Identidades Trigonometricas

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1) Simplifique as expressões ao máximo.
a) 
sen2 x
sen x⋅cos2 x  sen3 x
b) cos x − cos x⋅sen
2 x
cos3 x  sen2 x⋅cos x
c) tg
2 x − sen2 x
sen2 x⋅cos2 x  sen4 x
2) Verifique as identidades trigonométricas.
a) sen
2 x
cos x⋅tg x
= sen x
b) 
 sen2 x ⋅cos3 x 
 sec2 x ⋅tg 2 x 
= cos7 x
c) cotg
2 x
cossec5 x ⋅cos x 
= sen3 x⋅cos x
d) 
sen2 x
1− cos2 x 3⋅tg x
= cos x
sen5 x
e) 
cotg 2 x  1
cossec5 x ⋅cos x ⋅1− cos2 x 
= sen x
cos x
3) (UA-AM) A expressão 
1
cossec x⋅1 cos x 
 cossec x⋅1 cos x é igual a:
a) 2sen x b) 2cos x c) 2cossec x d) 2tg x e) 2sec x
4) (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idêntica a 1− sen
2 x
cotg x⋅ sen x
?
a) sen x b) cos x c) tg x d) cossec x e) cotg x
5) (UFBA) As expressões E1 =
1− tg 4 x
cos4 x − sen4 x
 e E2 =
1
cos4 x
 são equivalentes. Justifique.
6) (UA-AM) Para todo x ∈ℝ , tal que sen x ≠ cos x , a expressão sen
3 x − cos3 x
sen x − cos x
 é idêntica a:
a) tg x b) sen2 x − cos2 x c) 1 d) 1 sen x⋅cos x e)  sen x  cos x2
PROF.: LIMA
RESPOSTAS
1) 
a) sen x
b) cos2 x
c) tg2 x
2)
a) sen x
b) cos7 x
c) sen3 x . cos x
d) 
cosx
sen5 x
e) 
sen x
cosx
3) C
4) B
5) Sim. E1 = E2
6) D
PROF.: LIMA
RESOLUÇÃO
1) Simplifique as expressões ao máximo.
Resolução. Utilizando a fatoração e relações trigonométricas, temos:
a) 
sen2 x
sen x⋅cos2 x  sen3 x
Fatorando-se o denominador colocando-se em evidência sen x, teremos:
sen x . cos2x + sen3 x = sen x(cos2 x + sen2 x)
sen2 x
sen x⋅cos2 x  sen3 x
= sen
2 x
sen x⋅cos2 x  sen2 x
Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no denominador fatorado e efetuando-se a substituição, 
teremos:
 sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1
= sen
2 x
sen x⋅cos2 x  sen2 x 
= sen
2 x
sen x ⋅1
Efetuando-se a simplificação, dividindo-se o numerador e o denominador por sen x, teremos: 
= sen
2 x
sen x ⋅1
= sen
2 x
sen x ⋅1
= sen x  sen
2 x
sen x⋅cos2 x  sen3 x
= sen x
b) cos x − cos x⋅sen
2 x
cos3 x  sen2 x⋅cos x
Fatorando-se o denominador colocando-se em evidência cos x, teremos: 
cos3 x + sen2 x . cos x = cos x (cos2 x + sen2 x)
cos x − cos x⋅sen2 x
cos3 x  sen2 x⋅cos x
= cos x⋅1− sen
2 x 
cos⋅cos2 x  sen2 x 
=
Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no denominador fatorado e efetuando-se a substituição, 
teremos:
 sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1
= cos x⋅1− sen
2 x 
cos⋅cos2 x  sen2 x 
= cos x⋅cos
2 x 
cos x⋅1
=
Efetuando-se a multiplicação no numerador aplicando-se a propriedade da potenciação (produto de uma 
potência de mesma bases), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos:
cos x . cos2 x = cos 1 + 2 = cos3 x, substituindo o resultado no numerador teremos:
= cos x⋅cos
2 x 
cos x⋅1
= cos
3 x
cos x
=
Efetuando-se a simplificação, dividindo-se o numerador e o denominador por cos x, teremos: 
( )
( )
( )
( ) xx
x
x
xx
xsenxx
xsenx
xxsenx
xxsenx 232
22
2
23
2
cos
cos
cos
1cos
coscos
coscos
1cos
coscos
coscos
===
+
−
=
+
−
= cos
3 x
cos x
= cos
3 x
cos x
= cos2 x  cos x − cos x⋅sen
2 x
cos3 x  sen2 x⋅cos x
= cos2 x
PROF.: LIMA
c) tg
2 x − sen2 x
sen2 x⋅cos2 x  sen4 x
Aplicando-se a relação fundamental tg 2 x = sen
2 x
cos2 x
 no numerador e fatorando-se o denominador 
colocando em evidência sen2.x → sen2.x . cos2x + sen4 x = sen2.x (cos2 x + sen2 x); efetuando-se as 
substituições, teremos:
tg 2 x − sen2 x
sen2 x⋅cos2 x  sen4 x
=
sen2 x
cos2 x
− sen2 x
sen2 x⋅cos2 x  sen2 x 
=
No numerador vamos aplicar o m.m.c e no denominador a lei fundamental da trigonometria,. e efetuando-se 
as substituições, teremos: sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1
=
sen2 x
cos2 x
− sen2 x
sen2 x⋅cos2 x  sen2 x 
=
sen2 x
cos2 x /1
− sen
2 x
1 /cos2 x
sen2 x⋅1
=
 sen2 x⋅1
cos2 x
−  sen
2 x⋅cos2 x 
cos2 x
sen2 x
=
=
sen2 x − sen2 x⋅cos2 x 
cos2 x
sen2 x
=
sen2 x − sen2 x⋅cos2 x
cos2 x
sen2 x
=
Fatorando-se agora o numerador colocando em evidência sen2.x e substituindo, teremos:
sen2.x - cos2x . sen2.x = sen2.x (1 - cos2 x)
=
sen2 x − sen2 x⋅cos2 x 
cos2 x
sen2 x
=
sen2 x 1− cos2 x 
cos2 x
sen2 x
=
Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no numerador fatorado e efetuando-se a substituição, 
teremos:
 sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 - cos2 x, logo: 1 - cos2 x = sen2 x
=
sen2 x 1 − cos2 x 
cos2 x
sen2 x
=
sen2 x sen2 x 
cos2 x
sen2 x
=
Efetuando-se a multiplicação no numerador aplicando a propriedade da potenciação (produto de uma potência 
de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, efetuando-se a divisão (repetimos a primeira 
fração trocamos a operação de divisão para multiplicação e invertemos a segunda fração), teremos:
=
sen2 x 1 − cos2 x 
cos2 x
sen2 x
=
sen4 x
cos2 x
sen2 x
=
sen4 x
cos2 x
⋅
1
sen2 x
=
Efetuando-se a simplificação entre o numerador da primeira fração e o denominador da segunda fração 
dividindo-se ambos os termos por sen2.x e substituindo, teremos:
= sen
4 x
cos2 x
⋅ 1
sen2 x
= sen
4 x /sen2 x
cos2 x
⋅ 1
sen2 x
= sen
2 x
cos2 x
Aplicando-se novamente a relação trigonométrica tg 2 x = sen
2 x
cos2 x
 e substituindo, teremos:
PROF.: LIMA
= sen
2 x
cos2 x
= tg 2 x  tg
2 x − sen2 x
sen2 x⋅cos2 x  sen4 x
= tg 2 x
2) Verifique as identidades trigonométricas.
Solução. Utilizando a fatoração desenvolvemos o 1º membro até encontrar a expressão do 2º membro.
a) sen
2 x
cos x⋅tg x
= sen x
Aplicando-se a relação tg x = sen xcos x e efetuando-se a substituição no denominador, teremos:
sen2 x
cos x⋅ tg x
= sen
2 x
cos x⋅ sen x
cos x
=
Simplificando-se o denominador dividindo os termos da fração, por cos x, teremos:
= sen
2 x
cos x⋅ sen x
cos x
= sen
2 x
cos x ⋅ sen x
cos x
= sen
2 x
sen x
Simplificando o numerador dividindo-se os termos por sen x, teremos: = sen
2 x
sen x
= sen
2 x
sen x
= sen x
b) 
 sen2 x ⋅cos3 x 
 sec2 x ⋅tg 2 x 
= cos7 x
Aplicando-se as relações tg 2 x = sen
2 x
cos2 x
; sec2 x =
1
cos2 x
 e efetuando as substituições no 
denominador, teremos: 
 sen2 x ⋅cos3 x
 sec2 x ⋅tg 2 x 
=  sen
2 x ⋅cos3 x

1
cos2 x
⋅
sen2 x
cos2 x

=
Efetuamos a multiplicação do denominador fazendo a multiplicação do numerador com numerador e 
denominador com denominador, sendo que na segunda aplicamos a propriedade da potenciação (produto de 
uma potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos:
cos2 x . cos2 x = cos 2 + 2 = cos4 x, substituindo o resultado no numerador teremos:
 sen2 x ⋅cos3 x
 sec2 x ⋅tg 2 x 
=  sen
2 x ⋅cos3 x 
1⋅sen2 x
cos4 x
=  sen
2 x⋅cos3 x
sen2 x
cos4 x
=
Efetuamos a divisão de uma fração, repetindo a primeira fração, trocamos a operação que passa a ser uma 
multiplicação e invertemos os termos da segunda fração, assim teremos:
=  sen
2 x⋅cos3 x
sen2 x
cos4 x
=  sen2 x ⋅cos3 x ⋅ cos
4 x
sen2 x
=
Simplificamos dividindo-se os termos por sen2.x e aplicamos a propriedade da potenciação (produto de uma 
potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos:cos3 x . cos4 x = cos 3 + 4 = cos7 x, substituindo o resultado no numerador teremos:
PROF.: LIMA
= sen2 x ⋅cos3 x ⋅ cos
4 x
sen2 x
= sen2 x ⋅cos3 x ⋅ cos
4 x
sen2 x
= cos3 x⋅cos4 x = cos7 x
c) cotg
2 x
cossec5 x ⋅cos x 
= sen3 x⋅cos x
Aplicando as relações cotg2 x = cos
2 x
sen2 x
; cossec5 x =
1
sen5 x
 e efetuando as substituições, 
teremos:
cotg 2 x
cossec5 x ⋅cos x 
=
cos2 x
sen2 x
 1
sen5 x
⋅cos x 
=
Sabemos que a operação do denominador resultará em 
cos x
sen5 x
 , assim efetuaremos direto a divisão de 
uma fração, repetindo-se a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e 
invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:
=
cos2 x
sen2 x
cos x
sen5 x
= cos
2 x
sen2 x
⋅ sen
5 x
cos x
=
Simplificamos dividindo-se os termos por sen2.x e aplicamos a propriedade da potenciação (divisão de 
potência de mesma base), repetimos a base e subtraímos os expoentes, assim teremos:
sen5 x : sen2 x = sen 5 - 2 = sen3 x, substituímos o resultado; simplificamos novamente dividindo-se os termos 
por cos.x e aplicamos a propriedade da potenciação (divisão de potência de mesma base), repetimos a base e 
subtraímos os expoentes, assim teremos:
cos2 x : cos x = cos 2 - 1 = cos x, substituindo ambos os resultados, teremos:
= cos
2 x
sen2 x
⋅ sen
5 x
cos x
= cos
2 x
sen2 x
⋅ sen
5/3 x
cos x
= sen3 x⋅cos x
d) sen
2 x
1− cos2 x 3⋅tg x
= cos x
sen5 x
Aplicando a relação fundamental da trigonometria e a relação tg x = sen xcos x , substituindo, teremos:
sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 - cos2 x → 1 - cos2 x = sen2 x
sen2 x
1− cos2 x 3⋅tg x
= sen
2 x
 sen2 x 3⋅ sen x
cos x
=
Resolvemos (sen2 x)3 aplicando a propriedade da potenciação (potência de potência) multiplicando-se os 
expoentes, logo: (sen2 x)3 = sen2 . 3 x = sen6 x, efetuando a substituição teremos:
= sen
2 x
 sen2⋅3 x ⋅ sen x
cos x
= sen
2 x
 sen6 x⋅ sen x
cos x
=
PROF.: LIMA
Efetuamos a multiplicação do denominador; fazendo a multiplicação do numerador com numerador e 
denominador com denominador, sendo que na segunda aplicamos a propriedade da potenciação (produto de 
potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos:
sen6 x . sen x = sen 6 + 1 x = sen7 x, substituindo o resultado no numerador teremos:
= sen
2 x
 sen2⋅3 x ⋅ sen x
cos x
= sen
2 x
sen7 x
cos x
=
Efetuamos a divisão de uma fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a operação que passa 
a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:
= sen
2 x
sen7 x
cos x
= sen2 x⋅ cos x
sen7 x
=
Simplificamos dividindo-se ambos os termos por sen2.x, assim teremos:
= sen2 x⋅ cos x
sen7 x
= = sen2 x⋅ cos x
sen5 x
= = cos x
sen5 x
e) 
cotg 2 x  1
cossec5 x ⋅cos x ⋅1− cos2 x 
= sen x
cos x
Aplicaremos as seguintes relações trigonométricas e efetuaremos em seguidas as devidas substituições:
cossec2 x = cotg 2  1
sen2 x  cos2 = 1 → sen2 x = 1 − cos2
cotg2 x  1
cossec5 x ⋅cos x ⋅1− cos2 x
= cossec
2 x
cossec5 x⋅cos x ⋅ sen2 x 
=
Simplificamos dividindo-se os termos por cossec2.x, assim teremos:
=
cossec2 x 
cossec5 x ⋅cos x ⋅sen2 x 
=
cossec2 x /1
cossec5/ 3 x ⋅cos x ⋅sen2 x 
= 1
cossec3 x⋅cos x⋅sen2 x 
=
Aplicaremos a relações trigonométricas 
cossec3 x = 1
sen3 x efetuando a substituição e depois efetuamos a 
multiplicação.
= 1
cossec3 x ⋅cos x ⋅ sen2 x 
= 1
 1
sen3 x
⋅cos x ⋅sen2 x 
= 1
cos x⋅ sen2 x
sen3 x
=
Simplificando o denominador, teremos:
= 1
cos x⋅ sen2 x 
sen3 x
= 1
cos x⋅ sen2 x /1
sen3 x
= 1
cos x⋅1
sen x
= 1
cos x
sen x
=
Efetuamos a divisão de uma fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a operação que passa 
a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:
= 1
cos x
sen x
= 1⋅ sen x
cos x
= sen x
cos x
PROF.: LIMA
3) (UA-AM) A expressão 
1
cossec x⋅1 cos x 
 cossec x⋅1 cos x é igual a:
Solução. Desenvolvendo e escrevendo a cossecante em função do seno (
cossec x = 1
sen x ), temos:
Aplicaremos a seguinte relação trigonométrica 
cossec x = 1
sen x e efetuaremos em seguidas as devidas 
substituições:
1
cossec x⋅1 cos x 
 cossec x⋅1 cos x = 1

1
sen x ⋅1  cos x 
  1
sen x
⋅1 cos x 
Efetuando a multiplicação no denominador, teremos:.
= 1

1
sen x⋅1 cos x 
  1
sen x
⋅1  cos x = 1

1 cos x
sen x 
  1  cos x
sen x
 =
Na primeira parcela vamos efetuar a divisão de fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a 
operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:
= 1

1 cos x
sen x 
  1  cos x
sen x
 = 1⋅ sen x
1  cos x
   1 cos x
sen x
 =  sen x
1 cos x
   1  cos x
sen x
 =
Soma de frações com denominadores diferentes temos que tirar o m.m.c (m.m.c = (1 + cos x) . sen x), o 
m.m.c será o novo denominador; dividimos o novo denominador pelo antigo e multiplicamos o resultado pelo 
numerador, efetuando a substituição teremos:
=  sen x
1 cos x
   1  cos x
sen x
 =  sen x
1  cos x / sen x
   1 cos x
sen x /1 cos x
 =
=  sen x
1 cos x / sen x
   1 cos x
sen x /1 cos x
 = sen x⋅sen x
1  cos x⋅ sen x

1  cos x ⋅1  cos x 
1  cos x ⋅ sen x
=
= sen x⋅ sen x
1  cos x ⋅sen x

1  cos x ⋅1 cos x 
1 cos x⋅sen x 
= sen
2 x
1  cos x ⋅sen x 

1 cos x 2
1  cos x ⋅sen x
=
= sen
2 x
1  cos x ⋅ sen x 

1  cos x 2
1 cos x⋅sen x 
=
sen2 x 1 cos x 2
1  cos x ⋅ sen x 
=
Em seguida desenvolvemos (1 +. cos x)2 = 12 + 2 . 1 . cos x + cos2 x = 1 + 2 cos x + cos2 x, efetuando a 
substituição teremos:
=
sen2 x 1 cos x 2
1  cos x ⋅ sen x 
= sen
2 x  1  2 cos x  cos2 x
1 cos x ⋅sen x 
=
Percebemos que temos que aplicar a relação fundamental da trigonometria no numerador, e substituindo sen2 
x + cos2 x = 1, termos:
=
sen2 x  1  2 cos x  cos2 x
1  cos x ⋅sen x
=
1  1 2 cos x
1 cos x⋅sen x 
=
2  2 cos x
1  cos x ⋅ sen x 
=
Fatorando o numerador, colocando 2 em evidência, teremos:
= 2  2 cos x
1  cos x ⋅sen x 
=
21  cos x 
1 cos x ⋅sen x
=
PROF.: LIMA
Efetuando a simplificação, teremos:
=
2 1 cos x 
1  cos x ⋅ sen x 
= 2
sen x
Aplicando a relação trigonométrica 
cossec x = 1
sen x substituindo, teremos:
=
2
sen x = 2⋅
1
sen x = 2⋅cossec x
1
cossec x⋅1 cos x 
 cossec x⋅1 cos x = 2⋅cossec x
4) (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idêntica a 1− sen
2 x
cotg x⋅ sen x
?
Solução. 
Aplicando a relação fundamental da trigonometria no numerador, sen2 x + cos2 x = 1 → cos2 x = 1 - sen2 x, e
a relação 
cotg x = cos x
sen x no denominador e efetuando as substituições, teremos: 
1− sen2 x
cotg x⋅ sen x
= cos
2 x
cos x
sen x
⋅sen x
=
Simplificando, teremos:
= cos
2 x
cos x
sen x
⋅sen x
= cos
2 x
cos x
sen x
sen x
= cos
2 x
cos x
=
Simplificando novamente, teremos:
= cos
2 x
cos x
= cos
2 x
cos x
= cos x
5) (UFBA) As expressões E1 =
1− tg 4 x
cos4 x − sen4 x
 e E2 =
1
cos4 x
 são equivalentes. Justifique.
Solução. Para a verificação, desenvolve-se E1 até que obter a igual em E2. Utilizando a fatoração, temos:Aplicando-se a relação trigonométrica: 
tg 4 x = sen
4 x
cos4 x e em seguida efetua-se a operação do numerador 
utilizando o m.m.c
E1 =
1− tg 4 x
cos4 x − sen4 x
=
1− sen
4 x
cos4 x
cos4 x − sen4 x
=
cos4 x − sen4 x
cos4 x
cos4 x − sen4 x
=
Efetuando-se a divisão de fração por fração, já vimos como se procede.
= cos
4 x − sen4 x
cos4 x
⋅ 1
cos4 x − sen4 x
=
Efetuando-se a simplificação:
= cos
4 x − sen4 x
cos4 x
⋅ 1
cos4 x − sen4 x
= cos
4 x − sen4 x
cos4 x
⋅ 1
cos4 x − sen4 x
= 1
cos4 x
 → E1 = E2
PROF.: LIMA
6) (UA-AM) Para todo x ∈ℝ , tal que sen x ≠ cos x , a expressão sen
3 x − cos3 x
sen x − cos x
 é idêntica a:
Solução. 
Utilizar a fatoração do tipo: a3 − b3= a − b ⋅a2  ab  b2
sen3 x − cos3 x
sen x − cos x
=  sen x − cos x ⋅ sen
2 x  sen x cos x  cos2 x
sen x − cos x
=
Simplificando:
=  sen x − cos x⋅ sen
2 x  sen x cos x  cos2 x 
sen x − cos x
= sen2 x  sen x cos x  cos2 x =
Aplicando a relação fundamental da trigonometria: sen2 x + cos2 x = 1
= sen2 x  sen x cos x  cos2 x = 1 sen x cos x
sen3 x − cos3 x
sen x − cos x
= 1 sen x cos x
PROF.: LIMA