Processamento Digital de Sinais - Resumo Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD) - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC2308 - Profs. Maria D. Miranda e Andre´ F. Kohn - EPUSP - 30/09/2015
A Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD)
Essas notas sobre TFTD foram feitas para o curso de PTC 2324 (Processamento Digital de
Sinais) pela Profa. Maria D. Miranda com a colaborac¸a˜o do Monitor Fla´vio Reneˆ M. Pavan.
A adaptac¸a˜o das notas ao curso PTC 2308 foi feita com a colaborac¸a˜o do Prof. Andre´ F.
Kohn.
EPUSP - PTC, outubro de 2015.
Define-se a Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD) de uma sequeˆncia de tempo
discreto x(n) como
X(ejω) =
+∞∑
n=−∞
x(n)e−jωn. (1)
em que ω = 2πf/fs e´ a frequeˆncia angular normalizada (radianos), f e´ a frequeˆncia do sinal e fs
a frequeˆncia de amostragem. Note que representac¸a˜o em frequeˆncia a partir das amostras do sinal
no domı´nio do tempo e´ uma forma de ana´lise do sinal.
A partir da definic¸a˜o nota-se que a TFTD possui as seguinte propriedades
• X(ejω) e´ cont´ınua em ω,
• X(ejω) e´ perio´dica com per´ıodo 2π,
• X(ejω) e´ uma func¸a˜o complexa de ω.
Demonstra-se que a TFTD inversa e´ dada por
x(n) =
1
2π
∫ pi
−pi
X(ejω)ejωndω. (2)
A obtenc¸a˜o das amostras do sinal no domı´nio do tempo a partir da sua representac¸a˜o em frequeˆncia
e´ uma forma de s´ıntese do sinal.
As equac¸o˜es da TFTD e da TFTD inversa permitem estabelecer o seguinte par transformado:
x(n)←→ X(ejω) (3)
Uma forma intuitiva para justificar a definic¸a˜o da TFTD pode ser obtida a partir da definic¸a˜o da
Se´rie de Fourier de Tempo Discreto (SFTD). Detalhes para a deduc¸a˜o TFTD a partir da SFTD
podem ser obtidos na Sec¸a˜o 5.1.1 do livro texto de PTC2308. E´ interessante lembrar que a repre-
sentac¸a˜o gra´fica no domı´nio da frequeˆncia de um sinal de tempo discreto perio´dico e´ constitu´ıda
de raias. Cada raia esta´ associada a` frequeˆncia de uma dada exponencial complexa. Em radianos,
o espac¸amento entre as raias e´ de 2π/N (frequeˆncia angular fundamental) sendo N o per´ıodo do
sinal. No caso de um sinal na˜o perio´dico x(n) a sua representac¸a˜o em frequeˆncia X(ejω) (equac¸a˜o
de s´ıntese 1) pode ser entendida como uma combinac¸a˜o linear de exponenciais complexas infinite-
simalmente pro´ximas em frequeˆncia e com amplitudes X(ejω)(dω/2π). Por esse motivo, da mesma
forma como acontece em tempo cont´ınuo (PTC2307), a func¸a˜o X(ejω) =TFTD{x(n)} e´ chamada
de espectro de x(n). Esse espectro fornece a informac¸a˜o de como o sinal x(n) e´ composto por
exponenciais complexas em diferentes frequeˆncias.
E´ interessante notar que se fizermos x(n) = h(n) na Equac¸a˜o 1 obtemos a resposta em frequeˆncia
H(ejω) a partir da resposta ao pulso unita´rio h(n). Ale´m disso, fazendo H(ejω) na Equac¸a˜o 2 ob-
temos a resposta ao pulso unita´ria a partir da resposta em frequeˆncia. Apesar do par transformado
h(n) ←→ H(ejω) ser feito com as mesmas transformac¸o˜es do par x(n) ←→ X(ejω) a func¸a˜o res-
posta em frequeˆncia H(ejω) tem um papel diferente de X(ejω). A func¸a˜o H(ejω) representa a
resposta em frequeˆncia de um sistema e X(ejω) representa o espectro de uma sequeˆncia de tempo
discreto.
1
TFTD da exponencial real
Seja x(n) = anu(n), (|a| < 1, a 6= 0), assim
X(ejω) =
∞∑
n=−∞
anu(n)e−jωn =
∞∑
n=0
ane−jωn =
∞∑
n=0
(ae−jω)n =
1
1− ae−jω
.
x(n) = anu(n), (|a| < 1, a 6= 0) ←→ X(ejω) =
1
1− ae−jω
EXEMPLO 1
Fornec¸a os gra´ficos do mo´dulo e a fase da TFTD dos seguintes sinais de tempo discreto:
x1(n) = (0.9)
nu(n) e x2(n) = (−0.9)
nu(n).
Soluc¸a˜o: As curvas de mo´dulo e fase da TFTD para cada uma destas func¸o˜es sa˜o representadas
na Figura 1.
0 10 20 30 40 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1 x1(n)
n
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
Modulo da TFTD de x1(n)
0 1 2 3 4 5 6
−1
−0.5
0
0.5
1
Fase da TFTD de x1(n)
ω (rad)
0 10 20 30 40 50
−0.5
0
0.5
1
x2(n)
n
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
Modulo da TFTD de x2(n)
0 1 2 3 4 5 6
−1
−0.5
0
0.5
1
Fase da TFTD de x2(n)
ω (rad)
Figura 1: Exponenciais reais x1(n) e x2(n) e gra´ficos de mo´dulo e fase de suas respectivas TFTDs.
Note que as abscissas do mo´dulo e da fase espectral esta˜o representadas no intervalo de zero a
2π. Em outras palavras, as abscissas va˜o de ω = 0 ate´ ω = 2π rad, que por sua vez correspondem
a frequeˆncias do sinal de tempo cont´ınuo x(t) entre zero e a frequeˆncia de amostragem fs (Hz).
Nas Tabelas 1 e 2 esta˜o os programas feitos no MatLab para gerar os sinais x1(n), x2(n) e os
mo´dulos e as fases das suas TFTDs. E´ noto´rio que as variac¸o˜es do sinal x1(n) sa˜o bem menos
abruptas que as variac¸o˜es do sinal x2(n). Nota-se a partir do mo´dulo do espectro do sinal x1(n)
que a sua energia esta´ concentrada perto de zero radianos (baixas frequeˆncias), e, portanto, pela
periodicidade espectral tambe´m esta´ concentrada perto de 2π. Ale´m disso, nota-se a partir do
mo´dulo do espectro do sinal x2(n) que a sua energia esta´ concentrada em frequeˆncias perto de π
rad (altas frequeˆncia).
2
Tabela 1: Comandos do MATLAB para gerar e plotar h(n) e a sua TFTD.
N = 50;
n = 0 : N − 1;
a = .9; % a=-0.9
h = a. ∧ n;
[H, omega] = tftd(h, n);
figure(1)
subplot(311); stem(n, h); title(’h(n)’); grid
subplot(313); plot(omega/pi,abs(H)); grid; title(’Modulo da TFTD de h(n)’)
subplot(315); plot(omega/pi,angle(H)); grid; title(’Fase da TFTD de h(n)’)
Tabela 2: Func¸a˜o que calcula TFTD.
function[V,omega]=tftd(v,n);
M=length(n);
delta=1/10∧5;
omega=pi*[0:delta:2-delta];
V=zeros(1,length(omega));
for m=1:M
V=V+v(m)*exp(-j*omega*n(m));
end
TFTD da janela retangular com simetria par em relac¸a˜o a n = 0
A janela retangular de tempo discreto e´ um outro nome que se da´ para um pulso retangular
(sequeˆncia de uns). Considera-se aqui essa janela com durac¸a˜o 2N1 + 1 e com simetria par em
relac¸a˜o a n = 0, ou seja,
x(n) =
N1∑
k=−N1
δ(n − k). (4)
Aplicando a TFTD em (4), temos
X(ejω) =
+∞∑
n=−∞
x(n)e−jωn =
N1∑
n=−N1
e−jωn. (5)
Apo´s manipulac¸o˜es alge´bricas podemos escrever
X(ejω) =


K, para ω = 2πℓ
sin(ωK/2)
sin(ω/2)
, para ω 6= 2πℓ
(6)
sendo ℓ um inteiro qualquer e K = 2N1 + 1 o comprimento da janela retangular.
EXEMPLO 2
Obtenha a TFTD da uma janela retangular de durac¸a˜o 7 e com simetria par em relac¸a˜o a n = 0,
g(n) = u(n+ 3)− u(n− 4) =
3∑
k=−3
δ(n − k).
Soluc¸a˜o:
Para se obter a TFTD, pode-se usar diretamente (6), ou aplicar a definic¸a˜o de TFTD da Equac¸a˜o
3
(1). Apo´s algumas manipulac¸o˜es alge´bricas, resulta
G(ejω) =


7, para ω = 2πℓ
3∑
n=−3
e−jωn =
sin(7ω/2)
sin(ω/2)
, para ω 6= 2πℓ
(7)
sendo ℓ um inteiro qualquer.
Na Figura 2 e´ mostrado o g(n) e a sua TFTD. Particularmente, como o g(n) possui simetria
par em relac¸a˜o a n = 0, a sua TFTD e´ uma func¸a˜o real.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−0.5
0
0.5
1
1.5
−5 0 5 10
−2
0
2
4
6
8
n 
g(n) G(ejω) 
ω 
N1=3 −N1=−3 
pi 2pi 3pi 
Figura 2: O pulso retangular com 7 amostras e a sua TFTD.
◭
O esboc¸o do mo´dulo e da fase de (6), para qualquer valor de N1 pode ser facilmente obtido a
partir das observac¸o˜es feitas a seguir.
• A func¸a˜o representada por (6) e´ uma func¸a˜o complexa cujo mo´dulo tera´ sempre um lo´bulo
principal e lo´bulos secunda´rios em um per´ıodo.
• O valor ma´ximo do lo´bulo principal e´ igual a K e e´ atingido para frequeˆncias ω = 2πℓ.
• Para ω 6= 2πℓ, a func¸a˜o X(ejω) e´ nula sempre que o argumento do seno do numerador de (6)
e´ um mu´ltiplo inteiro de π. Portanto, X(ejω) = 0 quando
ωK
2
= ℓπ,
sendo ℓ um valor inteiro qualquer tal que ω = 2π
ℓ
K
6= 2πℓ.
• Em um per´ıodo, por exemplo, 0 ≤ ω < 2π,
X(ejω) = 0 para ℓ = 1, 2, . . . , K − 1,
portanto, o nu´mero de vezes em que X(ejω) = 0 e´ K − 1.
• A metade da largura do lo´bulo principal e´ 2π/K rad.
Para ilustrar as observac¸o˜es feitas, considera-seo caso em que N1 = 3. Assim, K = 7 e no
intervalo ω ∈ (0, 2π) temos G(ejω) = 0 para
ω = {2π/7, 4π/7, 6π/7, 8π/7, 10π/7, 12π/7},
e a metade da largura do lo´bulo principal e´ 2π/7 rad.
Note que, a` medida que o nu´mero de pontos da janela retangular aumenta, o nu´mero de pontos
nulos em um per´ıodo da TFTD aumenta e a largura do lo´bulo principal diminui. Para ilustrar
4
esse efeito, na Figura 4 sa˜o comparadas as TFTDs de duas janelas retangulares, uma com K = 9
e a outra com K = 21. Ambas as janelas possuem simetria par em relac¸a˜o a n = 0, portanto, as
TFTDs sa˜o func¸o˜es reais.
−1 −0.5 0 0.5 1
−5
0
5
10
15
20
25
N1=10
N1=4X
(e
jω )
Freqüência Normalizada (ω/pi)
Lóbulo principal 
Figura 3: TFTD de janelas retangulares nos casos em N1 = 4 e N1 = 10, ou seja, K = 9 e K = 21
respectivamente. Ambas as janelas possuem simetria em relac¸a˜o a n = 0.
No caso em que na˜o ha´ simetria do sinal em relac¸a˜o a n = 0 a TFTD sera´ uma func¸a˜o complexa.
Para ilustrar essa situac¸a˜o tomamos as sequeˆncias do exemplo anterior e deslocamos de modo que
ambas tenham a primeira amostra na˜o nula em n = 0. No caso de L = 4 deslocamos 4 amostras e
denotamos o sinal resultante como x1(n). No caso de L = 10 deslocamos 10 amostras e denotamos o
sinal resultante como x2(n). Esses sinais de tempo discretos e os mo´dulos e fases de suas respectivas
TFTDs esta˜o ilustrados na Figura 4.
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
x1(n)
n
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
Modulo TFTD de x1(n)
0 1 2 3 4 5 6
−2
0
2
Fase TFTD de x1(n)
ω (rad)
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
x2(n)
n
0 1 2 3 4 5 60
10
20
Modulo TFTD de x2(n)
0 1 2 3 4 5 6
−2
0
2
Fase TFTD de x2(n)
ω (rad)
Figura 4: TFTD de janelas retangulares com durac¸o˜es de 9 e com 21 amostras unita´rias.
5