Historia e Filosofia da Matematica

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03/05/2022 19:02 História e filosofia da matemática
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Introdução
Autoria: Jonatha Daniel dos Santos – Revisão técnica: Carlos Eduardo Leal de Castro
História e filosofia da matemática
UNIDADE 1 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
E O INÍCIO DE UMA MATEMÁTICA
SISTEMATIZADA
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O homem, enquanto ser histórico e social,
sempre buscou ferramentas para sua
sobrevivência e a de seus familiares. A
matemática, por exemplo, é um dos campos
científicos mais antigos da humanidade, cujo uso
atravessa gerações e distintos grupos sociais.
Então, como os povos foram construindo suas
matemáticas?
O conceito do que é matemática, principalmente no que diz respeito à ideia de contar
e medir, vem dos tempos mais remotos da vida humana. Alinhada à evolução da
humanidade, a matemática constrói, conforme as necessidades de sobrevivência do
homem, bases sólidas e eficazes para resolver diferentes questões, desde as simples
até as de maior complexidade. É um exemplo desse processo as estratégias criadas
pelos pastores de ovelhas para não perderem animais: para cada ovelha que saía
para se alimentar, usavam uma pedra ou faziam um risco em algum suporte. Caso
uma pedra sobrasse quando os animais voltassem ao estábulo, sabiam que havia
uma ovelha perdida. Por meio desse entendimento, criou-se uma relação biunívoca
(dados dois conjuntos, A e B, dizemos que eles estão em
correspondência biunívoca quando a cada elemento de A corresponde um único
elemento de B, e vice-versa), ideia que colaborou para a posterior criação do sistema
de agrupamento simples. Por isso, vale questionar: qual é a importância da
matemática para a vida do ser humano?
Além da matemática “concreta”, pensada para a resolução dos problemas cotidianos,
é possível observar na história os sistemas de numeração criados e aperfeiçoados de
acordo com as conveniências do homem. É o caso, por exemplo, da matemática
exercida na Arábia. No transcorrer da história, a matemática ganhou ênfase teórica,
principalmente motivada pelos gregos. Todavia, a matemática que conhecemos e
utilizamos atualmente conquistou novos ares a partir da origem e uso dos números,
denominados indo-arábicos. Assim, quais são os sistemas de numeração utilizados
pelos povos antigos?
São essas temáticas que você, caro estudante, verá a seguir.
Bons estudos!
1.1 Sistema de
numeração
Uma grande revolução, marcante ao progresso humano, foi a invenção da escrita, por volta de
4000 a.C. na Mesopotâmia e, séculos mais tarde, no Egito. Por meio da escrita, houve uma
grande mudança na transmissão do conhecimento humano, uma vez que, por meio dela, o
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homem pôde imortalizar sua experiência e transmiti-la diretamente a contemporâneos e a
futuras gerações.
Nesse sentido, alguns povos historicamente colaboraram para que a matemática chegasse ao
que utilizamos hoje em nossos dias, com suas fórmulas, axiomas, definições etc. É possível
citar os babilônicos, chineses, indianos, gregos, incas, astecas, maias, apaches, grupos
indígenas, entre outros. Com isso, iniciam novos olhares sobre a validade da matemática para o
cotidiano, bem como para pensar e problematizar questões inerentes a campos distintos, como
a filosofia, a sociologia e a astronomia.
1.1.1 Sistemas de agrupamentos simples
A ideia de números é utilizada pelo ser humano há milhares de anos. Conforme Boyer e
Merzbach (2012, p. 24), “[...] é improvável que isso tenha sido descoberta de um indivíduo ou
de uma dada tribo; é mais provável que a percepção tenha sido gradual, desenvolvida tão cedo
no desenvolvimento cultural do homem quanto o uso do fogo, talvez há 300.000 anos”.
O desenvolvimento do número foi longo e gradual. As concepções por trás dessa criação estão
diretamente ligadas à linguagem do ser humano, principalmente ao relacionar a língua falada
ao conjunto de números. Os gregos, por exemplo, “[...] conservaram na sua gramática uma
distinção tripartite entre um, dois e mais de dois, ao passo que a maior parte das línguas atuais
só faz a distinção em ‘número’ entre singular e plural” (BOYER; MERZBACH, 2012, p. 24).
Em seus primórdios, o ser humano contava apenas até 2 e, quando necessário, utilizava o
conceito de “muitos”. Posteriormente, com a criação de mais números para a contagem, os
dedos das mãos e dos pés satisfaziam parcialmente as necessidades de contar. Com o passar
do tempo, foi preciso desenvolver outros métodos de contagem, para além da utilização de
partes do corpo. Nesse caso, as pedras começaram a ser utilizadas para representar os
elementos. Boyer e Merzbach (2012, p. 25) escrevem que:
Com as pedras, no entanto, não era possível preservar as informações por um período longo.
Desse modo, o homem pré-histórico às vezes registrava um número fazendo entalhes em um
bastão ou pedaço de osso. Em tempos posteriores, a compreensão da matemática ganhou
profundidade quando foram evidenciados os primeiros indícios da língua escrita. Roque (2012)
esclarece que as primeiras formas de que temos registro são oriundas da Mesopotâmia e
datam do fim do quarto milênio antes de Cristo. Na Baixa Mesopotâmia, onde hoje é o Iraque, o
surgimento da escrita e da matemática estão bastante ligados. Em função dos rios Tigre e
Eufrates, vários povos nômades foram se instalando naquele espaço, onde a matemática
passou também a ser utilizada para o controle dos alimentos necessários à sobrevivência,
tendo em vista a organização em sociedade.
Considerando os registros históricos dos quais se tem conhecimento, no Egito Antigo, os
indícios mostram que a matemática começou a ser utilizada para dar conta das necessidades
administrativas. “A quantificação e o registro de bens levaram ao desenvolvimento de sistemas
de medida, empregados e aperfeiçoados pelos escribas, ou seja, pelos responsáveis pela
Quando o homem primitivo usava tal método de representação, ele frequentemente amontoava as
pedras em grupos de cinco, pois os quíntuplos lhe eram familiares por observação da mão e pé
humanos. Como Aristóteles observou há muito tempo, o uso hoje difundido do sistema decimal é
apenas o resultado do acidente anatômico de que quase todos nós nascemos com dez dedos nas
mãos e nos pés.
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administração do Egito” (ROQUE, 2012, p. 32). Os escribas eram os profissionais responsáveis
por garantir a coleta e a distribuição dos insumos e também cuidavam da formação de novos
escribas. Conforme escreve Roque (2012, p. 32):
Os papiros encontrados, que se referem à produção no Egito Antigo, são descrições cotidianas
de ordem administrativa realizadas pelos escribas. Em sua grande maioria, eram escritos para
apresentar as situações da época, como o armazenamento de grãos, a distribuição de ração
para os animais e a divisão de pão entre os habitantes.
O mais conhecido entre eles é chamado de Papiro de Rhind, nome dado em homenagem ao
escocês Alexander Henry Rhind, que o comprou, por volta de 1850, em Luxor, no Egito. Esse
mesmo suporte, contendo cerca de 0,30 m de altura e 5 m de comprimento, também é
conhecido como Papiro de Ahmes em homenagem ao escriba que o copiou por volta de 1650
a.C. Outro documento da época do Antigo Egito é o Papiro de Golenishchev ou de Moscou,
com 5 m de comprimento e cerca de 1,5 m de largura.
No Egito Antigo, tinha destaque o uso da numeração de agrupamento simples de base 10. Esse
sistema era escrito por meio de uma numeração hieroglífica e consistia, a partir de uma base b,
na definiçãodos símbolos b1, b2, b3 etc. A partir disso, qualquer número podia ser expresso
pela adição de símbolos. É importante ressaltar que tal sistema é tão antigo quanto as
pirâmides, datando de cerca de 5.000 anos atrás (BOYER; MERZBACH, 2012).
Na figura a seguir, veja um exemplo desse tipo de sistema.
#PraCegoVer: na imagem, há um exemplo do modelo de numeração utilizado no Egito Antigo.
No topo, aparecem riscos verticais desenhados em preto para representar os números, escritos
logo abaixo do grupo de riscos, de um a nove: um risco para o número um, dois riscos para o
A escrita, no período faraônico, tinha dois formatos: hieroglífico e hierático. O primeiro era mais
utilizado nas inscrições monumentais em pedra; o segundo era uma forma cursiva de escrita,
empregada nos papiros e vasos relacionados a funções do dia a dia, como documentos
administrativos, cartas e literatura. Os textos matemáticos eram escritos em hierático e datam da
primeira metade do segundo milênio antes da Era Comum, apesar de haver registros numéricos
anteriores.
Figura 1 - Numeração no Egito Antigo
Fonte: Adaptada de Roque, 2012, p. 60.
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número dois, e assim sucessivamente, da esquerda para a direita. Embaixo, desenhos na cor
laranja representam os numerais. Da esquerda para a direita: uma espécie de arco simboliza o
número dez; uma espiral representa o número cem; uma flor de lótus simboliza o mil; um dedo
representa o dez mil; uma espécie de animal simboliza o cem mil; os traços de uma pessoa
com os braços para o alto representa o milhão.
Conforme descreve Roque (2012), para escrever e ler os números, é simples: os números
maiores são escritos na frente dos menores e, se há mais de uma linha de números, devemos
começar de cima. Logo, para escrever um numeral, basta dispor todos os símbolos seguindo tal
convenção, e a soma dará o número desejado. Por exemplo:
#PraCegoVer: na imagem, aparece uma sequência de símbolos desenhados em laranja
dispostos lado a lado: três flores de lótus, dois espirais, quatro arcos e quatro riscos.
Como esse sistema é aditivo, o resultado é obtido pela soma de todos os números
representados pelos símbolos. Então, a expressão fica assim:
1.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3.244
Os egípcios eram extremamente precisos ao contar e medir. Essa afirmação ganha validade
com a observação das pirâmides, do calendário solar e com a análise de sua geometria.
Todavia, mesmo com essa robustez matemática, “[...] o uso do sistema aditivo pode indicar que
os egípcios não precisavam lidar com números muito grandes” (ROQUE, 2012, p. 61).
As numerações produzidas na Antiguidade certamente
colaboraram para a criação do sistema decimal e posicional que
usamos atualmente. Simone, professora de matemática no
Ensino Fundamental e Médio, resolveu que, ao trabalhar com
equações quadráticas, usaria aspectos históricos da
matemática, tendo em vista a possibilidade de expor que esse
campo do conhecimento precisou de várias mãos, mentes e,
sobretudo, de um longo tempo de estudos até chegar ao que é
difundido nas escolas. Para realizar atividades com esse foco, a
Figura 2 - Leitura da representação dos números egípcios
Fonte: Adaptada de Roque, 2012, p. 60.
Caso
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docente utilizou ensinamentos da modelagem matemática, uma
vez que traçou como um dos objetivos tencionar as abordagens
clássicas da área no intuito de provocar reflexões de cunho
epistemológico no ensino das funções quadráticas.
Como podemos notar, no Egito Antigo, o sistema de base 10 tinha em sua gênese a ideia de
agrupamento simples. Somado ao princípio aditivo, esse sistema produzia uma matemática que
buscava sanar as dificuldades cotidianas. Todavia, como afirmam Boyer e Merzbach (2012, p.
31), o tedioso sistema, baseado em um princípio repetitivo da numeração hieroglífica, “[...] foi
substituído pela introdução de sinais especiais ou cifras para representar dígitos e múltiplos de
potências de dez”. Esse processo, também conhecido como ciferização, utilizado há cerca de
4.000 anos, representou um grande avanço à numeração e é um dos fatores que fizeram com
que o sistema em uso hoje se tornasse o instrumento eficaz que é.
1.1.2 Sistemas de numeração posicional
Ao estudarmos o sistema de numeração posicional a partir dos livros de história da matemática,
somos levados automaticamente ao vale fluvial, conhecido como Mesopotâmia, banhado pelos
rios Tigre e Eufrates. Os documentos escritos naquele local eram menos vulneráveis aos
estragos do tempo que os papiros egípcios. Nesse sentido, há mais informações acerca da
matemática da Mesopotâmia.
Como no Egito Antigo, a região da Mesopotâmia foi constituindo saberes necessários à sua
sobrevivência conforme a sua necessidade cotidiana ao longo do tempo. Posteriormente, com a
fixação dos nômades – portanto, a criação de cidades –, foi necessário criar uma matemática
de ordem administrativa tendo em vista as necessidades econômicas daquela nova
organização social.
Os babilônicos não utilizavam a numeração que usamos atualmente; suas numerações eram
representadas por símbolos. O modelo de matemática usado na Mesopotâmia, com base nos
registros dos tabletes cuneiformes, é do período em torno do ano 1700 a.C., quando se vê uma
matemática bem avançada. Veja como eram representados os números pelos sinais
cuneiformes:
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#PraCegoVer: na imagem, aparece uma tabela de cinco colunas e treze linhas com a
representação numérica do povo mesopotâmico do número um ao número sessenta. Há a
combinação de dois símbolos (uma cunha apontada para a esquerda e um triângulo apontado
para baixo com um risco), na cor laranja, que aparecem em diferentes quantidades para
totalizar o número. Os números estão escritos em preto, da esquerda para a direita, de cima
para baixo.
Observe que o símbolo em forma de cunha serve para os números 1, 60 e 3.600. O mesmo
acontece de forma análoga em nosso sistema com o símbolo 1, que pode representar também
os números 10 e 100. Roque (2012, p. 39) escreve que:
Tabela 1 - Representação de números pelos sinais cuneiformes
Fonte: Adaptada de Roque, 2012, p. 43.
[...] o sistema sexagesimal posicional usado no período babilônico, deve ter surgido da padronização
desse sistema numérico, antes do final do terceiro milênio a.C. Ainda que a representação numérica
continuasse a ser dependente do contexto e a usar diferentes bases ao mesmo tempo, aos poucos
começaram a ser registradas listas que resumiam as relações entre diferentes sistemas de medida.
Nesses procedimentos de conversão, realizados em um âmbito administrativo e não matemático, foi
introduzido o sistema sexagesimal posicional.
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Nesse sistema, o mesmo sinal pode ser empregado para indicar quantidades diferentes. De tal
forma, os antigos babilônios conseguiam grafar qualquer número usando apenas dois sinais.
Por ser uma representação posicional, cada algarismo tem validade não pelo seu valor
absoluto, mas pela “posição” que ocupa na escrita de um número, ou seja, pelo seu valor
relativo (ROQUE, 2012). O número 60, por exemplo, utiliza o mesmo sinal que o número 1.
Esse sistema utiliza uma notação posicional de base 60, ou seja, é sexagesimal. Ele emprega
uma combinação de base 60 e de base 10, uma vez que os sinais até 59 mudam de 10 em 10.
Atualmente, o sistema sexagesimal é utilizado paraas horas.
A essência do sistema posicional é o fato de que um mesmo símbolo serve para representar
diferentes números, dependendo da posição que ocupa na escrita. Veja o exemplo a seguir.
#PraCegoVer: a imagem mostra uma tabela de sete colunas e duas linhas. A primeira coluna,
de fundo laranja, tem as palavras “valor” e “sinal” escritas em branco nas células. As demais
células têm fundo em dois tons de cinza intercalados entre as colunas. Na linha de cima, há os
valores: um, dez, sessenta, seiscentos, três mil e seiscentos e trinta e seis mil; na linha de
baixo, aparecem os símbolos que representam os numerais.
As combinações de dois símbolos, dos números 1 e 10, eram empregadas para originar os
numerais até 60. Quando o número 60 era alcançado, passava-se para a coluna imediatamente
à esquerda, repetindo o procedimento. Logo, qualquer número podia ser representado usando
apenas dois símbolos básicos.
Outro fato importante desse período foi a marcação do zero:
No século III a.C., a matemática mesopotâmica resolveu esse problema e passou a empregar o
símbolo como marcador de lugar onde um numeral faltasse. Assim, foi inventado o zero
mais antigo da história. De acordo com Eves (2011, p. 36), esse símbolo era, “[...] portanto,
apenas um zero parcial, pois um zero verdadeiro serve para indicar as potências ausentes da
base tanto no meio como no final dos números, como é o caso de nossos 304 e 340”.
Boyer e Merzbach (2012, p. 42) nos explicam que “[...] a eficácia da computação babilônia não
resultou somente de seu sistema de numeração. Os matemáticos mesopotâmios foram hábeis
no desenvolvimento de processos algorítmicos, entre os quais um para extrair a raiz quadrada
[...]”.
O sistema de numeração que utilizamos também é posicional, porém, de base 10. Há símbolos
para os números de 1 a 9, e o 10 é representado pelo próprio 1, mas em posição diferente. Por
isso, dizemos que nosso sistema é posicional de numeração de base 10, o que significa que
Tabela 2 - Sistema posicional utilizado na Mesopotâmia
Fonte: Adaptada de Roque, 2012, p. 39.
Mais ou menos na época da conquista por Alexandre, o Grande, no entanto, um símbolo especial,
consistindo em duas pequenas cunhas colocadas obliquamente, foi inventado para servir como
marcador de lugar onde um numeral faltasse. (BOYER; MERZBACH, 2012, p. 41)
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a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10
para cada casa à esquerda (ROQUE, 2012).
Outro sistema que utiliza a numeração posicional é o do povo maia, do qual há poucos
registros. Esse sistema é essencialmente vigesimal e, conforme Eves (2011, p. 37), “[...]
escreviam-se os vinte números do grupo básico de maneira muito simples por meio de pontos e
traços (seixos e gravetos) [...] o ponto representa o 1 e o traço o 5”. Além disso, já utilizando um
símbolo para representar o que hoje conhecemos como o número 0.
A seguir, conheça a representação maia.
#PraCegoVer: a imagem tem os desenhos, na cor laranja, das representações dos números de
um a dezenove organizados em quatro colunas de cinco linhas cada. No último campo da
última coluna, aparece o símbolo que representava o zero: uma espécie de círculo achatado. O
número e sua representação estão lado a lado: o um é representado por um ponto; o dois, por
dois pontos, e assim sucessivamente até o quatro. O número cinco é representado por um
traço; o seis, por um ponto e um traço; o dez é representado por dois traços. Os números e
suas representações foram organizados de cima para baixo.
De acordo com indícios, a motivação da base 20, utilizada pelos maias, tem relação com os 10
dedos das mãos e os 10 dedos dos pés. A base 20 atuava geralmente como ideia primária e o 5
como auxiliar. Veja na figura anterior que, quando a numeração chega ao 5, ela sofre uma
mudança até chegar ao 10, que sofre outra alteração. A numeração era escrita em colunas
verticais e lida de cima para baixo.
Como podemos perceber, o sistema de numeração posicional foi muito importante para o
avanço da matemática. Isso é evidente quando pensamos no atual sistema de numeração, uma
vez que utiliza a base decimal e a numeração posicional.
Howard Whitley Eves (1911-2004) foi um matemático
americano conhecido por seu trabalho em geometria e
história da matemática. Ele resolveu mais de 300 problemas
propostos em várias revistas matemáticas.
Você o conhece?
Figura 3 - Sistema de numeração posicional maia
Fonte: Adaptada de Eves, 2011, p. 37.
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A matemática historicamente esteve alinhada à necessidade de o ser humano resolver
problemas cotidianos, independentemente da região, o que é comprovado quando estudamos
os fatos históricos da Mesopotâmia, no atual Iraque, e dos maias, nas Américas. Nesse sentido,
é importante, enquanto docente, expor aos estudantes as possibilidades numéricas efetivadas
ao redor do mundo no intuito de ampliar a formação em sala de aula. 
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
A história da matemática, quando trabalhada nas atividades de ensino e aprendizagem,
permite que o aprendizado tenha um caráter mais construtivo e útil. Os alunos percebem o
cerne investigatório presente na geração, organização e disseminação dos tópicos
matemáticos ao longo do seu desenvolvimento histórico.
Historicamente, o ensino de matemática foi sendo repensado para criar novas situações
didáticas. Por isso, é importante compreender que a matemática, no processo de
aprendizagem, pode ser desenvolvida a partir de:
a. atualização. 
b. disseminação. 
c. apropriação.
d. construção. 
e. contextualização. 
Verificar 
1.2 Matemáticas chinesa, hindu e
árabe
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As matemáticas produzidas na China, Arábia e Índia colaboraram de forma significativa para o
avanço da área, principalmente para o sistema de numeração e o conceito de número.
Sabemos que a representação de quantidades e do próprio número se dava por meio de
desenhos aleatórios e, posteriormente, com a utilização de barras verticais, horizontais e outros
símbolos. Todavia, com a participação de estudiosos hindus e árabes, a notação dos
algarismos ganhou outras dimensões, de modo a compor os números que utilizamos
atualmente.
1.2.1 Matemática chinesa
Existe pouco material proveniente na China Antiga, uma vez que seus registros foram feitos em
bambu, um produto perecível. Para agravar a situação, de acordo com Eves (2011, p. 241), “[...]
o imperador Shï Huang-ti ordenou em 213 a.C. uma lamentável queima de livros. Todavia, com
os poucos documentos existentes, é possível expor algumas questões pertinentes sobre a
matemática produzida pelos chineses”.
A matemática da China Antiga começa no período Shang (1500-1027 a.C.), conforme inscrições
em ossos e carapaças de tartarugas, que revelam um sistema de numeração decimal bastante
próximo ao sistema multiplicativo chinês-japonês tradicional. Naquele tempo, já encontramos na
China o germe dos sistemas de numeração posicionais (EVES, 2011).
Boyer e Merzbach (2012, p. 144) explicam que “[...] o mais influente livro de matemática chinês
foi o Jiuzhang suanchu (Chui-chang suan-shu) ou Nove Capítulos sobre a arte matemática”. A
obra é composta por 246 problemas de mensuração de terras, agricultura, sociedades,
engenharia, impostos, cálculos, solução de equações e propriedades dos triângulos retângulos.
Desde os tempos primitivos, dois sistemas de notação estiveram em uso na China. O primeiro é
baseado no princípio multiplicativo, com sinais diferentes para descrever os dígitos de 1 a 10 e
símbolosadicionais para as potências de 10. Nas formas escritas, os dígitos em posições
ímpares (da esquerda para a direita ou de baixo para cima) eram multiplicados pelo seu
sucessor. Assim, por exemplo, o número 789 seria escrito como um 7 seguido do símbolo para
100, depois um 8 seguido do símbolo para 10 e, finalmente, o símbolo para 9 (BOYER;
MERZBACH, 2012).
Considerando a numeração em barra, conforme a figura a seguir, veja como poderia ser
representado o número 789 pelo princípio multiplicativo.
O livro Introdução à história da matemática, de Howard
Eves, apresenta uma interessante abordagem da
história da matemática a partir da apresentação de
vários povos. Vale a pena conhecer essa obra.
Você quer ler?
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#PraCegoVer: na primeira linha, é exposta a representação dos números feita pelos chineses:
um traço vertical para o número um; dois para o número dois, e assim sucessivamente até o
cinco. Um traço vertical com um traço horizontal em sua ponta para o seis; dois traços verticais
com um traço horizontal para o sete, e assim sucessivamente até o nove. Embaixo, há a
formação do número setecentos e oitenta e nove (a partir dos símbolos dos números sete, oito
e nove colocados lado a lado) e a multiplicação que resulta nesse numeral: o símbolo do sete,
na posição da centena, deve ser multiplicado por cem; o símbolo do oito, na posição de dezena,
deve ser multiplicado por dez; o nove ocupa a posição de unidade. Uma espécie de chave liga
os cálculos (sete vezes cem é igual a setecentos; oito vezes dez é igual a oitenta; setecentos
mais oitenta mais nove é igual a setecentos e oitenta e nove) e tem o sinal de mais em sua
ponta interna. Na ponta externa da chave, aparece o resultado setecentos e oitenta e nove. Os
símbolos foram desenhados na cor laranja; os números e demais elementos são de cor cinza.
O problema desse sistema residia no fato de que, para a contabilidade de números grandes, o
trabalho era muito exaustivo. Pensando nisso, os chineses, baseados nesse entendimento
inicial, elaboraram outra notação.
#PraCegoVer: a figura mostra a representação dos números de um a nove para os chineses
lado a lado: um traço horizontal para o um; dois traços horizontais para o dois, e assim
sucessivamente até o cinco; um traço vertical apoiado no centro de um traço horizontal para o
número seis; um traço vertical apoiado sobre um traço horizontal e outro traço horizontal para o
sete, e assim sucessivamente até o número nove. Os desenhos foram feitos na cor laranja,
enquanto os números estão escritos em cinza.
Figura 4 - Numeração em barra e sua multiplicação
Fonte: Adaptada de Souza, 1999, p. 30.
Figura 5 - Numeração da China Antiga
Fonte: Adaptada de Souza, 1999, p. 30.
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Essa nova modalidade representativa ajudou no segundo tipo de notação, na forma posicional.
Na dinastia Han (séculos II a.C.-III d.C.), os chineses teceram um habilidoso sistema de
numeração escrita que combinava, regularmente, o princípio de posição e barras verticais e
horizontais. Usando 18 símbolos alternadamente, podiam escrever números tão grandes
quanto desejassem. Para representar o número 56.789, por exemplo, fariam a seguinte
notação:
#PraCegoVer: a imagem mostra cinco símbolos lado a lado representando o número cinquenta
e seis mil setecentos e oitenta e nove. Todos foram desenhados na cor laranja. Da esquerda
para a direita: cinco traços verticais; um traço vertical apoiado em um traço horizontal; um traço
horizontal apoiado em dois traços verticais; um traço vertical com dois traços horizontais
embaixo; um traço horizontal sobre quatro traços verticais.
De acordo com Souza (1999, p. 31):
O ábaco chinês também era uma ferramenta para trabalhar com operações matemáticas de
acordo com Zanardini (2017). Na China, o instrumento era chamado de suan pan e permitia
operar principalmente com multiplicações e divisões.
Esses exemplos mostram como os chineses, raramente abordados nos livros didáticos,
pensavam e calculavam por meio de sua matemática. Para conhecer algumas das realizações
da China, de acordo com Eves (2011), clique nos ícones a seguir. 
Figura 6 - Representação do número 56.789
Fonte: Elaborada pelo autor, 2021.
[...] para distinguir bem as diversas ordens de unidades, eles [os chineses] alternaram os algarismos
da primeira série com os da segunda. As unidades de casa ímpar (unidades simples, centenas,
dezenas de milhar, milhão etc.) foram expressas por meio dos “algarismos verticais” (primeira série)
e as unidades de casas pares (dezenas, milhares, centenas de milhar, dezenas de milhões etc.)
com ajuda dos “algarismos horizontais” (segunda série).
Criou um sistema de numeração posicional decimal. 
1
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Reconheceu os números negativos. 
Obteve valores precisos de phi. 
Chegou ao método de Horner para soluções numéricas de equações algébricas. 
Apresentou o triângulo aritmético de Pascal. 
Inteirou-se do método binomial. 
Empregou métodos matriciais para resolver sistemas de equações lineares. 
Resolveu sistemas de congruências pelo método hoje consubstanciado no Teorema
Chinês dos Restos. 
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Então, podemos constatar que a China Antiga colaborou intensivamente para o avanço da
matemática. Por isso, não é de se espantar que a China contemporânea seja um dos países
mais avançados tecnologicamente.
1.2.2 Matemática hindu
A matemática indiana, bem como a chinesa, tem poucos registros se comparada com o que
temos do Egito e da Mesopotâmia (EVES, 2011). Entretanto, isso não significa que os indianos
não tenham dominado essa área; ao contrário, construíram uma matemática para solucionar
seus problemas cotidianos que ajudou a criar a que utilizamos atualmente.
Desenvolveu as frações decimais. 
Desenvolveu a regra de três. 
Aplicou a regra de falsa posição dupla. 
Desenvolveu séries aritméticas de ordem superior e suas aplicações à interpolação. 
Desenvolveu a geometria descritiva. 
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A Índia Antiga teve vários matemáticos importantes, a exemplo de Bhaskara, que viveu em
Ujjain. As duas partes mais importantes do trabalho desse estudioso são Lilāvati (“bela”) e
Vījaganita (“extração de raízes”), que tratam de aritmética e álgebra, respectivamente (EVES,
2011).
Outro nome que contribuiu para a avanço da matemática hindu foi Brahmagupta, matemático e
astrônomo. Ele viveu no século VII e trabalhava no centro astronômico, também em Ujjain. Em
628, escreveu Brahmasphuta-sidd’bānta (“O sistema de Brahma revisado”), um trabalho de
astronomia em 21 capítulos, dos quais o 12.º e o 18.º se ocupam de matemática. Brahmagupta
influenciou o campo da matemática ao apresentar conceitos importantes para a álgebra e
soluções quadráticas. Além disso, ele estabeleceu regras numéricas para o trabalho com
números negativos.
De acordo com Eves (2011), depois de Bhaskara, a matemática hindu fez apenas progressos
irregulares até os tempos modernos. Mais recentemente, Srinivasa Ramanujan (1887-1920) se
destacou, sendo considerado um gênio e brilhante no campo da matemática.
Os hindus foram hábeis aritméticos e lançaram contribuições significativas à álgebra. Resolviam
problemas comerciaisenvolvendo juros simples, compostos e descontos de forma habilidosa;
trabalhavam com soma de progressões aritméticas e geométricas. Além disso, aceitavam os
números negativos e irracionais e sabiam que uma equação quadrática (com respostas reais)
tem duas raízes formais. De acordo com Eves, “[...] unificaram a resolução algébrica de
equações quadráticas pelo método familiar de completamente de quadrados” (EVES, 2011, p.
256).
É importante ressaltar que o sistema de numeração hindu esteve articulado a elementos de
outros povos. Além dessa articulação, vincularam em seu sistema quatro elementos: a base
decimal, a notação posicional, o uso do zero e uma notação para cada um dos dez numerais.
Entre o século II a.C. e o século III d.C., as representações numéricas já apresentavam
similaridade com os números que utilizamos atualmente.
Com base em Eves (2011), veremos um exemplo de como era efetuada a adição. Acredita-se
que o cálculo era feito da esquerda para a direita, e não ao contrário, como preferimos hoje.
Então, consideremos a adição de 345 e 488. De acordo com Eves (2011), os hindus escreviam
os números um sob o outro, um pouco abaixo da borda superior da tábua de calcular.
Há indícios de que o desenvolvimento dos algoritmos que
utilizamos em nossas operações aritméticas tenha
acontecido na Índia, por volta dos séculos X e XI. Esses
algoritmos foram adotados pelos árabes e mais tarde
veiculados na Europa Ocidental, onde se transformaram até
chegarem à sua forma contemporânea.
Você sabia?
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#PraCegoVer: a imagem mostra vários números dispostos como em uma matriz. Nas duas
últimas linhas, aparecem os números que serão somados: trezentos e quarenta e cinco e
quatrocentos e oitenta e oito. Em cima dos numerais que formam o trezentos e quarenta e
cinco, aparecem, respectivamente, os números sete, dois e três. No topo, em cima do número
sete, aparece um número oito; em cima do número dois, um número três. Os números sete e
dois estão destacados com um retângulo laranja.
Calcula-se 3 + 4 e o resultado (7) é escrito no topo da coluna da esquerda. A seguir, 4 + 8 = 12,
o que muda o 7 por 8, seguido de um 2. Assim, é necessário apagar o 7 e escrever 83. Para a
visualização, o número que deveria ser apagado está destacado. Por fim 5 + 8 = 13, o que
muda o 2 por 3, seguido de outro 3. Aqui, apaga-se o 2, que é substituído por 3 logo acima. A
resposta final, 833, aparece no topo da tábua. Ao final, apagavam-se os números 345 e 488 e o
resto da tábua ficava livre para outros trabalhos.
Quanto à multiplicação, um sistema muito utilizado pelos árabes, mas de origem hindu, era um
diagrama em rede em que as adições eram efetuadas diagonalmente. A seguir, note que, como
cada quadrado está dividido em dois triângulos por uma diagonal, não é necessário nenhum
transporte na multiplicação.
Figura 7 - Adição de 345 e 488
Fonte: Adaptada de Eves, 2011.
Figura 8 - Modelo de multiplicação hindu
Fonte: Adaptada de Eves, 2011, p. 254.
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#PraCegoVer: em cima de um retângulo de linhas de cor laranja e fundo branco, está escrito
“multiplicando”; do lado direito, “multiplicador”; embaixo, “produto”. O retângulo está dividido em
seis quadrados, organizados em duas linhas e três colunas. Esses retângulos estão cortados
transversalmente, formando dois triângulos cada um. Em cima dos três quadrados da primeira
linha, estão os números um, três e cinco, da esquerda para a direita. Dentro dos triângulos
formados na parte de baixo de cada quadrado, aparecem os números um, três e cinco. Nos
dois primeiros triângulos dos últimos retângulos, estão os números dois e seis. Nos últimos dois
triângulos, do último quadrado, aparecem os números um e zero, respectivamente. Embaixo do
retângulo, à esquerda, está o número um; embaixo de cada quadrado, os números seis, dois e
zero. Do lado direito, ao lado de cada quadrado, estão os números um e dois, respectivamente.
Veja que é realizada a multiplicação de 1 por 1 e o resultado é colocado no triângulo abaixo do
multiplicando. A regra então é inserir os resultados da multiplicação nos triângulos. Como o
multiplicador é composto por dois dígitos, a primeira linha dos triângulos é o resultado dos
dígitos do multiplicando pelo primeiro dígito do multiplicador. Por sua vez, na segunda linha,
composta também por triângulos, coloca-se o resultado dos dígitos do multiplicando pelo
segundo dígito do multiplicador. O resultado final é a soma das diagonais, que, nesse exemplo,
é 1620.
Esse esquema utilizado para a multiplicação tinha vários nomes: multiplicação em reticulado,
multiplicação em gelosia, em célula, em grade ou quadrilateral. De acordo com Boyer e
Merzbach (2012, p. 157):
Os historiadores afirmam que a matemática produzida na Índia foi bastante significativa,
principalmente para o campo da álgebra. Outros fatores, como o uso do número 0, a divisão por
zero, a trigonometria, as expansões em séries e as aplicações astronômicas são exemplos da
ampla atuação hindu no âmbito da matemática.
1.2.3 Matemática árabe
A matemática na China e na Arábia estava diretamente ligada à religião. A notável expansão do
Islã causou um grande aperfeiçoamento da matemática na Idade Média. Como em outras
culturas, o desenvolvimento árabe ocorreu por meio de conflitos e aquisição de terras. Boyer e
Merzbach (2012) esclarecem que, por mais de um século, os conquistadores árabes lutaram
entre si e com seus inimigos, até que, por volta de 750, a guerra – principalmente entre si – foi
contida. Naquela época, uma nova capital se formou em Bagdá, cidade que logo se
transformaria em um novo centro da matemática da região.
Boyer e Merzbach (2012, p. 164) nos fornecem uma informação importante:
[...] a adição e a multiplicação eram efetuadas na Índia de modo muito semelhante ao que usamos
hoje, só que os indianos parecem inicialmente ter preferido escrever os números com as unidades
menores à esquerda, portanto trabalhar da esquerda para a direita, usando pequenas lousas com
tinta removível branca ou uma tábua coberta de areia ou farinha.
[...] no início da década de 770, uma obra astronômico-matemática, conhecida pelos árabes como
Sindhind, foi trazida a Bagdá da Índia. Poucos anos depois, em torno do ano de 775, esse
Siddhanta foi traduzido para o árabe e não muito tempo depois (cerca de 780) o Tetrabiblos
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Houve nesse período o interesse pelas traduções de trabalhos gregos e hindus para a língua
árabe. Desse modo, absorveram rapidamente a cultura de seus vizinhos e, consequentemente,
a matemática ganhou destaque nesse processo. Acredita-se que o período de 650 a 750, no
primeiro século do império muçulmano, foi constituído de diversas realizações científicas.
De acordo com Mol (2013, p. 66):
À cidade de Bagdá, que se tornou capital do império, foram chamados estudiosos da Síria, Iran
e Mesopotâmia, inclusive judeus e cristãos nestorianos. Isso transformou Bagdá em uma
cidade como Alexandria – ou, em outras palavras, a casa da sabedoria, estabelecida por Al-
Mamum.
Eves (2011) esclarece que, antes de Maomé, os árabes escreviam todos os números em
palavras. Ele explica que, porventura, adotava-se o sistema de numeração local e, em uma
determinada época, era comum o uso de um sistema de numeração cifrado, como o grego
jônico, mediante a utilização das 28 letras árabes. “Essa notação, por sua vez, foi superada
pela notação hindu, inicialmente adotada por mercadores e autores de aritméticas” (EVES,
2011, p. 262).
Entre os vários matemáticos e astrônomos daquela época, um ganhoudestaque: Mohammed
ibn Musa al-Khwarizmi, que viveu, aproximadamente, no período de 780 a 850. A ele foi
concedida a honra de ter sido o primeiro a trabalhar com uma aritmética árabe. Posteriormente,
foram criados outros modelos para a aritmética, que, em grande parte, estabeleciam regras
para efetuar cálculos modeladas pelos algoritmos hindus. Mais tarde, ao lado de Euclides de
Alexandria (século III a.C.), esse matemático se tornou um nome familiar na Europa Ocidental.
Al-Khwarizmi, em uma de suas obras, numero indorum (“Sobre a arte hindu de calcular”),
baseada provavelmente em uma tradução árabe de Brahmagupta, fez uma exibição tão
completa dos numerais hindus que causou ao longo dos séculos a impressão de que o atual
sistema de numeração é de origem árabe. Eves (2011, p. 165) retrata que Al-Khwarizmi não
astrológico de Ptolomeu foi traduzido do grego para o árabe.
[...] a contribuição árabe para a matemática, no entanto, foi além da assimilação e da preservação
do conhecimento herdado de civilizações mais antigas. Os árabes conjugaram o rigor grego às
visões práticas babilônica e hindu para, a partir daí, introduzir elementos originais que deram uma
nova vida à matemática.
Para conhecer melhor a história das matemáticas árabe,
chinesa e hindu, clique no ícone a seguir. Trata-se de
um vídeo curto, mas muito didático. Aproveite.
Acesse (https://www.youtube.com/watch?
v=r2tBctv6ncI)
Você quer ver?
https://www.youtube.com/watch?v=r2tBctv6ncI
03/05/2022 19:02 História e filosofia da matemática
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manifestou originalidade quanto ao sistema, todavia, “[...] quando mais tarde traduções latinas
de sua obra apareceram na Europa, leitores descuidados começaram a atribuir não só o livro,
mas a numeração, ao autor”.
Partindo desse entendimento de que os árabes tinham um grande domínio da álgebra, é
possível perceber que tanto Al-Khwarizmi como outros de sua época utilizavam numerais
hindus em algumas obras. Em outras, adotavam o tipo grego de numeração alfabética.
Assim, por meio da utilização de conhecimentos construídos por outros povos e traduzidos para
a língua árabe, houve um intenso fortalecimento e avanço da matemática. Devido a essa
relevância para o cenário mundial, por muito tempo os nossos numerais foram chamados
arábicos. Entretanto, conforme os historiadores, os princípios dos numerais arábicos vieram da
Índia, o que torna prudente chamar o nosso sistema de indo-arábico.
Obviamente tinha havido variação na Índia, mas na Arábia as variantes eram tão marcadas que há
teorias sugerindo origens inteiramente diferentes para as formas usadas nas metades oriental e
ocidental do mundo árabe. (BOYER; MERZBACH, 2012, p.170)
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
A origem de nossa palavra álgebra, a partir do título do tratado de Al-Khowârizmî a respeito
do assunto, Hisâb al-jabr w’al-muqâ-balah, é muito interessante. Esse título foi traduzido
literalmente como “Ciência da reunião e da oposição” ou, mais livremente, como “Ciência da
transposição e do cancelamento”. O texto, que se preservou, tornou-se conhecido na Europa
em uma tradução latina e fez da palavra al-jabr (ou álgebra) sinônimo de ciência das
equações. Obviamente, desde a metade do século XIX, o termo álgebra adquiriu um
significado muito mais amplo (EVES, 2011).
Tendo em vista o sistema de números que utilizamos atualmente, a terminologia correta é
numeração:
a. arábica.
b. indo-arábica. 
c. hindu. 
d. chinesa.
e. mesopotâmica.
03/05/2022 19:02 História e filosofia da matemática
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Assim, podemos perceber que os caminhos para a obtenção de uma matemática capaz de lidar
com as questões sociais e econômicas precisou de vários séculos e de várias culturas. Cada
povo construiu e reconstruiu a matemática à sua maneira. Logo, é válido, nas aulas de
matemática, ressaltar a contribuição de vários grupos sociais para nossa matemática
contemporânea.
Verificar 
Historicamente, o campo da matemática foi atravessado por questões
filosóficas e epistemológicas. Por meio da matemática, pensava-se na
ordem dos objetos no Universo; seu uso colaborou intensamente para o
avanço tecnológico, social e econômico. Boyer, Merzbach (2012) e Eves
(2011) revelam que a busca pela consolidação da matemática como
ciência aconteceu no decorrer de séculos. Era comum ideias serem
levantadas e refutadas com a mesma efervescência. Nesse sentido, a
matemática, desde seus primórdios, ajudou no processo de
conhecimento humano, bem com sua filosofia e essência científica.
Diante disso, convém ressaltar que a produção matemática em tempos
mais contemporâneos foi de alguma forma produzida e reproduzida no
contexto acadêmico, sendo a universidade a sua grande propulsora.
Considerando esse entendimento, nas aulas de matemática, é
necessário utilizar os algoritmos e cálculos produzidos ao longo dos
séculos. Porém, não basta praticar os algoritmos sem qualquer vínculo
com a história e filosofia da matemática, uma vez que exercer
determinada ação sem reflexão é contrapor o sentido original da
matemática. Por isso, cabe a você, futuro docente, refletir a respeito do
conteúdo matemático presente nos currículos escolares e,
principalmente, o modo como o ensino de matemática pode ser
vinculado à história desse campo. 
Vamos Praticar!
A ideia dos números foi produzida por povos diferentes, tendo
em vista a necessidade de resolver problemas cotidianos.
Cada sociedade produziu suas próprias concepções
Conclusão
03/05/2022 19:02 História e filosofia da matemática
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matemáticas: há, por exemplo, bases numéricas de 10, de 20
e até de base 60.Além disso, os sistemas de agrupamento simples e a
numeração posicional colaboraram para a consolidação dos
números que utilizamos atualmente.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
perceber que a invenção da escrita, por volta de 4000 a.C.
na Mesopotâmia, representou um grande progresso
humano;
aprender que, no Egito Antigo, utilizavam a numeração de
agrupamento simples de base 10 com princípio aditivo;
conhecer o fato de que, no sistema de numeração
posicional, cada algarismo tem sua validade comprovada
não pelo seu valor absoluto, mas pela posição que ocupa na
escrita de um número, ou seja, pelo seu valor relativo;
descobrir que, na China e na Arábia, a matemática estava
diretamente ligada à religião, com um grande avanço em
função das crenças muçulmanas.
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática.
São Paulo: Blucher, 2012.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas:
Editora da Unicamp, 2011.
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ÁRABE, CHINESA E HINDU. [S. l.: s. n.], 26 jun. 2017. 1
vídeo (16 min). Publicado pelo canal História da Matemática. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=r2tBctv6ncI
(https://www.youtube.com/watch?v=r2tBctv6ncI). Acesso em: 14 jan. 2021.
MOL, R. S. Introdução à história da matemática. Belo Horizonte: CAED-UFMG,
2013.
ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio
de Janeiro: Zahar, 2012.
ZANARDINI, R. A. D. Um breve olhar sobre a história da matemática. Curitiba:
InterSaberes, 2017.
Referências
https://www.youtube.com/watch?v=r2tBctv6ncI
03/05/2022 19:05 História e filosofia da matemática
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Introdução
Autoria: Jonatha Daniel dos Santos – Revisão técnica: Carlos Eduardo Leal de
Castro
História e filosofia da matemática
UNIDADE 2 – A MATEMÁTICA
PITAGÓRICA
03/05/2022 19:05 História e filosofia da matemática
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No período em que a Grécia estava no centro da
produção do conhecimento, os historiadores
apontam que a matemática era, sem dúvida,
muito importante e colaborou decisivamente
para que hoje possamos desfrutar de uma
matemática concisa e colaborativa. Concisa
porque há séculos ela é produzida, ajustada e
reajustada. Logo, a matemática acadêmica
atualmente representa a potencialidade de o ser humano lidar com problemas
cotidianos e conseguir resolvê-los de forma a ajudar no desenvolvimento da
sociedade. Colaborativa porque seus fundamentos são utilizados em diversas áreas
do conhecimento. Por isso, é inegável que devamos indagar: qual é o alcance da
matemática, considerando o século XXI?
Nesse auge do conhecimento na Grécia, vários nomes e escolas foram sendo
constituídos. Com Tales de Mileto (624-546 a.C.), foram realizadas as primeiras
aproximações com a geometria demonstrativa, além da fundação da escola jônica.
Pitágoras (570-490 a.C.), outra figura nesse cenário – e discípulo de Tales –, fundou a
Escola Pitagórica de Crotona e, com a parceria de seus seguidores, ajudou a
sistematizar a geometria. O livro Elementos, de Euclides de Alexandria (323-
283 a.C.), foi um marco para a história mundial da matemática.
Então, devemos perguntar: qual foi o papel da Grécia Antiga, com seus muitos
personagens, para a sistematização e o avanço nos estudos da matemática?
O período da Antiguidade (século XII a.C-600 d.C.) foi marcado por realizações
extraordinárias, com respostas a velhos problemas e o estímulo ao estudo de novas
temáticas, que veremos nesta unidade. Vamos lá?
Bons estudos!
2.1 Matemática
pitagórica
Conforme vimos, no Egito e na Mesopotâmia, a matemática sempre esteve ligada à solução de
problemas cotidianos. Entretanto, esse uso prático não marcou apenas essas civilizações,
porque era uma constante em outros povos e nações. Na Grécia, por exemplo, destacam-se o
direcionamento dado ao estudo da geometria e à busca da sistematização. A seguir,
estudaremos um nome grego importante: Pitágoras.
2.1.1 Pitágoras e os pitagóricos
A evolução da matemática marcou várias áreas, como a astronomia e a música. Porém, o
progresso desse campo não envolveu apenas os modos de efetuar os cálculos. Com a
invenção do alfabeto – e, posteriormente, da moeda –, os vínculos comerciais começaram a
impulsionar o mercado financeiro. Assim, considerando o declínio das civilizações da
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Mesopotâmia e do Egito e o alvorecer de cidades comerciais espalhadas ao longo das costas
da Ásia Menor e na parte continental da Grécia, outras indagações ganharam destaque no
pensamento a respeito da matemática: o ser humano começou a questionar como e por quê.
Eves (2011, p. 94) relata que “[...] os processos empíricos do Oriente antigo, suficientes o
bastante para responder questões na forma de como, não mais bastavam para as perguntas
mais científicas na forma de por quê”. Nesse sentido, questionamentos fundamentais
começaram a ser formulados: “Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles são
iguais?” e “Por que o diâmetro de um círculo divide esse círculo ao meio?”.
Essas novas perguntas, de acordo com os historiadores da matemática, eram presentes,
principalmente, no território grego, “[...] onde as experiências com o método demonstrativo
foram se consubstanciando e se impondo, e a feição dedutiva da matemática, considerada
pelos doutos como sua característica fundamental, passou ao primeiro plano” (EVES, 2011,
p. 94).
No cenário intelectual, por volta de 400 a.C., contando com os filósofos Sócrates, Platão e
Aristóteles, os gregos deram início a uma lógica da matemática associada à geometria. Com
isso, a sociedade grega deu atenção especial ao gosto pelas abstrações.
Foi na Grécia que várias indeterminações matemáticas foram resolvidas. Vários nomes
contribuíram para a matemática naquele período, entre os quais tem destaque Pitágoras (570-
490 a.C.), fundador da Escola Pitagórica. Tudo indica que Pitágoras nasceu na ilha egeia de
Samos e que tenha sido discípulo de Tales. Após algumas viagens pelo Egito e outras
localidades, ao retornar a Samos, deparou-se com o domínio persa, conduzido pelo tirano
Polícrates (574-522 a.C.). Percebendo que seria difícil residir ali, decidiu migrar para o porto
marítimo de Crotona, uma colônia grega situada no sul da Itália.
Em Crotona, foi criada a famosa Escola Pitagórica. De acordo com Zanardini (2017, p. 38), “[...]
como os ensinamentos eram orais e atribuídos ao líder, é difícil saber com precisão quais foram
as reais descobertas do pensador grego e quais foram feitas por outros membros da
irmandade”. Zanardini (2017) também explica que, além de ser uma escola de estudos de
matemática, filosofia e ciências, funcionava como uma seita unida por rituais secretos e
cerimônias religiosas que, mesmo após a morte de Pitágoras, continuou existindo por mais 200
anos.
A Escola Pitagórica era constituída por quatro pilares básicos: aritmética, música, geometria e
astronomia. Exaltava o estudo das propriedades dos números e da aritmética (no sentido de
teoria dos números).
Ligados ao misticismo numérico e movidos pela filosofia da fraternidade, Pitágoras e seus
seguidores atribuíam características e personalidades aos números. Veja alguns exemplos:
Esse grupo de matérias tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual se
acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes liberais vieram a
ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma pessoa educada. (EVES, 2011,
p. 97)
Número 1
03/05/2022 19:05 História e filosofia da matemática
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Além do misticismo numérico, Eves (2011) esclarece que havia a presença de uma filosofia
fraternal, com alguns termos que marcam essa ideia. O conceito de números amigáveis, por
exemplo, dizia que dois numerais têm essa conexão se cada um deles for igual à soma dos
divisores próprios do outro. 
Representa a essência do número, uma vez que é o
gerador de todos os outros numerais; nele está a
origem de todas as coisas e do divino, pois é o
número da razão.
Número 2
É o primeiro número par ou número feminino, o
número da opinião.
Número 3
Ficou conhecido como o primeiro numeral masculino,
o número da harmonia.
Número 4
É o número da justiça.
Número 5
É reconhecido como número do casamento por ser a
união dos números feminino e masculino.
O professor doutor Wagner Rodrigues Valente, docente na
Universidade Federal de São Paulo (Unifesp), é uma
Você o conhece?
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Os números 284 e 220, por exemplo, são denominados amigáveis. Você sabe por quê? Veja a
seguir e descubra.
Então, conforme Eves (2011, p. 99): 
De acordo com Eves (2011), a descoberta de outros números amigáveis foi feita somente em
1636 por Pierre de Fermat (1607-1665). Trata-se do par 17.296 e 18.416.
Aos pitagóricos também são atribuídas algumas descobertas. Sabe quais são? Veja a seguir e
descubra.
referência acadêmica no campo da história da matemática
brasileira. Um de seus trabalhos é coordenar o Grupo de
Pesquisa de História da Educação Matemática no Brasil
(Ghemat), que, criado em 2000, dedica-se a explorar a
história da matemática. Clique no ícone e conheça melhor o
trabalho desse autor e do Ghemat. Navegue pelo site e
aproveite o conteúdo.Acesse (http://www.unifesp.br/centros/ghemat)
Número 220
Seus divisores próprios são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22,
44, 55 e 110, cuja soma é 284.
Número 284
Seus divisores próprios são 1, 2, 4, 71 e 142, cuja
soma é 220.
Esse par de números alcançou uma aura mística, e rezava a superstição posteriorque dois talismãs
com esses números selariam uma amizade perfeita entre os que os usassem. Os dois números
vieram a ter um papel importante na magia, na feitiçaria, na astrologia e na determinação de
horóscopos.
Iguais à soma de seus divisores próprios.
Números perfeitos 
http://www.unifesp.br/centros/ghemat
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Todos esses tipos de numerais, assim como os números amigáveis, apresentam ligações
místicas essenciais a especulações numerológicas (EVES, 2011). 
Os números perfeitos geraram certa inquietação aos matemáticos durante os milênios
seguintes. Essa temática se faz contemporânea quando Eves (2011) expõe que, em 1952, com
a ajuda de um computador digital SWAc, foram descobertos mais cinco números
perfeitos: n = 521, 607, 1279, 2203 e 2281. Em 1957, com a máquina sueca BeSK, encontrou-
se outro número perfeito: n = 3217. Em 1961, com um IBM 7090, foram descobertos mais
dois: n = 4253 e n = 4423. O último foi encontrado em 1985 por cientistas da Chevron, em um
supercomputador Cray X-MP.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Escola Pitagórica
Depois de ter vivido no Egito e supostamente ter passado pela Índia, Pitágoras fundou, em
Crotona, uma colônia grega no sul da Itália, a famosa Escola Pitagórica, que seguia,
naturalmente, os princípios do matemático. Mais que uma escola de estudos de matemática,
filosofia e ciência, a organização configurava uma seita unida por rituais secretos e
cerimônias religiosas (ZANARDINI, 2017).
Considerando a Escola Pitagórica, houve certa inquietação dos matemáticos durante vários
milênios devido a uma descoberta supostamente mística. Estamos falando dos números: 
a. perfeitos. 
b. mágicos. 
Maiores do que a soma de seus divisores próprios.
Menores do que a soma de seus divisores próprios.
Números deficientes 
Números abundantes 
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Os números figurados, constituídos por pontos que formam polígonos regulares, expressam o
número de pontos em certas configurações geométricas, o que representa um elo entre a
geometria e a aritmética. 
#PraCegoVer: a figura mostra vários exemplos de números figurados. No topo, está
escrito “números triangulares” e aparecem quatro exemplos: os números triangulares um, três,
seis e dez. O número um é um ponto; os demais são formados pelos vértices de triângulos
cortados transversalmente. À direita do último exemplo, está escrito “e assim por diante”.
Embaixo, está escrito “números quadrados” e aparecem os números um, quatro, nove e
c. místicos. 
d. cósmicos. 
e. imperfeitos. 
Verificar 
Figura 1 - Números figurados
Fonte: Adaptada de Eves, 2011, p. 100.
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dezesseis. O número um é um ponto; o quatro, formado pelos vértices de um quadrado; o nove,
formado por dois quadrados justapostos; o dezesseis, formado pelos vértices de três quadrados
justapostos. À direita do último exemplo, está escrito “e assim por diante”. Na sequência, está
escrito “números pentagonais”, com desenhos para os números um, cinco, doze e vinte e dois.
O número um é um ponto; o número cinco, os vértices de um pentágono; o número doze, os
vértices de dois pentágonos justapostos; o número vinte e dois, os vértices de três pentágonos
justapostos. À direita do último exemplo, está escrito “e assim por diante”. As figuras foram
desenhadas em laranja; os números e escritos são da cor cinza escuro. 
Aos números figurados é possível estabelecer vários teoremas de maneira puramente
geométrica. Como exemplo, temos: o enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o
(n - 1)-ésimo número triangular.
#PraCegoVer: à esquerda, aparece um pentágono com três pentágonos menores dentro dele,
todos desenhados a partir de sua lateral esquerda. Além de os vértices estarem marcados com
pontos, cada lado dos pentágonos tem mais pontos. Do lado direito do pentágono, há um sinal
de igual. À direita, há três triângulos isósceles cortados por duas retas cada em que há pontos
marcando seus vértices e o encontro das retas. Embaixo, uma reta tem cinco pontos
marcados. As figuras foram desenhadas em laranja; o sinal de igual é da cor cinza escuro. 
Outra forma de provar esse teorema é por meio da álgebra, com a obtenção das
representações algébricas genéricas dos números triangulares, quadrados e pentagonais.
A história é permeada por vários modelos de matemáticas
produzidas ao longo dos séculos. Não é de se estranhar a
importância que esse componente curricular tem nos mais
variados sistemas de ensino mundo afora. Pensando nisso,
Eduardo, secretário da educação de um município do interior
Figura 2 - Forma geométrica
Fonte: Adaptada de Eves, 2011, p. 101.
Caso
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paulista, visualizou a possibilidade de colaborar com a formação
continuada dos docentes de matemática por meio da oferta de
um curso de extensão a partir do seguinte tema:
História da matemática e escola: epistemologias tradicionais
versus o ensino de matemática contemporâneo
Foram propostas algumas unidades temáticas para a realização
do curso com foco na operacionalização da matemática em
ambientes escolares, haja vista a potencialidade pedagógica da
história desse campo do saber no ensino e aprendizagem dessa
disciplina. Como resultado, houve uma melhora nas avaliações,
bem como uma aproximação dos estudantes com o conteúdo.
Pitágoras e os pitagóricos produziram diversas questões interessantes para o campo da
matemática. Entre elas, não podemos deixar de mencionar o teorema a respeito de triângulos
retângulos atribuído a Pitágoras. Esse postulado era conhecido pelos babilônios mais de um
milênio antes, mas o grego ganhou os créditos porque foi responsável por sua primeira
demonstração geral.
De acordo com esse teorema, o quadrado sobre a medida da hipotenusa de um triângulo
retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos. Veja como o Teorema de Pitágoras
pode ser apresentado algebricamente e representado geometricamente.
O Teorema de Pitágoras não foi descoberto
por Pitágoras. Antes de sua sistematização,
ele já era conhecido e utilizado pelos
babilônios.
Você sabia?
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#PraCegoVer: embaixo, aparece um quadrado onde está escrito a ao quadrado. No topo, há
um triângulo de lados b, c e a. A partir do cateto superior, há um quadrado onde está escrito b
ao quadrado; a partir da hipotenusa, há um quadrado onde está escrito c ao quadrado.
Com o avanço dos estudos, os pitagóricos descobriram os números irracionais, o que deve
provavelmente ter sido um choque, uma vez que, até aquele momento, acreditavam que todos
os números fossem racionais. Entende-se por número racional o quociente p/q, q ≠ 0 de dois
números inteiros. Nesse entendimento, se os números não eram racionais, foram chamados de
irracionais. A descoberta foi uma das grandes realizações dos pitagóricos.
Eves (2011, p. 106) escreve que:
Pela primeira vez na história, a matemática viveu uma tensão. As certezas foram se
constituindo por meio dos números racionais e, ao se depararem com a existência dos números
não racionais, além de os matemáticos viverem uma crise nos fundamentos da matemática,
depararam-se com uma crise no fundamento de suas vidas, uma vez que a Escola Pitagórica,
conforme os historiadores, estava alinhada aomisticismo e a questões de ordem religiosa.
Pitágoras e o grupo ligado a ele romperam com velhos paradigmas e colaboraram
intensamente com a matemática e outros campos que possuem vínculo com essa área, como a
astronomia. Acredita-se que as perspectivas filosóficas pitagóricas viriam a influenciar Platão e,
por meio dele, toda a filosofia ocidental.
Figura 3 - Representação geométrica do Teorema de Pitágoras
Fonte: Elaborada pelo autor, 2021.
A descoberta da existência de números irracionais foi surpreendente e perturbadora para os
pitagóricos. Em primeiro lugar porque parecia desferir um golpe mortal na filosofia pitagórica
segundo a qual tudo dependia dos números inteiros. Além disso, parecia contrária ao senso comum,
pois intuitivamente havia o sentimento de que toda grandeza poderia ser expressa por algum
número racional.
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2.1.2 Resolução geométrica de equações quadráticas
As equações quadráticas são conhecidas pelos babilônios antigos há mais de 4000 anos. De
acordo com Boyer e Merzbach (2012), até os tempos modernos, não se pensava em resolver
uma equação quadrática da forma x² + px + q = 0, tendo p e q positivos. As equações
quadráticas, na Antiguidade e na Idade Média, eram classificadas em três tipos:
Com o avanço dos estudos matemáticos, é possível constatar que os gregos utilizavam dois
métodos para resolver determinadas equações simples: o das proporções e o da aplicação de
áreas. Há indícios de que ambos tenham se originado com os pitagóricos. 
De acordo com Eves (2011, p. 110), o “[...] método das proporções permite a construção de um
segmento de reta x dado por 
a : b = c : x ou por a : x = x : b, em que a, b, c são segmentos de reta dados”.
e
#PraCegoVer: à esquerda, há um triângulo de aproximadamente quarenta e cinco graus que
não está fechado do lado direito. Ele tem duas retas transversais que o dividem internamente.
Na parte superior, os dois primeiros trechos de reta foram nomeados com as letras b e x,
respectivamente; na parte inferior, os dois primeiros trechos são a e c, respectivamente. Do
lado direito, aparece meia circunferência com uma divisão de noventa graus um pouco depois
da sua metade. O risco do meio foi chamado de x; embaixo, os segmentos de reta foram
chamados de a e de b, respectivamente. As figuras são da cor laranja; as letras estão na cor
cinza escuro. 
O método das proporções ajuda a criar soluções geométricas às equações. Quanto ao método
da aplicação de áreas, Eves (2011, p. 110) fornece a seguinte explicação:
x² + px = q;
x² = px + q;
x² + q = px . 
Figura 4 - Método das proporções, parte 1
Fonte: Adaptada de Eves, 2011, p. 101.
[...] considere um segmento de reta AB e um paralelogramo AQRS cujo lado AQ está contido na
semirreta BA. Se Q não coincide com B, tome C de modo que QBCR seja um paralelogramo.
Quando Q está entre A e B, diz-se que o paralelogramo AQRS está aplicado ao segmento AB,
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A exposição desse método pode ser vista geometricamente na figura a seguir.
#PraCegoVer: na figura, há três paralelogramos lado a lado. O primeiro deles tem uma divisão
um pouco depois de sua metade que forma um retângulo. Os vértices são, da esquerda para a
direita, de cima para baixo: S, R, C, A, Q, B. O segundo paralelogramo, com a mesma
proporção do primeiro, tem os seguintes vértices: S, R, A e B,Q. O último paralelogramo, maior
do que os dois primeiros, tem uma divisão interna que forma um retângulo em sua ponta direita.
Seus vértices são: S, C, R, A, B, Q. As três figuras são da cor laranja; as letras estão escritas
em cinza escuro. 
Atualmente, a equação do segundo grau é definida da seguinte forma: é toda função polinomial
do tipo , em que devemos ter, necessariamente, , pois, caso contrário,
teríamos uma equação do primeiro grau na forma .
Quando a equação do segundo grau tiver seus coeficientes ou 
ou ainda , dizemos que ela está em sua forma incompleta. Quando a equação tiver a
forma , ela não tem aplicação prática, tendo em vista que as raízes sempre serão
nulas. Ou seja, se o produto de dois números é igual a zero, existem três possibilidades: 
Logo, podemos concluir que as raízes serão 𝑥’ = 0 𝑒 𝑥’’ = 0. Se
as equações são da forma , para encontrar suas raízes, temos:
Logo, suas raízes são:
Todavia, se as equações têm a forma de , para encontrar suas raízes
colocamos a equação na forma fatorada:
Como o produto dos dois números é igual a zero, temos o seguinte:
ou 
Agora, se considerarmos todos os coeficientes diferentes de zero, ou seja, 
, a equação do 2.º grau é classificada como completa.
ficando aquém pelo paralelogramo QBCR; quando Q coincide com B, diz-se que o paralelogramo
AQRS está aplicado ao segmento AB; quando Q está no prolongamento de AB, diz-se que o
paralelogramo AQRS está aplicado ao segmento AB, excedendo pelo paralelogramo QBCR.
Figura 5 - Método das proporções, parte 2
Fonte: Adaptada de Eves, 2011, p. 101.
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Considerando essas ideias, é possível visualizar uma apropriação de equações quadráticas,
tanto para a geometria como para a álgebra. Essa dupla função da matemática foi sendo
estabelecida ao longo dos séculos, conforme a complexidade na fundação de novas
sociedades e a expansão das cidades. Grandes figuras colaboraram para tais avanços, como
Pitágoras e seus discípulos. Por outro lado, Tales de Mileto e Euclides de Alexandria, por
exemplo, também foram personagens da história da matemática. Esses dois nomes serão o
assunto do tópico a seguir.
2.2 O período de Tales e
Euclides
Tales de Mileto (624-546 a.C.) e Euclides de Alexandria (323-283 a.C.) foram figuras essenciais
na missão de avançar com os estudos de matemática. Tales foi um dos “sete sábios” da
Antiguidade, durante a primeira metade do sexto século antes de Cristo; Euclides, por sua vez,
elaborou o livro Elementos, que traz com versatilidade uma sistematização da matemática até
então não produzida. Ambos, com seus estudos e pesquisas, somam para o avanço da
matemática.
2.2.1 Os três famosos problemas
O período clássico da Grécia for marcado por conflitos com outros grupos sociais e pela
ascensão do campo da matemática, principalmente na área de geometria. Como escreve Eves
(2011, p. 129), “[...] os primeiros três séculos da matemática grega, começando com os
esforços iniciais de Tales por uma geometria demonstrativa (por volta de 600 a.C.) e
culminando com os notáveis Elementos de Euclides (por volta de 300 a.C.), constituem um
período de realizações extraordinárias”.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Grécia
A matemática, cuja origem é tão remota quanto a da humanidade, está presente em
praticamente tudo que existe. A necessidade de efetuar contagens simples despertou a
criação de sistemas de numeração que evoluíram com o passar do tempo (ZANARDINI,
2017). Na Grécia Antiga, a matemática ganha espaço para crescer com o esforço de alguns
nomes, que são: 
a. Tales, Pitágoras, Euclides, Arquimedes e Descartes.
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Atenas, cidade grega, em seu auge tornou-se um grande centro da civilização ocidental que
pregava ideias políticas de caráter democrático. Após várias tentativas de invasão da Pérsia,
liderada pelo rei Dario (550-478 a.C.) e, posteriormente, por Xerxes (518-465 a.C.), filho de
Dario, houve uma hegemonia em Atenas, considerando que conseguiram barrar as investidas
dos persas. Assim, viveram50 anos de paz, tornando-se um local de progresso democrático e
intelectual a partir das reflexões e filosofias de Péricles e Sócrates. Esse clima atraiu muitos
matemáticos de todas as partes do mundo grego.
Posterior a Sócrates, Platão nasceu em Atenas e foi um discípulo socrático. Após voltar ao
território ateniense em 387 a.C., fundou sua academia de estudos, orientada por propósitos
sistemáticos de investigação científica e filosófica. Ele ficou marcado pela sua “[...] convicção
entusiástica de que o estudo da matemática fornecia o mais refinado treinamento do espírito e
que, portanto, era essencial que fosse cultivado pelos filósofos e pelos que deveriam governar
seu Estado ideal matemática não se deve a nenhuma” (EVES, 2011, p. 131).
A Grécia foi tão relevante para o campo da matemática que é possível destacar três
importantes linhas a respeito do progresso dessa área nos primeiros 300 anos da matemática
grega. Sabe quais são? Veja a seguir para conhecê-las.
É interessante apontar que a geometria superior se originou nas tentativas de resolução de três
famosos problemas de construção. Entendendo a importância histórica e buscando
fidelidade aos dados e fatos, a discussão a seguir, dos três famosos problemas, tem como base
os estudos de Eves (2011), Boyer e Merzbach (2012), que nos ajudam a compreender melhor
essas questões. De acordo com esses autores, os três famosos problemas são os seguintes:
b. Tales, Newton, Euclides, Arquimedes e Aristóteles.
c. Tales, Pitágoras, Euclides, Arquimedes e Aristóteles.
d. Tales, Pitágoras, Eves, Arquimedes e Aristóteles.
e. Tales, Pitágoras, Euclides, Roque e Aristóteles.
Verificar 
O desenvolvimento dos materiais que figuraram no livro Elementos. 
A criação de noções relacionadas com infinitésimos e infinitos e processos somatórios.
Aqui, têm relevância os paradoxos de Zenão, o método de exaustão de Antífon e Eudoxo e a
teoria atomística associada ao nome de Demócrito. 
A geometria superior, ou geometria de curvas, indo além da reta e da circunferência e das
superfícies do plano e da esfera (EVES, 2011). 
 
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De acordo com indícios, o problema da duplicação do cubo pode ter se originado a partir das
palavras de algum poeta grego antigo ao descrever a insatisfação do mítico rei Minos com o
tamanho do túmulo erguido para seu filho Glauco. Outra lenda, ainda a respeito desse
problema, diz que em 427 a.C. Péricles teria morrido de peste juntamente com um quarto da
população ateniense. Devido à situação, o povo de Atenas sondou o oráculo de Apolo, em
Delos, no intuito de descobrir como poderia enfrentar a doença. Os atenienses foram orientados
por seu oráculo a dobrar o tamanho do altar cúbico de Apolo. Boyer e Merzbach (2012, p. 136)
explicam que, “[...] a partir dessa lenda, o problema que consiste em, dada a aresta de um
cubo, construir só com régua e compasso a aresta de um segundo cubo tendo o dobro do
volume do primeiro, ficou conhecido como problema deliano. 
Vários personagens elaboraram diferentes possibilidades de resolver o problema da duplicação
do cubo, principalmente os geômetras gregos. Eves (2011, p. 135) esclarece que o “[...]
primeiro progresso real no problema da duplicação foi, sem dúvida, a redução do problema feita
por Hipócrates (c. 440 a.C.)”. Tal método é comum atualmente e consiste em reduzir um
problema que não sabemos resolver a outro que sabemos solucionar.
Para a exposição matemática do problema da duplicação do cubo, a referência é o trabalho de
Eves (2011). Conforme esse autor, a partir da construção de duas médias proporcionais entre
dois segmentos de reta de comprimentos s e 2s, temos:
 e 
Duplicação
do cubo 
O
problem
a de
construi
r o lado
de um
cubo
cujo
volume
é o
dobro
do de
um
cubo
dado. 
1
Trissecção
do ângulo  
O
problem
a de
dividir
um
ângulo
arbitrári
o dado
em três
partes
iguais. 
2
Quadratura
do círculo  
O
problem
a de
construi
r um
quadrad
o com
área
igual à
de um
círculo
dado. 
3
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Dessas proporções, temos x² = sy e y² = 2sx. Substituindo o y, obtemos x³ = 2s³. Assim, x é a
aresta de um cubo cujo volume é o dobro do volume de um cubo de aresta s. Posteriores ao
processo de redução proposto por Hipócrates, tentativas de duplicação do cubo tomaram como
caminho a construção de duas médias proporcionais entre dois segmentos de reta (EVES,
2011).
A seguir, há a reprodução de um modelo geométrico da duplicação do cubo atribuída por
Eutócio (480-540) a Platão.
#PraCegoVer: na figura, há a representação geométrica referente à duplicação do cubo. À
esquerda, nomeado como “parte A”, aparece um triângulo reto com vértices D, A, B. A partir do
vértice A, onde se forma o ângulo de noventa graus, surge outro triângulo menor, de vértices A,
C e B. Ele é reto no vértice B. O ponto de cruzamento dos dois triângulos foi chamado de P. À
direita, há a “parte B”, formada por uma espécie de esquadro reto em S. A partir do ângulo reto,
forma-se um triângulo de vértices S, C e V. Ele é reto em V. Colado a ele, há um triângulo de
vértices U, V e W, também reto em V. O seu fundo é laranja. As pontas internas do esquadro
têm as letras R e T. Todos os segmentos de reta das figuras foram feitos em laranja; as letras
são da cor cinza escuro.
Considere dois triângulos (PARTE A), CBA e DAB, retos em B e A, respectivamente, de
maneira que o cateto AB seja comum. Suponhamos que as hipotenusas AC e BD se
interceptem perpendicularmente em P. Eves (2011) nos ajuda a compreender essa questão
expondo que PB e PA são duas médias proporcionais entre PC e PD. O problema fica
resolvido, desde que se possa construir uma figura em que PD = 2(PC). Por meio desse
exemplo, podemos visualizar como os geômetras da Antiguidade conseguiam lidar com os
problemas.
Vejamos agora a trissecção do ângulo, cujas tentativas de resolução foram importantes ao
desenvolvimento matemático. Com base no trabalho de Barbosa (2013), veremos um modelo
inicial desse problema clássico.
Considere um ângulo qualquer ABC, do qual se pretende trissectar, sendo AB e BC os lados
desse ângulo, como mostra a figura a seguir.
Figura 6 - Duplicação do cubo
Fonte: Adaptada de Eves, 2011, p. 101.
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#PraCegoVer: na figura, há dois segmentos de reta horizontais cortados verticalmente por
outro segmento de reta. O segmento de cima é um pouco maior à direita. Os pontos de
cruzamento têm as letras A e F, respectivamente. Um outro segmento de reta transversal tem
sua origem na reta de baixo, no ponto B. O ponto de cruzamento com a reta vertical tem a letra
D; o ponto de cruzamento com a reta horizontal de cima tem a letra E. O segmento de reta
transversal forma um triângulo retângulo de vértices B, D e F. A partir do vértice B, há outro
segmento de reta até o segmento de cima. Ele forma outro triângulo retângulo, de vértices B, A
e F. Todos os pontos e letras são da cor laranja; os segmentos de reta são de cor cinza escuro.
Pelo ponto A de um dos lados, traça-se uma paralela e uma perpendicular ao outro lado. O
segmento DE é inserido entre essas duas retas, de modo que o seu comprimento seja o dobro
do comprimento do segmento AB (isso é o que denominamos por construção mole) e, ainda,
de tal modo que o ponto B, vértice do ângulo a trissectar, esteja no seu prolongamento. Então,
o ângulo DBC é a terça parte do ângulo ABC.
Para verificar que o ângulo ABC é trissectado pela reta DB, marca-se H como ponto médio do
segmento DE, conforme a figura. Depois, deve ser traçado um segmento de reta AH. A reta DE
intersecta as retas