INTRODUÇÃO ao PDS - Lista 4 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC3361: Introdução ao Processamento Digital de Sinais
Lista 4: Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(TFTD)
MDM,FRMP-2016
1.∗ Encontre da TFTD das sequências a seguir.
(a) x1(n) =
(
1
2
)n
u(n+3), em que u(n) denota o degrau unitário de tempo discreto,
(b) x2(n) =
{ (
1
2
)n
, se n = 0, 2, 4, . . .
0, caso contrário
.
2. Considere a resposta ao pulso unitário
h0(n) = δ(n) + δ(n− 1),
sendo δ(n) o pulso unitário de tempo discreto. A partir desse h0(n), podem ser
definidos os sinais
h1(n) =
h0(n) + h0(−n)
2 ,
h2(n) =
h0(n)− h0(−n)
2 .
Obtenha as expressões de:
(a) H0(ejω) = TFTD{h0(n)},
(b) H1(ejω) = TFTD{h1(n)},
(c) H2(ejω) = TFTD{h2(n)}.
3.† Seja um sistema LIT com resposta ao pulso unitário h(n) e resposta em frequência
H(ejω).
(a) Dadas as seguintes informações, prove que se trata de um sistema FIR:
i. O sistema é causal,
ii. H(ejω) = H∗(e−jω), em que (·)∗ denota o complexo conjugado,
iii. A TFTD da sequência h(n+ 1) é real.
(b) Ainda considere que:
i. 12pi
∫ pi
−piH(ejω) dω = 2,
ii. H(ejpi) = 0.
Especifique h(n) para todo n, caso essas informações sejam suficientes para
determinar o sinal com unicidade.
∗Exercícios adaptados do livro Schaum’s Outlines: Digital Signal Processing de Hayes, 2a edição, Mc-
Graw Hill Education, 2011.
†Exercícios adaptados do livro Discrete-Time Signal Processing de Oppenheim e Schafer, 3a edição,
Pearson, 2009.
1
4. Considere as sequências
x1(n) =
{
1, se 40 ≤ n ≤ 89
0, caso contrário ,
x2(n) =
{
−2, se 10 ≤ n ≤ 59
0, caso contrário .
(a) Obtenha as expressões das TFTDs X1(ejω) e X2(ejω).
(b) Esquematize y(n) = TFTD−1{X1(ejω)X2(ejω)}.
Dica: Veja as propriedades da TFTD.
Os exercícios a seguir são mais avançados.
5.† (a) Determine a transformada de Fourier de tempo discreto R(ejω) da sequência
r(n) =
{
1, se 0 ≤ n ≤M
0, caso contrário .
(b) Seja o sinal w(n) dado por
w(n) =
{
1
2
[
1− cos
(
2pin
M
)]
, se 0 ≤ n ≤M
0, caso contrário
.
Esboce w(n) e determine sua TFTD W (ejω) em termos de R(ejω).
6.∗ Encontre a TFTD inversa de X(ejω) mostrada na Figura 1.
ω (rad)
X(ejω)
−pi −3pi4 −
pi
4
pi
4
3pi
4
pi
1
0
Figura 1
7. A Figura 2 fornece o módulo e a fase da resposta em frequência de um filtro cuja
resposta ao pulso unitário é uma sequência finita de uns. Com base nesses gráficos,
esboce essa resposta ao pulso unitário.
2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
|H
(e
jω
)|
0 pi5 2pi5
3pi
5
4pi
5
pi 6pi
5
7pi
5
8pi
5
9pi
5
2pi
−pi
−pi2
0
pi
2
pi
ω (rad)
]H
(e
jω
)
(r
ad
)
Figura 2
3
PTC3361: Introdução ao Processamento Digital de Sinais
Respostas: Lista 4
MDM,FRMP-2016
1. (a) X1(ejω) =
8ejω3
1− 12e−jω
.
(b) X2(ejω) =
1
1− 14e−jω2
.
2. (a) H0(ejω) = 2 cos
(
ω
2
)
e−jω/2.
(b) H1(ejω) = 2 cos2
(
ω
2
)
.
(c) H2(ejω) = −j sen(ω).
3. (a) i. ⇒ h(n) = 0 para n < 0,
ii. ⇒ h(n) é real,
iii. ⇒ h(n) possui eixo de simetria par em n = 1.
Portanto, pode-se escrever a resposta ao pulso unitário na forma
h(n) = aδ(n) + bδ(n− 1) + aδ(n− 2),
em que δ(n) denota o pulso unitário de tempo discreto e a, b ∈ R. Logo, o
sistema é FIR.
(b) i. ⇒ h(0) = 2,
ii. ⇒ ∑2n=0 h(n) (−1)n = 0.
Portanto, a = 2 e b = 4. Sendo assim,
h(n) = 2δ(n) + 4δ(n− 1) + 2δ(n− 2).
4. (a) X1(ejω) =
sen (25ω)
sen
(
ω
2
) e−jω129/2,
X2(ejω) = −2sen (25ω)sen (ω2 ) e−jω69/2.
(b) A partir da convolução gráfica, nota-se que
y(n) = x1(n) ∗ x2(n) =

−2(n− 49), se 50 ≤ n ≤ 99
−2(−n+ 149), se 100 ≤ n ≤ 148
0, caso contrário
.
O gráfico de y(n), para 40 ≤ n ≤ 158, é mostrado a seguir.
40 50 99 148 158
−100
0
n
y
(n
)
1
5. (a) R(ejω) =
sen
(
M+1
2 ω
)
sen
(
ω
2
) e−jωM/2.
(b) Para exemplificar, os gráficos de w(n) com M = 20 (para −5 ≤ n ≤ 25) e com
M = 40 (para −5 ≤ n ≤ 45) são mostrados a seguir.
−5 0 5 10 15 20 25
0
0,5
1
n
w
(n
)
M = 20
−5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
0,5
1
n
w
(n
)
M = 40
Utilizando as propriedades da TFTD, resulta
W (ejω) = R(e
jω)
2 −
R
(
ej(ω−
2pi
M
)
)
+R
(
ej(ω+
2pi
M
)
)
4 .
6. A TFTD inversa de X(ejω) é
x(n) =
sen
(
3pi
4 n
)
− sen (pi4n)
pin
.
7. A resposta ao pulso unitário do filtro é
h(n) = 116
15∑
`=0
δ(n− `).
O gráfico de h(n) para −5 ≤ n ≤ 20 é mostrado a seguir.
−5 0 5 10 15 20
0
1
16
n
h
(n
)
2