Exercícios de Matemática - Geometria Analítica e Vetores

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1- O planejamento de um bairro de uma cidade com grande expansão populacional foi feito considerando uma região plana, com quadras de mesma dimensão sendo delimitadas por ruas paralelas e perpendiculares. O esboço desse projeto foi realizado e feita uma representação do bairro no plano cartesiano localizando-o no segundo quadrante, no qual as distâncias nos eixos coordenados são consideradas em quilômetros, conforme figura exposta a seguir.
O percurso de uma linha de transporte coletivo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade é representado pela reta r. Considere que no ponto P1 de coordenadas (-5,5) localiza-se um hospital universitário público e no ponto P2 , de coordenadas (x,y), um ponto de transporte coletivo.  Assinale a alternativa que expressa a localização de P2 de forma que sua distância em relação ao hospital, medida em linha reta, não seja maior que 5 km e a equação que representa a reta r.
R: P2 (-3, 1),  r: y=x+4
2- Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a UNIUBE para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática."
Em uma aula de Geometria Analítica, o professor salientava a importância do estudo de triângulos em Engenharia, e propôs a seguinte questão: O triângulo determinado pelos pontos A (0,0), B (5,4) e C (3,8) do plano cartesiano tem área igual a quanto?
Feitos os cálculos, os alunos concluíram que a resposta correta era:
R: 14
3 - As grandezas físicas são classificadas pelo critério do que é necessário para a sua total compreensão. As escalares exigem o módulo e a unidade de referência e as vetoriais exigem a o módulo, a direção e o sentido. Neste sentido, classifique as grandezas em (E) escalar ou (V) vetorial.
I. Velocidade
II. Temperatura
III. Área
IV. Torque
V. Força
É correta a sequência que corresponde a alternativa
R: V, E, E, V, V.
4 - Determine respectivamente os valores de a e b para que os pontos A (2, a, 3), B (2, 1, - 5) e C (b, -3, 4) sejam colineares.
R: 
5 - Um professor de matemática disse a seus alunos que o triângulo ABC da figura representava um terreno e que a parábola é a representação da função f(x) = x2 – 6x – 7.
Ele, então, pediu para seus alunos calcularem a área do terreno, em unidades de área (u.a.). Sabendo que os pontos A, B e C são os interceptos dos eixos ordenados, a área do terreno é igual a:
R: 28 u.a.
6 - Assinale a alternativa que corresponde à equação da reta r que passa por A (-1, 2) e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 45º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário.
R: y=x+3
7 - Considerando os conceitos básicos sobre vetores enumere a 2ª coluna de acordo com a 1ª coluna.
	I - Vetor nulo
	( I )Vetor resultado da soma de dois  vetores de mesma direção e comprimento; com sentidos contrários.
 
	II - Vetores iguais  
 
	( II ) Sua subtração gera um vetor nulo.
	III - Vetores opostos 
 
	(III) Sua adição gera um vetor nulo.
	IV - Versor
 
	(VI) Intensidade, comprimento ou módulo de um vetor.
	V - Vetor unitário
 
	(VII) Possuem mesma direção.
	VI - Norma 
 
	( V ) Vetor cujo o comprimento é uma unidade,  independente da direção ou sentido.
	VII - Vetores eqüipolentes
 
	( IV ) É um vetor unitário, sempre obtido pela divisão de um vetor por sua norma.
Assinale a alternativa que expressa a sequência correta.
R: I,II,III,VI,VII,V,IV
8 - Os vetores podem ser representados, também, por meio dos versores . Sabe-se que o versor de um vetor é a razão entre esse vetor e o seu módulo, ou seja,  . Baseando-se nessas informações e considerando que  pode-se concluir que o versor do vetor formado por , está corretamente representado na alternativa
R: 
9 – Dados os vetores u=(1, -t, -3), v=(t+3, 4-t, 1) e w=(t, -2. 7). O valor de t para que tenha a igualdade u.v=(u+v).w é:
R – 2
10 - Dados os vetores a=(2,-1,1), b=(1,-1,0) e c=(x,1,-3) assinale a alternativa que contém o(s) valor(es) de x, para que o volume do paralelepípedo definido pelos vetores a, b e c seja igual a 1?
R: x=-5 ou x=-3
11 - Considerando os estudos sobre produtos entre vetores e dados os vetores u=( –1,3,2), v=(1,5,–2) e w=(-7,3,1) analise as afirmativas, a seguir:
 I.     u x v =  (–16, 0, -8)                                      
 II.   v x w = (11, 13, 38)
III.   u . v = 20
IV.    u.(v x w) = 104
V.    (v x u) x w = (24, 0, 64)                         
É correto apenas o que se afirma em
R: I, II e IV. 
12 - Considere o ponto A(1,–2,1)  e o vetor v =(3,1,4) que determinam a reta r. As equações vetoriais e paramétricas da reta r estão representadas, respectivamente, na alternativa
R: 
13 - Sabendo que o plano   é determinado pelos pontos A(1,-1,2), B(2,1,-3) e C(-1,-2,6), assinale a alternativa que representa a equação geral de  .
R: 
14 - Analise as afirmações feitas sobre a classificação dos pares de retas r : 6x+7y+3=0 e s: 12x+14y-21=0, e t: x+7y-10=0 e v : -7x+y-3=0 e assinale a alternativa correta. 
R: r e s são paralelas e v e t são perpendiculares. 
15 - Sejam ar , as e at , respectivamente, as inclinações das retas r, s, e t representadas na figura, a seguir. 
É correto o que se afirma em 
R: = at < as ar <
 
e 
 
 
 
16 – Considere os vetores Analise a 
Alternativa que contém o vetor de forma que tenhamos a igualdade 
R: 
17 - Se considerarmos que a velocidade de um disco é de 30 m/s, horizontal e para a esquerda, então estamos definindo a velocidade como uma grandeza 
R: vetorial. 
18 - Considere que A(-2, 1, 3) pertença ao plano e que a reta seja perpendicular a 
RT este plano. Neste caso, assinale a alternativa que contém a equação do plano 	. 
R: 
 	:2x + 3y - z +4 = 0
19 - Pode-se afirmar que as coordenadas cartesianas do centro da hipérbole de equação 9x²-4y²54x+8y+113=0 estão expressas em
R: (3, 1)
20 - A equação da hipérbole que possui os focos F1(0,– 5) e F2(0,5) e um vértice no ponto P(0,– 3) está representada na alternativa: 
R: 
21 - Uma empresa de produtos de limpeza implantou uma nova embalagem de cápsulas esféricas para comercializar o sabão líquido para lavar roupas. Considerando que o raio dessa cápsula seja igual a 1 cm, qual será o volume aproximado de sabão líquido presente em cada uma? 
R: 4,2 cm³ 
22 - Assinale a alternativa que expressa a transformação da equação cartesiana x+y=9 em uma equação polar. 
R: 
23 - Assinale a alternativa que corresponde à equação reduzida da circunferência cujo raio é igual a 2 cm e o seu centro coincide com o ponto médio do segmento de extremidades A e B, sendo A(2, – 5) e B(– 2, – 3). 
R: + (y + 4)² = 4
24 - Analise as afirmativas feitas sobre a figura abaixo representada no plano cartesiano com duas dimensões, x e y, tomando-se como unidade o centímetro. 
 
I
-
 
 
O raio da circunferência é 
 
cm.
 
A equação da circunferência é (x-2)² + (y-1)² =2. 
A equação da reta s é y=x+1. 
É correto apenas o que se afirma em 
R: I, II e III.
25 - A equação da hipérbole que possui os focos F1(0,– 5) e F2(0,5) e um vértice no ponto P(0,– 3) está representada na alternativa:
R: 
26 - Considere uma hipérbole com a excentricidade e=  e os vértices são A1(2,0) e A2(–2,0). Assinale a alternativa que contém as coordenadas cartesianas do foco desta hipérbole.
R: 
27 - Convertendo a coordenada polar (2,  ) , em coordenada cartesianas, obtém-se a equação representada na alternativa:
R: 
28 – Analise as informações feitas sobre as equações e classificações das superfícies quádricas:
I) A equação canônica ou reduzida 2x2+4y2+z2-16=0 refere-se a um elipsoide e pode ser expressa por 
II) A equação canônica ou reduzida 36x2+16y2-9z2-144=0 refere-se a um hiperboloide de uma folha e pode ser expressa por 
III) A equação canônica ou reduzida 4x2+z2-y=0 refere-se a um paraboloide elíptico e pode ser expressa por 
IV) A equação canônica ou reduzida 4x2-y2+2z2+4=0refere-se a um hiperboloide de duas folhas e pode ser expressa por 
V) A equação canônica ou reduzida x2+z2+y=25 refere-se a uma superfície cônica e pode ser expressa por 
É correto apenas o que se afirmar em:
R: I e IV