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UFPE-DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II ÁREA II 1o Exercício Escolar 12/09/2018 1. Considere a função f (x, y) = xy 2 x2+y2 , definida em R 2 r {(0, 0)} (a) (0.5) A função é contínua na origem? (b) (1.0) Se ela não for contínua na origem podemos estender f de modo que ela seja contínua em todo R2? (c) (1.0) Se tal extensão existe é diferenciável em R2? Resolução (a) Não! Note que (0, 0) não pertence ao domínio de definição de f (b)Sim! Como f é contínua para (x, y) , (0, 0) (quociente de fun- ções polinomiais) é suficiente mostrar que f pode ser estendida continuamente ao ponto (0, 0). De fato, como lim (x,y)→(0,0) xy2 x2 + y2 = lim (x,y)→(0,0) x · y 2 x2 + y2 = 0 pois 0 ≤ y 2 x2 + y2 ≤ 1 e lim (x,y)→(0,0) x = 0, basta definir f (0, 0) = 0 e obteremos uma estensão contínua de f . (c) Não! Basta notar que a estensão contínua obtida no item anterior possui derivada parcial em relação a x descontínua na origem. De fato, como ∂z ∂x (x, y) = y4 − x2y2 (x2 + y2)2 para (x, y) , (0, 0) , ∂z ∂x (0, 0) = lim h→0 f (x + h, 0) − f (0, 0) h = 0 e, ao longo do caminho 1 γ1(t) = (0, t) temos ∂z ∂x (0, t) = 1 enquanto ao longo de γ2(t) = (t, 0) temos ∂z ∂x (t, 0) = 0, segue lim (x,y)→(0,0) ∂z ∂x (x, y) não existe. 2. (2.5) Encontre equações para o plano tangente e para a reta normal à superfície z = x cos(y) − yex na origem. Resolução Calculando as derivadas parciais temos fx = cos(y)−yex e fy = −x sin(y)− ex. Portanto, fx(0, 0) = 1 e fy(0, 0) = −1. Usando a fórmula para o plano tangente temos: z = 0 + 1(x − 0) − 1(y − 0), portanto a eq. desejada é x − y − z = 0. Para a reta normal temos (x, y, z) = λ(1,−1,−1), para λ ∈ R 3. (2.5) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f (x, y) = xyey2. Resolução ∂ f ∂x (x, y) = yey 2 ∂ f ∂y (x, y) = xey 2 + 2xy2ey 2 ∂2 f ∂x2 (x, y) = 0 ∂2 f ∂y∂x (x, y) = ey 2 + 2y2ey 2 ∂2 f ∂x∂y (x, y) = ey 2 + 2y2ey 2 2 ∂2 f ∂y2 (x, y) = 2xyey 2 + 4xyey 2 + 4xy3ey 2 4. Resolva o que se pede: (a) (1.5) Suponha que a equação y2 + xz + z2 − ez − c = 0 define z implicitamente como função de x e y, ou seja, z = f (x, y).Determine o valor da constante c para a qual f (0, e) = 2 e calcule ∂ f∂x e ∂ f ∂y no ponto (x, y) = (0, e). (b) (1.0) Encontre ∂z∂s e ∂z ∂t , para z = e x+2y, x = s/t, y = t/s. Resolução (a) Para esta primeira parte basta substituir x = 0, y = e e z = 2, desta forma temos e2 + 22 − e2 − c = 0 e portanto c = 4. Para encontrar ∂ f∂x onde z = f (x, y) basta derivar de ambos os lados lembrando que z não é uma variável, deste modo z + x ∂z ∂x + 2z ∂z ∂x − ez∂z ∂x = 0, ou seja ∂z ∂x = −z x + 2z − ez em termos de f temos, ∂ f ∂x (x, y) = − f (x, y) x + 2 f (x, y) − e f (x,y) sabendo que f (0, e) = 2 temos ∂ f∂x (0, e) = −2 4−e2 . Procedendo de maneira análoga em relação a y obtemos, ∂ f ∂y (x, y) = −2y x + 2 f (x, y) − e f (x,y) e portanto ∂ f∂y(0, e) = −2e 4−e2 . 3 (b) Lembre-se que se z é função de x e y e estas são funções de s e t de maneira geral temos, ∂z ∂s = ∂z ∂x ∂x ∂s + ∂z ∂y ∂y ∂s e ∂z ∂t = ∂z ∂x ∂x ∂t + ∂z ∂y ∂y ∂t utilizando isto temos, ∂z ∂s = ex+2y 1 t + 2ex+2y (−t s2 ) = 1 t e s t+2 t s − 2t s2 e s t+2 t s de maneira análoga, ∂z ∂t = 1 s e s t+2 t s − 2s t2 e s t+2 t s . Atenção!!! Respostas sem justificativas não serão aceitas!!! Não é permitido usar coordenadas polares! 4
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