A MATEMÁTICA NA Europa de 500 a 1700

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Capítulo 9 
 
A Matemática na Europa de 500 a 1700 
 
 Dizem que filosofar é duvidar. O homem deve decidir conforme sua 
razão e consciência. E se não puder decidir que fique na dúvida, 
pois só os loucos têm certeza absoluta em sua opinião. 
Michel de Montaigne 
 
9.1 A Baixa Idade Média 
 
 O período que vai da queda do Império Romano, na metade do século V, até o século XI, é 
conhecido como Baixa Idade Média. Durante esse período a civilização na Europa Ocidental atingiu 
níveis muito baixos: o ensino praticamente deixou de existir, quase todo o saber grego desapareceu e 
muitas das artes e dos ofícios legados pelo mundo antigo foram esquecidos. Apenas os monges dos 
monastérios católicos e uns poucos leigos cultos preservaram um tênue fio de saber grego e latino. O 
período foi marcado por muita violência física e intensa fé religiosa. A ordem social antiga cedeu lugar 
a uma outra, feudal e eclesiástica. 
 
 Os romanos nunca tiveram inclinação para a matemática abstrata; ao contrário, somente os 
aspectos práticos da matemática, ligados ao comércio e à engenharia civil, lhes interessavam. Com a 
queda o Império Romano e a cessação subseqüente de grande parte do comércio leste-oeste e, 
ainda, com o abandono de projetos estatais de engenharia, mesmo esse interesse minguou e não 
seria exagero dizer que, afora a elaboração do calendário cristão, muito pouca matemática se fez 
durante o meio da Baixa Idade Média. 
 
 Dentre as pessoas a quem se creditam, com muito boa vontade, um certo papel na história da 
matemática da Baixa Idade Média, devemos mencionar o estadista romano Boécio. A importância de 
Boécio (c. 475-524) na história da matemática se embasa no fato de seus livros de geometria e 
aritmética terem sido adotados, por muitos séculos, nas escolas monásticas. Embora muito fracos, 
esses trabalhos acabaram se constituindo no sumo do conhecimento matemático, o que ilustra bem o 
quanto esse conhecimento se tornou insignificante na Baixa Idade Média. 
 
9.2 O Período de Transmissão 
 
 Em torno do século IX começaram a penetrar na Europa Ocidental os clássicos gregos de 
ciência e matemática. Seguiu-se um período de transmissão durante o qual o saber grego, 
preservado pelos muçulmanos, foi passado para os europeus ocidentais. Isso ocorreu de duas 
maneiras principais: pelas traduções latinas feitas por intelectuais cristãos que se deslocavam até 
centros de saber muçulmanos, e através do intercâmbio comercial entre a Europa Ocidental e o 
mundo árabe. Quando os cristãos retomaram Toledo dos mouros em 1085, verificou-se um influxo de 
intelectuais cristãos rumo àquela cidade, visando adquirir o saber muçulmano. Coisa semelhante 
acontece com outros centros mouros da Espanha e o século XII tornou-se, na história da matemática, 
um século de tradutores. 
 
 O mais atuante dos tradutores do período foi Gerardo de Cremona (1114-1187), que traduziu 
para o latim mais de noventa trabalhos árabes, entre eles o Almagesto de Ptolomeu, os Elementos de 
Euclides e a álgebra de al-Khowarizmi. Gerardo certamente não realizou todo esse trabalho 
individualmente, mas com a colaboração de membros da Escola de Tradutores fundada pelo 
arcebispo dom Raimundo logo após a queda de Toledo. 
 
 Dentre as primeiras cidades a estabelecer relações mercantis com o mundo árabe estavam 
os centros comerciais italianos de Gênova, Pisa, Veneza, Milão e Florença. Os mercadores italianos 
entraram em contato com grande parte da civilização oriental da qual captaram informações 
aritméticas e algébricas úteis. Esses mercadores tiveram um papel importante na disseminação dos 
numerais indo-arábicos. 
 
 No período de transmissão discutido acima a Espanha tornou-se o mais importante elo de 
ligação entre o islamismo e o mundo cristão. 
9.3 Fibonacci e o Século XIII 
 
 No limiar do século XIII despontou a figura de Leonardo Fibonacci ("Leonardo, filho de 
Bonaccio", c. 1175-1250), o matemático mais talentoso da Idade Média. Também conhecido como 
Leonardo de Pisa, Leonardo nasceu em Pisa, centro comercial importante, onde seu pai era ligado 
aos negócios mercantis. Muitas das grandes cidades comerciais italianas daqueles tempos 
mantinham entrepostos em várias partes do mundo mediterrâneo. Esse foi o 
caminho que levou Leonardo a receber parte de sua educação em Bejaia, norte 
da África, onde seu pai fora desempenhar uma função alfandegária. As 
atividades do pai logo despertaram no garoto um interesse pela aritmética que 
se canalizou, posteriormente, para extensas viagens ao Egito, à Sicília, à Grécia 
e Síria, onde pode entrar em contato direto com os procedimentos matemáticos 
orientais e árabes. Inteiramente convencido da superioridade prática dos 
métodos indo-arábicos de cálculo, Fibonacci, em 1202, logo depois de retornar 
a sua terra natal, publicou sua obra famosa intitulada Liber abaci. 
 
 Conhecemos esse trabalho através de uma segunda versão surgida em 1228. O Liber abaci 
se inicia com uma idéia que parece quase moderna, mas que era característica da forma de pensar 
medieval tanto islâmica quanto cristã - que a aritmética e a geometria são interligadas e se auxiliam 
mutuamente. Isso, é claro, faz lembrar a álgebra de al-Khowarizmi. No entanto o Liber abaci trata 
muito mais de números que de geometria. O livro ilustra com profusão e defende com energia a 
notação indo-arábica, muito se devendo a ele pela introdução desses numerais na Europa. Descreve 
primeiro "as nove cifras indianas", juntamente com o símbolo 0, "chamado zephirum em árabe". 
Incidentalmente é de zephirum e suas variantes que derivam nossas palavras "cifra" e "zero". Os 
quinze capítulos da obra explicam a leitura e a escrita dos novos numerais, métodos de cálculo com 
inteiros e frações ( a barra horizontal para frações, por exemplo, era usada regularmente por 
Fibonacci - e já era conhecida antes na Arábia - mas somente no século XVI seu uso tornou-se 
comum), o cálculo de raízes quadradas e cúbicas e a resolução de equações lineares e quadráticas, 
tanto pelo método de falsa posição como por processos algébricos. As raízes negativas e imaginárias 
não são admitidas e a álgebra é retórica. Há aplicações envolvendo permuta de mercadorias, 
sociedades, ligas e geometria mensurativa. O trabalho contém ainda uma farta coleção de problemas 
que, durante séculos, serviu de manancial a autores de textos. 
 
Sem dúvida o problema no Liber Abaci que mais inspirou aos futuros matemáticos foi o 
seguinte: "Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em 
cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?". Esse 
problema célebre dá origem à seqüência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , ..., 
2n1nn uuu  
, .... 
 
 Leonardo de Pisa foi sem dúvida o matemático mais original e capaz do mundo cristão 
medieval, mas muito de sua obra era demasiado avançado para ser entendido por seus 
contemporâneos. Em 1220 apareceu a Practica geometriae de Fibonacci, uma alentada coleção de 
material sobre geometria e trigonometria, numa abordagem hábil, feita com rigor euclidiano e alguma 
originalidade. Por volta de 1225, Fibonacci escreveu seu Liber quadratorum, um trabalho brilhante e 
original sobre análise indeterminada que lembram Diofanto. 
 
9.4 O Século XIV 
 
 O século XIV foi relativamente estéril, matematicamente falando. Foi o século da Peste 
Negra, que varreu mais de um terço da população da Europa, e da maior parte da Guerra dos Cem 
Anos, com suas transformações políticas e econômicas no norte da Europa. 
 
 O maior matemático do período foi Nicole Oresme, nascido na Normandia por volta de 1323. 
Faleceu em 1382 depois de uma carreira que se estendeu do magistério ao bispado. Ele escreveu 
 
cinco trabalhos matemáticos e traduziu algo de Aristóteles. Num de seus opúsculos 
encontra-se o primeiro uso conhecido de expoentes fracionários(não, obviamente, 
em notação moderna); noutro, ele faz a localização de pontos por coordenadas, 
antecipando assim a geometria analítica. Um século mais tarde, esse último 
trabalho mereceria várias edições e é possível que tenha influenciado matemáticos 
do Renascimento, e até mesmo Descartes. Em algum momento de 1361 ocorreu a 
Oresme um pensamento brilhante: por que não traçar um figura ou gráfico da 
maneira pela qual variam as coisas? Vemos aqui, é claro, uma sugestão antiga daquilo que agora 
chamamos representação gráfica de funções. Tudo o que é mensurável, escreveu Oresme, é 
imaginável na forma de quantidade contínua; por isso ele traçou um gráfico velocidade x tempo para 
um corpo que se move com aceleração constante. Ao longo de uma reta horizontal ele marcou 
pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traçou 
perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento 
representava a velocidade. As extremidades desses segmentos, ele percebeu, jazem ao longo de 
uma reta; e se o movimento uniformemente acelerado parte do 
repouso, a totalidade dos segmentos velocidade (que chamamos 
ordenada) preencherá um triângulo retângulo. Os termos latitude e 
longitude, que Oresme usou, são equivalentes, num sentido amplo, 
às nossas ordenada e abscissa, e sua representação gráfica 
assemelha-se com nossa geometria analítica. 
 
 
Num manuscrito não-publicado Oresme demonstrou que a série harmônica diverge. Ele 
agrupou os termos sucessivos da série 
...
n
1
...
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1

, colocando primeiro termo no 
primeiro grupo, os dois termos seguintes no segundo grupo, os quatro termos seguintes no terceiro 
grupo, e assim por diante, o m-ésimo grupo contendo 
1m2 
 termos. Então é evidente que temos uma 
infinidade de grupos e que a soma dos termos em cada grupo é pelo menos 
21
. Logo, somando um 
número suficiente de termos em ordem, podemos superar qualquer número dado. Isso faz de Oresme 
um dos precursores da análise infinitesimal. 
 
 
9.5 O Século XV 
 
 O século XV testemunhou o início do Renascimento Europeu na arte e no saber. Com o 
colapso do Império Bizantino, culminando com a queda de Constantinopla ante os turcos em 1453, 
verifica-se um afluxo de refugiados para a Itália. Foi assim que muitos tesouros da civilização grega 
entraram no Ocidente e clássicos que até então só podiam ser conhecidos através de traduções 
árabes, nem sempre fiéis, agora se tornavam acessíveis em fontes originais. Ademais com a 
invenção da imprensa de tipos móveis na metade do século, a comercialização de livros passou por 
uma revolução, propiciando a disseminação do conhecimento de maneira muito mais rápida. Quando 
se fechou o século, a América já tinha sido descoberta e logo se faria a circunavegação da Terra. 
 
 O mais capaz e influente matemático do século foi Johann Müller (1436-1476), geralmente 
conhecido por Regiomontanus, nome latinizado de sua cidade natal Königsberg ("montanha do rei"). 
Regiomontanus traduziu do grego trabalhos de Apolônio, Herão, Ptolomeu e Arquimedes. Seu 
trabalho De triangulis omnimodis, escrito por volta de 1464 mas publicado postumamente em 1533 é 
a mais importante de suas obras; trata-se da primeira exposição européia sistemática de 
trigonometria plana e esférica, num tratamento independente da astronomia. Regiomontanus viajou 
consideravelmente pela Itália e a Alemanha, mas em 1471 se estabeleceu 
por fim em Nuremberg, onde montou um observatório, instalou uma prensa 
tipográfica e escreveu alguns trabalhos de astronomia. Em 1475 
Regiomontanus foi convidado pelo Papa Sisto IV para participar da reforma 
do calendário. Logo depois de sua chegada a Roma, morreu súbita e 
prematuramente aos 40 anos de idade. Seu falecimento está cercado de 
mistério pois, embora alguns relatos dêem conta de que ele provavelmente 
morreu vitimado pela peste, há rumores de que foi envenenado por um 
inimigo. 
 
 
 O De triangulis omnimodis de Regiomontanus se divide em cinco livros, os dois primeiro 
dedicados à trigonometria plana e os outros três à trigonometria esférica. Nessa obra o autor revela 
particular interesse na determinação de um triângulo, satisfeita três condições dadas. A álgebra de 
Regiomontanus era retórica, achando-se uma parte incógnita da figura como raiz de uma equação 
quadrática. Embora seus métodos possam ser considerados normais, ele atribui valores numéricos 
específicos às partes dadas. As únicas funções trigonométricas empregadas são o seno e o co-seno. 
Mais tarde, porém, Regiomontanus calculou uma tábua de tangentes. 
 
 O mais brilhante matemático francês do século XV foi Nicolas Chuquet, que nasceu em Paris 
mas viveu e se dedicou à medicina em Lyon. Em 1484 ele escreveu uma aritmética intitulada Triparty 
en la science des nombres. A primeira das três partes desse trabalho se ocupa do cálculo com 
números racionais, a segunda com números irracionais e a terceira aborda a teoria das equações. 
Chuquet admitia expoentes inteiros, positivos e negativos, e parte de sua álgebra é sincopada. Seu 
trabalho era demasiado avançado para a época, razão pela qual acabou não exercendo praticamente 
nenhuma influência sobre os contemporâneos do autor. 
 
 Em 1494 apareceu a primeira edição impressa da Summa de arithmetica, geometrica, 
proportioni et proportionalita, comumente conhecida apenas por Suma, do frade franciscano Lucas 
Pacioli (c. 1445-1509). Esse trabalho, uma compilação livre de muitas fontes, pretendia ser um 
sumário da aritmética, da álgebra e da geometria da época. Embora contenha pouco de importante 
que não se encontre no Liber abaci de Fibonacci, emprega uma notação superior. 
 
 A parte aritmética da Summa começa com algoritmos para as operações fundamentais e para 
a extração da raiz quadrada. A abordagem é bastante completa, contendo, por exemplo, nada menos 
que oito esquemas para se efetuar a multiplicação. A aritmética mercantil é focalizada extensamente 
e ilustrada com vários problemas; há um tratamento relevante da escrituração mercantil de partidas 
dobradas. A regra da falsa posição é discutida e aplicada. Apesar de muitos erros numéricos, a parte 
aritmética do trabalho tornou-se o padrão para as práticas da época. A álgebra da Summa chega até 
equações quadráticas e contém muitos problemas que levam a essas equações. A álgebra é 
sincopada, com o uso de abreviações como p(de piu, "mais") para indicar adição, m(de meno, 
"menos") para indicar a subtração, co(de cosa, "coisa") para a incógnita, ce(de censo) para x
2
, cu (de 
cuba) para x
3
 e cece (de censo-censo) para x
4
. A igualdade é às vezes indicada por ae (de aequalis). 
De geometria o trabalho contém pouco interesse. Como na obra de Regiomontanus, usa-se a álgebra 
na resolução de problemas geométricos. Depois da Summa, a álgebra, que por dois séculos fora 
negligenciada, experimentou um crescimento intenso na Itália, progredindo também na Alemanha, na 
Inglaterra e na França. 
 
 
 Pacioli viajou extensamente, ensinou em vários lugares e escreveu 
muitos trabalhos, nem todos impressos. Em 1509, publicou sua De divina 
proportione, com ilustrações dos sólidos regulares desenhadas por Leonardo da 
Vinci durante o tempo em que recebeu lições de matemática de Pacioli. 
 
 O primeiro registro dos símbolos + e  ocorreu numa aritmética de autoria 
de Johann Widman (nascido c. 1460 na Boêmia), publicada em Leipzig no ano de 
1489. No caso, esses símbolos eram usados meramente para indicar 
excesso e deficiência e não com os significados operacionais de hoje. É bastante provável que o 
primeiro desses sinais seja uma contração da palavra latina et, que era usada freqüentemente para 
indicar adição; e é possível que o segundo desses sinais decorra da abreviação 
m
 para menos.9.6 O Início do Simbolismo Algébrico 
 
 A primeira metade do século XVI viu surgir uma nuvem de álgebras alemãs, entre as mais 
importantes delas estando a Coss (1525) de Christoph Rudolff (c. 1500-1545), a Rechnung (1527) de 
Peter Apian (1495-1552), e a Arithmetica integra (1544) de Michael Stifel (c. 1487-1567). A primeira é 
especialmente importante por ser das mais antigas obras impressas a usar frações decimais, bem 
como o símbolo moderno para raízes (adotado talvez porque lembra um r - de raiz - minúsculo); a 
segunda merece menção pelo fato de nela, uma aritmética comercial, o chamado "triângulo de 
Pascal" ser impresso, na página de rosto, quase um século antes do nascimento de Pascal. A terceira 
obra, a Arithmetica integra de Stifel, foi a mais importante de todas as álgebras alemãs do século XVI. 
Divide-se em três partes dedicadas, respectivamente, aos números racionais, números irracionais e 
álgebra. Na primeira parte Stifel salienta as vantagens de se associar uma progressão aritmética a 
uma geométrica, prenunciando assim, de quase um século, a invenção dos logaritmos. Nessa parte 
ele deu também os coeficientes do desenvolvimento binomial até o de ordem dezessete. A segunda 
parte é, basicamente, uma apresentação algébrica do Livro X de Euclides e a terceira parte se ocupa 
de equações. As raízes negativas de uma equação são descartadas, mas se usam os sinais +,  e 
 e se apresenta a incógnita muitas vezes por uma letra. 
 
9.7 Equações Cúbicas e Quárticas 
 
 Provavelmente o feito matemático mais extraordinário do século XVI foi a descoberta, por 
matemáticos italianos, da solução algébrica das equações cúbica e quártica. Resumidamente, eis 
como os fatos parecem ter acontecido. 
 
 Por volta de 1515, Scipione del Ferro (1465-1526), professor de matemática da Universidade 
de Bolonha, resolveu algebricamente a equação cúbica x
3
 + mx = n, baseando seu trabalho 
provavelmente em fontes árabes. Ele não publicou o resultado mas revelou o segredo a seu discípulo 
Antonio Fior. Por volta de 1535, Nicolo Fontana de Brescia, mais conhecido como Tartaglia (o 
tartamudo), devido a lesões físicas sofridas quando criança que afetaram sua fala, anunciou ter 
descoberto uma solução algébrica par a equação cúbica x
3
 + px
2
 = n. Achando que se tratava de 
blefe, Fior desafiou Tartaglia para uma disputa pública envolvendo a resolução de equações cúbicas. 
Com muito empenho Tartaglia conseguiu resolver também, faltando poucos dias para a disputa, a 
equação cúbica desprovida do termo quadrático. Como no dia marcado sabia resolver dois tipos de 
cúbicas, ao passo que Fior só sabia resolver um, Tartaglia triunfou plenamente. Mais tarde, Girolamo 
Cardano, um gênio inescrupuloso que ensinava matemática e praticava medicina em Milão, depois de 
um juramento solene de segredo, conseguiu arrancar de Tartaglia a chave da solução da cúbica. Em 
1545, porém, quando apareceu em Nuremberg a Ars Magna de Cardano, um grande tratado em latim 
de álgebra, lá estava a solução de Tartaglia da cúbica. Os protestos veementes de Tartaglia foram 
rebatidos por Ludovico Ferrari, o mais brilhante dos discípulos de Cardano, que argumentou ter seu 
mestre recebido informações de del Ferro, através de um terceiro personagem, ao mesmo tempo que 
acusava Tartaglia de ter plagiado a mesma fonte. Seguiu-se uma polêmica acerca da qual Tartaglia, 
com certeza, deu-se por feliz de sair vivo. 
 
 A resolução da cúbica x
3
 + mx = n dada por Cardano em sua Ars Magna é essencialmente a 
seguinte. Considere a identidade 
333 ba)ba(ab3)ba( 
. Se escolhermos a e b de modo que 
3ab = m e 
nba 33 
, então x é dado por a  b. Resolvendo para a e b o sistema formado pelas duas 
últimas equações obtemos 
3 32 )3m()2n()2n(a 
 e 
3 32 )3m()2n()2n(b 
, e assim x 
fica determinado. 
 
 Pouco depois da resolução da equação cúbica, encontrou-se também a solução da equação 
quártica geral. Em 1540, o matemático italiano Zuanne de Tonini da Coi propôs um problema a 
Cardano que recaía numa equação quártica. Embora não conseguisse resolver essa equação, seu 
discípulo Ferrari teve êxito nessa tarefa, e Cardano teve o prazer de publicar essa solução em sua 
Ars Magna. 
 
 O método de Ferrari de resolução de quárticas, sintetizado em notação moderna, transcorre 
do seguinte modo. Uma transformação simples reduz a quártica completa à forma 
0rqxpxx 24 
. Daí se obtém 
22224 prqxpxppx2x 
 ou 
rpqxpx)px( 2222 
 e 
então, para um y arbitrário, 
)ypy2rp(qxx)y2p(y)px(y2rpqxpx)ypx( 222222222 
. 
Escolhamos agora y de modo que o segundo membro da equação acima seja um quadrado. Isso 
ocorre quando 
0q)ypy2rp)(y2p(4 222 
. Mas essa é uma equação em y que pode ser 
resolvida pelo método precedente. Tal valor de y reduz o problema original tão-somente à extração 
de raízes quadradas. 
 Girolamo Cardano é um dos personagens mais extraordinários da 
história da matemática. Nasceu em Pávia, em 1501, filho ilegítimo de um jurista, 
vindo sua personalidade a revelar-se extremamente contraditória e arrebatada. 
Começou sua tumultuada vida profissional como médico, mas, paralelamente, 
dedicava-se à matemática, estudando, ensinando e escrevendo. Depois de uma 
viagem que fez, certa feita, à Escócia, veio a ocupar, sucessivamente, cadeiras 
importantes nas Universidades de Pávia e Bolonha. Esteve preso por algum 
tempo, acusado de heresia por ter feito e publicado um horóscopo de Jesus 
Cristo. Renunciando a sua cadeira em Bolonha, mudou-se para Roma, onde se 
 
notabilizou como astrólogo, inclusive do Papa, pelo que recebia uma pensão. Faleceu em Roma no 
ano de 1576 e segundo uma versão, pôs fim à própria vida para não contrariar previsão astrológica 
feita por ele mesmo sobre a data de sua morte. Contam-se muitas histórias sobre sua perversidade; 
como a de que, num acesso de raiva, teria cortado as orelhas de seu filho mais jovem. Algumas 
dessas histórias podem resultar de exageros de seus inimigos; pode ser mesmo que ele tenha sido 
vítima de muita difamação. Pelo menos é isso que sustenta em sua autobiografia. 
 
 Um dos homens mais talentosos e versáteis de seu tempo, Cardano deixou uma obra vasta, 
abrangendo aritmética, astronomia, física, medicina e outros assuntos. Mas dentre os seus muitos 
livros o mais importante, sem dúvida, é a Ars Magna, o primeiro grande tratado em latim dedicado 
exclusivamente à álgebra. Nele se dá alguma atenção às raízes negativas de uma equação e ao 
cálculo com números imaginários. Tem-se também um método, embora tosco, de obtenção de um 
valor aproximado de uma raiz de uma equação de grau genérico. Há indícios de que Cardano tinha 
algum conhecimento da regra de sinais de Descartes. Como jogador inveterado, Cardano escreveu 
um manual do jogador em que abordou algumas questões interessantes de probabilidade. 
 
 
 Tartaglia teve uma infância difícil. Nasceu em Brescia no ano de 1499, 
filho de pais muito pobres, e presenciou a tomada de sua cidade natal pelos 
franceses em 1512. Durante o período de violências da invasão francesa, ele 
e seu pai (que era mensageiro postal da cidade), como muitas outras pessoas, 
refugiaram-se na catedral local. Mas os soldados franceses não respeitaram o 
local e massacraram os que lá estavam. O pai de Tartaglia foi morto e ele, 
com o crânio fraturado e com um corte de sabre profundo que lhe atingiu o 
palato, foi deixado como morto. Quando sua mãe chegou à catedral, à procura 
dos parentes, encontrou o filho ainda com vida e diligenciou para transportá-lo 
seguro de lá. Carecendo de recursos para assistência médica, ela lembrou que um cão machucado 
sempre lambe suas próprias feridas; de fato, mais tarde Tartaglia atribuiu sua recuperação a esse 
tratamento. O ferimento no palato deixou-o com um defeito na fala, razão pela qual ganhoua alcunha 
de "o gago". Sua mãe só conseguiu dinheiro para mandá-lo à escola por quinze dias e assim 
Tartaglia teve de aprender a ler e a escrever sozinho, usando para isso, inclusive, um caderno que 
roubara. Conta-se que, não dispondo de recursos para compra papel, usava as lápides do cemitério 
como quadro-negro. Mais tarde passou a ganhar a vida ensinando ciências e matemática em várias 
cidades da Itália. Faleceu em Veneza em 1557. 
 
9.8 François Viète 
 
 O maior matemático do século XVI foi François Viète, freqüentemente conhecido por Vieta, 
seu nome semilatinizado. Nascido em Fontenay, em 1540, estudou advocacia e foi membro do 
parlamento provincial da Bretanha; mais tarde tornou-se membro do conselho do rei, servindo 
primeiro sob Henrique III depois sob Henrique IV. Foi, enquanto servia a esse último, Henrique de 
Navarra, que teve sucesso ao decifrar as mensagens em código do inimigo que os espanhóis o 
acusaram de ter um pacto com o demônio. Faleceu em 1603, em Paris. 
 
 Só o tempo de lazer de Viète era dedicado à matemática, no entanto fez 
contribuições à aritmética, álgebra, trigonometria e geometria. Na aritmética ele 
deve ser lembrado por seu apelo em favor do uso de frações decimais em lugar de 
sexagesimais. Mas, sem dúvida, foi à álgebra que Viète deu suas mais importantes 
contribuições, pois foi aqui que chegou mais perto das idéias modernas. Em seu 
livro In artem Viète introduziu a prática de se usar vogais para representar 
incógnitas e consoantes para representar constantes. A convenção atual de se 
usar as últimas letras do alfabeto para indicar as incógnitas e as primeiras para as 
constantes foi introduzida por Descartes em 1637. 
 
 Se Viète tivesse adotado outros simbolismos já existentes em seus dias, ele poderia ter 
escrito todas as equações quadráticas na forma única BA
2
 + CA + D = 0, onde A é a incógnita e B, C 
e D são parâmetros; mas infelizmente ele só era moderno em alguns aspecto, em outros era antigo e 
medieval. Sua álgebra é fundamentalmente sincopada e não simbólica, pois embora ele 
sensatamente adotasse os símbolos germânicos para adição e subtração, e ainda mais 
sensatamente usasse símbolos diferentes para parâmetros e incógnitas, o resto de sua álgebra 
consistia de palavras e abreviações. A terceira potência da quantidade incógnita não era A
3
, ou 
mesmo AAA, mas A cubus, e a segunda potência era A quadratus. A multiplicação era denotada pela 
palavra latina in, a divisão pela barra de fração, e para a igualdade Viète usava uma abreviação para 
a palavra latina aequalis. Não é dado a um só homem fazer toda uma dada transformação; ela deve 
vir em passos sucessivos. Assim, o que escreveríamos 
DACA2BA5 32 
 para ele seria 
.solido D aequatur cubus AA in 2 plano Cquadratus A in 5 B 
 
 
 Num resumo das realizações matemáticas do século XVI, pode-se dizer que a álgebra 
simbólica teve um bom andamento, que os cálculos com numerais indo-arábicos se padronizaram, 
que as frações decimais ganharam terreno, que se resolveram as equações cúbicas e quárticas e a 
teoria das equações progrediu, que os números negativos começaram a ser aceitos, que a 
trigonometria se aprimorou e sistematizou e que se calcularam excelente tábuas. O campo estava 
preparado para o notáveis avanços do próximo século. 
 
9.9 A Alvorada da Matemática Moderna 
 
O séc. XVII é particularmente importante na história da matemática. Perto do início do século, 
Napier revelou sua invenção dos logaritmos, Harriot e Oughtred contribuíram para a notação e a 
codificação da álgebra, Galileu fundou a ciência da dinâmica e Kepler anunciou suas leis do 
movimento planetário. Mais tarde, Desargues e Pascal inauguraram um novo campo da geometria 
pura, Descartes lançou a geometria analítica moderna, Fermat estabeleceu os fundamentos da teoria 
dos números moderna e Huygens deu contribuições de monta à teoria das probabilidades e a outros 
campos. E então, perto do final do século, na esteira preparada por vários matemáticos do próprio 
século, Newton e Leibniz contribuíram memoravelmente com a criação do cálculo. Podemos ver e 
então que muitos campos novos e vastos se abriram para a pesquisa matemática durante o século 
XVII. 
 
9.9.1 Napier 
 
 Muitos dos campos nos quais os cálculos numéricos são importantes, como a astronomia, a 
navegação, o comércio, a engenharia e a guerra fizeram com que as demandas para que esses 
cálculos se tornassem cada vez mais rápidos e precisos crescessem sempre e continuamente. 
Quatro notáveis invenções vieram atender sucessivamente essas demandas crescentes: a notação 
indo-arábica, as frações decimais, os logaritmos e os modernos computadores. O terceiro desses 
grandes dispositivos poupadores de trabalho, os logaritmos, foi inventado por John Napier perto do 
início do séc. XVII. 
 
 
 John Napier (1550-1617), nasceu quando seu pai tinha apenas 
dezesseis anos de idade e viveu a maior parte de sua vida na majestosa 
propriedade de sua família perto de Edimburgo, Escócia. Gastou grande 
parte de suas energias em controvérsias políticas e religiosas de seu 
tempo. Era violentamente anticatólico e defensor das causas de John Knox 
e Jaime I. 
 
 Para se descontrair de suas polêmicas políticas e religiosas, Napier 
deleitava-se estudando matemática e ciência, resultando daí que quatro 
produtos de seu gênio tenham entrado para a história da matemática. São: 
(1) a invenção dos logaritmos; (2) um engenhoso dispositivo mnemônico, conhecido como regra das 
partes circulares, para reproduzir fórmulas usadas na resolução de triângulos esféricos; (3) pelo 
menos duas fórmulas trigonométricas de um grupo de quatro conhecidas como analogias de Napier, 
úteis na resolução de triângulos esféricos obliquângulos; (4) a invenção de um instrumento, 
conhecido como barras de Napier ou ossos de Napier, usado para efetuar mecanicamente 
multiplicações, divisões e extrair raízes quadradas de números. 
 
9.9.2 Logaritmos 
 
 Como sabemos hoje, o poder dos logaritmos como instrumentos de cálculo repousa no fato 
de que eles reduzem multiplicações e divisões a simples operações de adição e subtração. A fórmula 
trigonométrica 2cosA.cosB = cos(A + B) + cos (A – B), bem conhecida na época de Napier, é 
visivelmente uma predecessora dessa idéia. Neste caso o produto dos dois números, 2cosA.cosB, é 
substituído pela soma dos dois números cos(A +B) + cos(A – B). Pode-se facilmente estender essa 
fórmula para converter o produto de dois números quaisquer na soma de dois outros números. 
Suponhamos por exemplo, que se pretenda o produto de 437,64 por 27,327. De uma tábua de co-
senos, ache, usando interpolação se necessário, os ângulos A e B, tais que 
21882,0
2
43764,0
)acos( 
 e cos(B) = 0,27327. Então, usando de novo a tábua de co-senos, com 
interpolação se necessário, encontre cos(A + B) e cos(A – B) e some esses números. Tem-se agora o 
produto de 0,43764 e 0,27327. Finalmente ajustando de maneira adequada a vírgula decimal na 
resposta, obtém-se o produto procurado. Assim, o problema de achar o produto (437,54)(27,327) foi 
engenhosamente reduzido a um simples problema de adição. 
 
Além da fórmula trigonométrica precedente há ainda as três seguintes: 
i) 2sen(A).cos(B) = sen(A + B) + sen(A – B) 
ii) 2cos(A).sen(B) = sen(A + B) – sen(A – B) 
iii) 2sen(A).sen(B) = cos(A – B) – cos(A + B) 
Essas quatro identidades são às vezes conhecidas como fórmulas de Werner pois ao que parece o 
alemão Johannes Werner (1468-1528) as usou para simplificar cálculos envolvendo comprimentos 
que aparecem em astronomia. As fórmulas passaram a ser largamente usadas por matemáticos e 
astrônomos perto do fim do século XVII como um método de conversão de produtos em somas e 
diferenças. O método tornou-se conhecido como prostaférese, a partir de uma palavra grega que 
significa “adição e subtração”. Uma divisãopode ser tratada da mesma maneira. Assim, utilizando-se 
de novo a primeira das fórmulas de Werner, temos 
)Bcos(
)Acos(2
 = 2cos(A)sec(B) = 2cos(A).cos(90º - B) 
 =cos[A + (90º - B)] + cos[A – (90º - B)]. 
 
 Sabemos que Napier estava inteirado do método da prostaférese, e é possível que se tivesse 
deixado influenciar por ele, pois de outra forma seria difícil explicar por que restringiu seus logaritmos 
inicialmente aos senos de ângulos. Mas a abordagem de Napier para eliminar o fantasma das longas 
multiplicações e divisões difere consideravelmente da prostaférese, e se baseia no fato de que, 
associando-se aos termos de uma progressão geométrica b, b
2
, b
3
, ..., b
n
, ... os da progressão 
aritmética 1, 2, 3, ..., n, ..., então o produto b
m
.b
n
 = b
m +n
 de dois termos da primeira progressão está 
associado à soma m + n dos termos correspondentes da segunda progressão. Para manter os termos 
da progressão geométrica suficientemente próximos de modo que se possa usar interpolação para 
preencher as lacunas entre os termos na correspondência precedente, deve-se escolher o número b 
bem próximo de 1. Com essa finalidade Napier tomou 1 – 1/10
7
 = 0,999999 para b. Para evitar 
decimais, ele multiplicava cada potência por 10
7
. Então, se N = 10
7
(1 – 1/10
7
)
L
 ele chamava L de 
“logaritmo” do número N. Segue-se que o logaritmo de Napier de 10
7
 é 0 e o de 10
7
(1 – 1/10
7
) = 
0,99999 é 1. Dividindo-se N e L por 10
7
, virtualmente se encontrará um sistema de logaritmos na 
base 1/e, pois 710
710
1
1 






= n
n n








1
1lim
= 1/e. 
Como é óbvio, deve-se ter em mente que Napier não trabalhava com o conceito de base de um 
sistema de logaritmos. 
 
 Napier dedicou-se pelo menos vinte anos a essa teoria, tendo finalmente explanado os 
princípios de seu trabalho em termos geométricos como se segue. Considere um segmento de reta 
AB e uma semi-reta DE, de origem D, conforme a figura abaixo. Suponhamos que os pontos C e F se 
ponham em movimento simultaneamente a partir de A e 
D, respectivamente, ao longo dessas linhas, com a 
mesma velocidade inicial. Aditamos que C se mova com 
uma velocidade numericamente igual à distância CB, e 
que F se mova com velocidade uniforme. Napier definiu 
então DF como o logaritmo de CB. Isto é, pondo-se 
DF=x e CB = y, temos x = Nap log (y). 
 
 
 Napier publicou sua abordagem dos logaritmos em 1614 num texto intitulado Mirifici 
logarighmorum canonis descriptio (Descrição da Maravilhosa Lei dos Logaritmos). O trabalho contém 
uma tábua que dá os logaritmos dos senos de ângulos para minutos sucessivos de arco. A Descriptio 
despertou interesse imediato e amplo, sendo que no ano seguinte à sua publicação, Henry Briggs 
(1561-1631), professor de geometria do Gresham College de Londres e posteriormente professor de 
Oxford, viajou até Edimburgo para dar o tributo de seu reconhecimento ao grande inventor dos 
logaritmos. Foi durante essa visita que Napier e Briggs concordaram que as tábuas seriam mais úteis 
se fossem alteradas de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência 
conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, os logaritmos dos dias de 
hoje. Esses logaritmos, que são essencialmente os logaritmos de base 10, devem sua superioridade 
em cálculos numéricos ao fato de que nosso sistema de numeração é decimal. Para um outro 
sistema de numeração de base b e para propósitos computacionais, é claro que seriam mais 
convenientes tábuas de logaritmos também na base b. 
 
 A palavra logaritmo significa “número de razão” e foi adotada por Napier depois de ter usado 
inicialmente a expressão número artificial. Briggs introduziu a palavra mantissa, que é um termo latino 
de origem etrusca que significava inicialmente “adição” ou “contrapeso” e que, no século XVI, passou 
a significar “apêndice”. O termo característica também foi sugerido por Briggs e foi usado por Vlacq. É 
curioso que as primeiras tábuas de logaritmos comuns costumavam trazer impressas tanto a 
característica como a mantissa; só no século XVIII começou a praxe atual de só se imprimir a 
mantissa. 
 
 A maravilhosa invenção de Napier foi entusiasticamente adotada por toda Europa. Na 
astronomia, em particular, já estava passando da hora para essa descoberta; pois, como afirmou 
Laplace, a invenção dos logaritmos “ao diminuir o trabalho, dobrou a vida dos astrônomos”. 
 
 O único rival de Napier quanto à prioridade da invenção dos logaritmos foi o suiço Jobst Bürgi 
(1552-1632) , um construtor de instrumentos. Bürgi concebeu e construiu uma tábua de logaritmos 
independentemente de Napier e publicou seus resultados em 1620, seis anos depois de Napier 
anunciar sua descoberta ao mundo. Embora os dois tenham concebido a idéia dos logaritmos muito 
antes de publicá-la, acredita-se geralmente que Napier teve a idéia primeiro. Enquanto a abordagem 
de Napier era geométrica, a de Bürgi era algébrica. Hoje em dia, um logaritmo é universalmente 
considerado com o um expoente; assim, se n = b
x
, dizemos que x é o logaritmo de n na base b. 
Dessa definição, as leis dos logaritmos decorrem imediatamente das leis dos expoentes. Uma das 
incongruências da história da matemática é que os logaritmos foram descobertos antes de se usarem 
expoentes. 
 
9.9.3 Harriot e Oughtred 
 
 Thomas Harriot (1560-1621) foi outro matemático que viveu a maior parte de sua vida no séc. 
XVI mas cujas publicações mais importantes apareceram no séc. XVII. É considerado o fundador da 
escola de algebristas ingleses cujo maior trabalho neste campo é a Artis analyticae praxis que trata 
em grande parte da teoria das equações. Esse trabalho contribui muito no sentido de estabelecer os 
 
padrões atuais de um texto sobre o assunto. Inclui um tratamento das equações 
de primeiro, segundo, terceiro e quarto graus; a formação de equações, dadas as 
raízes; as relações entre as raízes e coeficientes de uma equação; as 
transformações familiares de uma equação noutra cujas raízes guardam com a 
equação original alguma relação específica. O tratamento de Harriot é mais 
completo e mais sistematizado do que o de Viète embora Harriot seguisse o 
plano de Viète de usar vogais, minúsculas em vez de maiúsculas, para indicar 
incógnitas e consoantes para indicar constantes. Ele melhorou a notação de Viète 
para potências, representando a
2
 por aa, a
3
 por aaa e assim por diante. 
São dele também os símbolos < e > para “menor que” e “maior que”, respectivamente. 
 William Oughtred (1574-1660) foi um dos autores ingleses de 
matemática mais influentes do séc. XVII. Sua obra, Clavis mathematicae, um 
trabalho sobre aritmética e álgebra editada em 1631, muito fez no sentido de 
divulgar o conhecimento matemático na Inglaterra. Em seus escritos, deu 
ênfase aos símbolos matemáticos, contribuindo com mais de 150 deles. Entre 
todos, somente três chegaram aos nossos tempos: o de multiplicação (

), os 
quatro pontos (::)das proporções e o de diferença (~), ainda usado. O símbolo 
de multiplicação de Oughtred não foi, porém, adotado imediatamente pois, como 
 
objetava Leibniz, assemelhava-se muito com o x. Embora Oughtred tivesse tido ocasião de usar o 
ponto (.) para a multiplicação, esse símbolo não foi usado predominantemente até Leibniz adotá-lo. 
Leibniz também usava o símbolo 

 para a multiplicação, o qual é usado hoje para a interseção na 
teoria dos conjuntos. O símbolo anglo-americano (

) da divisão também é do século XVII, tendo 
aparecido impresso pela primeira vez em 1659 numa álgebra do suíço Johann Heinrich Rahn (1622-
1676). Tal símbolo tornou-se conhecido na Inglaterra alguns anos mais tarde quando esse trabralho 
foi traduzido. Esse símbolo de divisão foi usado longamenteno continente europeu para indicar 
subtração. Devem-se a Leibniz os familiares símbolos da geometria: (~) para semelhança e 

 para 
congruência. 
 
9.9.4 Galileu e Kepler 
 
 Dois importantes astrônomos contribuíram notavelmente para a matemática perto do início do 
séc. XVII: o italiano Galileu Galilei e o alemão Johann Kepler. 
 
 Galileu, filho de um nobre florentino empobrecido, nasceu em Pisa em 1564, no dia em que 
faleceu Michelângelo. Aos dezessete anos de idade foi encaminhado pelos pais à Universidade de 
Pisa para estudar medicina. Um dia, quando assistia a um serviço na Catedral de Pisa, seu espírito 
se distraiu observando o grande lustre de bronze suspenso da elevada abóbada. A lâmpada tinha 
 
sido posta para fora a fim de iluminar mais facilmente e, solta, oscilava para cá 
e para lá com amplitude que decrescia gradualmente. Usando as batidas de 
seu pulso para marcar o tempo, ele ficou surpreso ao verificar que o período 
de uma oscilação da lâmpada independia da amplitude do arco de oscilação. 
Posteriormente, por experiências, ele mostrou que o período de um pêndulo 
em movimento também independe do peso de sua massa oscilante, 
dependendo assim apenas do comprimento de sua haste. Relata-se que o 
interesse de Galileu pela ciência e pela matemática surgiu desse problema e 
foi estimulado, posteriormente, pela oportunidade de assistir a um curso de 
geometria na Universidade. 
 
 Devemos a Galileu o moderno espírito científico na forma de uma harmonia entre experiência 
e teoria. Ele fundou a mecânica dos corpos em queda livre, lançou os fundamentos da dinâmica em 
geral, e sobre esses fundamentos mais tarde Newton foi capaz de construir uma ciência. Foi ele o 
primeiro a perceber a natureza parabólica da trajetória de um projétil no vácuo; e especular sobre leis 
envolvendo momentos. Ele inventou o primeiro microscópio moderno e o compasso de setores que 
chegou a ser muito popular. Do ponto de vista histórico são interessantes as colocações de Galileu 
que mostram que ele captou a idéia de equipotência de conjuntos infinitos, um ponto fundamental na 
teoria dos conjuntos de Cantor no século XIX, com tantas implicações importantes no 
desenvolvimento da análise moderna. 
 
 Johann Kepler nasceu em 1571 perto da cidade de Stuttgart e estudou 
na Universidade de Tübingen. Em 1594 aceitou indicação para uma cadeira na 
Universidade de Grätz, na Áustria. Cinco anos mais tarde tornou-se assistente 
do famoso, mas briguento, astrônomo dinamarquês-sueco Tycho Brahe que 
havia se mudado para Praga como astrônomo da corte do rei Rodolfo II. Em 
1601 Brahe faleceu subitamente e Kepler herdou, além do posto de seu 
mestre, sua vasta e muito acurada coleção de dados astronômicos sobre o 
movimento dos planetas. 
 
 
 Diz-se muitas vezes que quase todo problema pode ser resolvido mantendo-se para com ele 
uma preocupação constante e trabalhando-se nele um tempo suficientemente longo. Se, como dizia 
Thomas Edson, uma invenção depende um por cento de inspiração e noventa e nove por cento de 
transpiração, resolver um problema depende um por cento de imaginação e noventa e nove por cento 
de perseverança. Talvez em nenhum lugar da história da matemática se demonstre isso mais 
claramente do que na incrível persistência de Kepler ao resolver o problema do movimento dos 
planetas em torno do sol. Inteiramente convencido da teoria copernicana de que os planetas 
descrevem órbitas em torno do Sol, Kepler procurou de maneira infatigável determinar a natureza e a 
posição dessas órbitas e como elas são percorridas pelos planetas. Depois de muitas tentativas, 
através da massa enorme de observações muito acuradas feitas por Tycho Brahe sobre o movimento 
dos planetas, Kepler obteve um modelo do movimento dos planetas que se ajustasse exatamente a 
esse grande conjunto de observações. Após fazer centenas de tentativas infrutíferas e preencher 
resmas e resmas de papel com cálculos, num trabalho efetuado com zelo e paciência constantes 
durante vinte e um anos, por fim, em 1609, viu-se em condições de reformular suas duas primeiras 
leis do movimento planetário e, dez anos depois, em 1619, a terceira. Essas leis são marcos 
fundamentais da história da astronomia e da matemática moderna. São elas: 
I. Os planetas movem-se em torno do Sol em trajetórias elípticas com o Sol num dos focos. 
II. O raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. 
III. O quadrado do tempo para que um planeta complete sua revolução orbital é diretamente 
proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita. 
 
A descoberta empírica dessas leis, a partir da massa de dados de Brahe, constitui um dos 
mais notáveis trabalhos de indução jamais feitos na ciência. 
 
 Kepler foi um dos precursores do cálculo. Para calcular as áreas envolvidas em sua Segunda 
lei dos movimentos planetários, teve de recorrer a uma forma tosca de cálculo integral. Em seu 
Stereometria doliorum vinorum (Geometria Sólida dos Barris de Vinho, 1615) aplicou processos de 
integração toscos para achar os volumes de noventa e três sólidos obtidos pela rotação de 
segmentos de secções cônicas em torno de um eixo de seu plano. Através deste estudo profundo 
sobre cônicas, Kepler resolveu também o problema da determinação do tipo de cônica dado por um 
vértice, o eixo por esse vértice e uma tangente com seu ponto de tangência e introduziu a palavra 
foco na geometria das cônicas. Ele aproximou o perímetro de uma elipse de semi-eixos a e b pelo 
uso da fórmula 

(a + b). Estabeleceu também o chamado princípio de continuidade que 
essencialmente postula a existência no infinito, num plano, de pontos e retas ideais com muitas das 
propriedades dos pontos e retas usuais. Argumentava que se poderia considerar uma reta como 
fechada no infinito, que duas retas paralelas teriam um ponto comum no infinito e que uma parábola 
pode ser considerada como um caso limite ou de uma elipse ou de uma hipérbole fazendo-se um dos 
focos retroceder ao infinito. 
 
9.9.5 Desargues 
 
 Gérard Desargues nasceu em Lyon no ano de 1591 e faleceu em 1661 nesta mesma cidade. 
Em 1639 lançou um tratado sobre seções cônicas que embora notavelmente original foi tão 
negligenciado pelos outros matemáticos que cedo foi esquecido. São duas as principais razões para 
tal negligência: (1) Os geômetras estavam tentando aplicar infinitésimos à geometria e inteiramente 
voltados para o desenvolvimento da geometria analítica, muito mais flexível, criada por Descartes 
dois anos antes; (2) Seu estilo era demasiado excêntrico. Ele criou cerca de setenta novos termos 
dos quais apenas um, involução, se preservou porque foi esse o único termo do jargão técnico de 
Desargues escolhido por um crítico para os ataques e zombarias 
mais agudos. Mas, através desta pequena obra é considerado hoje 
como o autor que deu mais contribuições originais à geometria 
sintética no século XVII. Neste livro encontra-se o teorema 
fundamental de Desargues sobre dois triângulos: Se dois triângulos, 
coplanares ou não, situam-se de maneira que as retas que unem os 
pares de vértices correspondentes são concorrentes, então os 
pontos de intersecção dos pares de lados correspondentes são 
colineares e vice-versa (ver figura ao lado). 
 
 
 Quando estava na faixa dos trinta anos de idade e vivia em Paris, Desargues impressionou 
consideravelmente seus contemporâneos através de uma série de conferências gratuitas. Seu 
trabalho foi muito apreciado por Descartes e Blaise Pascal. Apesar disso tudo, a nova geometria 
ganhou pouco fôlego no século XVII, permanecendo praticamente adormecida até algum tempo 
depois do início do século XIX, quando se desenvolveu um interesse enorme pelo assunto, o que 
resultou em grandes avanços. 
 
9.9.6 Pascal 
 
 Um dos poucos contemporâneos de Desargues que mostraram saber avaliar seu trabalho foiBlaise Pascal, um gênio matemático de alto quilate. Nasceu na província francesa de Auvergne em 
1623 e muito cedo revelou aptidão extraordinária para a matemática. Devido à sua fragilidade física, o 
garoto era mantido em casa, como garantia contra algum esforço excessivo. Seu pai decidiu ainda 
que a educação do filho deveria de início restringir-se ao estudo de línguas, não incluindo nada, 
portanto, de matemática. Mas isso provocou nele uma curiosidade muito grande, fazendo com que 
indagasse de seu preceptor sobre a natureza da geometria. O preceptor informou-lhe que a 
geometria era o estudo das figuras exatas e das propriedades de suas diferentes partes. Estimulado 
por essa descrição e pela objeção do pai, ele abandonava seu tempo de 
recreio e, clandestinamente, em poucas semanas, descobriu por conta 
própria muitas das propriedades das figuras geométricas, em particular 
a de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso. 
Isto foi conseguido por algum processo de dobrar um triângulo de papel, 
talvez dobrando os vértices sobre o centro do círculo inscrito, como se 
mostra na figura. Quando seu pai chegou até ele um dia e o viu em suas 
atividades geométricas ficou tão feliz com a capacidade do garoto que 
resolveu lhe dar um exemplar dos Elementos de Euclides, que o jovem Pascal leu avidamente e logo 
dominou. 
 
 
 Aos quatorze anos de idade Pascal já participava de um reunião 
semanal de um grupo de matemáticos franceses, germe da futura Academia 
Francesa, fundada em 1666. Aos dezesseis anos escreveu um trabalho sobre 
secções cônicas que Descartes duvidou pudesse ser trabalho de adolescente, 
preferindo considerá-lo de autoria do pai. Entre dezoito e dezenove anos de 
idade, inventou a primeira máquina de calcular, que idealizou para ajudar seu 
pai nas funções de fiscal do governo. 
 
 O Trité du Triangle ArithmétiqueI de Pascal foi escrito em 1653 mas só 
foi publicado em 1665. Ele construía seu triângulo aritmético 
conforme a figura ao lado. Obtém-se qualquer elemento (da 
segunda linha em diante)como soma de todos os elementos da 
linha precedente situados exatamente acima ou à esquerda do 
elemento desejado. Assim, na quarta linha, 35 = 15 + 10 + 6 + 3 + 
1. Obtém-se o triângulo, que pode ser de qualquer ordem, 
desenhando-se uma diagonal como mostra a figura. Note que os 
números ao longo da diagonal são os coeficientes sucessivos de 
uma expansão binomial. Por, os números ao longo da quinta 
 
diagonal são os coeficientes sucessivos da expansão de (a + b)
4
. A determinação dos coeficientes 
binomiais era uma das aplicações que Pascal fazia do seu triângulo. Ele também o usava, 
particularmente em suas discussões sobre probabilidades, para determinar o número de 
combinações de n objetos tomados r de cada vez, o que ele corretamente afirmava ser 
)!(!
!
rnr
n

, 
onde n! = n(n – 1).(n – 2)...3.2.1. Pascal não foi o primeiro a mostrar o triângulo aritmético – vários 
séculos antes esse arranjo numérico foi antecipado por escritores chineses. Como Pascal foi por 
longo tempo (até 1935) o primeiro descobridor conhecido do triângulo no mundo ocidental e devido 
ao desenvolvimento e aplicações que fez de muitas das propriedades do triângulo, este tornou-se 
conhecido como triângulo de Pascal. Uma das manifestações mais antigas aceitáveis do princípio de 
indução matemática aparece no tratado de Pascal sobre o triângulo. Foi através do uso de seu 
triângulo que Pascal lançou os fundamentos da moderna teoria das probabilidades. 
 
 É importante registrar que se atribui a Pascal a invenção do carrinho de mão de uma roda 
como o conhecemos hoje. Aos trinta e cinco anos de idade concebeu também o ônibus, uma idéia 
logo posta em prática a cinco soldos a viagem.