coordenadas esfericas

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Coordenadas esféricas
Para problemas envolvendo simetria esférica é natural usarmos coordenadas
esféricas. Nesta postagem apresentamos uma definição dessas coordenadas com
ilustrações detalhadas. Também definiremos o conjunto de versores ortogonais
que são calculados em cada ponto do espaço, cada um indicando a direção e o
sentido de crescimento de cada uma das três respectivas coordenadas esféricas.
Suponhamos um ponto P no espaço tridimensional. Seja O o ponto onde
escolhemos a origem de nosso sistema de referência. Com esses dois pontos
podemos definir o vetor posição r com sentido que aponta de O a P e, portanto,
com a direção que é paralela à reta que passa por esses dois pontos. O módulo
desse vetor, r ≡ |r| , é escolhido como a distância entre P e O. Essa distância é
a coordenada esférica radial, como indica figura abaixo.
Agora podemos escolher três eixos cartesianos, x, y e z, e a coordenada
esférica polar, θ, é definida como o ângulo compreendido entre o eixo z e o vetor
posição r, como na figura abaixo. Note que, em analogia com astronomia, o
eixo z, no polo norte, aponta para o zênite.
Veja que podemos desenhar uma superfície esférica de raio r centrada na
origem O e que, portanto, contém o ponto P. A curva de menor comprimento
que vai do polo norte até o ponto P, sobre essa superfície esférica, mede rθ,
como ilustra a figura a seguir. Essa curva é um arco de circunferência centrada
em O, com raio r.
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Podemos agora projetar o ponto P sobre o plano xy e obter o ponto P ′,
como na figura que segue. Veja que a distância da origem O até o ponto P ′ é
dada por rsenθ.
A coordenada azimutal, ϕ, é o ângulo compreendido entre o eixo x e o
segmento de reta OP ′, como na próxima figura.
Podemos definir três versores mutuamente ortogonais, cada um com a di-
reção e o sentido de crescimento de cada uma das coordenadas esféricas. A
figura abaixo mostra o versor radial rˆ, ao longo da direção e do sentido do ve-
tor posição r. Veja que, para qualquer ponto P, o ângulo θ sempre cresce na
direção ortogonal ao versor radial. A figura a seguir também mostra o versor θˆ
apontando na direção e no sentido de crescimento do ângulo θ.
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O versor com direção e sentido de crescimento do ângulo azimutal ϕ é par-
alelo ao plano xy e é ortogonal ao plano que é paralelo ao vetor posição r e ao
eixo z, como ilustrado na próxima figura. Como esse versor, ϕˆ, é uma função do
ponto P, a figura também mostra uma instância de ϕˆ transladada até o ponto
P. Veja que vetores não são setas, mas sim classes de equivalência de setas.
Uma seta desenhada a partir de um ponto apenas representa um vetor. Logo,
qualquer seta desenhada a partir de qualquer ponto, se tiver a mesma direção
e o mesmo sentido que um dado vetor, então essa seta representa o vetor, que
é um conjunto todo de setas equivalentes. Duas setas são equivalentes quando
têm a mesma direção e o mesmo sentido.
Veja que o versor rˆ é normal à superfície esférica no ponto P, enquando que
os versores θˆ e ϕˆ são tangentes à superfície esférica no ponto P, como mostra a
figura abaixo.