ V E2 = __21,76__ V T1 = ____1,5__ μs
 b)(0,5) Admitindo-se que a linha seja sem distorção, determine os valores dos seus parâmetros R, L, G e C
(por metro de comprimento).
R
Z 0
=A⇒ R=50×0,001488=0,0744Ω/m G Z 0=A⇒G=0,001488/50=2,976×10
−5 S /m
L=
Z0
u
= 50
2×108
=250 nH /m C=
1
Z 0 u
=
1
50×2×108
=100 pF /m
R = _0,0744_Ω/m L = _250 n_ H/m G = _29,76 μ_ S/m C = _100 p_ F/m
3/6
 3a. Questão (2,5) A figura abaixo representa uma linha sem perdas, com Z0 = 100 , e v = 1,5  108 m/s, com 
150 m de comprimento, terminada por uma carga indutiva.
30 V Z
0
=100 Ω, u =1,5×108 m/s
25 Ω
z = 0 z = 150 m
t = 0
50 Ω
L = 12,5 μH
v0
A seguinte forma de onda é observada na linha, em z=0, para 0< t<3μ s . Note, porém, que o transitório
continua após esse instante pois a linha está descasada em ambas as extremidades.
t (μs)
v
0
20
E
1
20 V
1 3
E
2
 a)(1,0) Determine os valores de E1 e E2, justificando sua resposta. Note que E2 não é o valor de regime
estacionário.
E=30×100
50+100
=20 V B l=
l
u
=
150
150×106
=1μ s ρg=
50−100
50+100
=−
1
3
Thevenin equivalente na carga:
40 H(t –1) V
25 Ω
100 Ω
12,5 μH
vL
v L( t)=H (t−1)[8+32e
−(t−1 )/ τ]
v L
−(t)=v L (t)−20 H (t−1)=H (t−1)[−12+32e
−(t−1)/ τ ]
v0( t)=20 H (t )+H (t−2)[−12+32 e
−(t−2)/ τ ](1+ρg)=
=20 H (t )+H (t−2) [−8+ 64
3
e−(t−2 )/ τ ]
E1=20−8+
64
3
=
100
3
=33,3V E2=20−8=12V
E1 = __33,3__ V E2 = ___12___ V 
 b)(1,0) Entre os instantes 2μs e 4μs a tensão apresenta um decaimento exponencial no tempo. Qual o valor
da constante de tempo desse decaimento?
τ=
L0
Z 0+25
= 12,5μ
100+25
=0,1μ s
τ = ___0,1_ μs
 c) (0,5) Qual o valor de regime da tensão na linha de transmissão?
v ( t→∞)=30×25
50+25
=10V
v ( t→∞)= ____10___ V
4/6
 4a. Questão (2,5) A linha da figura abaixo, sem perdas, encontra-se ligada a uma bateria de 40 V há muito
tempo, sendo curto-circuitada, no instante t = 0, como mostrado abaixo.
40 V Z
0
=50 Ω, ar
z = 0 z = 30 m
Rg= 50 Ω
150 ΩvLt = 0
 a)(1,0) Complete o diagrama abaixo com os valores das amplitudes das ondas nos retângulos e os valores
das tensões totais nas elipses, todos os valores em volt.
-30
-15
15
-7,5
7,5
-3,75
30
z
t
T
2T
3T
4T
5T
30m0
0
-15
7,5
0
0
v ( z ,t<0)=40×150
50+150
=30V
ρL=
150−50
150+50
=
1
2
t>0 :ρg=
0−50
0+50
=−1
 b)(0,5) Qual o valor de T nesse diagrama?
T= l
u
=
30
300×106
=0,1μ s
T = __0,1__ μs
 c) (1,0) Calcule o valor da energia total dissipada no resistor de 150 Ω para t >0.?
W= 30
2
150
T +∑
n=0
∞ ( 15
2
150
2T 1
4n )= T150 (900+450 11−0,25 )=1μ J
ou:
L=
Z0
u
=1,667×10−7 H /m; C= 1
Z0 u
=6,667×10−11 F /m⇒
W= 1
2
C l×302+ 1
2
L l×0,22=9×10−7+10−7=1μ J
W = ____1 μ_____ J
5/6
Formulário
V  z , s =V 0, s e− s zV−  0, s  es z=V  0, s e−AB s zV−  0, s e AB s z
I  z , s =I  0, s  e−s  zI−  0,s  es z=V
  0, s 
Z0 s
e− s z−V
− 0, s
Z 0 s
e s  z
 s= Rs LGsC Z0 s= RsLGsC
linhas sem perdas:  s=s  LC=B s Z0= LC
linhas sem distorção: 
R
L
=
G
C :
 s= R
Z 0
s  LC=G Z0s  LC=AB s Z0= LC
B=1
u
ρ(s , z )=V
−(z , s)
V +( z , s )
=
Z (z , s)−Z 0
Z (z , s)+Z 0
ρL=
Z L−Z 0
Z L+Z 0
ρg=
Z g−Z 0
Z g+Z 0
0 = 8,85410-12 F/m 0 = 4  10-7 H/m c=
1
 μ0 ε0
≃3×108 m/s
L {H (t) }=1
s
L {e−α t H (t) }= 1
s+α
L { xt− }=X se−s
∑
i=1
∞
qi= q
1−q ∑i=0
∞
qi= 1
1−q
6/6