Aulas 2 Calor v2015

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MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 1 1 
 
 
 
Fenômenos de 
Transferência 
EET-214 
 
versão 2015 
 
Prof. Marcelo Borges Mansur 
marcelo.mansur@metalmat.ufrj.br 
 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 2 
Módulo II 
Transferência de Calor 
 
 Condução 
- Condutividade térmica 
- Lei de Fourier 
- Equação geral da condução (coordenadas 
cartesianas, cilíndricas e esféricas) 
- Condução permanente e transiente 
 
Convecção 
- Forçada 
- Natural 
 
Radiação 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 3 
Introdução: o que é Transferência de Calor? 
Análise da Transferência de Calor: 
 
• Microscópico: fornece a teoria para classificação dos meios de transferência de energia 
• Macroscópico: fenomenológico (método utilizado em Engenharia) 
 
Modos de Transferência de Calor: condução, convecção, radiação 
 
 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 4 
Introdução 
Modos de Transferência de Calor: 
 
Condução: calor se transfere devido à colisão entre átomos/moléculas, meio estagnado 
 
• Nos gases e líquidos: somente se o fluido estiver estagnado, senão é convecção 
• Nos sólidos: 
– Não-condutores: vibração de lacunas (transfere energia mas não transfere cargas 
elétricas) 
– Condutores: vibração de lacunas + movimento de elétrons 
• Metais puros: contribuição elétrons ≈ 30 vezes lacunas 
• Ligas: elétrons ≈ lacunas 
dx
dT
kqx 
Fluxo de calor 
(W/m² = J/s.m²) 
Condutividade térmica 
(W/m.K) 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 5 
Introdução 
Convecção: estritamente não é um mecanismo de transferência de calor 
 
• Natural ou livre: quando o movimento do fluido é causado por diferenças de densidade 
• Forçada: quando o movimento do fluido é causado por meios mecânicos 
  TThq s
Processo h 
(W/m².K) 
Convecção natural 
-Gases 
-Líquidos 
 
2-25 
50-1.000 
Convecção forçada 
-Gases 
-Líquidos 
 
25-250 
100-20.000 
Convecção com mudança de fase 
- Ebulição ou condensação 
 
2.500-100.000 
Convecção natural 
Condensação 
Ebulição 
Convecção forçada 
coef. convectivo de 
transferência de calor 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 6 
Introdução 
Radiação: devido à propagação de um campo magnético e/ou um campo elétrico 
 
• Teoria microscópica: baseada em teorias de ondas eletromagnéticas 
• Teoria macroscópica: baseada na observação do fenômeno (fenomenológica) 
 
 Lei de Stefan-Boltzmann 
4
N Te 
Fluxo de energia 
emitida por um 
corpo negro 
Constante de 
Stefan-Boltzmann 
 = 5,67 x 10-8 W/m²K4 
Temperatura na 
Superfície (K) 
4
NalRe Tee 
Emissividade 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 7 
Condução de Calor 
Equação de Fourier 
 
 
 
T 
x 
L 
1 2 
conc. de energia em 1 
V
)TT(mC 01p 
conc. de energia em 2 
V
)TT(mC 02p 
subtraindo-as: 
)TT(C
V
)TT(mC
21p
21p


gradiente conc. de energia 
L
)TT(C 21p 

fluxo de energia de 1 a 2 
L
)TT(C
q
A
Q 21p
x


qndo L → 0 
dx
)TC(d
q
p
x


Equação de FOURIER 
)TC(
dx
d
q px 
qndo , , CP = cte 
dx
dT
Cq px 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 8 
Condução de Calor 
Equação de Fourier 
 
 
 
T 
x 
L 
1 2 
Equação de FOURIER qndo , , CP = cte 
 
dx
dT
Cq px 
definindo difusividade térmica ( 
pC
k


tem-se: 
dx
dT
kq x 
qx = fluxo de calor na direção x J/(s.m²) ou W/m² 
k = condutividade térmica W/(m.ºC) ou W/(m.K) 
dT/dx = gradiente de temperatura em x ºC/m ou K/m 
Q = taxa de calor J/s ou W 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 9 
Condução de Calor 
Condutividade térmica (k) de GASES, SÓLIDOS e LÍQUIDOS 
 
 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 10 
Condução de Calor 
Condutividade térmica de GASES: 
 
• Nos gases, a transferência de energia ocorre devido ao choque entre átomos/moléculas, 
logo k pode ser previsto pela teoria cinética dos gases (esferas de diâmetro d, massa m): 
 
 
 
 
• Importante: 
– Temperatura em Kelvin 
– Independe da pressão (até 10 atm) 
– Aumenta com T1/2 
 
 
• Mistura de gases: 
 (misturas binárias: erro < 3%) 
2
1
2
1
T
T
k
k




3/1
ii
3/1
iii
mis
Mx
Mkx
k
xi = fração molar 
 
Mi = peso molecular 
m
Tk
d
1
k
3
3
B
2 

MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 11 
Condução de Calor 
Condutividade térmica de SÓLIDOS: 
 
• Principal característica: extremamente difícil de prever a partir da teoria 
• A condução de calor se processa devido dois mecanismos 
 
 
 
 
(1) Mecanismo de vibração de lacunas: 
 
 
 
 
 
(2) Mecanismo de movimento de elétrons: 
elL kkk 
T
dT20
3
VC
k
2
fV
L


vibração movimento 
de lacunas de elétrons 
 = constante de 
Gruneisen (≈ 2) 
T
Vm3
kn
k
Fe
elBe
2
el


- Para um mesmo material kL ↓ qndo T ↑ 
 
- A uma mesma temperatura kL ↑ qndo Tf ↑ 
 
- Em qualquer material kel ↑ qndo T ↑ 
 
ne = nº de elétrons livres/cm³ 
 
VF = velocidade dos elétrons 
no nível de Fermi 
Importante: em qualquer sólido, a condutividade térmica será a soma de kL e kel 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 12 
Condução de Calor 
Condutividade térmica de SÓLIDOS: 
 
• Metais Puros 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Ligas 
TLk 
 condutividade elétrica (ohm-1 cm-1) 
 constante de Lorentz = 2,45 x 10-8 W.ohm ºC-2 
- elementos de liga (substitucional ou segunda 
fase) aumentam a contribuição de kL (≈ kL óxidos) 
Conclusão: muito difícil prever as contribuições 
relativas de kL e kel → difícil prever k = f(T), logo 
recomenda-se medir experimentalmente ou usar 
valores tabelados 
Obs: o valor de L pode variar a depender do metal, de modo a fornecer 
resultados mais acurados, por exemplo: 
- Cobre: L = 2,23 x 10-8 
- Tungstênio: L = 3,04 x 10-8 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 13 
Condução de Calor 
Condutividade térmica de 
LÍQUIDOS: 
 
• kL e kel baixos 
 
• Para metais líquidos, L ≈ valor teórico 
 
• Metais líquidos, k = 2-90 W/(m.K) 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 14 
Exercícios 
1. Qual é a variação de temperatura para se dobrar a condutividade térmica de um gás? 
 
2. Calcule a condutividade térmica de uma mistura de gases a 1.000°C a partir dos dados 
abaixo: 
 
Componente Composição 
(%) 
Condutividade a 500°C 
(W/m.K) 
CO 50 0,03 
CH4 30 0,06 
H2 20 0,20 
Resp.: kmis = 0,072 W/m.K 
3. Em testes de redutibilidade de minérios de ferro utiliza-se uma mistura de CO e H2. 
Para se determinar a composição da mistura (%CO e %H2) utiliza-se um analisador 
de gás que funciona a partir da medida da condutividade térmica da mistura gasosa. 
A 27ºC mediu-se a condutividade de uma determinada mistura CO/H2 como 2,50x10
-4 
cal/s.cm.ºC. Sabendo-se que a condutividade térmica do CO e H2 puros a 50ºC são, 
respectivamente, 6,215x10-5 e 4,628x10-4 cal/s.cm.ºC, calcule os percentuais de CO e 
H2 nessa mistura. 
Resp.: %CO = 30% e %H2 = 70% 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 15 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
Balanço de energia 





























acumulada
energia de Taxa
(-) consumida
ou )( gerada
energia de Taxa
saindo
energia de Taxaentrando
energia de Taxa
Direção x: 
 
Direção y: 
 
Direção z: 
xxxxx
qzyqzy


x 
z 
y 
yyyyy
qzxqzx


zzzzz
qyxqyx


Taxa de energia gerada: 
 
Taxa de energia acumulada: 
 
Dividindo todos os termos pelo volume xyz: 
zyxQ 
t
T
Czyx p



t
T
CQ
z
qq
y
qq
x
qq
p
zzzzzyy
yyyxxxxx











 
qx qx+x 
Cp ≡ J/(kg.K) 
Q ≡ W/m³ 
. 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 16 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
x
)x(f)xx(f
lim
dx
df
0x 



i
T
kq ii



t
T
CQ
z
qq
y
qq
x
qq
p
zzzzzyy
yyyxxxxx











 
Pela definição de derivada: 
e tomando-se o limite quando x, y, z, T e t → 0 
     
t
T
CQq
z
q
y
q
x
pzyx











 
Substituindo a Eq. de Fourier: 
t
T
CQ
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
pzyx































 
Para kx = ky = kz = k e  = k/( Cp) 
t
T1
k
Q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2











 
t
T1
k
Q
T2




ou 
Eq. Geral de 
Condução de calor 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 17 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Cartesianas 
Casos especiais 
 
 
 
(1) Equação de Fourier (Q = 0) 
t
T1
k
Q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2











 
t
T1
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2












(2) Equação de Laplace (Q = 0, T/t = 0) 
0
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2









(3) Equação de Poisson (T/t = 0) 
0
k
Q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2








 
. 
. 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 18 
Equação Geral para Condução de Calor 
Condições Inicial e de Contorno 
Inicial: distribuição de temperatura em t = 0 
 
Contorno: 
 
 (1) Primeiro tipo (Dirichlet): o valor da temperatura é conhecido no contorno 
 
 
 
 (2) Segundo tipo (Neumann): o fluxo de calor é conhecido no contorno 
 
 
 
 
 (3) Terceiro tipo (Robin): o fluxo de calor na superfície depende do fluido adjacente 
sTT 
sq
n
T
k 



 


 TTh
n
T
k s
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 19 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 1: Placa plana sem geração de calor 
xx
q
xxx
q

x
L
x
y
(1) Listar as considerações 
(2) Encontre a equação do balanço de energia partindo 
do balanço diferencial de energia. Pode-se partir 
alternativamente da equação geral de balanço de 
energia 
(3) Defina as condições de contorno 
(4) Encontre a equação para o perfil de temperatura 
(5) Encontre a equação do fluxo de calor 
(6) Escreva a equação do fluxo fazendo analogia com 
resistências 
(7) Encontre a equação da taxa de calor 
1T
2T
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 20 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 1: Placa plana sem geração de calor 
Perfil de Temperatura perfil é linear 
 
 
 
 
Fluxo de Calor 
 
 
 
 
Taxa de Calor 
 
 
 
 
Obs: o fluxo e a taxa são constantes e independem da posição x 
 
L
x
TTT)x(T 121 
 21x TT
L
k
q 
 21xx TT
L
kA
AqQ 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 21 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 2: Múltiplas placas planas sem geração de calor 
1L
x
y
(1) Listar as considerações 
(2) Encontre equações para o perfil 
de temperatura 
(3) Encontre a equação geral do fluxo 
de calor 
(4) Escreva a equação do fluxo 
fazendo analogia com resistências 
1T
2L 3L
2T
3T
4T
2k
3k
1k
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 22 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 2: Múltiplas placas planas sem geração de calor 
 camada 1 
 
 
Perfil de Temperatura camada 2 
 
 
 
 camada 3 
 
 
 
 
Fluxo de Calor resistências em série 
 
 
 
Taxa de Calor que é semelhante à 
 Eq. de Convecção 
 
 
 
 
 
3
21
343
2
1
232
1
121
L
LLx
TTT)x(T
L
Lx
TTT)x(T
L
x
TTT)x(T





3
3
2
2
1
1
41
x
k
L
k
L
k
L
TT
q



 41xx TTUAAqQ 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 23 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 2: Múltiplas placas 
planas sem geração de 
calor 
UA
1
Q
T
RR itotal 

 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 24 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Resistência de contato 
A queda de temperatura através da 
interface entre os materiais pode ser 
significativa, resultando em 
descontinuidade no perfil de 
temperatura nas superfícies. 
Q
TT
R BAc,t


MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 25 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 3: Múltiplas placas planas sem geração de calor sujeita a 
convecção nas superfícies externas 
1L
x
y
(1) Listar as considerações 
(2) Encontre equações para o perfil 
de temperatura 
(3) Encontre a equação geral do fluxo 
de calor 
(4) Escreva a equação do fluxo 
fazendo analogia com resistências 
1T
2L 3L
2T
3T
4T
2k
3k
1k
ah
hb 
Ta 
Tb 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 26 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 3: Múltiplas placas planas sem geração de calor sujeita a 
convecção nas superfícies externas 
 camada 1 
 
 
Perfil de Temperatura camada 2 
 
 
 camada 3 
 
 
 
 
 
Fluxo de Calor 
 
 
 
Taxa de Calor 
 
 
 
 
 
3
21
343
2
1
232
1
121
L
LLx
TTT)x(T
L
Lx
TTT)x(T
L
x
TTT)x(T





b3
3
2
2
1
1
a
ba
x
h
1
k
L
k
L
k
L
h
1
TT
q



 baxx TTUAAqQ 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 27 
Exercícios 
4. Considere uma placa plana de espessura L com geração interna de calor igual a Q* 
(J/s.m3) em estado estacionário. Em uma das superfícies (x = 0) é colocado um 
isolante térmico de modo que a perda de calor é nula. Na outra superfície (x = L) a 
temperatura é mantida constante e igual a T0. 
 
(a) A partir de um balanço térmico, deduza uma expressão para a variação de 
temperatura no interior da placa em função de x. Resp. T-T0 = (Q*L2/2k)[1-(x/L)2] 
(b) A partir dessa equação, deduza uma expressão para a perda térmica em x = L. 
Resp. qx=L= Q*.L 
(c) A partir de um balanço de conservação de energia global, deduza uma 
expressão para a perda térmica. 
 
5. Um forno tem uma parede interna feita com refratários de 0,2 m de espessura e 
condutividade térmica 1,0 W/(m.K). Essa parede é revestida externamente com uma 
camada isolante de 0,03 m e k = 0,07 W/(m.K). Se as temperaturas interna e externa 
são 980oC e 38oC, qual é a perda térmica desse forno por m2?Resp. 1,5 kW/m2 
 
6. Para o forno acima, deseja-se reduzir as perdas térmicas para no máximo 900 W/m2. 
Qual deve ser a espessura do isolante mantendo a mesma espessura do refratário? 
Resp. 0,06 m. 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 28 
Exercícios 
7. Um forno é construído com uma parede de tijolos refratários (k = 1,04 W/m.K) de 9” de 
espessura. Em seguida é revestido com tijolos comuns de 6” de espessura e k = 0,69 
W/(m.K), isolante de lã de vidro (0,07 W/m.K) de 2” e externamente por uma chapa de 
aço de 1/8” (45 W/m.K). Os coeficientes de transferência de calor por convecção interno e 
externo são, respectivamente, 28,39 e 5,68 W/(m2K). A temperatura do gás no interior é 
1.093°C e a temperatura do ar no exterior é 32°C. 
 
 (a) Calcule a perda térmica por m2 nesse forno. Resp. 770 W/m2 
 (b) Calcule as temperaturas nas superfícies interna e externa do forno. Resp. 1.067 e 167,7°C. 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 29 
Exercícios 
8. No projeto de revestimento de uma panela de aciaria utilizam-se dois revestimentos: (i) 
Revestimento de desgaste, feito com tijolos refratários de condutividade térmica de 1,04 
W/(m°C) e com um custo de 15.000 R$/m de espessura. A temperatura máxima de 
trabalho desse material é 1.800°C; (ii) Revestimento isolante cuja condutividade é 0,03 
W/(m.K) e com um custo de 35.000 R$/m de espessura, com uma temperatura máxima 
de trabalho de 1.200°C 
 
 A panela é feita de chapas de aço de 5 cm de espessura e condutividade térmica de 45 
W/(m.K). A temperatura da carcaça não deve ultrapassar 250°C. O aço é vazado a 
1650°C e a temperatura ambiente é 25°C. O coeficiente de transferência de calor por 
convecção interno, durante o borbulhamento de argônio, é 350 W/(m2.oC), e o externo 
5,65 W/(m2.oC). Sem borbulhamento, o coeficiente interno cai para 120 W/(m2.0C). 
 
 Calcule as espessuras do refratário e do isolante de modo que o custo do revestimento 
seja o mais baixo possível. Verifique se, encerrado o borbulhamento de argônio, essas 
espessuras satisfazem os limites de temperatura dos materiais. 
 
 Resp. Espessura do refratário: 0,366 m; Espessura do isolante: 0,022 m; Custo: R$ 6.268,50 
 
 Depois que você concluiu seu projeto, seu chefe lhe diz que encontrou outro fornecedor 
para o material isolante, oferecendo-o a um preço mais barato (3.500 R$/m de 
espessura), que suporta a mesma temperatura máxima, mas de maior condutividade (k = 
0,3 W/m.K). Ele acha que você deve adotar esse novo material. Você concorda com ele? 
Por quê? 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 30 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Cilíndricas 
 
 
 





























acumulada
energia de Taxa
(-) consumida
ou )( gerada
energia de Taxa
saindo
energia de Taxa
entrando
energia de Taxa
Balanço de energia 
Direção r: 
 
Direção q: 
 
Direção z: 
   
rrrrr
qzrqzr

qq
r 
z 
q 
qqqqq
 q)zr(q)zr(
zzzzz
q)rr(q)rr(

qq
Taxa de energia gerada: 
 
 
 
 
Taxa de energia acumulada: 
2
rr2
2
r)(rr
r onde )zrr(Q



q
t
T
C)zrr( p


q
   
t
T
C)zrr()zrr(Q
q)rr(q)rr(q)zr(q)zr(qzrqzr
p
zzzzzrrrrr


qq
qqqq
qqqqq

Substituindo: 
zrrzr
2
rr2
V
z
2
r-r)(r
V
 x Altura Área Volume
22
qq








q



MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 31 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Cilíndricas 
   
t
T
C)zrr()zrr(Q
q)rr(q)rr(q)zr(q)zr(qzrqzr
p
zzzzzrrrrr


qq
qqqq
qqqqq

Balanço de energia 
z
T
kq zz



q


q

 qqq
T
r
k
)r(
T
kq
No limite: r, q, z, T, t → 0 
r
2
rr2
r 


r
T
kq rr



Dividindo pelo volume do elemento (V = rqrz): - 
   
t
T
CQ
z
qq
r
qq
rr
rqrq
p
zzzzzrrrrr






q




qqqqq 
     
t
T
CQ
z
qq
r
1
r
rq
r
1
p
zr






q




 q 
Mas, pela Eq. de Fourier: 
t
T
CQ
z
T
k
z
T
r
k
r
1
r
T
rk
rr
1
pzr


















q

q










 q 
Eq. Geral de 
Condução de calor 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 32 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Cilíndricas 
 
 
 
t
T
CQ
z
T
k
z
T
r
k
r
1
r
T
rk
rr
1
pzr


















q

q










 q 
Balanço de energia 
Eq. Geral de 
Condução de calor 
Para kr = kq = kz = k e  = k/( Cp) 
t
T1
k
Q
z
TT
r
1
r
T
r
rr
1
2
2
2
2
2 






q










 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 33 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 4: Cilindro oco sem geração de calor 
rr
q
rrr
q

r
L
(1) Listar as considerações 
(2) Encontre a equação do balanço de energia partindo da Equação geral de 
condução de calor ou do balanço diferencial de energia 
(3) Defina as condições de contorno 
(4) Encontre a equação para o perfil de temperatura, para o fluxo e para a taxa de 
transferência de calor 
2T
1T
1R
2R
r
z
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 34 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Balanço de energia na direção r: 
 
Dividindo pelo volume (V = 2r.r.L): 
 
 
No limite (r → 0): 
 
 
Substituindo a Eq. De Fourier: 
 
 
Condições de Contorno: 
    0qrL2qrL2
rrrrr


0)rq(
dr
d
r
1
r 
22
11
TT Rr
TT Rr


Solução: 
Exemplo 4: Cilindro oco sem geração de calor 
0
rr
)qr()qr(
rrrrr 



- 
0)rq(
dr
d
r 
r
T
kqr


 0
dr
dT
rk
dr
d






0
dr
dT
r
dr
d






0
dr
dT
r
dr
d






1c
dr
dT
r 
r
c
dr
dT 1
21 c)rln(cT 
Substituindo as CC’s: 
2111 c)Rln(cT 
2212 c)Rln(cT 










2
1
21
1
R
R
ln
TT
c
Como 1/r ≠ 0: 
)Rln(
R
R
ln
TT
Tc 1
2
1
21
12










MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 35 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Substituindo c1 e c2 na solução: 
)Rln(
R
R
ln
TT
T)rln(
R
R
ln
TT
T 1
2
1
21
1
2
1
21
















Perfil de temperatura: 
Exemplo 4: Cilindro oco sem geração de calor 















2
1
1
21
1
R
R
ln
R
r
ln
TT
TT











2
1
21
r
R
R
ln
TT
r
k
r
T
kq
















1
2
21
2
1
21
r
R
R
ln
TT
Lk2
R
R
ln
TT
r
k
rL2AqQ
21 c)rln(cT 
O fluxo de calor será: 








2
1
21
1
RR
ln
TT
c
O fluxo de calor diminui quando r aumenta 
)Rln(
R
R
ln
TT
Tc 1
2
1
21
12








A taxa de transferência de calor será: 
A taxa de transferência de calor não depende de r 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 36 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 5: Múltiplos cilindros 
concêntricos sem geração de 
calor 
(1) Listar as considerações 
(2) Encontre a equação do balanço de 
energia partindo da Equação geral 
de condução de calor ou do balanço 
diferencial de energia 
(3) Defina as condições de contorno 
(4) Encontre a equação para o perfil de 
temperatura e do fluxo de calor 
(5) Escreva a equação do fluxo 
fazendo analogia com resistências 
Fluido à 
temp. Ta 
k1 
k3 k2 
Fluido à 
temp. Tb 
Ta 
Tb 
T1 
T2 
T3 
T0 
r0 
r1 
r2 
r3 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 37 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
A taxa de transferência de calor (Q) é constante e não depende da posição. 
 
No fluido A: 
 
 
Na 1ª camada: 
 
 
Na 2ª camada: 
 
 
Na 3ª camada: 
 
 
No fluido B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b3
b3b3b3
3
23
32
23
32
3
2
12
21
12
21
2
1
01
10
01
10
1
a0
0a0aa0
hr
1
L2
Q
TT TTLhr2Q
k
rrln
L2
Q
TT 
rrln
TT
Lk2Q
k
rrln
L2
Q
TT 
rrln
TT
Lk2Q
k
rrln
L2
Q
TT 
rrln
TT
Lk2Q
hr
1
L2
Q
TT TTLhr2Q
















Somando as equações para diferenças de temperatura: 
Exemplo 5: Múltiplos cilindros concêntricos sem geração de calor 
     









b33
23
2
12
1
01
a0
ba
hr
1
k
rrln
k
rrln
k
rrln
hr
1
L2
Q
TT
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 38 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 5: Múltiplos cilindros concêntricos sem geração de calor 
 ba0 TTU
A
Q
q 
 
b33
2
3
2
1
2
1
0
1
a0
ba
hr
1
k
r
r
ln
k
r
r
ln
k
r
r
ln
hr
1
TTL2
Q






























     









b33
23
2
12
1
01
a0
ba
hr
1
k
rrln
k
rrln
k
rrln
hr
1
L2
Q
TT
b3
0
2
3
3
0
1
2
2
0
0
1
1
0
a0 hr
r
r
r
ln
k
r
r
r
ln
k
r
r
r
ln
k
r
h
1
U
1

























MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 39 
Exercícios 
9. No exercício anterior calcularam-se as espessuras dos revestimentos de uma panela de 
aciaria desconsiderando-se a curvatura das paredes (considerando-se coordenadas 
cartesianas). Neste exercício pretende-se calcular o erro ocasionado por essa 
consideração. 
 
 - Revestimento de desgaste, feito com tijolos refratários de condutividade térmica de 1,04 
W/m.°C e temperatura máxima de trabalho de 1800°C. 
 - Revestimento isolante de condutividade 0,03 W/m.K e temperatura máxima de trabalho 
de 1200°C, colocado entre o revestimento de desgaste e a carcaça de aço. 
 
 A carcaça da panela, com um diâmetro de 3,5 m e altura de 4,5 m, é feita de chapas de 
aço de 5 cm de espessura e condutividade térmica de 45 W/m.K. A temperatura da 
carcaça não deve ultrapassar 250°C. O aço é vazado a 1650°C e a temperatura 
ambiente é 25°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção interno, durante 
o borbulhamento de argônio, é 350 W/m²C, e o externo 5,65 W/m2C. 
 
 Aplicando-se os conceitos de resistências térmicas de condução e de convecção, em 
coordenadas cilíndricas, calcule: 
 
 (a) taxa de transferência de calor (W). Resp.: 62.503,46 W 
 (b) espessura do isolante. Resp.: 0,0218 m (comparado a 0,022 m do exercício anterior) 
 (c) espessura do refratário. Resp.: 0,3172 (comparado a 0,366 m do exercício anterior) 
 (d) temperaturas nas superfícies interna e externas da panela. Resp.: 1.645°C e 249°C 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 40 
Exercícios 
10. Um revestimento de baquelite (k = 1,4 W/m.K) é usado sobre uma barra condutora de 
10 mm de diâmetro cuja superfície é mantida a 200°C pela passagem de uma 
corrente elétrica. A barra encontra-se imersa em um fluido a 25°C, com coeficiente de 
transferência de calor por convecção de 140 W/m²K. 
 
 (a) Obtenha uma expressão teórica e calcule o raio crítico associado ao 
revestimento? Resp: rcrit = k/h = 0,01 m 
 
 (b) Qual é a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento da barra sem 
revestimento e com revestimento de baquelite correspondente ao raio crítico? Resp: 
Com revestimento Q/L = 909,2 W/m e Sem revestimento Q/L = 769,7 W/m 
 
 
11. Um arame com 2 mm de diâmetro é isolado por um revestimento de borracha (k = 
0,13 W/m.K) com 2 mm de espessura. O coeficiente convectivo de transferência de 
calor na superfície externa do revestimento é 10 W/(m².K) e a temperatura ambiente 
do ar é 20ºC. Se a temperatura do isolamento não deve exceder 50ºC, qual é o 
máximo valor da energia elétrica que pode ser dissipado por unidade de comprimento 
do condutor? Resp: 4,51 W/m 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 41 
FT2 - DEMET/UFMG - MBM 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Esféricas 
r 
r sen(q) 
f 
q q 
P 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 42 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Esféricas 





























acumulada
energia de Taxa
(-) consumida
ou )( gerada
energia de Taxa
saindo
energia de Taxa
entrando
energia de Taxa
Balanço de energia 
Direção r: 
 
Direção q: 
 
Direção z: 
   
rrrrr
q)r()(rsenq)r()(rsen

qfqqfq
qqqqq
fqfq q))(senr)(r(q))(senr)(r(
fffff
qq q)r)(r(q)r)(r(
Taxa de energia gerada: 
 
 
 
 
Taxa de energia acumulada: 
2
rr2
2
r)(rr
r onde ))(senr)(r)(r(Q



fqq
t
T
))(senr)(r)(r(Cp


fqq
   
t
T
))(senr)(r)(r(C))(senr)(r)(r(Qq)r)(r(q)r)(r(
q))(senr)(r(q))(senr)(r(q)r()(rsenq)r()(rsen
p
rrrrr


fqqfqqqq
fqfqqfqqfq
fffff
qqqqq

Substituindo: 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 43 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Esféricas 
 
 
 
Balanço de energia 
f

q

fq


f
ff
T
)(rsen
k
))(rsen(
T
kq q


q

 qqq
T
r
k
)r(
T
kq
No limite: r, q, f, T, t → 0 
r
2
rr2
r 


r
T
kq rr



Dividindo pelo volume do elemento V = (r)(rqrsen(q)f): 
- 
   
t
T
CQ
)(senr
qq
)(senr
q)(senq)(sen
rr
qrqr
p2
rrr
2
rr
2



fq


qq
qq



fffffqqqqq 
     
t
T
CQ
q
)(rsen
1q)(sen
)(rsen
1
r
qr
r
1
p
r
2
2 


f

q

q
q
q




fq 
Pela Eq. de Fourier: 
t
T
CQ
T
)(rsen
k
)(rsen
1T
r
)(senk
)(rsen
1
r
T
rk
rr
1
p
2
r2 








f

qf

q






q
q
q

q









 fq 
Eq. Geral de 
Condução de calor 
   
t
T
))(senr)(r)(r(C))(senr)(r)(r(Qq)r)(r(q)r)(r(
q))(senr)(r(q))(senr)(r(q)r()(rsenq)r()(rsen
p
rrrrr


fqqfqqqq
fqfqqfqqfq
fffff
qqqqq

- 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 44 
Equação Geral para Condução de Calor 
Coordenadas Esféricas 
 
 
 
Balanço de energia 
Eq. Geral de 
Condução de calor 
Para kr = kq = kf = k e  = k/( Cp) 
t
T1
k
QT
)(senr
1T
)(sen
)(senr
1
r
T
r
rr
1
2
2
222
2
2 



f

q






q

q
q

q









 
t
T
CQ
T
)(rsen
k
)(rsen
1T
r
)(senk
)(rsen
1
r
T
rk
rr
1
p
2
r2 









f

qf

q






q
q
q

q









 fq 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 45 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 6: Esfera oca sem geração de calor 
rr
q
rrr
q

r
(1) Listar as considerações 
(2) Encontre a equação do balanço de energia 
(3) Defina as condições de contorno 
(4) Encontre a equação para o perfil de temperatura, para o fluxo e para a taxa de 
transferência de calor 
2T
r
1R
2R
1T
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 46 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Da equação geral: 
 
 
 
Condições de Contorno: 
22
11
TT Rr
TT Rr


Solução: 
Exemplo 6: Esfera oca sem geração de calor 
0
dr
dT
r
dr
d 2 





1
2 c
dr
dT
r 
2
1
r
c
dr
dT

r
c
cT 12 
Substituindo as CC’s: 
1
1
21
R
c
cT 
12
21
1
R
1
R
1
TT
c


















12
21
1
12
R
1
R
1
TT
R
1
Tc
0
r
T
r
rr
1 2
2










2
1
22
R
c
cT 





















































12
21
1
12
21
12
21
1
1
R
1
R
1
TT
r
1
R
1
R
1
R
1
TT
r
1
R
1
R
1
TT
R
1
TT
12
1
21
1
R
1
R
1
r
1
R
1
TT
TT





Perfil de temperatura 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 47 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 6: Esfera oca sem geração de calor 


















12
21
22
1
r
R
1
R
1
TT
r
k
r
c
k
r
T
kq






























21
21
12
21
2
2
r
R
1
R
1
TT
k4
R
1
R
1
TT
r
kr4
AqQ
O fluxo de calor será: O fluxo de calor diminui 
quando r aumenta 
A taxa de transferência de calor será: 
A taxa de transferência de 
calor não depende de r 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 48 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 7: Múltiplas esferas 
concêntricas sem geração de 
calor 
(1) Listar as considerações 
(2) Encontre a equação da taxa global 
de calor e faça analogia com 
resistências 
Fluido à 
temp. Ta 
k1 
k3 k2 
Fluido à 
temp. Tb 
Ta 
Tb 
T1 
T2 
T3 
T0 
r0 
r1 
r2 
r3 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 49 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
A taxa de transferência de calor (Q) é constante e não depende da posição. 
 
No fluido A: 
 
 
Na 1ª camada: 
 
 
 
Na 2ª camada: 
 
 
 
Na 3ª camada: 
 
 
No fluido B: 
 
 
b
2
3
b3b3b
2
3
3
32
32
32
32
3
2
21
21
21
21
2
1
10
10
10
10
1
a
2
0
0a0aa
2
0
hr
1
4
Q
TT TThr4Q
k
r
1
r
1
4
Q
TT 
r
1
r
1
TT
k4Q
k
r
1
r
1
4
Q
TT 
r
1
r
1
TT
k4Q
k
r
1
r
1
4
Q
TT 
r
1
r
1
TT
k4Q
hr
1
4
Q
TT TThr4Q


























































Exemplo 7: Múltiplas esferas concêntricas sem geração de calor 
Somando as equações para diferenças de temperatura: 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 50 
Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente 
Exemplo 7: Múltiplas esferas concêntricas sem geração de calor 





















b
2
33
32
2
21
1
10
a
2
0
ba
hr
1
k
r
1
r
1
k
r
1
r
1
k
r
1
r
1
hr
1
4
Q
TT
b
2
33
32
2
21
1
10
a
2
0
ba
hr
1
k
r
1
r
1
k
r
1
r
1
k
r
1
r
1
hr
1
)TT(4
Q









MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 51 
Exercícios 
12. Considere uma esfera de raio Ro com uma geração interna de calor Q* (J/s.m
3). Se a 
temperatura na superfície é mantida constante e igual a To, determine uma equação 
para o fluxo de calor na superfície e para a variação da temperatura com o raio da 
esfera considerando-se estado estacionário. 
 Resp. T – To = (Q*Ro
2/6k).[1 – (r/Ro)
2] qr=Ro = Q*Ro/3 
 
 
13. Considere agora que a esfera perde calor por convecção para um ambiente a 
temperatura T∞. Deduza uma equação para a distribuição da temperatura para essa 
situação. 
 Resp. T – T∞ = (Q*Ro
2/6k).{2k/hRo + [1 – (r/Ro)
2]} 
 
 Dica: encontre uma equação para (To – T∞) em função de Ro e utilizando a equação 
do problema anterior para (T – To), elimine To para obter (T - T∞) 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 52 
Exercícios 
14. Um tanque esférico é utilizado para 
armazenar um produto químico sob a 
forma líquida a -120ºC, cuja entalpia 
de vaporização é 350 kJ/kg. As duas 
primeiras camadas internas são feitas 
de materiais isolantes (k1 = 0,2 W/m.K 
e k2 = 1,2 W/m.K) e a camada 
externa é feita de aço (k3 = 40 W/m.k). 
Apesar do isolamento térmico, ocorre 
uma vaporização do líquido 
armazenado, a uma taxa de 50 kg/h, 
devido ao calor que atravessa a 
parede do tanque. A partir desses 
dados, calcule a espessura do 
isolante interno (material 1). Resp: 
espessura = 0,45 m 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 53 
Exercícios selecionados 
15. Uma barra retangular de combustível sólido nuclear de 30 mm de espessura (2L) é 
recoberta por um revestimento de aço com espessura Laço = 3 mm, conforme mostrado 
na figura abaixo. O combustível apresenta geração uniforme de calor, a uma taxa de 
2x107 W/m³. O revestimento interno de aço é isolado, e o revestimento externo está 
exposto a um fluido de resfriamento a 150°C (h = 20.000 W/m²K). As condutividades 
térmicas do combustível e doaço são iguais a 60 e 15 W/mK, respectivamente. 
(a) Determine as temperaturas interna (Ti) e 
externa (Te) do revestimento de aço em 
contato com o fluido. Te = 180ºC; Ti = 300ºC 
 
(b) Obtenha uma expressão para a variação 
da temperatura ao longo de x no interior 
do combustível. T-Ti=-qx²/(2kc)-qLx/kc+3qL²/(2kc) 
 
(c) Qual o ponto de temperatura mais elevada 
no combustível e qual o valor desta 
temperatura? Tmax = 450ºC em x = -L 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 54 
Exercícios selecionados 
16. Um tubo metálico de paredes finas com 100 mm de diâmetro interno, sem isolamento 
térmico, é usado para transportar água para equipamentos que operam ao ar livre e que 
usam água como refrigerante. Em condições de inverno rigoroso, a parede interna do 
tubo chega a atingir temperaturas de -15°C, e uma camada cilíndrica de gelo (kgelo = 
1,94 W/mK) se forma sobre sua superfície interna. Se a temperatura média da água for 
de 3°C e um coeficiente de transferência de calor por convecção de 2000 W/m²K na 
superfície interna da camada de gelo que se encontra a 0°C, determine a espessura da 
camada de gelo. Demonstre o que aconteceria caso houvesse uma interrupção no 
escoamento e água ficasse parada no interior do tubo? Resp: d = 5 mm 
 
17. Resíduos radioativos (krw = 20 W/mK) são armazenados em um contêiner esférico de 
aço inoxidável (kss = 15 W/mK) de raios interno e externo iguais a ri = 0,5 m e re = 0,6 m. 
Calor é gerado volumetricamente no interior dos resíduos a uma taxa uniforme = 105 
W/m³ e a superfície externa do contêiner encontra-se exposta a uma corrente de água 
para a qual h = 1000 W/m²K e T∞ = 25°C. 
 
 (a) Encontre o valor da temperatura Ts,e da superfície externa do contêiner em regime 
estacionário. Resp: Ts,e = 36,6ºC 
 (b) Encontre o valor da temperatura Ts,i da superfície interna do contêiner em regime 
estacionário. Resp: Ts,i = 129,4ºC 
 (c) Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura, T(r), nos resíduos 
radioativos. Expresse seu resultados em termos de ri, Ts,i, krw e Q. Encontre o valor da 
temperatura em r = 0. Resp: T = Ts,i + QRi²/6krw = 337,7ºC 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 55 
Exercícios selecionados 
18. Um aquecedor elétrico delgado de espessura desprezível é enrolado ao redor da superfície 
externa de um tubo cilíndrico com 3 m de comprimento. A parede do tubo possui raios 
interno e externo iguais a 25 e 75 mm, respectivamente, e condutividade térmica de 10 
W/mK. A superfície externa do aquecedor está exposta a um fluido com Ta = -10°C e um 
coeficiente de convecção ha = 150 W/m²K, enquanto que a superfície interna do tubo 
encontra-se exposta a outro fluido com Tb = 0°C e um coeficiente de convecção hb = 5000 
W/m²K. Considerando desprezível a resistência à transferência de calor por condução no 
aquecedor, determine: 
 
 (a) A potência do aquecedor (em W) requerida para mantê-lo a To = 25°C Q = 11420,3 W 
 (b) A temperatura na superfície interna do cilindro (em Celsius). T = 1,7ºC 
 
19. Uma sonda criocirúrgica esférica pode ser introduzida em tecidos doentes com o objetivo 
de congelá-los e, assim, destruí-los. Considere uma sonda com 3 mm de diâmetro cuja 
superfície é mantida a -30°C quando introduzida em um tecido que se encontra a 37°C. 
Uma camada esférica de tecido congelado se forma ao redor da sonda, com uma 
temperatura de 0°C na interface entre os tecidos congelado e normal. A condutividade 
térmica do tecido congelado é de 1,5 W/mK e a transferência de calor na interface é 
caracterizada por um coeficiente de convecção de 50 W/m²K. 
 
 (a) Calcule a espessura da camada de tecido congelado (em mm), e Resp: d = 5,34 mm 
 (b) Deduza uma expressão para o cálculo da temperatura no centro da sonda. T=Ts-QR²/6k 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 56 
Exercícios selecionados 
x 
20. Considere a parede plana composta mostrada esquematicamente na figura abaixo. 
As superfícies externas encontram-se expostas ao mesmo fluido a 25°C e 
coeficiente de transferência de calor igual a 1000 W/(m².K). Na parede B (LB = 60 
mm) há geração volumétrica uniforme de calor que se transfere para as paredes A 
(kA = 15 W/m.K e LA = 30 mm) e C (kC = 50 W/m.K e LC = 20 mm). As temperaturas 
nas interfaces T1 = 261°C e T2 = 211°C não variam com o tempo. 
 
(a) Obtenha a expressão do perfil de temperatura T(x) na parede B 
(b) Obtenha a expressão do fluxo de calor (em W/m²) na parede B 
(c) Calcule (W/m³) e a condutividade térmica da parede B Resp: kB = 32,5 W/m.K 
(d) Calcule a posição (xmax) e a temperatura máxima (Tmax) Tmax = 288ºC, xmax = 0,022 m 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 57 
Condução de Calor em Regime Transiente 
Gradiente interno de temperatura Dimensão 
 (1) sem gradiente interno (1) Finito 
 (2) com gradiente interno (2) Infinito 
 (3) Semi-infinito 
h
1
R
k
L
R
ex
in


Critério quanto ao gradiente interno de temperatura: 
 
 
 Resistência térmica interna 
 
 
 
 Resistência térmica externa 
 
 
 
 qndo Rex > Rin → gradiente interno é pequeno 
 
T 
h, T∞ h, T∞ 
0 L x 
To 
T1 
T2 
Tf 
Critério: 
1,0
R
R
ex
in 
como 
Bi
k
hL
R
R c
ex
in 
Número de Biot 
Bi  0,1 
Não existe gradiente 
interno de temperatura 
2
2
x
T
t
T





MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 58 
Condução de Calor em Regime Transiente 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 59 
Condução de Calor em Regime Transiente 
(1) Resfriamento Newtoniano (Bi  0,1) – Método da Capacitância Concentrada 






















 t ervaloint
no fluido o para
otransferid Calor
t em T
resfriar para placa
pela perdido Calor
Balanço térmico 
h, T∞ h, T∞ 
Para t = 0, T = To logo: 
  TThA
dt
dT
VC sp
Se h(T), então: 
- Integrar se h(T) for 
conhecida 
- Dividir a variação em 
intervalos com h 
constante 



















q
q





cP
s
Poo L
t
C
h
expt
V
A
C
h
exp
TT
TT
dt
VC
hA
TT
dT
p
s


 
A = área total de perda 
 de calor 
  1
p
s ct
VC
hA
TTln 

 
k
hL
Bi c 2
cL
t
Fo


Número de Fourier 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 60 
Condução de Calor em Regime Transiente 
(1) Resfriamento Newtoniano (Bi  0,1) – Método da Capacitância Concentrada 
h, T∞ 
 Fo.Biexp
L
t
C
h
exp
TT
TT
Poo










q
q





k
hL
Bi c
2
cL
t
Fo












q
q




 t
V
A
C
h
exp
TT
TT s
Poo
h, T∞ 
 Fo.Bi.2exp
R
t2
C
h
exp
TT
TT
Poo










q
q





h, T∞ 
 Fo.Bi.3exp
R
t3
C
h
exp
TT
TT
Poo










q
q





MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 61 
Condução de Calor em Regime Transiente 
(2) Resfriamento com Gradiente Interno de Temperatura – Solução Analítica 
EDP 
 
 
CI t = 0 T = T0 
 
CC1 x = 0 
 
CC2 x = L 
h, T∞ h, T∞ 
onde 
0
dx
dT




 





1n
n
2
n
nnn
n
0
)xcos()texp(
)Lcos()Lsin(L
)Lsin(
2
TT
TT
Solução Analítica (Método de Separação de Variáveis): 
L)(gcot.Bi nn 
Ti 
t 
0 L x 
2
2
xT
t
T





  TTh
dx
dT
k
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 62 
Condução de Calor em Regime Transiente 
(2) Como obter a Solução Analítica? 
EDP 
 
 
CI t = 0 T = T0 
 
CC1 x = 0 
 
CC2 x = L 
0
dx
dT

2
2
x
T
t
T





  TTh
dx
dT
k
EDP 
 
 
CI Fo = 0 q = qi 
 
CC1 h = 0 
 
CC2 h = 1 
0
d
d

h
q
2
2
Fo h
q


q
q
h
q
 .Bi
d
d
Etapa 1: adimensionalização 




q
q
TT
TT
00
L
x
h
k
hL
Bi 
2L
t
Fo


Etapa 2: separação de variáveis 
2
2
2
d
Xd
X
1
dFo
dY
Y
1

h

q = X(h) Y(Fo) 
onde 



h
q
q
1n
n
2
nn
i
)cos()Foexp(A
Bi)(tg
)2(sen2
)(sen4
A
nn
nn
n
n




MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 63 
Condução de Calor em Regime Transiente 
k
hR
Bi 
(2) Resfriamento com Gradiente Interno de Temperatura 
Parede Plana 
 
 
 
 
 
Cilindro Infinito 
 
 
 
 
 
 
Esfera 
onde 



h
q
q
1n
n
2
nn
i
)cos()Foexp(A
Bi)(tg
)2(sen2
)(sen4
A
nn
nn
n
n




onde 



h
q
q
1n
n0
2
nn
i
)(J)Foexp(A
Bi
)(J
)(J
)(J)(J
)(J2
A
n0
n1
n
n
2
1n
2
0
n1
n
n








onde 


 h
h

q
q
1n n
n2
nn
i
)(sen
)Foexp(A
 
Bi)cot(1
)2(sen2
)cos()(sen4
A
nn
nn
nnn
n




Solução Analítica Completa 
k
hR
Bi 
k
hL
Bi 
k
hR
Bi 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 64 
(2) Resfriamento com Gradiente 
Interno de Temperatura – 
Solução Analítica 
Funções de Bessel de primeira 
espécie para cálculo do 
Cilindro Infinito 
x J0(x) J1(x) 
0,0 
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
0,5 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
1,0 
1,1 
1,2 
1,3 
1,4 
1,5 
1,6 
1,7 
1,8 
1,9 
2,0 
2,1 
2,2 
2,3 
2,4 
1,0000 
0,9975 
0,9900 
0,9776 
0,9604 
0,9385 
0,9120 
0,8812 
0,8463 
0,8075 
0,7652 
0,7196 
0,6711 
0,6201 
0,5669 
0,5118 
0,4554 
0,3980 
0,3400 
0,2818 
0,2239 
0,1666 
0,1104 
0,0555 
0,0025 
0,0000 
0,0499 
0,0995 
0,1483 
0,1960 
0,2423 
0,2867 
0,3290 
0,3688 
0,4059 
0,4400 
0,4709 
0,4983 
0,5220 
0,5419 
0,5579 
0,5699 
0,5778 
0,5815 
0,5812 
0,5767 
0,5683 
0,5560 
0,5399 
0,5202 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 65 
Condução de Calor em 
Regime Transiente 
(2) Resfriamento com Gradiente 
 Interno de Temperatura – Solução 
 Analítica para parede plana 
Solução Analítica Completa 
k
hL
Bi 
Bi 1 2 3 4 
0 
0,001 
0,002 
0,004 
0,006 
0,008 
0,01 
0,02 
0,04 
0,06 
0,08 
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
0,5 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
1,0 
1,5 
2,0 
3,0 
4,0 
5,0 
6,0 
7,0 
8,0 
9,0 
10,0 
15,0 
20,0 
30,0 
40,0 
50,0 
60,0 
80,0 
100,0 
 
0 
0,0316 
0,0447 
0,0632 
0,0774 
0,0893 
0,0998 
0,1410 
0,1987 
0,2425 
0,2791 
0,3111 
0,4328 
0,5218 
0,5932 
0,6533 
0,7051 
0,7506 
0,7910 
0,8274 
0,8603 
0,9882 
1,0769 
1,1925 
1,2646 
1,3138 
1,3496 
1,3766 
1,3978 
1,4149 
1,4289 
1,4729 
1,4961 
1,5202 
1,5325 
1,5400 
1,5451 
1,5514 
1,5552 
1,5708 
3,1416 
3,1419 
3,1422 
3,1429 
3,1435 
3,1441 
3,1448 
3,1479 
3,1543 
3,1606 
3,1668 
3,1731 
3,2039 
3,2341 
3,2636 
3,2923 
3,3204 
3,3477 
3,3744 
3,4003 
3,4256 
3,5422 
3,6436 
3,8088 
3,9352 
4,0336 
4,1116 
4,1746 
4,2264 
4,2694 
4,3058 
4,4255 
4,4915 
4,5615 
4,5979 
4,6202 
4,6353 
4,6543 
4,6658 
4,7124 
6,2832 
6,2833 
6,2835 
6,2838 
6,2841 
6,2845 
6,2848 
6,2864 
6,2895 
6,2927 
6,2959 
6,2991 
6,3148 
6,3305 
6,3461 
6,3616 
6,3770 
6,3923 
6,4074 
6,4224 
6,4373 
6,5097 
6,5783 
6,7040 
6,8140 
6,9096 
6,9924 
7,0640 
7,1263 
7,1806 
7,2281 
7,3959 
7,4954 
7,6057 
7,6647 
7,7012 
7,7259 
7,7573 
7,7764 
7,8540 
9,4248 
9,4249 
9,4250 
9,4252 
9,4254 
9,4256 
9,4258 
9,4269 
9,4290 
9,4311 
9,4333 
9,4354 
9,4459 
9,4565 
9,4670 
9,4775 
9,4879 
9,4983 
9,5087 
9,5190 
9,5293 
9,5801 
9,6296 
9,7240 
9,8119 
9,8928 
9,9667 
10,0339 
10,0949 
10,1502 
10,2003 
10,3898 
10,5117 
10,6543 
10,7334 
10,7832 
10,8172 
10,8606 
10,8871 
10,9956 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 66 
(2) Resfriamento com Gradiente 
Interno de Temperatura – 
Solução Analítica 
Solução Analítica 
Simplificada Fo > 0,2 
Parede Plana Cilindro Infinito Esfera 
Bi 1 
(rad) 
A1 1 
(rad) 
A1 1 
(rad) 
A1 
0,01 
0,02 
0,03 
0,04 
0,05 
0,06 
0,07 
0,08 
0,09 
0,10 
0,15 
0,20 
0,25 
0,3 
0,4 
0,5 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
20 
30 
40 
50 
100 
 
0,0998 
0,1410 
0,1732 
0,1987 
0,2217 
0,2425 
0,2615 
0,2791 
0,2956 
0,3111 
0,3779 
0,4328 
0,4801 
0,5218 
0,5932 
0,6533 
0,7051 
0,7506 
0,7910 
0,8274 
0,8603 
1,0769 
1,1925 
1,2646 
1,3138 
1,3496 
1,3766 
1,3978 
1,4149 
1,4289 
1,4961 
1,5202 
1,5325 
1,5400 
1,5552 
1,5707 
1,0017 
1,0033 
1,0049 
1,0066 
1,0082 
1,0098 
1,0114 
1,0130 
1,0145 
1,0160 
1,0237 
1,0311 
1,0382 
1,0450 
1,0580 
1,0701 
1,0814 
1,0919 
1,1016 
1,1107 
1,1191 
1,1795 
1,2102 
1,2287 
1,2402 
1,2479 
1,2532 
1,2570 
1,2598 
1,2620 
1,2699 
1,2717 
1,2723 
1,2727 
1,2731 
1,2733 
0,1412 
0,1995 
0,2439 
0,2814 
0,3142 
0,3438 
0,3708 
0,3960 
0,4195 
0,4417 
0,5376 
0,6170 
0,6856 
0,7465 
0,8516 
0,9408 
1,0185 
1,0873 
1,1490 
1,2048 
1,2558 
1,5995 
1,7887 
1,9081 
1,9898 
2,0490 
2,0937 
2,1286 
2,1566 
2,1795 
2,2881 
2,3261 
2,3455 
2,3572 
2,3809 
2,4050 
1,0025 
1,0050 
1,0075 
1,0099 
1,0124 
1,0148 
1,0173 
1,0197 
1,0222 
1,0246 
1,0365 
1,0483 
1,0598 
1,0712 
1,0932 
1,1143 
1,1346 
1,1539 
1,1725 
1,1902 
1,2071 
1,3384 
1,4191 
1,4698 
1,5029 
1,5253 
1,5411 
1,5526 
1,5611 
1,5677 
1,5919 
1,5973 
1,5993 
1,6002 
1,6015 
1,6018 
0,1730 
0,2445 
0,2989 
0,3450 
0,3852 
0,4217 
0,4550 
0,4860 
0,5150 
0,5423 
0,6608 
0,7593 
0,8448 
0,9208 
1,0528 
1,1656 
1,2644 
1,3525 
1,4320 
1,5044 
1,5708 
2,0288 
2,2889 
2,4556 
2,5704 
2,6537 
2,7165 
2,7654 
2,8044 
2,8363 
2,9857 
3,0372 
3,0632 
3,0788 
3,1102 
3,1415 
1,0030 
1,0060 
1,0090 
1,0120 
1,0149 
1,0179 
1,0209 
1,0239 
1,0268 
1,0298 
1,0445 
1,0592 
1,0737 
1,0880 
1,1164 
1,1441 
1,1713 
1,1978 
1,2236 
1,2488 
1,2732 
1,4793 
1,6227 
1,7201 
1,78701,8338 
1,8674 
1,8921 
1,9106 
1,9249 
1,9781 
1,9898 
1,9942 
1,9962 
1,9990 
2,000 
Parede Plana 
 
 
 
 
Cilindro Infinito 
 
 
 
 
Esfera 
)cos()Foexp(A 1
2
11
i
h
q
q
)(J)Foexp(A 10
2
11
i
h
q
q
h
h

q
q
1
12
11
i
)(sen
)Foexp(A
k
hL
Bi 
k
hR
Bi 
k
hR
Bi 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 67 
Exercícios 
21. Uma barra cilíndrica de aço inoxidável (k = 15,58 W/m.K e  = 4,08 x 10-6 m2/s) de 
diâmetro igual a 12,7 cm foi aquecida inicialmente a 204°C e depois resfriada em um 
jato de ar a 27°C com h = 142 W/m2K. 
 
 (a) Calcule o tempo necessário para que o centro da barra atinja 38°C. Resp. 47,7 min 
 (b) Quando o centro estiver a 38°C, qual a temperatura na superfície? Resp. 35,4°C 
 (c) Supondo um sistema ideal de resfriamento (h = ∞), qual seria o tempo mínimo de 
resfriamento para que o centro da barra atinja 38°C? Resp. 11 min. 
 
22. Uma esfera de alumínio (k = 204 W/m.K; Cp = 896 J/Kg.K; ρ = 2.707 kg/m
3) pesando 5,5 
kg e inicialmente a 290°C é imersa em água a 15°C. Se o coeficiente de transferência 
de calor é 58 W/m2.K, calcule o tempo necessário para que o centro da esfera atinja 
90°C. Resp. 24 min. 
 
23. Um bom termopar tem que ser capaz de, quando imerso no meio para medir a 
temperatura, dar uma resposta rápida, ou seja, atingir a temperatura do meio em no 
máximo 5 segundos. Considerando a ponta do termopar (inicialmente a 25ºC) como 
uma esfera e o gás no qual ele é imerso a 200ºC, calcule o diâmetro da ponta de modo 
que ela atinja 199ºC em 5 segundos. Propriedades do material da ponta do termopar: k 
= 20 W/m.K; Cp = 400 J/kg.K; ρ = 8500 kg/m³; h = 400 W/m²K; Área da esfera = πD²; 
Volume da esfera = πD³/6. Faça as suposições que julgar necessário, comprovando-as. 
Resp. 0,6mm. 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 68 
Exercícios 
24. Uma placa de alumínio de dimensões 30 x 20 x 0,1 cm é aquecida inicialmente a 540°C e 
depois resfriada em água a 90°C. Na faixa de temperatura de 600 a 260°C, o coeficiente 
de transferência de calor na água é constante e igual a 510 W/m2K e na faixa de 260 a 
90°C igual a 2.500 W/m2K. Dados do alumínio: k = 78 W/m.K; ρ = 2.900 kg/m3; Cp = 1.005 
J/kg.K 
 
 (a) Calcule a taxa de resfriamento quando a placa está a 310ºC. Resp. -77°C/s 
 (b) Determine o tempo necessário para o centro da placa atingir 120ºC. Resp. 3,8 s. 
 
 
25. O aço é sequencialmente aquecido e resfriado (recozimento) para alívio de tensões e 
torná-lo menos quebradiço. Considere uma placa de 99 mm de espessura (k = 45 
W/m.K,  = 7800 kg/m³, Cp = 500 J/kg.K) que está inicialmente a uma temperatura 
uniforme de 300ºC e é aquecido (nos dois lados) no interior de um forno a gás para o 
qual T∞ = 700ºC e h = 500 W/(m².K). Quanto tempo (em minutos) levará para que a placa 
atinja a temperatura mínima de 550ºC? Utilize dois métodos distintos de cálculo e 
comente a diferença nos resultados. 
 Resp: t = 8,08 min (método analítico); t = 7,08 min (método da capacitância concentrada) 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 69 
Condução de Calor em Regime Transiente 
(3) Sólidos Semi-Infinitos 











t2
x
erf
TT
TT
0
1o Caso: Temperatura na superfície especificada 
T0 
T∞ 
t 
EDP 
 
 
CI t = 0 T = T0 
 
CC1 x = 0 
 
CC2 x =  T = T0 
 TT
2
2
x
T
t
T





x 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 70 
Condução de Calor em Regime Transiente 
Como obter a Solução Analítica? 
EDP 
 
 
CI t = 0 T = T0 
 
CC1 x = 0 
 
CC2 x =  T = T0 
 TT
2
2
x
T
t
T





Método de Substituição de Variáveis 
T 
z 
x t 
t4
x

z
z




z
z



 T
t4
1
x
T
x
T
2
22
2
2
2
2 T
t4
1
x
T
x
T
z









z
z




0
d
dT
2
d
Td
2
2

z
z
z
CI t = 0 z =  T = T0 
 
CC1 x = 0 z = 0 T = T∞ 
 
CC2 x =  z =  T = T0 
z




z
z



 T
t4t2
x
t
T
t
T
EDO 2ª ordem 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 71 
Condução de Calor em Regime Transiente 
Como obter a Solução Analítica? 
0
d
dT
2
d
Td
2
2

z
z
z
z = 0 T = T∞ 
z =  T = T0 
Resolução analítica da EDO pelo método da redução de ordem: 
z

d
dT
y
2
2
d
Td
d
dy
'y
z

z

substituindo: 
0y2
d
dy
z
z
integrando: 
0d2
y
dy
zz
→ 
)aln(
2
2
)yln(
2

z

2
ae
d
dT
y z
z

→ 
integrando: 


z z
 0
T
T
deadT
2
0
2
aTT0

 
→ 
integrando: 

z
z z



 0
0
T
T
de
2
TT
dT
2












t2
x
erf
TT
TT
0

z
z

 zz




00
)(erfde
2
TT
TT 2
→ 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 72 
Condução de Calor em Regime Transiente 
(3) Sólidos Semi-Infinitos (cont.) 















 


















 















k
th
t2
x
erf1
k
th
t
x
k
th
exp
t2
x
erf
TT
TT
0
2o Caso: Fluxo de calor na superfície especificado 
T0 
t 
h 
T∞ 
EDP 
 
 
CI t = 0 T = T0 
 
CC1 x = 0 
 
CC2 x =  T = T0 
2
2
x
T
t
T





  TTh
dx
dT
k
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 73 
Condução de Calor em Regime Transiente 
w erf(w) w erf(w) w erf(w) 
0,00 
0,02 
0,04 
0,06 
0,08 
0,10 
0,12 
0,14 
0,16 
0,18 
0,20 
0,22 
0,24 
0,26 
0,28 
0,30 
0,32 
0,34 
0,00000 
0,02256 
0,04511 
0,06762 
0,09008 
0,11246 
0,13476 
0,15695 
0,17901 
0,20094 
0,22270 
0,24430 
0,26570 
0,28690 
0,30788 
0,32863 
0,34913 
0,36936 
0,36 
0,38 
0,40 
0,44 
0,48 
0,52 
0,56 
0,60 
0,64 
0,68 
0,72 
0,76 
0,80 
0,84 
0,88 
0,92 
0,96 
1,00 
0,38933 
0,40901 
0,42839 
0,46622 
0,50275 
0,53790 
0,57162 
0,60386 
0,63459 
0,66378 
0,69143 
0,71754 
0,74210 
0,76514 
0,78669 
0,80677 
0,82542 
0,84270 
1,04 
1,08 
1,12 
1,16 
1,20 
1,30 
1,40 
1,50 
1,60 
1,70 
1,80 
1,90 
2,00 
2,20 
2,40 
2,60 
2,80 
3,00 
0,85865 
0,87333 
0,88679 
0,89910 
0,91031 
0,93401 
0,95228 
0,96611 
0,97635 
0,98379 
0,98909 
0,99279 
0,99532 
0,99814 
0,99931 
0,99976 
0,99992 
0,99998 
)w(erf1)w(erfc 




w
0
u due
2
)w(erf
2
Função erro de Gauss 
Função erro complementar 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 74 
Condução de Calor em Regime Transiente 
Exemplo 8: Erro na consideração de sólido semi-infinito 
(a) Qual a temperatura após 0,5 min em x = 2,5 cm? 
0 2,5 cm x 
T0 = 35
oC 
T∞ = 250
oC 
k = 45 W/mºC 
 = 1,4 x 10-5 m2/s 
T0 = 35
oC 
C5,118250)25035(61164,0T
61164,0)61,0(erf 
30x10x4,12
025,0
erf
t2
x
erf
TT
TT
o
5
0
























(b) Qualo mínimo comprimento do sólido para 
que a solução acima seja válida com um 
erro de 1% na temperatura? 
1% é associado erro o cm, 9,22 L Se
cm22,9m0922,0)30x10x4,1(x2x25,2x
25,2
t2
x
 9984,0
t2
x
erf
9984,0
25035
25035x01,1
TT
TT
2/15
crit
critcrit
0




















T 
250 
35 
x 
1% 
xcrit 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 75 
Condução de Calor 
em Regime Transiente 
Sólidos Multidimensionais 
Placa 1 
Placa 2 
3 placa02 placa01 placa0barra0
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TT








































Placa 3 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 76 
Exercícios 
27. A figura mostra uma placa de aço com 
0,5% C aquecida inicialmente a 
1.200°C. Calcule a temperatura no 
ponto x = 3 cm, y = 3 cm, z =1,6 cm 
após 1 minuto de iniciado o 
resfriamento ao ar a 20°C. Os 
coeficientes de transferência de calor 
em cada face da placa é indicado na 
figura. Dados do aço: k = 54 W/m.K; ρ 
= 7.833 kg/m³; Cp = 465 J/kg.K. Resp. 
27°C 
26. Aço líquido a 1650°C é vazado em uma panela (3 m de diâmetro com 2,4 m de altura 
útil) cujos refratários foram pré-aquecidos a 650°C. Após 2 minutos, calcule a 
temperatura no refratário a uma distancia de 1 cm da superfície do mesmo. Após esse 
tempo, qual é a temperatura a 10 cm da superfície. Suponha a parede refratária como 
uma superfície plana semi-infinita. Resp. 893°C e 650°C. 
 
 Dados do refratário: Dados do aço: 
 k = 1,04 W/m.K ρ = 7.000 kg/m3 
 ρ = 2.710 kg/m3 Cp = 420 J/kg.K 
 Cp = 1.256 J/kg.K 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 77 
Exercícios selecionados 
28. Uma panela cilíndrica (diâmetro = 2,5 m; altura útil = 2 m; espessura da parede = 15 cm) 
cujos refratários (k = 1,04 W/m.K; ρ = 2710 kg/m³; Cp = 1256 J/kg.K) encontram-se pré-
aquecidos a 530ºC recebe aço líquido a 1650ºC. Em quanto tempo a temperatura na 
superfície externa do refratário aumentará em 5%? Justifique as suposições adotadas. 
Resp: tempo = 2 h 
 
29. Deseja-se resfriar um sólido cilíndrico (diâmetro = 7 cm; altura = 18 cm) que se encontra 
inicialmente a 20ºC utilizando-se diferentes congeladores. Calcule a temperatura no 
centro do sólido após 4 horas de resfriamento. Dados do sólido: k = 0,5723 W/m.K; ρ = 
1000 kg/m³; Cp = 4203 J/kg.K 
 
 (a) Utilizando-se um congelador com ar estagnado a 0ºC (h = 0,5 W/m².ºC) Resp T = 17,8ºC 
 (b) Utilizando-se um congelador com fluxo forçado de ar a 0ºC (h = 6,5 W/m².ºC) T = 6ºC 
 
30. Um tijolo refratário ( = 5,1 x 10-7 m²/s; k = 1,5 W/m²K) com as dimensões 6 cm x 9 cm x 
20 cm é removido de um forno de requeimagem a 1600 K e resfriado no ar a 40ºC com h 
= 50 W/(m².K). Qual a temperatura no centro do tijolo após 60 min de resfriamento? 
Nestas condições, que efeito deveria ser incluído no cálculo para melhorar a predição na 
estimativa teórica? Resp: T = 454 K (excluindo-se efeitos de radiação) 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 78 
Exercícios selecionados 
31. Uma barra metálica com 10 mm de raio e 1,5 m de comprimento encontra-se 
inicialmente a uma temperatura uniforme de 1000 K. A barra é subitamente exposta a 
um fluido a 350 K com h = 450 W/(m²K). Após 30 s, qual a temperatura na linha de 
centro da barra a uma distância axial de 6 mm da sua extremidade? Resp: T = 699,6 K 
 
 Dados:  = 3970 kg/m³; Cp = 1154 J/(kg.K); k = 12.4 W/(m.K) 
 
 Dica: 
 
 
0
0
0 TT
TT
1
TT
TT







MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 79 
Transporte de Calor por Convecção 
FORÇADA NATURAL 
Tubo 
aquecido 
Tubo 
aquecido 
Convecção consiste no mecanismo de transferência de calor por ação de um 
fluido (gás ou líquido). A transferência de calor por convecção é um fenômeno 
complexo pelo fato de envolver simultaneamente transferência de calor e 
movimento do fluido. Pode ser: 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 80 
Transporte de Calor por Convecção 
FORÇADA 
 
Calor removido pelo fluxo de ar gerado pelo 
ventilador 
 
1. O escoamento do fluido é determinado 
por forças externas e independe da 
distribuição de temperatura 
 
2. Determina-se primeiro o perfil de 
velocidade; a partir do conhecimento da 
velocidade, determina-se a distribuição 
de temperatura 
 
3. A taxa de transferência de calor 
depende da velocidade (Re) e da 
capacidade do fluido em absorver 
energia (Pr) 
 
 Nu = f(Re, Pr) 
NATURAL 
 
Calor removido pelo ar aquecido 
 
 
1. O escoamento do fluido é determinado 
pela diferença de densidade do fluido 
aquecido (decorrente da expansão do 
fluido) 
 
2. O perfil de velocidade depende da 
distribuição de temperatura 
 
 
3. A taxa de transferência de calor 
depende da variação de densidade (Gr) 
e da capacidade do fluido em absorver 
energia (Pr) 
 
 Nu = f(Gr, Pr) 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 81 
Transporte de Calor por Convecção 
      TTAhhdATTqdAQ ss
A
ss
A
s
ss
q = h (Ts – T) 
Equação geral do fluxo de calor: 
h ≡ coeficiente local de transferência de calor por convecção 
u∞ 
T∞ 
As 
Ts 
q 
h ≡ coeficiente médio de transferência de calor por convecção 
Pela definição de valor médio: 

sA
s
s
hdA
A
1
h
O valor de “h” é função: 
 
• da geometria da superfície em contato com o fluido 
• da velocidade do fluido (escoamento) 
• das propriedades do fluido (temperatura, densidade, 
viscosidade, etc) 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 82 
Transporte de Calor por Convecção 
A convecção também pode ser classificada como EXTERNA ou INTERNA, a 
depender se o escoamento ocorre sobre uma superfície ou no interior de uma 
tubulação, respectivamente. 
Externo 
Interno 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 83 
Transporte de Calor por Convecção 
Camada limite fluidodinâmica (d) 
u∞ 
Coeficiente 
de atrito 
local 
 
 
Tensão 
cisalhante 
para fluido 
newtoniano 
x 
y 
u∞ d(x) 
0y
s
2
s
f
y
u
2/u
C








Camada limite térmica (dt) 
T∞ 
u∞ 
x 
y 
T∞ dt(x) 











TT
y
T
k
h
y
T
kq
s
0y
f
0y
f
Ts 
Ts > T∞ 
L 
L 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 84 
FT2 - DEMET/UFMG - MBM 
Transporte de Calor por Convecção 
Camada limite hidrodinâmica x térmica 
x 
y 
d(x) 
1Pr 
T∞ 
u∞ 
dt(x) 
3/1
t
f
P
Pr
k
C
Pr
Prandtl de Número

d
d





x 
y 
d(x) = dt(x) 
T∞ 
u∞ 
x 
y 
d(x) 
T∞ 
u∞ 
dt(x) 
1Pr 
1Pr 
Pr = razão entre 
as difusividades 
de momento e 
térmica 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 85 
FT2 - DEMET/UFMG - MBM 
Transporte de Calor por Convecção 
Escoamento laminar x turbulento 


 
xu
Re
Reynolds de Número
x
Re = razão entre as forças de inércia 
e viscosa 
 
Recr = 5 x 10
5 
(início da transição na placa plana) 
h(x) 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 86 
Obtenção do h: 
 
(1) Resolução (analítica/numérica) das equações do balanço de momento e balanço de 
energia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 na superfície: 
 
 
 
(2) Experimental 
 
(3) Correlações 
Transporte de Calor por Convecção 
 


TTh
y
T
k- f
Balanço de MomentoBalanço de Energia 
Distribuição de 
temperatura no fluido 
Gradiente de 
temperatura na 
superfície 




TT
y
T
k
-h
erfíciesup na
f
Nu = f(Re, Pr) 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 87 
Obtenção do h: 
 
Resolução analítica das equações do balanço de momento e balanço de energia na 
camada limite 
Transporte de Calor por Convecção 
y
v
,
x
v
,
x
u
y
u









x
x,f
Re
664,0
C 
xRe
x5
d
Balanço de Momento 
Balanço de Energia 
Eq. Continuidade 
Balanço de quantidade de 
movimento 
Balanço de quantidade 
de energia 
Considerações: 
 
• Escoamento bidimensional 
• Regime permanente 
• Fluido incompressível 
• Propriedades constantes 
 
Simplificações: 
 
• u >> v 
 
• i 
 
 
• i 
Solução analítica, escoamento laminar (Blausius, 1908): 
3/12/1
xx PrRe332,0Nu 
x
T
y
T





p/ Pr > 0,7 
x
x,f
Re
328,1
C 
3/12/1
xx PrRe664,0Nu 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 88 
Correlações para 
Escoamento Externo 
Convecção Forçada 
Correlação Geometria Condições 
2/1
xRex5d
 Placa plana Laminar, Tf 
2/1
xx,f Re664,0C

 Placa plana Laminar, local, Tf 
3/12/1
xx PrRe332,0Nu 
 Placa plana Laminar, local, Tf, 0,6≤Pr≤50 
3/1
t Pr
dd
 Placa plana Laminar, Tf 
2/1
xx,f Re328,1C

 Placa plana Laminar, médio, Tf 
3/12/1
xx PrRe664,0Nu 
 Placa plana Laminar, médio, Tf, 0,6≤Pr≤50 
2/12/1
xx PrRe565,0Nu 
 Placa plana Laminar, local, Tf, Pr≤0,05 
5/1
xx,f Re0592,0C

 Placa plana Turbulento, local, Tf, Rex≤10
8 
5/1
xRex37,0
d
 Placa plana Turbulento, local, Tf, Rex≤10
8
 
3/15/4
xx PrRe0296,0Nu 
 Placa plana Turbulento, local, Tf, Rex≤10
8
, 
0,6≤Pr≤60 
1
L
5/1
LL,f Re1742Re074,0C
 
 Placa plana Mistura, média, Tf, Rex,c=5x10
5
, 
ReL≤10
8 
3/15/4
LL Pr)871Re037,0(Nu 
 Placa plana Mistura, média, Tf, Rex,c=5x10
5
, 
ReL≤10
8, 0,6≤Pr≤60 
3/1m
DD PrReCNu 
 (Tabela 1) Cilindro Média, Tf, 0,4<ReD<4x10
5, Pr≥0,7 
4/1
s
nm
DD )Pr(Pr/PrReCNu 
 (Tabela 2) Cilindro Média, T∞, 1<ReD<10
6
, 0,7<Pr<500 
5/48/5
D
4/13/23/12/1
DD
])282000/(Re1[ 
]Pr)/4,0(1[PrRe62,03,0Nu

 
 
Cilindro Média, Tf, ReDPr>0,2 
4/1
s
4,02/1
D
2/1
DD )/(Pr)Re06,0Re4,0(2Nu 
 Esfera Média, T∞, 3,5<ReD<7,6x10
4
, 
0,71<Pr<380, 1<
s/ 
<3,2 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 89 
Correlações para Escoamento Externo (cont.) 
Convecção Forçada 
ReD C m 
0,4 – 4 
4 – 40 
40 – 4000 
4000 – 40.000 
40.000 – 400.000 
0,989 
0,911 
0,693 
0,193 
0,027 
0,330 
0,385 
0,466 
0,618 
0,805 
 
ReD C m 
1 – 40 
40 – 1000 
1000 – 200.000 
200.000 – 1.000.000 
0,75 
0,51 
0,26 
0,076 
0,4 
0,5 
0,6 
0,7 
 
Tabela 1. Constantes Cilindro 
Tabela 2. Constantes Cilindro (se Pr ≤ 10, n = 0,37; se Pr > 10, n = 0,36) 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 90 
Correlações para Escoamento 
Interno em Tubo Circular 
Convecção Forçada 
Correlação Condições 
DRe/64f 
 Laminar, plenamente desenvolvido 
36,4NuD 
 Laminar, plenamente desenvolvido, qs uniforme, Pr≥0,6 
66,3NuD 
 Laminar, plenamente desenvolvido, Ts uniforme, 
Pr≥0,6 
3/2
D
D
D
Pr]Re)L/D[(04,01
PrRe)L/D(0668,0
66,3Nu


 
Laminar, comprimento térmico de entrada (Pr≥1 ou um 
comprimento inicial não aquecido), Ts uniforme 
4/1
DRe316,0f

 
5/1
DRe184,0f

 
ou 
2
D )64,1Reln790,0(f

 
Turbulento, plenamente desenvolvido, ReD≤2x10
4
 
Turbulento, plenamente desenvolvido, ReD>2x10
4
 
 
Turbulento, plenamente desenvolvido, 
3000≤ReD≤5x10
6
 
n5/4
DD PrRe023,0Nu 
 
ou 
14,0
s
3/15/4
DD PrRe027,0Nu 










 
ou 
)1(Pr)8/f(7,121
Pr)1000)(Re8/f(
Nu
3/22/1
D
D



 
Turbulento, plenamente desenvolvido, 0,6≤Pr≤160, 
ReD≥10.000, (L/D)≥10, n=0,4 para Ts>Tm e n=0,3 para 
Ts<Tm 
 
Turbulento, plenamente desenvolvido, 0,7≤Pr≤16.700, 
ReD≥10.000, (L/D)≥10 
 
Turbulento, plenamente desenvolvido, 0,5<Pr<2000, 
3000≤ReD≥5x10
6, (L/D)≥10 
827,0
DD Pr)(Re0185,082,4Nu 
 Metais líquidos, turbulento, plenamente desenvolvido, 
qs uniforme, 3,6x10
3
<ReD<9,05x10
5
, 100<RePr<10.000 
8,0
DD Pr)(Re025,05Nu 
 Metais líquidos, turbulento, plenamente desenvolvido, 
Ts uniforme, RePr>100
 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 91 
Relações empíricas e práticas para convecção forçada 
 
Antes de utilizar determinada correlação, observar: 
 
• Faixa de validade de Re e Pr 
• Temperatura na qual as propriedades são avaliadas (Temperatura de Filme Tf ou 
Temperatura do fluido T∞) 
• Escoamento completamente desenvolvido ou não 
• Temperatura na parede constante ou fluxo de calor na parede constante 
• Rugosidade da superfície 
 
 
Convecção Forçada 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 92 
Convecção Forçada 
Exemplo 9: Placa de lingotamento contínuo 
Para determinar Nux é preciso conhecer , , CP e k 
 
Como estas propriedades dependem da temperatura, qual o valor a ser usado? 27oC ou 60oC? 
 
Temperatura de filme 
x 
Correlação para h: Nux = 0,332 Rex
1/2 Pr1/3 
f
P
x
f
x
x
k
C
Pr 
xu
Re 
k
xh
Nu



 
y 
dT 
d 
ar 
27oC, 1 atm 
u∞ = 2 m/s 
20 cm 20 cm 
q20 q40 
Tp = 60
oC 
C5,43
2
2760
T of 


0,6 < Pr < 50 
laminar 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 93 
Convecção Propriedades de Metais 
k 
W/(m.K) 
CP 
J/(kg.K) 
 
kg/m³ 
 
m²/s 
 
Material 
0ºC 100ºC 300ºC 500ºC 0ºC 0ºC 0ºC 
Metais puros 
 
- Alumino 
- Chumbo 
- Cobre 
- Estanho 
- Ferro 
- Magnésio 
- Molibdênio 
- Níquel 
- Ouro 
- Prata 
- Zinco 
 
Ligas 
 
- Admiralty 
- Aço doce 1% C 
- Aço inoxidável 18-8 
 Tipo 304 
 Tipo 347 
- Bronze, 75% Cu, 25% Sn 
- Constantan, 60% Cu, 40% Ni 
- Ferro fundido, Puro 
 Liga 
- Latão, 70%Cu, 30% Zn 
 
 
202,4 
34,8 
387,4 
65,7 
61,9 
157,4 
124,5 
93,4 
292,3 
416,8 
112,6 
 
 
 
112,4 
45,8 
 
13,8 
13,8 
25,9 
21,4 
57,1 
51,9 
106,4 
 
 
205,8 
32,9 
377,0 
58,8 
63,3 
159,1 
117,6 
83,0 
294,0 
415,0 
109,0 
 
 
 
110,7 
45,0 
 
16,3 
16,1 
- 
22,1 
55,0 
48,9 
128,0 
 
 
230,0 
31,1 
366,7 
- 
- 
- 
110,7 
64,0 
- 
- 
100,3 
 
 
 
 
43,2 
 
18,9 
19,0 
- 
- 
47,9 
46,7 
147,0 
 
 
269,8 
- 
358,0 
- 
- 
- 
107,2 
- 
- 
- 
- 
 
 
 
 
38,1 
 
21,4 
22,1 
- 
- 
42,9 
- 
- 
 
 
870 
126 
381 
226 
435 
971 
251 
443 
126 
234 
381 
 
 
 
 
460 
 
460 
460 
343 
418 
460 
 
385 
 
 
2707 
11293 
8938 
7304 
7865 
1746 
10220 
8906 
19270 
10492 
7144 
 
 
 
 
7849 
 
7817 
7817 
8666 
8922 
7593 
7288 
8522 
 
 
8,59 x10-5 
2,45 
11,41 
3,97 
1,81 
9,29 
4,85 
2,37 
12,08 
16,95 
4,13 
 
 
 
 
1,26 x10-5 
 
0,39 
0,39 
0,88 
0,57 
1,63 
1,70 
3,25 
 
 
MBM v.2015 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 94 
Convecção 
 
T 
ºC 
 
kg/m² 
CP 
KJ/(kg.K) 
 
m²/s 
k 
W/(m.K) 
 
m²/s 
Pr  
1/K 
Água (H2O) 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
160 
180 
200 
220 
240 
260 
280 
300 
1000,28 
1000,51 
994,59 
985,46 
974,08 
960,63 
945,25 
928,27 
909,69 
889,02 
866,76 
842,41 
815,66 
785,87 
752,55 
714,26 
4,215 
4,179 
4,176 
4,181