Teorema da Divergência Exercícios (2)

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TEOREMA DA DIVERGÊNCIA – EXERCÍCIOS 
 
01. Considere o campo vetorial em {( )} definido por 
 ⃗( ) (
 
√( ) 
 
 
√( ) 
 
 
√( ) 
) 
(a) Calcule a divergência do campo ⃗. 
(b) Calcule diretamente o fluxo de ⃗ através da esfera , em relação 
ao campo normal que aponta para fora da esfera. 
(c) Explique por que não é correto usar o Teorema da Divergência para efetuar o 
cálculo acima. 
(d) Calcule o fluxo de ⃗ através do elipsoide , em relação ao 
campo normal que aponta para fora do elipsoide. 
02. Mostre que podemos calcular o volume de um corpo sólido por meio de uma 
integral de superfície. 
03. Considere o campo vetorial 
 ⃗⃗( ) (
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
) 
(a) Calcule a divergência do campo ⃗⃗. 
(b) Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica . 
(c) Calcule o fluxo do campo através de uma superfície esférica de raio e 
centrada no ponto ( ). Podemos concluir o mesmo para . Em ambos 
os casos, justifique. 
04. Calcule o fluxo do campo ⃗( ) ( ) através da fronteira 
do sólido limitado por com , e . 
05. Seja a superfície do cubo de vértices ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), 
( ), ( ) e ( ), conforme ilustrado na figura abaixo: 
 
Considere o campo vetorial ⃗( ) ( ). 
(a) Calcule a divergência de ⃗. 
(b) Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de ⃗ através da superfície 
do cubo, com campo normal apontando para fora. 
(c) Quais são os vetores normais a cada face do cubo? 
(d) Calcule, pela definição, o fluxo de ⃗ através de cada face do cubo, com relação 
aos vetores normais obtidos no item anterior. 
(e) Compare os resultados do item anterior com o obtido no item (b). 
06. Calcule o fluxo do campo 
 ⃗( ) ( ) 
através da superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano 
 , com orientação para fora do sólido. 
07. Considere a superfície fechada , definida pelo gráfico de √ e pelos 
planos , e , e a região do espaço limitada por . 
(a) Esboce a superfície ilustrando o campo normal unitário que aponta para fora. 
(b) Calcule ( ⃗), onde ⃗( ) ( ). 
(c) Use o Teorema da Divergência para calcular a integral 
∬ ⃗ ⃗
 
 
08. Considere o campo vetorial ⃗( ) ( ( ) ( ) ) e seja a 
região do espaço delimitada superiormente pelo paraboloide e 
inferiormente pelo plano . Calcule o fluxo do campo ⃗ através da superfície 
fronteira do sólido , em relação à normal que aponta para fora de . 
09. Sejam a fronteira da região {( ) } e 
o campo ⃗( ) ( ( ) ( ) ( ( )) ). 
Calcule o fluxo de ⃗ que sai da superfície (normal exterior). 
10. Seja uma região fechada e limitada do , cuja fronteira é a união de duas 
superfícies e , orientadas com vetor normal exterior à região . Calcule o fluxo de 
 ⃗ através de , onde ⃗( ) ( 
 ( ) ( ) ), 
sabendo que é uma porção do plano com 6 unidades de área, que está 
abaixo do plano e que tem 20 unidades de volume. 
11. Seja uma região fechada e limitada de , cuja fronteira é a união de duas 
superfícies e , orientadas com vetor normal exterior a . Calcule o fluxo de ⃗ 
através de , com ⃗( ) ( 
 ), sabendo que é uma porção do 
plano com 5 unidades de área e que possui 30 unidades de volume. 
12. Considere o campo vetorial 
 ⃗( ) 
 
( )
 
 
( ) 
(a) Calcule o fluxo do campo ⃗ através da esfera , de centro na origem e raio 
 , com vetor normal apontando para fora. 
(b) Calcule o fluxo de ⃗ através do cubo , , 
 , com vetor normal apontando para fora. 
13. Seja a região sólida delimitada pelo cilindro e pelos planos e 
 . Seja a região sólida cônica acima de , delimitada pelo cone 
( ), de vértice ( ) e pelos planos e . Seja agora a 
região sólida obtida como união das duas. Considere o campo de força ⃗( ) 
( ( ) ) 
(a) Descreva a fronteira de , . 
(b) Calcule a componente normal de ⃗ sobre a face lateral de e sobre a sua 
face de baixo . 
(c) Calcule a divergência de ⃗. 
(d) Calcule o fluxo de ⃗ através da superfície lateral de (a porção do cone), 
com a orientação externa a .