Aplicações de Derivadas na Economia

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA	
ANA CLARA
FERNANDA KLUG
NATHALIA ROCKENBACH
SABRINA SAYURI 
TUANY GALDINO
VITOR HUGO DE CAMPOS LUIZ 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Derivada na economia
Tubarão
2015
ANA CLARA
FERNANDA KLUG
NATHALIA ROCKENBACH
SABRINA SAYURI 
TUANY GALDINO
VITOR HUGO DE CAMPOS LUIZ 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Derivada na economia
Trabalho apresentado à disciplina de derivadas do curso de graduação de Engenharia Química da Universidade do Sul de Santa Catarina.
Orientador: Salomão Westphal Sandrini.
Tubarão
2015
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função. Derivada na Economia é aplicada na chamada Análise Marginal. A Análise Marginal, essencialmente, estuda o aporte de cada produto e/ou serviço no lucro das empresas. Ela tenta dar respostas a perguntas do tipo: é conveniente deixar de produzir um determinado produto já existente? Que quantidade de um produto, uma empresa deve vender para continuar produzindo? Quais são os efeitos nos lucros da empresa quando ocorrem perturbações na demanda de um produto? [1]
APLICAÇÃO DE DERIVADAS NA ECONOMIA
MARQUES (2006) descreve que problemas em administração e economia, na maioria das vezes envolvem maximização de lucro e receita, e minimização de custos. Podendo então, com o auxílio da derivada, calcular o máximo de lucro que uma indústria pode obter e o menor custo, na confecção do produto.
Segundo MUNEM & FOULIS (1982), em economia, o termo “marginal” é frequentemente usado como um sinônimo virtual para “derivada de”. Por exemplo, se C é uma função custo tal que é o custo da produção de unidades de certa mercadoria, é chamado de custo marginal da produção de unidades e ’ é chamada de função custo marginal. Desse modo, o custo marginal é a taxa de variação do custo da produção por variação da produção por unidade.
PROBLEMA DO LUCRO
Sabendo-se que o custo total de produção de micro-ondas por dia é de e o preço unitário é de R$ (100 − ). Qual deve ser a produção diária para que o lucro seja máximo?
Solução:
O lucro total é dado por L = Receita (R) – Custo (C)
Onde a Receita = P(x).x.
Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação à x
 = −3 ∙ + 30 
Para calcular os pontos críticos de L é só igualar L'(x) a zero, ou seja, L’(x) = 0, e vêm −3. + 30 = 0, que resultará em = 10, ponto crítico da função. Portanto, é preciso fabricar 10 micro-ondas por dia.
PROBLEMA DE VENDA
No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode vender 500 pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada centavo que o pipoqueiro baixar no preço do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de venda maximizará o lucro?
Solução:
Inicialmente, observe que o lucro é de R$ 3,10 por pacote. Se x denotar o número de centavos que o pipoqueiro baixa no preço de cada pacote; o lucro na venda de cada pacote de pipoca será então de 310 − centavos, e a quantidade vendida será 500 + 50.
O lucro total é, portanto, o lucro por unidade (pacote) vezes a quantidade vendida, ou seja:
Agora, deve-se maximizar a função L(x) . Como L é uma função polinomial, acontece quando iguala sua derivada à zero (uma vez que a derivada sempre existe) e resolvendo a equação resultante. Sendo:
Como a derivada segunda de é igual a ′′() = − 2 , portanto negativa para qualquer valor de , segue que = 150 é um ponto de máximo. Assim, o preço de venda que dará o maior lucro é de R$ 3,00.
PROBLEMA DE PRODUÇÃO
O preço da produção de unidades de carpetes para sala de estar é dado pela função . Se o preço de venda de cada carpete é , para < 50.000, determine o número de carpetes que devem ser fabricados e vendidos para que o lucro seja máximo.
Solução:
A função lucro será denotada por:
Derivando a função lucro e igualando a zero para determinar o ponto crítico:
Sendo assim o número de carpetes fabricados para que o lucro seja máximo é de 20000.
REFERENCIAS
1 – (ARQUIVO) IME (SITE), A derivada em economia. Disponível em < http://www.ime.uerj.br/~calculo/Ecomat/cap8.pdf > Acesso em: 10 de novembro de 2015.
2 - Calculo vol.1/Stewart, James; São Paulo: Cengage Learning, 2013.
3 - MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada. 5. tir. Curitiba: Juruá, 2006.
4 - MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Cálculo. 1 Vol. Rio de Janeiro: LTC- Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A., 1982.