sistemas lineares

Prévia do material em texto

Sistemas Lineares
Francisco Oliveira de Lima
2 de abril de 2016
Sistemas Lineares
SIGLAS
UFBA - Universidade Federal da Bahia.
UEPB - Universidade Estadual da Para´ıba.
UNICAMP - SP - Universidade Estadual de Campinas.
UFPA - Universidade Federal do Para´.
IFPA - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Para´
IFMA - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Maranha˜o.
IFAP - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Amapa´.
ITA - SP - Instituto Tecnolo´gico da Aerona´utica.
IFES - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Espirito Santo.
FGV - Fundac¸a˜o Getu´lio Vargas.
IFPI - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Piau´ı.
UNIFOR - CE - Universidade de Fortaleza.
Mackenzie - SP - Universidade Presbiteriana Mackenzie.
FUVEST - SP - Fundac¸a˜o Universita´ria para o Vestibular.
UEMS - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul.
UFES - Universidade Federal do Espirito Santo.
UFSCAR - SP - Universidade Federal de Sa˜o Carlos.
IFCE - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Ceara´.
IFPE - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Pernambuco.
PUC - RS - Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio Grande do Sul.
PUC - MG - Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais.
IF Serta˜o - PE - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Serta˜o
Pernambucano.
IFPE - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Pernambuco.
UEL - PR - Universidade Estadual de Londrina.
UFCSPA - RS - Universidade Federal de Cieˆncias da Sau´de de Porto Alegre.
IME - RJ - Instituto Militar de Engenharia.
NUCEPE - UESPI - Nu´cleo de Concursos e Promoc¸a˜o de eventos da Universidade
Estadual do Piau´ı.
UECE - Universidade Estadual do Ceara´.
CESUPA - Centro Universita´rio do Estado do Para´.
FURG - RS - Universidade Federal do Rio Grande.
CESPE - UNB - Centro de Selec¸a˜o e de Promoc¸a˜o de Eventos da Universidade de
Bras´ılia.
FCC - Fundac¸a˜o Carlos Chagas.
UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
UFPR - Universidade Federal do Parana´.
UNIMONTES - MG - Universidade Estadual de Montes Claros.
Lima, Francisco Oliveira de.
T´ıtulo: Sistemas Lineares.
Local: Dom Eliseu - PA: 2016.
Temas Estudados:
1. Operac¸o˜es Elementares.
2. Discussa˜o de Sistemas.
3. Circuito Ele´trico.
4. Reac¸o˜es Qu´ımicas.
5. Problemas do 1 grau.
Nı´vel: Matema´tica (Ensino Me´dio)
XXXXXX
”A matema´tica e´ linda, igualmente um sorriso
estampado no rosto de uma crianc¸a sapeca”
Janua´rio Oliveira de Lima.
Prefa´cio
Neste texto estudamos os sistemas lineares usando as operac¸o˜es elementares,
fizemos aplicac¸o˜es na qu´ımica (balanceamento de reac¸o˜es qu´ımicas) e aplicac¸o˜es na
f´ısica (circuito ele´trico). Esse material e´ destinado aos alunos do ensino me´dio que
queiram aprender ou revisar esta parte da matema´tica. Notamos, que o estudo dos
sistemas e´ uma importante ferramenta na resoluc¸a˜o de va´rios problemas.
Local: Dom Eliseu - PA ( Janeiro de 2016 )
5
Suma´rio
Prefa´cio 5
1 Sistemas Lineares 7
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Operac¸o˜es elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Discussa˜o de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Aplicac¸o˜es na Qu´ımica 47
2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Aplicac¸o˜es na F´ısica 52
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Problemas 59
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 EXTRA 73
5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Refereˆncias Bibliogra´ficas 78
6
Cap´ıtulo 1
Sistemas Lineares
1.1 Introduc¸a˜o
Seja o sistema linear a seguir formado por m equac¸o˜es lineares e n inco´gnitas
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(1.1)
Diremos que uma n-upla de nu´meros reais (x1, x2, · · · , xn) sera´ uma soluc¸a˜o do
sistema (1.1) quando satisfazer ao mesmo tempo todas as m equac¸o˜es. Um sistema
linear podera´ ter:
1) uma u´nica soluc¸a˜o.
2) infinitas soluc¸o˜es.
3) nenhuma soluc¸a˜o.
Exemplo 1.1.1. Seja o sistema linear formado por 3 equac¸o˜es lineares e 3 inco´gnitas
a + b + c = 2
2b + 5c = 0
3c = 12.
Resolvendo, obtemos a soluc¸a˜o (a, b, c) = (8,−10, 4).
1.2 Operac¸o˜es elementares
1) Permuta da i-e´sima e j-e´sima linhas (Li ←→ Lj).
2) Multiplicac¸a˜o da i-e´sima linha por um nu´mero na˜o nulo k. (Li −→ k.Lj).
3) Troca da i-e´sima linha pela i-e´sima linha mais k vezes a j-e´sima linha (Li −→
Li + k.Lj).
7
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 8
Exemplo 1.2.1. Resolva o sistema linear usando operac¸o˜es elementares.{
x − y = 5
4x + 5y = 29
Soluc¸a˜o: Primeiramente, fazemos L2 −→ L2 − 4L1. Assim, temos{
x − y = 5
9y = 9
Resolvendo, obtemos x = 6 e y = 1.
Exemplo 1.2.2. Resolva o sistema linear usando operac¸o˜es elementares.
x − 2y + z = 4
2x + y − 4z = 0
x − 3y − 5z = 1.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, usaremos a terceira operac¸a˜o elementar. Ou seja, faremos
L2 −→ L2 − 2L1 e L3 −→ L3 − L1. Dessa forma, temos
x − 2y + z = 4
5y − 6z = −8
−y − 6z = −3.
Agora, aplicando a primeira operac¸a˜o elementar (L2 ←→ L3), encontramos
x − 2y + z = 4
− y − 6z = −3
5y − 6z = −8.
Usando novamente a terceira operac¸a˜o elementar L3 −→ L3 + 5L2, obtemos
x − 2y + z = 4
− y − 6z = −3
− 36z = −23.
Finalmente, as inco´gnitas sa˜o iguais a x = 61
36
, y = −5
6
e z = 23
36
. Ou seja, esse sistema
possui uma u´nica soluc¸a˜o.
Exemplo 1.2.3. Resolva o sistema linear usando operac¸o˜es elementares.{
x − 2y + z = 0
2x + y − 4z = 0.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, usaremos a terceira operac¸a˜o elementar. Ou seja, faremos
L2 −→ L2 − 2L1. Dessa forma, temos{
x − 2y + z = 0
5y − 6z = 0.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 9
Finalmente, fazendo L1 −→ 5L1 + 2L2, resulta que{
5x − 7z = 0
5y − 6z = 0.
Assim, z e´ uma varia´vel livre. Por outro lado, podemos fazer z = β ∈ R. Portanto,
5x = 7β =⇒ x = 7β
5
e 5y = 6β =⇒ y = 6β
5
Ou seja, a soluc¸a˜o geral e´ dada por{(
7β
5
,
6β
5
, β
)
, β ∈ R
}
.
Assim, conclu´ımos que esse sistema tem infinitas soluc¸o˜es.
Exemplo 1.2.4. Resolva o sistema linear usando operac¸o˜es elementares.{
x + y − z + w = 0
3x − y + 4z + 4w = 0.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, fazemos a operac¸a˜o L2 −→ L2 − 3L1. Assim, temos{
x − y + z + w = 0
− 4y + 7z − w = 0.
Finalmente, fazendo L1 −→ 4L1 + L2, resulta em{
4x + 3z + 3w = 0
− 4y + 7z − w = 0.
Assim, observamos que z e w sa˜o varia´veis livres. Portanto, podemos fazer z = α ∈ R
e w = β ∈ R. Logo, temos
4x+ 3α + 3β = 0 =⇒ x = −3α
4
− 3β
4
e − 4y + 7α− β = 0 =⇒ y = 7α
4
− β
4
Ou seja, a soluc¸a˜o geral e´ dada por{(−3α− 3β
4
,
7α− β
4
, α, β
)
, α, β ∈ R
}
.
Assim, conclu´ımos que esse sistema tem infinitas soluc¸o˜es.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 10
1.3 Discussa˜o de um sistema linear
Discutir um sistema linearem relac¸a˜o ao paraˆmetro λ ∈ R, significa classificar em:
1) SPD, sistema poss´ıvel e determinado. Nesse caso, o sistema teˆm soluc¸a˜o u´nica.
2) SPI, sistema poss´ıvel e indeterminado. Nesse caso, o sistema teˆm infinitas
soluc¸o˜es.
3) SI, sistema imposs´ıvel. Nesse caso, a soluc¸a˜o do sistema e´ vazio.
Exemplo 1.3.1. Discuta em relac¸a˜o ao paraˆmetro λ ∈ R, o sistema linear abaixo:{
2x+ 4y = 1
3x+ λy = 7
Soluc¸a˜o: Primeiramente, seja a matriz A formada pelos coeficientes do sistema.
Em seguida, encontramos o determinante. Ou seja,
det(A) =
∣∣∣∣ 2 43 λ
∣∣∣∣ = 2λ− 12.
Por outro lado, sabemos que o sistema tem soluc¸a˜o u´nica, quando det(A) = 2λ−12 6=
0. Portanto, resulta em λ 6= 6. Agora, substituindo λ = 6 no sistema acima, temos{
2x+ 4y = 1
3x+ 6y = 7
Fazendo a operac¸a˜o L2 −→ 2L2 − 3L1, temos{
2x+ 4y = 1
0x+ 0y = 12
Assim, observamos que na˜o existe x, y ∈ R tal que 0x + 0y = 12. Ou seja, para
λ = 6, o sistema e´ imposs´ıvel.
CONCLUSA˜O:
1) SPD, quando λ 6= 6.
2) SI, quando λ = 6.
Exemplo 1.3.2. Discuta o sistema linear em func¸a˜o dos paraˆmetros a, b ∈ R.{
ax + 4y = a− 4
x + ay = b+ 2
(1.2)
Soluc¸a˜o: Devemos calcular o determinante da matriz A formada pelos coeficientes
desse sistema. Dessa forma, segue que
det(A) =
∣∣∣∣ a 41 a
∣∣∣∣ = a2 − 4.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 11
Para esse sistema ter soluc¸a˜o u´nica, basta que a2−4 6= 0. Ou seja, a 6= 2 e a 6= −2.
Ale´m disso, substituindo a = 2, no sistema (1.2), temos{
2x + 4y = −2
x + 2y = b+ 2
Fazendo a operac¸a˜o L2 −→ 2L2 − L1, temos{
2x + 4y = −2
0x + 0y = 2b+ 6
Para o sistema ser imposs´ıvel, devemos ter 2b+6 6= 0. Ou seja, b 6= −3. Ale´m disso,
quando b = −3, o sistema se torna indeterminado. Agora, substituindo a = −2, no
sistema (1.2), temos {
2x + 4y = −6
x + 2y = b+ 2
Fazendo a operac¸a˜o L2 −→ 2L2 − L1, temos{
2x + 4y = −2
0x + 0y = 2b+ 10
Para o sistema ser imposs´ıvel, devemos ter 2b + 10 6= 0. Ou seja, b 6= −5. Ale´m
disso, quando b = −5, o sistema se torna indeterminado.
CONCLUSA˜O:
1) SPD, quando a 6= 2 e a 6= −2.
2) SPI, quando a = 2 e b = −3.
3) SI, quando a = 2 e b 6= −3.
4) SPI, quando a = −2 e b = −5.
5) SI, quando a = −2 e b 6= −5.
Exemplo 1.3.3. Discuta em relac¸a˜o ao paraˆmetro p ∈ R, o sistema linear abaixo:
x + py − z = 0
x + y + pz = 1
x − y − z = 2
Soluc¸a˜o: Seja A a matriz formada pelos coeficientes desse sistema. Assim, temos
det(A) =
∣∣∣∣∣∣
1 p −1
1 1 p
1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ = p2 + 2p+ 1 = (p+ 1)2
Notamos que o sistema e´ poss´ıvel e determinado quando (p + 1)2 6= 0. Ou seja,
p 6= −1. Agora, substituimos p = −1 no sistema acima
x − y − z = 0
x + y − z = 1
x − y − z = 2
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 12
Fazendo L3 −→ L3 − L1, temos
x − y − z = 0
x + y − z = 1
0x + 0y + 0z = 2
Sabemos que na˜o existe x, y, z ∈ R tais que 0x + 0y + 0z = 2. Logo, o sistema e´
imposs´ıvel. Portanto, conclu´ımos que:
I) SPD, quando p 6= −1.
II) SI, quando p = −1.
Exemplo 1.3.4. (UEL - PR) O sistema{
ax+ 3y = 2
2x− y = 0
e´ poss´ıvel e determinado:
a) para qualquer valor de a.
b) somente para a = 0.
c) somente para a = 6.
d) se a 6= 0.
e) se a 6= −6.
Soluc¸a˜o: Para esse sistema linear ser SPD o determinante da matriz formada
pelos coeficientes, deve ser na˜o - nulo. assim, temos∣∣∣∣ a 32 −1
∣∣∣∣ = −a− 6 6= 0.
Logo, a resposta e´ a alternativa E.
Exemplo 1.3.5. Encontre p ∈ R de modo que o sistema linear tenha soluc¸a˜o u´nica:
x − py + 3z = 0
4x + 5y − pz = 0
−2x + 2y + z = 0.
Soluc¸a˜o: Para um sistema homogeˆneo ter somente a soluc¸a˜o trivial, o determinante
da matriz formada pelos coeficientes deve ser diferente de zero. Assim, temos que∣∣∣∣∣∣
1 −p 3
4 5 −p
−2 2 1
∣∣∣∣∣∣ = −2p2 + 6p+ 59 6= 0.
Resolvendo, encontramos p 6= 3 +
√
127
4
e p 6= 3−
√
127
4
.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 13
Exemplo 1.3.6. Exiba α ∈ R de modo que o sistema linear tenha infinitas soluc¸o˜es:
x + (sen(α))y − z = 0
(sen(α))x − y − z = 0
x + y − (sen(α))z = 0.
Soluc¸a˜o: Para um sistema homogeˆneo ter infinitas soluc¸o˜es, o determinante da
matriz formada pelos coeficientes deve ser nulo. Portanto, temos∣∣∣∣∣∣
1 sen(α) −1
sen(α) −1 −1
1 1 −sen(α)
∣∣∣∣∣∣ = sen3(α)− sen(α) = 0.
Resolvendo a equac¸a˜o trigonome´trica sen3(α)−sen(α) = 0, obtemos a soluc¸a˜o geral
α = kpi ou α =
pi
2
+ kpi , com k ∈ Z.
Exemplo 1.3.7. (UFES) Para que valores de a e b o sistema
3x + ay + 4z = 0
x + y + 3z = −5
2x − 3y + z = b
na˜o admite soluc¸a˜o ?
A) a = −2 e b = 2
B) a = −2 e b 6= 5
C) a = 2 e b 6= 5
D) a = −2 e b = 5
D) a = 2 e b 6= 2
Soluc¸a˜o: Seja a matriz B formada pelos coeficientes do sistema. Agora, calculemos
det(B) =
∣∣∣∣∣∣
3 a 4
1 1 3
2 −3 1
∣∣∣∣∣∣ = 5a+ 10.
Resolvendo 5a+ 10 = 0, obtemos a = −2. Substituindo no sistema acima, temos
3x − 2y + 4z = 0
x + y + 3z = −5
2x − 3y + z = b
Fazendo L2 −→ 3L2 − L1 e L3 −→ 3L3 − 2L1, obtemos
3x − 2y + 4z = 0
+ 5y + 5z = −15
− 5y − 5z = 3b
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 14
Finalmente, fazendo L3 −→ L3 + L2, resulta em
3x − 2y + 4z = 0
+ 5y + 5z = −15
0z = 3b− 15
Portanto, o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, quando 3b − 15 6= 0, ou seja b 6= 5. Logo, a
resposta e´ a alternativa B.
Exemplo 1.3.8. Discuta o sistema linear em func¸a˜o do paraˆmetro k ∈ R.{
(k + 5)x + 2y = 3
x − (k + 2)y = 4 (1.3)
Soluc¸a˜o: Vamos obter o determinante da matriz B formada pelos coeficientes do
sistema (1.3). Portanto, resulta
det(B) =
∣∣∣∣ k + 5 21 −k − 2
∣∣∣∣ = −k2 − 7k − 12.
Para esse sistema ter soluc¸a˜o u´nica, basta que det(A) = −k2 − 7k − 12 6= 0. Ou
seja, k 6= −3 e k 6= −4. Ale´m disso, substituindo k = −3, no sistema (1.3), temos{
2x + 2y = 3
x + y = 4
Fazendo, L2 −→ 2L2 − L1, temos{
2x + 2y = 3
0x + 0y = 5
Portanto, o sistema acima e´ imposs´ıvel. Ale´m disso, substuindo k = −4 no sistema
(1.3), temos {
x + 2y = 3
x + 2y = 4
Fazendo, L2 −→ L2 − L1, temos{
x + 2y = 3
0x + 0y = 1
Ou seja, o sistema acima e´ imposs´ıvel.
RESPOSTA:
1) SPD, quando k 6= −3 e k 6= −4.
2) SI, quando k = −3 ou k = −4.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 15
Exemplo 1.3.9. Determine λ ∈ R de modo que o sistema linear tenha somente a
soluc¸a˜o nula. [
1 −5
−4 2
]
·
[
x
y
]
= λ ·
[
x
y
]
Soluc¸a˜o: Desenvolvendo o produto matricial, encontramos o seguinte sistema{
x − 5y = λx
−4x + 2y = λy
De forma equivalente, temos{
(1− λ)x − 5y = 0
−4x + (2− λ)y = 0 (1.4)
Para o sistema homogeˆneo (1.4) ter somente a soluc¸a˜o nula, o determinante da
matriz A formada pelos coeficientes do sistema deve ser diferente de zero. Assim,
det(B) =
∣∣∣∣ (1− λ) −5−4 (2− λ)
∣∣∣∣ = λ2 − 3λ− 18.
Resolvendo det(B) 6= 0, obtemos a resposta λ 6= 6 e λ 6= −3.
Exemplo 1.3.10. Discuta o sistema linear em func¸a˜o do paraˆmetro p ∈ R.{
(log(p− 8))x + 2y = 1
x − y = 0 (1.5)
Soluc¸a˜o: Seja X a matriz formada pelos coeficientes do sistema (1.5), calculando
o determinante, temos
det(X) =
∣∣∣∣ log(p− 8) 21 −1
∣∣∣∣ = −log(p− 8)− 2.
Notamos que o domı´nio da func¸a˜o f(x) = log(p − 8) e´ dado por D(f) = (8,+∞).
Agora, para o sistema (1.5) ter soluc¸a˜o u´nica, devemos ter det(X) 6= 0. Portanto,
resulta que det(X) = −log(p− 8)− 2 6= 0. Ou seja, que p 6= 8, 01. Por outro lado,
substituindo p = 8, 01 no sistema (1.5), resulta{ −2x + 2y = 1
x − y = 0
Fazendo, a operac¸a˜o L2 −→ 2L2 + L1, temos{ −2x + 2y = 1
0x + 0y = 1
Ou seja, o sistema e´ imposs´ıvel.
RESPOSTA:
1) SPD, quando p > 8 e p 6= 8, 01.
2) SI, quando p = 8, 01.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 16
1.4 Exerc´ıcios
1. Obtenha valor da expressa˜o
√
x2 + y2 + 12, em relac¸a˜o ao sistema linear:{
4x − 3y = 6
x + 2y = 7.
2. Resolva o sistema linear:
x − 3y + 2z = −15
x − y − 3z = 11
2x + y − z = 19.
3. Discuta o sistema linear em relac¸a˜o aos paraˆmetros a, b ∈ R.{
2x +y = 1
ax + 4y = b.
4. Discuta o sistema linear abaixo em func¸a˜o dos paraˆmetros m, p ∈ R.{
x − 2y = p
x − my = 7.
5. Seja o sistema linear e o paraˆmetro p ∈ R.{
px + 2y = 4
8x + py = 1
Considere os itens abaixo:
I) O sistema e´ poss´ıvel e determinado, quando p = 4.
II) O sistema tem infinitas soluc¸o˜es, quando p 6= −4.
III) O sistema e´ indeterminado, quando p < 2.
Enta˜o, conclu´ımos que:
A) Somente I e II sa˜o verdadeiras.
B) Somente III e´ verdadeira.
C) Todas sa˜o falsas.
D) Todas sa˜o verdadeiras.
6. Em relac¸a˜o ao sistema abaixo:{
x + 4y = λx
2x − y = λy
onde λ ∈ R. Podemos afirmar que:
A) Para λ 6= 2, o sistema tem infinitas soluc¸o˜es.
B) Para λ = 0, o sistema tem somente a soluc¸a˜o trivial.
C) Para λ = 3, o sistema e´ imposs´ıvel.
D) Para λ 6= −3, o sistema tem duas soluc¸o˜es distintas.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 17
7. (IF Serta˜o - PE) Resolvendo o sistema{
4 ·
(
x+
y
6
)
= 18
2x− y = 13.
o valor encontrado para x2 − y2 sera´:
(A) zero.
(B) −34
(C) −16
(D) 34
(E) 16
8. (UNICAMP - SP) Considere o sistema linear abaixo, no qual a e´ um paraˆmetro
real: 
ax + y + z = 1
x + ay + z = 2
x + y + az = −3
a) Mostre que para a = 1 o sistema e´ imposs´ıvel.
b) Encontre os valores do paraˆmetro a para os quais o sistema tem uma u´nica
soluc¸a˜o.
9. (PUC - RS) O sistema linear
x − y + 3z = 0
4x + 2y − 6z = 0
x − 5y + 15z = 0
a) admite infinitas soluc¸o˜es.
b) admite apenas duas soluc¸o˜es.
c) na˜o admite soluc¸o˜es.
d) admite soluc¸a˜o u´nica.
e) admite apenas a soluc¸a˜o trivial.
10. Mostre que para todo p ∈ R, o sistema abaixo tem soluc¸a˜o u´nica:{
2x + py = 3
(1− p)x + 4y = 2
11. Encontre o valor do paraˆmetro λ > 0 de modo que o sistema linear[
1 2
7 8
]
·
[
x
y
]
= λ ·
[
x
y
]
admita mais de uma soluc¸a˜o.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 18
12. (UFES) Para que o sistema
x + y + z = 6
7x + y − 3z = 10
4x + y − αz = β
seja indeterminado, os valores de α e β sa˜o, respectivamente:
a) 1 e 8
b) −1 e 6
c) 2 e 8
d) 1 e 2
e) 2 e 1
13. (IFPE - 2015) Considere o sistema abaixo:
6x + by + cz = 4
ax + 5y − 7z = 2
6x + y + z = 6
Os valores de a, b e c para que o sistema seja classificado como poss´ıvel e
indeterminado e´:
a) a = 6, b = 5 e c = −7
b) a = 3, b = 10 e c = −14
c) a = 1, b = 1 e c = 1
d) a = 6, b = 1 e c = 1
e) a = 6, b = 10 e c = −7
14. (IFCE) Seja (a, b) a soluc¸a˜o do sistema linear{
2log2x + log2y = 5
log2x + 3log2y = 10
O valor de ab sera´ igual a:
A) 2.
B) 10.
C) 16.
D) 64.
E) 256.
15. Discuta o sistema linear abaixo em relac¸a˜o ao paraˆmetro m ∈ R.{ −x + 3y − 2z = 1
2x − 6y + mz = 0
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 19
16. (ITA - SP - 2016) Se o sistema de equac¸o˜es
x + y + 4z = 2
x + 2y + 7z = 3
3x + y + az = b
e´ imposs´ıvel, enta˜o os valores de a e b sa˜o tais que
A) a = 6 e b 6= 4.
B) a 6= 6 e b 6= 4.
C) a 6= 6 e b = 4.
D) a = 6 e b = 4.
E) a e´ arbitra´rio e b 6= 4.
17. (UFES) Dado o sistema linear
x + y + z = 0
x − y + mz = 2
mx + 2y + z = 1
a) Ele admite soluc¸a˜o u´nica se m 6= 0.
b) Ele admite soluc¸a˜o u´nica se m 6= 1.
c) Existem infinitas soluc¸o˜es para m = 0.
d) Sempre admite soluc¸a˜o qualquer que seja m.
e) Ele admite soluc¸a˜o u´nica se m 6= 0 e m 6= 1.
18. (ITA - SP - 2006) A condic¸a˜o para que as constantes reais a e b tornem
incompat´ıvel o sistema linear
x + y + 3z = 2
x + 2y + 5z = 1
2x + 2y + az = b.
A) a− b 6= 2.
B) a+ b = 10.
C) 4a− 6b = 0.
D) a/b = 3/2.
E) a · b = 24.
19. Discuta o sistema linear nas varia´veis x e y, em relac¸a˜o ao paraˆmetro p ∈ R.{
px − 2y = p− 1
x + (2− 4p)y = p+ 3
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 20
20. (UEMS) Dado o sistema
ax − y + 2z = b
2ax − y + 2z = 1
2x + y + 2z = 3
Para que o sistema seja indeterminado, os valores de a e b devem ser:
a) a 6= 0 e b = 1
b) a = 0 e b = 1
c) a 6= 0 e b 6= 1
d) a = 0 e b 6= 1
e) a = b
21. (UNICAMP - SP) Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear
abaixo 
λx + y + x = λ+ 2
x + λy + x = λ+ 2
x + y + λx = λ+ 2
a) Ache as ra´ızes da equac¸a˜o: detA = 0.
b) Ache a soluc¸a˜o geral desse sistema para λ = −2.
22. Sabe-se que o sistema linear abaixo possui infinitas soluc¸o˜es:
x − y + 3z = a
2x + y − z = b
x + 2y − 4z = c
Enta˜o, a relac¸a˜o entre a, b, c ∈ R e´ igual a:
A) a− 2b− c = 0.
B) a− b+ c = 0.
C) 4a+ b− c = 0.
D) a+ b+ c = 0.
23. Encontre a soluc¸a˜o geral:
a)
{
x + 5y − 2z = 0
x − y − z = 0
b)
{
x − 7y + z = 3
2y − z = −2
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 21
24. Determine a soluc¸a˜o geral:
a)
{
x + y − 2z + 3w = 0
3x − 2y + z − 5w = 0
b)
{
x − 5y + z − 2w = −1
3y − 2z + w = 2
25. (UFSCAR - SP) Sendo m e n nu´meros reais positivos, o sistema linear{
(log2m)x + (log2n)y = 1
x + y = 2
nas varia´veis x e y sera´ poss´ıvel e determinado se e somente se:
a) m 6= 2n
b) m 6= √n
c) m
√
n 6= 1
d) n = 2m
e) m = 2n
26. (Mackenzie - SP) As afirmac¸o˜es abaixo referem-se ao sistema{
x+ ky = 2
kx+ 4y = 2− k, k ∈ R.
I. Existe um u´nico valor de k para o qual o sistema admite mais de uma
soluc¸a˜o.
II. Existe um u´nico valor de k para o qual o sistema na˜o admite soluc¸a˜o.
III. Existe k irracional para o qual o sistema tem soluc¸a˜o u´nica.
Enta˜o:
a) somente III e´ verdadeira.
b) somente II e´ verdadeira.
c) somente I e´ verdadeira.
d) somente I e II sa˜o verdadeiras.
e) somente II e III sa˜o verdadeiras.
27. Seja a matriz A formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo:{
x − 5y = 10
−2x + 4y = −8
a) Ache as ra´ızes de det(A− λI) = 0, onde I e´ a identidade de ordem 2.
b) Determine todas as soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo, quando λ = 6.{
(1− λ)x − 5y = 0
−2x + (4− λ)y = 0
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 22
c) Encontre todas as soluc¸o˜es do sistema linear, quando λ = 4.{
(1 + λ)x − 5y = 10
−2x + (4 + λ)y = −8
28. (FGV - SP) Sendo k um nu´mero real, o sistema linear{
9x − 6y = 21
6x − 4y = k
possui infinitas soluc¸o˜es (x, y) para k igual a:
a) −10, 5
b) 0
c) 7
d) 10, 5
e) 14
29. (ITA - SP) O sistema linear

bx+ y = 1
by + z = 1
x+ bz = 1
, na˜o admite soluc¸a˜o se somente
o nu´mero real b for igual a:
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) −2
30. Discuta o sistema em func¸a˜o do paraˆmetro β ∈ R.{
(sen(2β))x + 4y = 1
(cos(β))x + y = 4
31. Ache o valor do paraˆmetro α ∈ R, de modo que o sistema tenha soluc¸a˜o u´nica.{
x − 3y = 2
x − (log(α)) = 4
32. Seja o sistema linear abaixo:
x + y + z = 7
x − 2y + z = 1
4x + y − z = 2
Enta˜o, o valor de x2 + y2 + z2 e´ igual a:
A) 17 B) 21 C) 32 D) 44
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 23
33. Encontre α ∈
]
3pi
2
, 2pi
[
de modo que o sistema abaixo seja imposs´ıvel.{
(sen(α))x + 3y = 2
x + 4(sen(α))y = 1
34. Ache λ ∈ R de modo que o sistema linear tenha soluc¸a˜o diferente da trivial:[
1 λ
2 1
]
·
[
x
y
]
= λ ·
[
x
y
]
35. Sabe-se que o sistema linear abaixo e´ poss´ıvel e determinado:{
x + y = 1
x + (cos(α))y = 2sen(β)
Enta˜o, podemos afirmar que:
A) α 6= 2kpi e β 6= pi
6
+ 2kpi, com k ∈ Z.
B) α = 2kpi e β =
pi
6
+ 2kpi, com k ∈ Z.
C) α 6= kpi e β 6= pi
3
+ 2kpi, com k ∈ Z.
D) α = kpi e β =
pi
3
+ 2kpi, com k ∈ Z.
36. Sabendo que sistema linear possui uma u´nica soluc¸a˜o:
2x + y + z = 6
x + py + 3z = 5
px + y + z = 4
Enta˜o, sobre o paraˆmetro p podemos afirmar que:
A) p = 2 e p = 3
B) p 6= 2 e p 6= 3
C) p = 4 e p = 3
D) p = 2 e p 6= 5
37. Discuta o sistema linear em func¸a˜o do paraˆmetro p ∈ R.
x + 7y = 8
4x + y = 5
x + py = 7
38. Encontre β ∈ R de modo que o sistema linear tenha soluc¸a˜o u´nica:{
4(sen(β))x + y = 8
x + (cos(β))y = 9
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 24
39. Seja o sistema homogeˆneo e o paraˆmetro α ∈ R, abaixo:
x + 3y + z = 0
x + (cos(α))y +z = 0
x + y + (cos(α))z = 0
Esse sistema possui infinitas soluc¸o˜es, quando:
A) α 6= kpi, com k ∈ Z.
B) α = kpi, com k ∈ Z.
C) α 6= pi
2
+ kpi, com k ∈ Z.
D) α = 2kpi, com k ∈ Z.
40. Seja o sistema linear e os paraˆmetros p, q ∈ R.{
(log(p− 5))x + 2y = 1
4x + 2y = log(q + 3)
Esse sistema possui infinitas soluc¸o˜es. Enta˜o, podemos afirmar que:
A) p = 105 e q 6= 97.
B) p = 97 e q = 105.
C) p 6= 97 e q 6= 105.
D) p = 105 e q = 97.
41. Em relac¸a˜o ao sistema na˜o linear abaixo
(
2
x
)2
+
(
6
y
)2
= 5(
4
x
)2
−
(
3
y
)2
= 3
Podemos afirmar que x2 + y2 e´ igual a:
A) 4 B) 9 C) 13 D) 28
42. (FUVEST - SP - 2015) No sistema linear
ax− y = 1
y + z = 1
x+ z = m
nas varia´veis x, y e z, a e m sa˜o constantes reais. E´ correto afirmar:
a) No caso em que a = 1, o sistema tem soluc¸a˜o se, e somente se, m = 2.
b) O sistema tem soluc¸a˜o, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
c) No caso em que m = 2, o sistema tem soluc¸a˜o para qualquer valor de a.
d) O sistema so´ tem soluc¸a˜o se a = m = 1.
e) O sistema na˜o tem soluc¸a˜o, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 25
43. (FUVEST - SP) Considere o sistema:{
x − my = 1−m
(1 +m)x + y = 1
a) Prove que o sistema admite soluc¸a˜o u´nica para cada nu´mero real m.
b) Determine m de modo que o valor de x seja o maior poss´ıvel.
44. (UNICAMP - SP - 2016) Considere o sistema linear nas varia´veis x, y, z e w.
x− y = 1
y + z = 2
w − z = 3
Logo, a soma x+ y + z + w e´ igual a:
a) −2 b) 0 c) 6 d) 8
45. (UNICAMP - SP - 2015) Considere o sistema linear nas varia´veis x, y e z{
x + 2y + 3z = 20
7x + 8y − mz = 26
onde m e´ um nu´mero real. Sejam a < b < c nu´meros inteiros consecutivos tais
que (x, y, z) = (a, b, c) e´ uma soluc¸a˜o desse sistema. O valor de m e´ igual a:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
46. (IFES) Sejam α, β e θ ∈
[
0,
pi
2
]
. Determine α + β + θ, sabendo que:
4senα + 2cosβ − tgθ = 2
senα − cosβ + tgθ = 1
senα + cosβ − tgθ = 0
a)
3pi
4
b) pi
c)
5pi
4
d) 2pi
e)
11pi
4
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 26
47. (UFCSPA - RS - 2009) O sistema linear{
x − 2y = 4
4x + ay = 4
e´ poss´ıvel e determinado SE E SOMENTE SE:
a) a = −2
b) a 6= 2
c) a < 0
d) a 6= 0
e) a 6= −8
48. (UFCSPA - RS - 2007) O sistema linear em x, y e z
−x + 5y + 6z = 1
2x − 3y − z = a
x + 2y + bz = 7
e´ imposs´ıvel, se as constantes reais a e b forem:
A) a = −6 e b 6= 5.
B) a 6= −6 e b = −5.
C) a 6= 6 e b = −5.
D) a 6= 6 e b = 5.
E) a = 6 e b 6= 4.
49. (UEPB - 2012) No sistema linear

x+mz = 1
2x− y + z = n
y − z = 2
, temos as equac¸o˜es de
treˆs planos paralelos distintos no espac¸o R3, enta˜o:
a) m = 0 e n = 0.
b) m = 1 e n 6= 0.
c) m = 0 e n 6= 0.
d) m = −1 e n 6= 0.
e) m = 2 e n 6= 0.
50. (IME - RJ) Determinar o valor de a para que o sistema abaixo seja indeter-
minado 
x + 3y + 2z = 0
2x + 5y + az = 0
3x + 7y + z = 0
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 27
51. Considere o paraˆmetro p ∈ R e o sistema linear nas varia´veis x e y{
px + y = 1
9x + py = p
Dizemos que esse sistema possui infinitas soluc¸o˜es quando:
A) p = 2
B) p = 3
C) p = 4
D) p = 5
52. (IME - RJ - 2013) Considere o sistema de equac¸o˜es
{
ax + by = c
px + qy = d
,
com a, b, c, d, p e q reais, abcd 6= 0, a+ b = m e d = nc. Sabe-se que o sistema
e´ indeterminado. O valor p+ q e´:
a) m
b)
m
n
c) m2 − n2
d) m · n
e) m+ n
53. (IME - RJ - 2011) Considere o sistema de equac¸o˜es lineares representado
abaixo: 
1 3 0 2 1 0
0 2 0 3 0 0
1 5 0 0 0 0
3 1 2 0 0 0
4 0 0 0 0 0
2 0 0 1 0 2
×

a
b
c
d
e
f
 =

13
11
7
9
8
13

Os valores de a e d sa˜o, respectivamente:
a) 1 e 2
b) 2 e 3
c) 3 e 2
d) 2 e 2
e) 3 e 1
54. (IME - RJ - 2009) Seja o sistema de equac¸o˜es lineares dadas por:
6Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 = 10
Y1 + 6Y2 + Y3 + Y4 + Y5 = 20
Y1 + Y2 + 6Y3 + Y4 + Y5 = 40
Y1 + Y2 + Y3 + 6Y4 + Y5 = 80
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + 6Y5 = 160
O valor de 7Y1 + 3Y3 e´:
a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 28
55. (IME - RJ - 2007) Considere o sistema de equac¸o˜es lineares dado por:
x + y + 2z = b1
2x − y + 3z = b2
5x − y + az = b3
Sendo b1, b2 e b3 valores reais quaisquer, a condic¸a˜o para que o sistema possua
soluc¸a˜o u´nica e´:
a) a = 0
b) a 6= 2
c) a 6= 8
d) a 6= b1 + b2 − b3
e) a = 2b1 − b2 + 3b3
56. (ITA - SP - 2008) Considere o sistema Ax = b, em que
A =
 1 −2 32 k 6
−1 3 k − 3
 , b =
 16
0
 e k ∈ R.
Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema imposs´ıvel
e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema poss´ıvel e
indeterminado, enta˜o o valor de T − S e´:
a) −4 b) −3 c) 0 d) 1 e) 4
57. Seja o paraˆmetro p ∈ R e o sistema linear Ax = b, onde
A =
 2 1 11 p 2
p 1 1
 e b =
 27
p
 .
Enta˜o, o valor de p de modo que o sistema seja indeterminado e´:
a) 1
b) 2
c) 6
d) 8
58. (ITA - SP) Determinar os valores de m e k, de modo que seja poss´ıvel e
indeterminado o sistema
x + 2y − mz = −1
3x − y + z = 4
−2x + 4y − 2z = k
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 29
59. (Mackenzie - SP - 2013) O valor de y na u´nica soluc¸a˜o do sistema linear
xsenθ + z = 0
xsen(−θ) + ycos(−θ) + z = 0
xsen(−θ) + ycosθ − z = senθ
em que sen(2θ) 6= 0, e´:
a) tg(2θ)
b) tgθ
c) cosθ
d) sen(2θ)
e) sen(−θ)
60. (UNESP - SP) Considere a equac¸a˜o matricial A + BX = X + 2C, cuja
inco´gnita e´ a matriz X e todas as matrizes sa˜o quadradas de ordem n. A
condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que esta equac¸a˜o tenha soluc¸a˜o u´nica e´
que:
(A) B − I 6= O, onde I e´ a matriz identidade de ordem n e O e´ a matriz nula
de ordem n.
(B) B seja invert´ıvel.
(C) B 6= O, onde O e´ a matriz nula de ordem n.
(D) B − I seja invert´ıvel, onde I e´ a matriz identidade de ordem n.
(E) A e C sejam invert´ıveis.
61. Sejam as matrizes A, B e H invert´ıveis de ordem n. Enta˜o, a soluc¸a˜o da
equac¸a˜o A ·X ·H = B e´ representada por:
a) X = B · A ·H
b) X = A−1 ·B ·H−1
c) X = B · A−1 ·H
d) X = B · A−1 ·H
62. Seja o sistema nas varia´veis x e y. Sabe-se que esse sistema e´ imposs´ıvel:{
kx + y = 1
5x + y = k
Enta˜o, sobre k e´ correto afirmar que:
A) k < 2
B) k = 3
C) k = 5
D) k > 6
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 30
63. (ITA - SP) Qual e´ a relac¸a˜o que a, b e c devem satisfazer tal que o sistema
abaixo tenha pelo menos uma soluc¸a˜o ?
x + 2y − 3z = a
2x + 6y − 11z = b
x + 2y + 7z = c
a) 5a = 2b− c
b) 5a = 2b+ c
c) 5a 6= 2b+ c
d) na˜o existe relac¸a˜o entre a, b e c.
e) nenhuma das respostas anteriores.
64. Dado o sistema linear varia´veis x, y e z, abaixo:
3(x− 2) + 2(x+ z) = 0
4(x+ y) − 3(y − z) = 0
5(x+ z) + 4(y + 1) = 0
O valor da expressa˜o 4y + 3z e´ igual a:
A) −6
B) 12
C) −10
D) 17
65. Qual e´ a relac¸a˜o entre as constantes a, b e c de modo que o sistema linear a
seguir tenha soluc¸a˜o u´nica ?
ax − y + z = 1
x + by − z = 0
x − y + cz = 2
a) abc 6= a+ b− c
b) abc = a− 2b+ c
c) bc 6= a+ b+ c
d) bc = 5a− b+ c
66. Discuta o sistema linear a seguir, segundo os paraˆmetros a, b ∈ R.{
x + 2y = b
−2x − 4y = a
67. Discuta o sistema linear abaixo, em relac¸a˜o ao paraˆmetro p ∈ R.{
px + 2py = 1
2x − py = 0
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 31
68. (NUCEPE - 2015) O sistema linear

−x + y − mz = 1
2 − y + z = 3
3x − 2y + 3mz = n
e´ poss´ıvel
e indeterminado se:
a) m =6= 2 e n = 2.
b) m 6= 1
2
e n = 2.
c) m = 2 e n = 2.
d) m =
1
2
e n = 2.
e) m =
1
2
e n 6= 2.
69. (NUCEPE - 2014) Qual o valor de m para que o sistema
mx + 2y = −z
−y + 3z = 2mx
2x − 2z = 3y
admita soluc¸o˜es pro´prias ?
a) m 6= −14
9
b) m = −14
9
c) m 6= 14
9
d) m =
149
e) m = 0
70. Sabendo que o sistema linear abaixo admite soluc¸a˜o diferente da trivial.{
x + 3y = ky
2x + 4y = kx
Determine o valor de k.
71. Discuta o sistema nas varia´veis x, y e z, em relac¸a˜o aos paraˆmetros p, q ∈ R.
x − y + 2z = 0
px + 2y + z = 5
x + y − z = q
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 32
72. (UECE) Se x, y e z constitui a soluc¸a˜o do sistema linear
x + y + z = 1
x + 2y + 3z = −2
x + 4y + 5z = −4
enta˜o o produto x · y · z e´ igual a
A) −4.
B) −8.
C) −2.
D) −6.
73. Seja o sistema de equac¸o˜es lineares nas varia´veis x, y e z:
W :

x + y + λz = 1
x + 2y + z = 2
λx + 2y + 3z = 3.
Considere as seguintes afirmativas:
I) W e´ poss´ıvel e indeterminado, quando λ 6= 1 e λ 6= −4.
II) W e´ imposs´ıvel, quando λ 6= 5.
III) W e´ poss´ıvel e determinado, quando λ 6= −3.
Enta˜o, podemos afirmar que:
A) Somente I e II sa˜o verdadeiras.
B) Todas sa˜o verdadeiras
C) Somente II e´ falsa.
D) Todas sa˜o falsas.
74. (FURG - RS) O sistema
{
3x + 2y = 7
6x + ay = b
e´ indeterminado quando:
A) a = 4 e b 6= 14
B) a = 4 e b = 14
C) a = 14 e b = 4
D) a 6= 4 e b = 14
E) a 6= 14 e b = 4
75. (FURG - RS - 2001) O sistema

2x + ky + z = 0
x + y + kz = 0
x + ky + z = 0
e´:
A) determinado para k = 1.
B) determinado para todo k ∈ R.
C) imposs´ıvel para k = −1.
D) indeterminado k 6= 1.
E) indeterminado para k = −1.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 33
76. (FURG - RS - 2003) Dado o sistema

2x + 3y = −1
x + 2z = −3
−z + 4y = −2
Sendo x, y, z a soluc¸a˜o do sistema acima, enta˜o, 2x+ 7y − z e´ igual a
A) −7.
B) 1.
C) −3.
D) 3.
E) 7.
77. Sabendo que o sistema linear abaixo e´ poss´ıvel e indeterminado:{ −2x + py = −2
x − 3y = log(m)
Enta˜o, sobre os paraˆmetros p,m ∈ R podemos afirmar:
A) p = 6 e m = 10.
B) p 6= 6 e m 6= 10.
C) p = 5 e m 6= 25.
D) p 6= 5 e m = 30.
78. O sistema linear
{ −2x + 5y = 0
x − my = 3x possui somente a soluc¸a˜o trivial.
Enta˜o:
A) m 6= −4.
B) m 6= −5.
C) m = −4.
D) m = −5.
79. Qual a condic¸a˜o sobre o paraˆmetro k para que o sistema linear nas varia´veis
x, y e z, tenha soluc¸a˜o u´nica ?
x + y = 1
y − kz = x
kx + z = −2
A) k 6= √3 e k 6= −√3
B) k 6= 3 e k 6= −3
C) k 6= √2 e k 6= −√2
D) k 6= 2 e k 6= −2
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 34
80. (CESGRANRIO) Para que o sistema linear
x + 2y − 5z = −7
−2x + y − 2z = 8
−x + 3y − 7z = A
seja poss´ıvel e indeterminado, devemos ter A igual a
(A) −56
(B) −15
(C) −1
(D) 1
(E) 23
81. (CESGRANRIO) Se o sistema linear
{
3x − 6y = a
−x + by = 1 possui infinitas
soluc¸o˜es reais, o produto ab e´ igual a
(A) −6 (B) −1 (C) −1
6
(D)
1
6
(E) 6
82. (FCC - 2005) O sistema de equac¸o˜es
−x − y + z = 0
5x + 4y − 2z = 1
2x + y + z = 1
e´:
(A) incompat´ıvel.
(B) determinado e seu conjunto-soluc¸a˜o e´
{(
2
3
, 1, 0
)}
.
(C) determinado e seu conjunto-soluc¸a˜o e´ {(4, 2, 1)}.
(D) indeterminado e seu conjunto-soluc¸a˜o e´ {(x, x, x), x ∈ R}.
(E) indeterminado e seu conjunto-soluc¸a˜o e´ {(1− 2z, 3z − 1, z), z ∈ R}.
83. Em relac¸a˜o ao seguinte sistema nas varia´veis x e y{
log3(x) + log3(y) = 3
log3(x) + log 1
9
(y) = 0.
Podemos afirmar que x2 + y2 e´ igual:
a) 35
b) 44
c) 50
d) 75
e) 90
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 35
84. (URCA - CE - 2012) O conjunto soluc¸a˜o do sistema{
3log3(x+y) − 5log 15 (x−y) = 0
log2x
2 − log2y2 = 2.
e´:
a) S =
{(
±2
√
3
3
,±
√
3
3
)}
b) S =
{(
2
√
3
3
,
√
3
3
)}
c) S =
{(
−2
√
3
3
,
√
3
3
)}
d) S =
{(
2
√
3
3
,−
√
3
3
)}
e) S =
{(
−2
√
3
3
,−
√
3
3
)}
85. (UFRGS) A soma dos valores de k que tornam o sistema
x + y + z = 0
kx + 3y + 4z = 0
x + ky + 3z = 0
indeterminado e´:
a) −7
b) −2
c) 2
d) 7
e) 10
86. (UNIMONTES) Dado o sistema linear
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 2
3x + 3y + 3z = −1
podemos afirmar que:
a) o sistema e´ incompat´ıvel
b) o sistema e´ compat´ıvel e indeterminado
c) o sistema e´ compat´ıvel e determinado
d) nada se pode concluir sobre o comportamento das soluc¸o˜es desse sistema.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 36
87. (PUC - MG) O valor de a que torna imposs´ıvel o sistema{
x + ay = 1
x + 2y = a
e´:
a) −2
b) −1
c) 0
d) 1
e) 2
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 37
1.5 Respostas
1. QUESTA˜O:
5
2. QUESTA˜O:
x = 2, y = 3 e z = −4
3. QUESTA˜O:
1) SPD, quando a 6= 8 e ∀ b ∈ R.
2) SPI, quando a = 8 e b = 4.
3) SI, quando a = 8 e b 6= 4.
4. QUESTA˜O:
1) SPD, quando m 6= 2 e ∀ p ∈ R.
2) SPI, quando m = 2 e p = 7.
3) SI, quando m = 2 e p 6= 7.
5. QUESTA˜O:
Alternativa C
6. QUESTA˜O:
Alternativa B
7. QUESTA˜O:
Alternativa E
8. QUESTA˜O:
a) demonstrac¸a˜o.
b) a 6= 1 e a 6= −2.
9. QUESTA˜O:
Alternativa A
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 38
10. QUESTA˜O:
demonstrac¸a˜o
11. QUESTA˜O:
λ =
9 +
√
105
2
.
12. QUESTA˜O:
Alternativa A
13. QUESTA˜O:
Alternativa B
14. QUESTA˜O:
Alternativa E
15. QUESTA˜O:
1) SPI, quando m 6= 4.
2) SI, quando m = 4.
16. QUESTA˜O:
Alternativa A
17. QUESTA˜O:
Alternativa E
18. QUESTA˜O:
Alternativa A
19. QUESTA˜O:
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 39
1) SPD, quando p 6= 1 e p 6= −1
2
.
2) SI, quando p = 1 ou p =6= −1
2
.
20. QUESTA˜O:
Alternativa B
21. QUESTA˜O:
a) λ = 1 (dupla) e λ = −2.
b) S = {(a, a, a), a ∈ R}
22. QUESTA˜O:
Alternativa B
23. QUESTA˜O:
a)
{(
7β
6
,
β
6
, β
)
, β ∈ R
}
b)
{(
5β − 8
2
,
β − 2
2
, β
)
, β ∈ R
}
24. QUESTA˜O:
a)
{(
3α− β
5
,
7α− 14β
5
, α, β
)
, α, β ∈ R
}
b)
{(
7α + β + 7
3
,
2α− β + 2
3
, α, β
)
, α, β ∈ R
}
25. QUESTA˜O:
Alternativa B
26. QUESTA˜O:
Alternativa A
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 40
27. QUESTA˜O:
a) λ = 6 ou λ = −1.
b) S = {(−k, k), k ∈ R}.
c) S = {(1,−1)}.
28. QUESTA˜O:
Alternativa E
29. QUESTA˜O:
Alternativa A
30. QUESTA˜O:
i) SPD, quando β 6= pi
2
+ kpi, onde k ∈ Z.
ii) SI, quando β =
pi
2
+ kpi, onde k ∈ Z.
31. QUESTA˜O:
α > 0 e α 6= 1000.
32. QUESTA˜O:
Alternativa B
33. QUESTA˜O:
α =
5pi
3
.
34. QUESTA˜O:
λ = 2±√3
35. QUESTA˜O:
Alternativa A
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 41
36. QUESTA˜O:
Alternativa B
37. QUESTA˜O:
i) SPD, quando p = 6.
ii) SI, quando p 6= 6.
38. QUESTA˜O:
β 6= pi
12
+ kpi, com k ∈ Z.
39. QUESTA˜O:
Alternativa D
40. QUESTA˜O:
Alternativa D
41. QUESTA˜O:
Alternativa C
42. QUESTA˜O:
Alternativa A
43. QUESTA˜O:
a) demonstrac¸a˜o.
b) m = −1
2
44. QUESTA˜O:
Alternativa D
45. QUESTA˜O:
Alternativa A
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 42
46. QUESTA˜O:
Alternativa A
47. QUESTA˜O:
Alternativa E
48. QUESTA˜O:
Alternativa D
49. QUESTA˜O:
Alternativa C
50. QUESTA˜O:
a =
3
2
51. QUESTA˜O:
Alternativa B
52. QUESTA˜O:
Alternativa D
53. QUESTA˜O:
Alternativa B
54. QUESTA˜O:
Alternativa D
55. QUESTA˜O:
Alternativa C
56. QUESTA˜O:
Alternativa A
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 43
57. QUESTA˜O:
Alternativa B
58. QUESTA˜O:
m =
3
5
e k = −6
59. QUESTA˜O:
Alternativa B
60. QUESTA˜O:
Alternativa D
61. QUESTA˜O:
Alternativa B
62. QUESTA˜O:
Alternativa C
63. QUESTA˜O:
Alternativa D
64. QUESTA˜O:
Alternativa C
65. QUESTA˜O:
Alternativa A
66. QUESTA˜O:
1)SPI, quando a = −2b.
2) SI, quando a 6= −2b.
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 44
67. QUESTA˜O:
1)SPD, quando p 6= 0 e p 6= −4.
2) SI, quando p = 0 ou p = −4.
68. QUESTA˜O:
Alternativa D
69. QUESTA˜O:
Alternativa B
70. QUESTA˜O:
k =
5±√17
2
71. QUESTA˜O:
1)SPD,quando p 6= 8 e ∀q ∈ R.
2) SPI, quando p = 8 e q = 1.
3) SI, quando p = 8 e q 6= 1.
72. QUESTA˜O:
Alternativa A
73. QUESTA˜O:
Alternativa D
74. QUESTA˜O:
Alternativa B
75. QUESTA˜O:
Alternativa E
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 45
76. QUESTA˜O:
Alternativa C
77. QUESTA˜O:
Alternativa A
78. QUESTA˜O:
Alternativa B
79. QUESTA˜O:
Alternativa C
80. QUESTA˜O:
Alternativa D
81. QUESTA˜O:
Alternativa A
82. QUESTA˜O:
Alternativa E
83. QUESTA˜O:
Alternativa E
84. QUESTA˜O:
Alternativa B
85. QUESTA˜O:
Alternativa D
86. QUESTA˜O:
Alternativa A
CAPI´TULO 1. SISTEMAS LINEARES 46
87. QUESTA˜O:
Alternativa E
Cap´ıtulo 2
Aplicac¸o˜es na Qu´ımica
Em qu´ımica estuda-se va´rias reac¸o˜es qu´ımicas. Nessa sec¸a˜o vamos usar sistemas
lineares para fazer o balanceamento de algumas reac¸o˜es.
Exemplo 2.0.1. Fac¸a o balanceamento da equac¸a˜o qu´ımica:
CaO + P2O5 −→ Ca3(PO4)2
Soluc¸a˜o: Nesse balanceamento, devemos observar a conservac¸a˜o da quantidade de
a´tomos de ca´lcio, oxigeˆnio e fo´sforo nos dois lados da equac¸a˜o qu´ımica. Ale´m disso,
fazendo xCa O + yP2O5 −→ zCa3(PO4)2. Relacionando as constantes x, y e z,
temos:
Reagentes = Produtos
calcio (Ca) : x.1 = z.3
oxigenio (O) : x.1 + y.5 = z.4.2
fosforo (P ) : y.2 = z.1.2
Dessa forma, encontramos o sistema de equac¸o˜es lineares abaixo
x − 3z = 0
x + 5y − 8z = 0
2y − 2z = 0.
Fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − L1, temos
x − 3z = 0
5y − 5z = 0
2y − 2z = 0.
Finalmente, com a operac¸a˜o L3 −→ 5L3 − 2L2, resulta em
x − 3z = 0
5y − 5z = 0
0y + 0z = 0.
47
CAPI´TULO 2. APLICAC¸O˜ES NA QUI´MICA 48
Equivalentemente, temos {
x − 3z = 0
5y − 5z = 0
Assim, z e´ uma varia´vel livre, e podemos fazer z = α ∈ R. Portanto, segue que
x = 3α e y = α.
Logo, a soluc¸a˜o geral e´ (x, y, z) = (3α, α, α), com α ∈ R. Fazendo, α = 1, temos
uma soluc¸a˜o particular dada por (3, 1, 1). Portanto, a resposta desejada e´
3CaO + P2O5 −→ Ca3(PO4)2
Exemplo 2.0.2. Fac¸a o balanceamento da reac¸a˜o qu´ımica:
C2H6O +O2 −→ CO2 +H2O
Soluc¸a˜o: No balanceamento dessa reac¸a˜o, devemos observar a conservac¸a˜o da quan-
tidade de a´tomos de oxigeˆnio, carbono e hidrogeˆnio nos dois lados da equac¸a˜o
qu´ımica. Ale´m disso, fazendo xC2H6O + yO2 −→ zCO2 + wH2O. Relacionando
as constantes x, y, z e w, temos a seguinte configurac¸a˜o
Reagentes = Produtos
oxigenio (O) : x+ 2y = 2z + w
carbono (C) : 2x = z
hidrogenio (H) : 6x = 2w
Assim, obtemos o seguinte sistema linear
x + 2y − 2z − w = 0
2x − z = 0
6x − 2w = 0.
Fazendo as operac¸o˜es L2 −→ L2 − 2L1 e L3 −→ L3 − 6L1, obtemos
x + 2y − 2z − w = 0
− 4y + 3z + 2w = 0
− 12y + 12z + 4w = 0.
Finalmente, fazendo L3 −→ L3 − 3L2, resulta em
x + 2y − 2z − w = 0
− 4y + 3z + 2w = 0
+ 3z − 2w = 0.
CAPI´TULO 2. APLICAC¸O˜ES NA QUI´MICA 49
Assim, w e´ uma varia´vel livre, e podemos fazer w = α ∈ R. Portanto, segue que
3z − 2w = 0 =⇒ 3z = 2α =⇒ z = 2α
3
−4y + 3z + 2w = 0 =⇒ 4y = 3
(
2α
3
)
+ 2α =⇒ y = α
x+ 2y − 2z − w = 0 =⇒ x = −2α + 2
(
2α
3
)
+ α =⇒ x = α
3
Logo, a soluc¸a˜o geral do sistema e´{(
α
3
, α,
2α
3
, α
)
, com α ∈ R
}
Ale´m disso, fazendo α = 3, obtemos uma soluc¸a˜o particular (1, 3, 2, 3). Portanto,
1C2H6O + 3O2 −→ 2CO2 + 3H2O
Exemplo 2.0.3. Fac¸a o balanceamento da reac¸a˜o qu´ımica:
P +O2 −→ P5O5
Soluc¸a˜o: No balanceamento dessa reac¸a˜o, devemos observar a conservac¸a˜o da quan-
tidade de a´tomos de oxigeˆnio e fosforo nos dois lados da equac¸a˜o qu´ımica. Ale´m
disso, fazendo xP + yO2 −→ zP5O5. Relacionando as constantes x, y e z, obtemos
Reagentes = Produtos
oxigenio (O) : x = 5z
fosforo (C) : 2y = 5z
Assim, obtemos o seguinte sistema linear{
x − 5z = 0
2y − 5z = 0.
Logo, z e´ uma varia´vel livre. Logo, podemos fazer z = β ∈ R. Ou seja,
x− 5z = 0 =⇒ x = 5β e 2y − 5z = 0 =⇒ y = 5β
2
Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´{(
5β,
5β
2
, β
)
, com β ∈ R
}
Ale´m disso, fazendo β = 2, obtemos uma soluc¸a˜o particular (10, 5, 2). Portanto,
10P + 5O2 −→ 2P5O5
CAPI´TULO 2. APLICAC¸O˜ES NA QUI´MICA 50
2.1 Exerc´ıcios
1. Fac¸a o balanceamento das equac¸o˜es qu´ımicas:
a) C12H22O11 −→ C +H2O
b) Al +O2 −→ Al2O3
c) Al2(CO3)3 −→ Al2O3 + CO2
d) H3PO3 +NaOH −→ Na3PO4 +H2O
CAPI´TULO 2. APLICAC¸O˜ES NA QUI´MICA 51
2.2 Respostas
1. QUESTA˜O:
a) 1C12H22O11 −→ 12C + 11H2O
b) 4Al + 3O2 −→ 2Al2O3
c) 1Al2(CO3)3 −→ 1Al2O3 + 3CO2
d) 1H3PO3 + 3NaOH −→ 1Na3PO4 + 3H2O
Cap´ıtulo 3
Aplicac¸o˜es na F´ısica
3.1 Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o 3.1.1. No´ e´ ponto do circuito onde a corrente ele´trica e´ dividida em treˆs
ou mais vezes.
Definic¸a˜o 3.1.2. Ramo e´ uma parte do circuito compreendido entre dois no´s con-
secutivos.
Definic¸a˜o 3.1.3. Malha e´ uma parte do circuito que forma uma trajeto´ria eletri-
camente fechada.
Figura 3.1: circuito com treˆs ramos
Observac¸a˜o 3.1.1. No circuto acima destacamos a presenc¸a de dois no´s (B e F); treˆs
ramos (FEAB, FDB e FGCB) e finalmente de treˆs malhas (FEABDF,GFDBCG e
ABCGFEA).
52
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES NA FI´SICA 53
3.2 Leis de Kirchhoff
Definic¸a˜o 3.2.1. (Primeira Lei de Kirchhoff ) A soma das intensidades das
correntes que chegam em um no´ e´ igual a soma das das intensidades das correntes
que saem.
Definic¸a˜o 3.2.2. (Segunda Lei de Kirchhoff ) Ao se percorrer uma malha, num
sentido arbitra´rio, ate´ se retornar ao ponto de partida, a soma algebrica das ddps e´
igual a zero.
Figura 3.2: circuito com treˆs correntes
Observac¸a˜o 3.2.1. Usando a primeira Lei de Kirchhoff ao no´ B do circuito 3.2, temos:
I1 + I2 = I3.
Aplicando a segunda Lei de Kirchhoff na malha FEABDF do circuito 3.2, vem:
E1 +R1 · I1 + E2 −R2 · I2 +R4 · I1 = 0.
De modo semelhante, na malha GFDBCG do circuito, temos a relac¸a˜o
E4 +R2 · I2 − E2 − E3 +R3 · I3 = 0.
Portanto, para obter as correntes I1, I2 e I3. Basta resolver o sistema linear
I1 + I2 − I3 = 0
E1 +R1 · I1 + E2 −R2 · I2 +R4 · I1 = 0
E4 +R2 · I2 − E2 − E3 +R3 · I3 = 0.
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES NA FI´SICA 54
Exemplo 3.2.1. No circuito abaixo, existem treˆs correntes (I1, I2 e I3). Encontre
o valor de cada uma delas:
Figura 3.3:
Soluc¸a˜o: Inicialmente, aplicando em A a primeira Lei de Kirchhoff, temos a relac¸a˜o
I1 + I3 = I2
Ale´m disso, aplicando a segunda Lei de Kirchhoff, nas malhas DCA e ACB, obtemos
respectivamente, as relac¸o˜es
4I1 + 2I2 = −24 e 4I1 − 3I3 = 6.
Portanto, encontramos o sistema
I1 − I2 + I3 = 0
4I1 + 2I2 = −24
4I1 − 3I3 = 6.
Fazendo as operac¸o˜es L2 −→ L2 − 4L1 e L3 −→ L3 − 4L1, temos
I1 − I2 + I3 = 0
6I2 − 4I3 = −24
4I2 − 7I3 = 6.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L3 −→ 3L3 − 2L2, encontramos
I1 − I2 + I3 = 0
6I2 − 4I3 = −24
− 13I3 = 66.
Resolvendo, obtemos I1 = −30
13
A, I2 = −96
13
A e I3 = −66
13
A. Ou seja, encontramos
treˆs correntes negativas, isso significa que o sentido adotado no circuito deve ser
invertido. Portanto, o sentido correto de I1 e I3 e´ de baixo para cima; e o sentido
de correto de I2 e´ da direita para a esquerda.
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES NA FI´SICA 55
Exemplo 3.2.2. Determine as correntes no circuito abaixo:
Figura 3.4:
Soluc¸a˜o: Primeiramente, devemos adotar um sentido qualquer para as correntes
a, b e c. Nesse caso, temos a seguinte configurac¸a˜o:
Figura 3.5:
Agora, aplicando em X a primeira Lei de Kirchhoff, temos a relac¸a˜o
a− b+ c = 0.
Ale´m disso, aplicando a segunda Lei de Kirchhoff, nas malhas ZY X e XYK, obte-
mos respectivamente, as relac¸o˜es
7a+ 4b+ 6 = 0 e 4b+ 3c+ 2 = 0.
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES NA FI´SICA 56
Assim, obtemos o sistema
a − b + c = 0
7a + 4b = −6
4b + 3c = −2.
Fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − 7L1, temosa − b + c = 0
11b − 7c = −6
4b + 3c = −2.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L3 −→ 11L3 − 4L2, encontramos
a − b + c = 0
11b − 7c = −6
61c = 2.
Resolvendo, obtemos a = −34
61
A, b = −32
61
A e c =
2
61
A. Ou seja, encontramos
duas correntes negativas, isso significa que o sentido adotado no circuito deve ser
invertido. Portanto, o sentido correto de a e´ da direita para a esquerda; e o sentido
correto de b e´ de cima para baixo.
Exemplo 3.2.3. Encontre as correntes a, b e c, no circuito abaixo:
Figura 3.6:
RESPOSTA: a = − 9
55
A, b =
3
11
A e c =
24
55
A.
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES NA FI´SICA 57
3.3 Exerc´ıcios
1. Calcule o valor das correntes:
Figura 3.7:
2. Determine o valor de cada corrente:
Figura 3.8:
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES NA FI´SICA 58
3.4 Respostas
1. QUESTA˜O:
a =
82
75
A, b =
44
75
A e c =
42
25
A.
2. QUESTA˜O:
a =
72
31
A, b =
14
31
A e c = −58
31
A.
Cap´ıtulo 4
Problemas
4.1 Introduc¸a˜o
Exemplo 4.1.1. A soma de dois nu´meros e´ 15 e a diferenc¸a entre eles e´ 3. Encontre
esses nu´meros.
Soluc¸a˜o: Suponhamos que x e y sejam os nu´meros procurados. Representamos a
soma de dois nu´meros por x+ y = 15 e a diferenc¸a entre eles por x− y = 3. Logo,{
x + y = 15
x − y = 3.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − L1, obtemos{
x + y = 15
− 2y = −12. (4.1)
Resolvendo, a equac¸a˜o −2y = −12, obtemos y = 6. Agora, substituindo esse
resultado na primeira equac¸a˜o de (4.1), encontramos x = 9.
Exemplo 4.1.2. A soma de dois nu´meros e´ 27. Determine esses nu´meros, sabendo
que um deles e´ o dobro do outro.
Soluc¸a˜o: Suponhamos que x e y sejam os nu´meros procurados. A soma dos
nu´meros e´ denotada por x + y = 15 e um deles e´ o dobro do outro, representamos
por x = 2y. Assim, encontramos{
x + y = 27
x − 2y = 0.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − L1, obtemos{
x + y = 27
− 3y = −27. (4.2)
Resolvendo, a equac¸a˜o −3y = −27, obtemos y = 9. Agora, substituindo esse
resultado na primeira equac¸a˜o de (4.2), encontramos x = 18.
59
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 60
Exemplo 4.1.3. Um terreno retangular tem 42 metros de per´ımetro. Encontre as
dimenso˜es desse terreno, sabendo que o comprimento tem 13 metros a mais que a
largura.
Soluc¸a˜o: Denotamos por x o comprimento e y a largura do terreno. Sabemos que
o per´ımetro e´ 42 metros. Enta˜o, vale a igualdade 2x+ 2y = 42. Ale´m disso, sabe-se
que o comprimento tem 13 metros a mais que a largura. Dessa forma, obtemos a
relac¸a˜o x = y + 13. Ou seja, resulta em{
2x + 2y = 42
x − y = 13.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ 2L2 − L1, obtemos{
2x + 2y = 42
− 4y = −16. (4.3)
Resolvendo, a equac¸a˜o −4y = −16, obtemos y = 4. Agora, substituindo esse
resultado na primeira equac¸a˜o de (4.3), encontramos x = 17. Portanto, comprimento
vale 17 metros e a largura vale 4 metros.
Exemplo 4.1.4. Ana Paula guardou em uma caixa notas de 10 reais e 20 reais,
num total de 40 notas. Determine a quantas notas de cada tipo ela possui, sabendo
que na caixa tem 480 reais.
Soluc¸a˜o: Denotamos por x a quantidade de notas de 10 reais, e por y a quantidade
de notas de 20 reais. Sabemos que o total de notas e´ 40. Assim, representa-se por
x + y = 40. Na outra informac¸a˜o, sabe-se que na caixa tem 480 reais. Ou seja,
representamos por 10x+ 20y = 480. Portanto, encontramos o sistema{
x + y = 40
10x + 20y = 480.
Por outro lado, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − 10L1, obtemos{
x + y = 40
+ 10y = 80.
(4.4)
Resolvendo a equac¸a˜o 10y = 80, obtemos y = 8 e finalmente, substituindo esse valor
na primeira equac¸a˜o de (4.4) encontramos x = 32. Portanto, na caixa existem 8
notas 20 reais e 32 notas de 10 reais.
Exemplo 4.1.5. Adriano gastou 520 reais para comprar um sapato e um relo´gio.
Sabendo que o sapato custa 80 reais a mais que o relo´gio. Calcule o valor de cada
objeto.
Soluc¸a˜o: Representando por x = prec¸o do sapato e y = prec¸o do relo´gio, sabemos
que juntos eles custam 520 reais. Ou seja, x + y = 520 e o sapato custa 80 reais a
mais que o relo´gio. Ou seja, x = y + 80. Portanto, obtemos o sistema linear{
x + y = 520
x − y = 80.
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 61
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − L1, obtemos{
x + y = 520
− 2y = −440. (4.5)
Resolvendo a equac¸a˜o −2y = −440, obtemos y = 220 e finalmente, substituindo
esse valor na primeira equac¸a˜o de (4.5) encontramos x = 300. Portanto, o sapato
custa 300 reais e o relo´gio custa 220 reais.
Exemplo 4.1.6. Em um pa´tio esta˜o estacionados motos e carros, que totalizam 23
ve´ıculos e 64 rodas. Encontre a quantidade de cada ve´ıculo.
Soluc¸a˜o: Representamos por x a quantidade de motos e por y a quantidade de
carros. Nesse pa´tio existem 23 ve´ıculos. Logo, denotamos por x + y = 23. Sabe-se
que existem 64 rodas. No entanto, uma moto tem 2 rodas e um carro tem 4 rodas.
Portanto, obtemos a relac¸a˜o 2x+ 4y = 64. Assim, resulta em{
x + y = 23
2x + 4y = 64.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − 2L1, obtemos{
x + y = 23
+ 2y = 18.
(4.6)
Resolvendo a equac¸a˜o 2y = 18, obtemos y = 9 e finalmente, substituindo esse valor
na primeira equac¸a˜o de (4.6) encontramos x = 14. Portanto, nesse pa´tio existem 9
carros e 14 motos.
Exemplo 4.1.7. (IFAP - 2012) Numa papelaria, treˆs la´pis e duas canetas custam
R$ 3,50. Ja´ um la´pis e quatro canetas custam R$ 4,50. Quanto sera´ pago na compra
de dez la´pis e cinco canetas?
a) R$ 9,50
b) R$ 10,50
c) R$ 10,00
d) R$ 11,00
e) R$ 11,50
Soluc¸a˜o: Denotamos por x prec¸o do la´pis e y o prec¸o da caneta. Assim, treˆs la´pis e
duas canetas custam R$ 3,50, representamos por 3x+2y = 3, 50; e um la´pis e quatro
canetas custam R $ 4,50. Representa-se por x+ 4y = 4, 50. Portanto, obtemos{
3x + 2y = 3, 50
x + 4y = 4, 50.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ 3L2 − L1, obtemos{
3x + 2y = 3, 50
+ 10y = 10.
(4.7)
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 62
Resolvendo a equac¸a˜o 10y = 10, obtemos y = 1 e finalmente, substituindo esse
valor na primeira equac¸a˜o de (4.7) encontramos x = 0, 50. Enta˜o, dez la´pis e cinco
canetas, va˜o custar 10x + 5y = 10 · 0, 50 + 5 · 1 = 10, 00. Ou seja, a resposta e´ a
alternativa C.
Exemplo 4.1.8. (IFMA - 2013) A loja Vendebem fez uma promoc¸a˜o para vender
pratos e copos decorados para o Natal. Sem mudar os valores dos produtos, criou
dois kits natalinos. No primeiro, foi colocado 3 pratos e 4 copos a um prec¸o de R$
77,00 e no segundo kit foi colocado 4 pratos e 3 copos por um prec¸o de R$ 84,00.
Mantendo os prec¸os individuais de cada prato e cada copo, quanto custaria 1 copo
mais um prato?
a) R$ 18,00
b) R$ 22,00
c) R$ 15,00
d) R$ 23,00
e) R$ 14,00
Soluc¸a˜o: Sendo x o prec¸o do prato e y o prec¸o do copo. No primeiro kit, 3 pratos e
4 copos custam R$ 77,00, representamos por 3x+ 4y = 77; no segundo kit, 4 pratos
e 3 copos custam R $ 84,00. Representa-se por 4x+ 3y = 84. Portanto, obtemos{
3x + 4y = 77
4x + 3y = 84.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ 3L2 − 4L1, obtemos{
3x + 4y = 77
− 7y = −56. (4.8)
Resolvendo a equac¸a˜o −7y = −56, obtemos y = 8 e finalmente, substituindo esse
valor na primeira equac¸a˜o de (4.8) encontramos x = 15. Enta˜o, 1 copo mais 1 prato,
va˜o custar x+ y = 15 + 8 = 23. Ou seja, a resposta e´ a alternativa D.
Exemplo 4.1.9. Um Supermercado vende bolas amarelas, bolas brancas e bolas
cinzas. Nesse supermercado existem treˆs vendedores (Lucas, Marcos e Rosane).
Sobre a venda deles foi descrito na seguinte tabela:
Supermercado Quantidade de bolas V alor em reais
Lucas A, 3B e C 29
Marcos 2A, 4B e C 42
Rosane A, 2B e 3C 31
Enta˜o, o valor de 1 Bola Amarela+ 1 Bola Branca+ 1 Bola Cinza e´ igual a:
a) R$ 24,00
b) R$ 12,00
c) R$ 36,00
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 63
d) R$ 17,00
Soluc¸a˜o: Primeiramente, denotamos as cores por amarela = a, branca = b e
cinza = c. Dessa forma,obtemos o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares
a + 3b + c = 29
2a + 4b + c = 42
a + 2b + 3c = 31.
Fazendo as operac¸o˜es L2 −→ L2 − 2L1 e L3 −→ L3 − L1, encontramos
a + 3b + c = 29
− 2b − c = −16
− b + 2c = 2.
Fazendo L3 −→ 2L3 − L2, obtemos
a + 3b + c = 29
− 2b − c = −16
+ 5c = 20.
Resolvendo a equac¸a˜o 5c = 20, obtemos c = 5. Agora, substituindo em −2b − c =
−16, encontramos b = 6. E finalmente, substituindo em a + 3b + c = 29, obtemos
a = 7. Portanto, o valor de 1 Bola Amarela + 1 Bola Branca + 1 Bola Cinza e´
17. Ou seja, a resposta e´ a alternativa D.
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 64
4.2 Exerc´ıcios
1. A soma das idades de dois irma˜os e´ 39 anos, e a diferenc¸a e´ 9 anos. Determine
a idade do irma˜o mais velho.
2. (UNIFOR - CE) Paguei R$ 35,00 por uma calc¸a e uma camiseta. Se eu tivesse
pago R$ 8,00 a menos pela calc¸a e R$ 7,00 a mais pela camiseta, seus prec¸os
teriam sido iguais. Quanto paguei pela calc¸a ?
a) R$ 25,00
b) R$ 22,00
c) R$ 20,00
d) R$ 18,00
e) R$ 15,00
3. A soma das idades de Adriano e Rebeca e´ 69 anos. Encontre a idade de
Adriano sabendo que, daqui a 12 anos, a idade de Adriano sera´ o dobro da
idade de Rebeca.
4. (UFBA) Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, al-
gumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a
pessoa recebeu.
5. Sabendo que a soma dos dois algarismos de um nu´mero e´ 7. Trocando a
ordem desses algarismos, obtemos um nu´mero que tem 9 unidades a menos
que o primeiro. Qual e´ esse nu´mero ?
6. (IFPI - 2013) Em Mandacaru, propriedade dos pais de Isabela, ha´ bodes e
carneiros. Sabe-se que a quantidade de animais, dentre bodes e carneiros, e´
975. Assim, se a quantidade de carneiros e´ o dobro da quantidade de bodes,
podemos afirmar que a quantidade de bodes e´ igual a:
a) 310
b) 315
c) 320
d) 325
e) 330
7. (IFAP - 2014) Treˆs salgados e quatro sucos custam R$ 14,25. Cinco salgados
e dois sucos custam R$ 13,25. O prec¸o de quatro salgados e cinco sucos e´:
a)R$ 16,75
b)R$ 17,00
c)R$ 17,25
d)R$ 18,00
e)R$ 18,25
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 65
8. (IFES) Uma lanchonete vende 3 tamanhos de pizza, pequena P , me´dia M ,
grande G, e cobra a pizza de acordo com o tamanho. Num relato´rio sobre
vendas dia´rias de 3 dias consecutivos da lanchonete, tem-se o seguinte quadro:
Lanchonete Total de vendas V alor total
1o Dia 3P, 2M, 5G R$ 181,00
2o Dia 2P, 1M, 2G R$ 88,00
3o Dia 1P, 2M, 3G R$ 111,00
A partir desse relato´rio, os prec¸os das pizzas pequena, me´dia e grande sera˜o,
respectivamente:
a) R$ 25,00, R$ 28,00 e R$ 30,00
b) R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 15,00
c) R$ 16,00, R$ 20,00 e R$ 22,00
d) R$ 15,00, R$ 18,00 e R$ 20,00
e) R$ 12,00, R$ 16,00 e R$ 18,00
9. (IFES) Tenho a terc¸a parte da idade de C´ıcero. Daqui a quatro anos C´ıcero
tera´ duas vezes e meia da idade que terei. Quantos anos eu tenho?
a) 9.
b) 10.
c) 11.
d) 12.
e) 13.
10. (IFAP - 2012) Dois amigos foram a um supermercado para comprar cafe´ e
ac¸u´car. O primeiro pagou R$18,20 por 2 pacotes de cafe´ e 5 sacos de ac¸u´car.
O segundo pagou R$19,60 por 3 pacotes de cafe´ e 4 sacos de ac¸u´car. Quanto
custa um pacote de cafe´?
a) R$ 3,60
b) R$ 1,40
c) R$ 2,20
d) R$ 7,20
e) R$ 8,80
11. (IFMA - 2012) No pa´tio de uma revendedora de ve´ıculos existem motos e
automo´veis num total de 120 ve´ıculos e 320 rodas. A quantidade de motos e
automo´veis, respectivamente, e´:
a) 80 motos e 40 automo´veis
b) 40 motos e 80 automo´veis
c) 100 motos e 35 automo´veis
d) 20 motos e 80 automo´veis
e) 150 motos e 15 automo´veis
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 66
12. (IFMA - 2013) Ricardo e Lucas sa˜o irma˜os. Atualmente a diferenc¸a de suas
idades e´ de 6 anos. Sabendo-se que daqui a 4 anos a soma de suas idades sera´
de 28 anos, qual a idade do irma˜o mais velho, hoje?
a) 13 anos
b) 11 anos
c) 9 anos
d) 7 anos
e) 15 anos
13. (UNIFOR - CE - 2016) A apresentac¸a˜o de um show de Rock gerou uma receita
de R$ 11.000,00. Havia dois tipos de ingresso: um era vendido por R$ 20,00
e o outro R$ 40,00. Sabendo-se que foram vendidos ao todo 400 ingressos,
podemos concluir que o nu´mero de ingressos vendidos a R$ 20,00 foi de
(A) 150.
(B) 180.
(C) 200.
(D) 220.
(E) 250.
14. (IFPA - 2012) Um agricultor do interior do Para´ comprou treˆs lotes de terra.
Os treˆs juntos foram comprados por R$ 25.000,00. O prec¸o do lote inter-
media´rio e´ igual ao dobro do menor, e a diferenc¸a entre o maior e o menor lote
e´ igual a R$ 7.000,00. Qual e´ o prec¸o do menor lote?
A) R$ 4.500,00
B) R$ 9.000,00
C) R$ 11.500,00
D) R$ 18.000,00
E) R$ 23.000,00
15. (NUCEPE - UESPI - 2014) A loja ”Prec¸o Bom ”vende dois tipos de laˆmpada
x e y. Paula comprou 3 laˆmpadas tipo x e 7 tipo y, pelas quais pagou R$
48,90. Bernardo comprou 4 laˆmpadas tipo x e 10 tipo y, pelas quais pagou R$
68,40. Nas condic¸o˜es dadas, a compra de duas laˆmpadas, sendo uma de cada
tipo, custa nessa loja:
a) R$ 9,90.
b) R$ 11,40.
c) R$ 11,70.
d) R$ 12,30.
e) R$ 13,20.
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 67
16. (CESUPA - 2014) Uma ma˜e e seu filho teˆm juntos 122 anos. Tirando-se 11
anos da idade da ma˜e e acrescentando-se a` do filho, tornam-se iguais as idades.
Neste caso, a idade do filho e´, em anos, igual a
A) 38
B) 42
C) 46
D) 50
17. (IFPE - 2013) Andre´ e Victor chamaram seu primo Fernando para acom-
panha´-los ao Shopping Center. La´ chegando, viram uma loja de roupa mas-
culina com itens em promoc¸a˜o. Todas as camisas, calc¸as e pares de teˆnis dessa
promoc¸a˜o eram iguais. Fernando comprou duas camisas, treˆs calc¸as e um par
de teˆnis; Victor comprou quatro camisas, duas calc¸as e dois pares de teˆnis e
Andre´ duas camisas, uma calc¸a e um par de teˆnis. Fernando gastou R$ 890,00,
Victor gastou R$ 1.350,00 e Andre´ R$ 590,00. Nessa loja, quem for comprar
uma dessas camisas, uma dessas calc¸as e um desses pares de teˆnis pagara´:
a) R$ 380,00
b) R$ 390,00
c) R$ 420,00
d) R$ 450,00
e) R$ 480,00
18. (IFPE - 2016) Em um estacionamento, ha´ triciclos e quadriciclos, totalizando
17 ve´ıculos e 61 rodas. Quantos triciclos ha´ nesse estacionamento?
a) 10
b) 8
c) 7
d) 17
e) 12
19. (FURG - RS - 2007) O consumo de cinco sandu´ıches, sete refrigerantes e dois
pedac¸os de torta, por um grupo de estudantes, totalizou R$ 36,00. Outro
grupo consumiu sete sandu´ıches, dez refrigerantes e um pedac¸o de torta, o
que totalizou R$ 47,00. Sabendo que cada refrigerante custa R$ 1,00, enta˜o
o consumo de um sandu´ıche, um refrigerante e um pedac¸o de torta totaliza o
valor de:
A) R$ 10,00.
B) R$ 8,00.
C) R$ 6,00.
D) R$ 7,50.
E) R$ 12,50.
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 68
20. (CESPE - UNB) Um sitiante cria caprinos e aves, totalizando 250 animais,
dos quais 40% sa˜o caprinos. Nesse caso, o total de patas desse plantel e´ igual
a
A) 400.
B) 500.
C) 600.
D) 700.
21. (CESPE - UNB) Uma dona de casa adquiriu 13 kg de alimentos entre arroz e
feija˜o. Se ela comprou 7 kg de arroz a mais que a quantidade de quilogramas
de feija˜o, enta˜o ela comprou
A) mais de 5 kg de feija˜o.
B) menos de 8 kg de arroz.
C) 10 kg de arroz.
D) 4 kg de feija˜o.
22. (FCC) Foram colocados em uma balanc¸a 5 pacotes de arroz e 3 de farinha,
observando-se que a balanc¸a marcava 7,5 kg. Tirando 2 pacotes de cada pro-
duto, a balanc¸a passou a marcar 4,1 kg. Nessas condic¸o˜es, esta´ correto afirmar
que 1 pacote de arroz mais 1 pacote de farinha teˆm, juntos, massa de
(A) 1,2 kg.
(B) 1,5 kg.
(C) 1,7 kg.
(D) 1,9 kg.
23. (FCC) Uma empresa esta´ montando pacotes com brindes promocionais para
presentear seus clientes. Veja a composic¸a˜o de dois tipos de pacotes montados:
I. Uma garrafa de vinho e dois panetones;
II. Duas garrafas de vinho e um panetone.
Determine o valor gasto pela empresa pela compra de uma garrafa de vinho e
um panetone, sabendo que o pacote tipo I custa R$ 50,00 e o pacote tipo II
custa R$ 55,00.
(A) R$ 15,00.
(B) R$20,00.
(C) R$ 25,00.
(D) R$ 30,00.
(E) R$ 35,00.
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 69
24. (UNIR - 2009) Uma indu´stria fabrica quatro tipos de o´leo (I, II, III e IV).
Os dois u´ltimos tipos sa˜o obtidos da mistura dos dois primeiros da seguinte
forma:
⇒ 5 L do Tipo III = 2 L do Tipo I + 3 L do Tipo II.
⇒ 5 L do Tipo IV = 3 L do Tipo I + 2 L do Tipo II.
O prec¸o do litro do Tipo III e´ R$ 2,00 e do litro do Tipo IV e´ R$ 2,20. Com
base nessas informac¸o˜es, qual o prec¸o do litro do o´leo Tipo I?
A) R$ 1,60
B) R$ 3,20
C) R$ 2,60
D) R$ 2,20
E) R$ 2,00
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 70
4.3 Respostas
1. QUESTA˜O:
24 anos.
2. QUESTA˜O:
Alternativa D.
3. QUESTA˜O:
Adriano = 50 anos.
4. QUESTA˜O:
6 notas.
5. QUESTA˜O:
43
6. QUESTA˜O:
Alternativa D
7. QUESTA˜O:
Alternativa E
8. QUESTA˜O:
Alternativa D
9. QUESTA˜O:
Alternativa D
10. QUESTA˜O:
Alternativa A
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 71
11. QUESTA˜O:
Alternativa A
12. QUESTA˜O:
Alternativa A
13. QUESTA˜O:
Alternativa E
14. QUESTA˜O:
Alternativa A
15. QUESTA˜O:
Alternativa A
16. QUESTA˜O:
Alternativa D
17. QUESTA˜O:
Alternativa C
18. QUESTA˜O:
Alternativa C
19. QUESTA˜O:
Alternativa B
20. QUESTA˜O:
Alternativa D
21. QUESTA˜O:
Alternativa C
CAPI´TULO 4. PROBLEMAS 72
22. QUESTA˜O:
Alternativa C
23. QUESTA˜O:
Alternativa E
24. QUESTA˜O:
Alternativa C
Cap´ıtulo 5
EXTRA
5.1 Exemplos
Exemplo 5.1.1. Resolva o sistema linear nas varia´veis x e y, sabendo que m 6= 4.{
2x − 8y = 1
−x + my = 3
Soluc¸a˜o: Inicialmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ 2L2 + L1, obtemos{
2x − 8y = 1
(2m− 8)y = 7
Logo, da igualdade (2m − 8)y = 7, encontramos y = 7
2m− 8. Agora, substituindo
em 2x− 8y = 1, encontramos x = m+ 24
2m− 8. Portanto, a soluc¸a˜o desse sistema e´
S =
{(
m+ 24
2m− 8 ,
7
2m− 8
)}
.
Exemplo 5.1.2. (FGV - 2013) Em um jogo de rugby, os times da Nova Zelaˆndia e
da Franc¸a fizeram um total de 62 pontos. A Nova Zelaˆndia venceu por uma diferenc¸a
de 16 pontos. A Franc¸a fez
(A) 46 pontos.
(B) 39 pontos.
(C) 36 pontos.
(D) 28 pontos.
(E) 23 pontos.
Soluc¸a˜o: Suponhamos que x e y sejam a quantidade de pontos feitos por Nova
Zelaˆndia e Franc¸a, respectivamente. Assim, o total de pontos representamos por
x+ y = 62, e a diferenc¸a foi de 16 pontos. Logo, temos x− y = 16. Portanto, temos{
x + y = 62
x − y = 16.
73
CAPI´TULO 5. EXTRA 74
Agora, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − L1, obtemos{
x + y = 62
− 2y = −46.
Resolvendo, a equac¸a˜o −2y = −46, obtemos y = 23. Finalmente, substituindo esse
resultado em x+ y = 62, obtemos x = 39. Ou seja, a resposta e´ a alternativa E.
Exemplo 5.1.3. (IFPI - 2016) Numa classe de 32 alunos, a raza˜o entre o nu´mero
de meninos e o de meninas e´
3
5
. Quantos sa˜o os meninos?
a) 24
b) 20
c) 12
d) 10
e) 8
Soluc¸a˜o Suponhamos que x e y representem a quantidade de meninos e meninas,
respectivamente. Assim, numa classe de 32 alunos, representamos por x + y = 32,
e a raza˜o entre meninos e meninas, representamos por
x
y
=
3
5
, de forma equivalente
temos 5x = 3y. Logo, resulta{
x + y = 32
5x − 3y = 0.
Finalmente, fazendo a operac¸a˜o L2 −→ L2 − 5L1, obtemos{
x + y = 32
− 8y = −160. (5.1)
Resolvendo a equac¸a˜o −8y = −160, obtemos y = 20. Agora, substituindo y = 20
na igualdade x+ y = 32, obtemos x = 12. Portanto, a resposta e´ a alternativa C.
Exemplo 5.1.4. Sabendo que sistema nas varia´veis x e y abaixo e´ imposs´ıvel:{
x + y = 2
2x + 2y = 8sen(2α).
Enta˜o, afirmamos que:
a) α 6= pi
6
+ 2kpi, com k ∈ Z.
b) α =
pi
8
+ kpi, com k ∈ Z.
c) α 6= pi
12
+ kpi, com k ∈ Z.
d) α =
pi
18
+ 2kpi, com k ∈ Z.
CAPI´TULO 5. EXTRA 75
Soluc¸a˜o: Inicialmente, fazemos a operac¸a˜o L2 −→ L2 − 2L1. Assim, obtemos{
x + y = 2
0x + 0y = 8sen(2α)− 4.
Portanto, para o sistema acima ser imposs´ıvel, devemos ter 8sen(2α) − 4 6= 0. Ou
seja, devemos resolver sen(2α) 6= 1
2
. Assim, encontramos a soluc¸a˜o α 6= pi
12
+ kpi,
com k ∈ Z. Dessa forma, a resposta e´ a alternativa C.
Exemplo 5.1.5. Dado o sistema linear nas varia´veis x, y e z:
x − 2y + z = 0
x + 3y + 5z = 0
2x + y + 6z = 0
Enta˜o, a soluc¸a˜o geral em func¸a˜o de k ∈ R e´ igual a:
A)
{(
−13k
5
,−4k
5
, k
)}
.
B)
{(
k
12
,−5k
12
,−k
)}
.
C)
{(
−3k
4
,−k
4
, 4k
)}
.
D)
{(
−18k
7
,
8k
7
, k
)}
.
Soluc¸a˜o: Fazendo as operac¸o˜es L2 −→ L2 − L1 e L3 −→ L3 − 2L1, obtemos
x − 2y + z = 0
+ 5y + 4z = 0
+ 5y + 4z = 0
Agora, fazendo L3 −→ L3 − L2, obtemos{
x − 2y + z = 0
+ 5y + 4z = 0
Finalmente, fazendo L1 −→ 5L1 + 5L2, obtemos{
5x + 13z = 0
+ 5y + 4z = 0
Por outro lado, fazendo z = k ∈ R, temos
5x+ 13k = 0 ⇒ x = −13k
5
e 5y + 4k = 0 ⇒ x = −4k
5
CAPI´TULO 5. EXTRA 76
Assim, a soluc¸a˜o geral e´ dada por
S =
{(
−13k
5
,−4k
5
, k
)}
Exemplo 5.1.6. Discuta o sistema linear em func¸a˜o do paraˆmetro k ∈ R.
x − y = kz
kx + 3y = 4− z
−x + y = −3z
(5.2)
Soluc¸a˜o: Notamos que o sistema (5.2) pode ser escrito da seguinte forma,
x − y − kz = 0
kx + 3y + z = 4
−x + y + 3z = 0.
(5.3)
Seja a matriz X formada pelos coeficientes do sistema (5.3). Agora, calculando
det(X) =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −k
k 3 1
−1 1 3
∣∣∣∣∣∣ = −k2 + 9.
Para o sistema acima ter soluc¸a˜o u´nica devemos ter det(X) = −k2 + 9 6= 0. Assim,
temos k 6= −3 e k 6= 3. Por outro lado, substituindo k = −3 em (5.3), temos
x − y + 3z = 0
−3x + 3y + z = 4
−x + y + 3z = 0.
Fazendo as seguintes operac¸o˜es L2 −→ L2 + 3L1 e L3 −→ L3 + L1, obtemos
x − y + 3z = 0
+ 10z = 4
+ 6z = 0.
Assim, atrave´s das relac¸o˜es 10z = 4 e 6z = 0, conclu´ımos que para k = −3, o
sistema e´ imposs´ıvel. Por fim, substituindo k = 3 em (5.3), obtemos
x − y − 3z = 0
3x + 3y + z = 4
−x + y + 3z = 0.
Fazendo as seguintes operac¸o˜es L2 −→ L2 − 3L1 e L3 −→ L3 + L1, obtemos{
x − y + 3z = 0
+ 6y + 10z = 4.
CAPI´TULO 5. EXTRA 77
Fazendo a operac¸a˜o L1 −→ 6L1 + L2, encontramos{
6x + 28z = 4
+ 6y + 10z = 4.
Logo, z e´ uma varia´vel livre. Assim, podemos fazer z = β ∈ R, resulta em
6x+ 28β = 4 ⇒ x = 4− 28β
6
e 6y + 10β = 4 ⇒ y = 4− 10β
6
Ou seja, a soluc¸a˜o geral e´
S =
{(
4− 28β
6
,
4− 10β
6
, β
)}
Portanto, para k = 3, o sistema possui infinitas soluc¸o˜es.
CONCLUSA˜O:
1) SPD, quando k 6= −3 e k 6= 3.
2) SPI, quando k = 3.
3) SI, quando k = −3.
Exemplo 5.1.7. (UFPA) O valor de k, para que o sistema linear
x − y − z = 0
x − 2y − 2z = 0
2x + ky + z = 0
admita soluc¸o˜es pro´prias, e´
a) k = 0
b) k = 1
c) k = −1
d) k 6= 0
e) k 6= 1
Soluc¸a˜o: Seja a matriz W formada pelos coeficientes do sistema acima. Agora,
det(W ) =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −1
1 −2 −2
2 k 1
∣∣∣∣∣∣ = k − 1.
Para esse sistema ter soluc¸o˜es pro´prias, devemos ter det(W ) = k − 1 = 0. Logo,
encontramos k = 1. Portanto, a resposta e´ a alternativa B.
Exemplo 5.1.8. (UFPR) Para que o sistema

2x + 5y − z = 0
x + 10y − 2z = 0
6x − 15y + mz = 0
ad-
mita soluc¸a˜o u´nica, deve-se ter:
CAPI´TULO 5. EXTRA 78
a) m 6= 1
b) m 6= 2
c) m 6= −2
d) m 6= 3
e) m 6= −3
Soluc¸a˜o: Seja a matriz P formada pelos coeficientes do sistema acima. Agora,
det(P ) =
∣∣∣∣∣∣
2 5 −1
1 10 −2
6 −15 m
∣∣∣∣∣∣ = 15m− 45.
Para esse sistema ter soluc¸o˜es pro´prias, devemos ter det(P ) = 15m− 45 6= 0. Logo,
encontramos m 6= 3. Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
Exemplo 5.1.9. Qual a relac¸a˜o entre as constantes a e b de modo que o sistema
tenha soluc¸a˜o u´nica ? {
ax − 4y = 1
3bx + y = −5
A) 2a = 7b.
B) a 6= −12b.
C) b = −5b.
D) 3a 6= b.
Soluc¸a˜o: Seja a matriz N formada pelos coeficientes do sistema acima. Portanto,
det(N) =
∣∣∣∣ a −43b 1
∣∣∣∣ = a+ 12b.
Parater soluc¸a˜o u´nica, devemos ter det(N) = a + 12b 6= 0. Logo, a 6= −12b. Ou
seja, a resposta e´ a alternativa B.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] Iezzi, Gelson & Hazzan, Samuel. Fundamentos de matema´tica elemen-
tar, volume 4, Sequeˆncias, matrizes, determinantes e sistemas. 2 edic¸a˜o. Atual
editora, Sa˜o Paulo, SP.
[2] Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar matema´tica, volume 2, FTD. Sa˜o
Paulo - SP, 2013.
[3] Iezzi, Gelson...[et al]. Matema´tica cieˆncia e aplicac¸o˜es, volume 2, Atual
Editora. Sa˜o Paulo - SP, 2004.
79
	Prefácio
	Sistemas Lineares
	Introdução
	Operações elementares
	Discussão de um sistema linear
	Exercícios
	Respostas 
	Aplicações na Química
	Exercícios
	Respostas
	Aplicações na Física
	Introdução
	Leis de Kirchhoff
	Exercícios
	Respostas
	Problemas
	Introdução
	Exercícios
	Respostas
	EXTRA
	Exemplos
	Referências Bibliográficas