Programação Linear na Agricultura

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ARTIGO - PESQUISA OPERACIONAL 
 
APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA DEFINIÇÃO DO CULTIVO DE 
CULTURAS OTIMIZADO EM UMA PROPRIEDADE RURAL DE MÉDIO PORTE 
 
ANDREI BALSAN, AUGUSTO DE LIMA FABBRIN, IVETE LINN RUPPENTHAL 
 
Resumo: O objetivo deste estudo é analisar e determinar as culturas que irão otimizar o 
lucro naquele ano agrícola, em uma propriedade rural situada na região Noroeste do Rio 
Grande do Sul. O método de estudo caracteriza-se pelas abordagens dedutiva, qualitativa e 
quantitativa, com procedimentos descritivos e de estudo de caso. Para a coleta de dados 
foram utilizadas as técnicas de observação e entrevista com o proprietário e agrônomo. A 
análise de dados foi efetuado através da ferramenta Solver do Excel, a qual utilizou-se para a 
elaboração e solução do modelo matemático. Foi realizado um levantamento da receita bruta 
por hectare plantado das três culturas (milho, painço e soja) na propriedade rural, apuração 
dos custos e, por fim, aplicação da Programação Linear para verificar qual a quantidade de 
área da propriedade rural que deve ser destinada para o plantio de cada cultura, de modo a 
maximizar o lucro. Com o resultado deste estudo confirma-se que a Programação Linear e o 
relatório de sensibilidade fornecem informações relevantes para o gerenciamento de uma 
propriedade rural, visto que o mesmo apresentou as culturas que trazem mais lucro, dado as 
restrições existentes e a quantidade de hectares que é viável plantar de cada cultura visando 
maximizar o lucro. Desta forma, pode-se concluir que a utilização da Programação Linear 
pode contribuir significativamente na gestão dos recursos de uma propriedade rural. 
Palavras Chave: Programação linear, Análise de Sensibilidade, Maximização do lucro. 
1. Introdução 
Com o passar dos anos a agricultura evoluiu, pois pouco tempo atrás era basicamente familiar, 
onde somente eram cultivados produtos para consumo próprio. Com o aumento populacional, 
a globalização e a concorrência, a demanda por produção de soja, milho, trigo, painço, entre 
outras culturas, aumentou gradativamente. A diversidade de culturas, ambiente, clima e solo, 
diferenciam-se em relação a seus custos de produção, onde algumas são mais rentáveis que 
outras em determinadas épocas do ano. 
As empresas buscam formas de otimizar a produção para aumentar o lucro e diminuir os 
custos, o mesmo ocorre na agricultura, onde na atualidade em qualquer propriedade são feitos 
planejamentos que possibilitam ao agricultor com o auxilio de engenheiros agrônomos e 
 
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técnicos obter maior lucro em suas propriedades, otimizando a utilização de máquinas, 
equipamentos, insumos, transportes, recursos financeiros, matéria-prima e mão de obra 
disponíveis. 
 A Programação Linear é uma ciência eficiente que utiliza métodos próprios capazes de 
solucionar problemas e facilitar a tomada de decisão através de cálculos. Por meio da coleta 
de dados envolvendo custos, demanda, variáveis e restrições utilizando a programação linear 
pode-se chegar a função objetivo, capaz de determinar a melhor maneira de produzir, com o 
que se tem disponível, no caso, o mix de produção mais rentável que cumprirá o principal 
objetivo de maximizar o lucro ou minimizar o custo (RODRIGUES 2013). 
O presente trabalho evidencia o problema da pesquisa: é possível melhorar a lucratividade de 
uma propriedade rural através da aplicação da programação linear? 
Diante deste contexto, o objetivo proposto por meio da programação linear é analisar e 
determinar a cultura que vai obter mais lucro naquele ano agrícola, em uma propriedade rural 
situada na região Noroeste do Rio Grande do Sul, no primeiro semestre de 2016. O presente 
trabalho torna-se relevante por apresentar resultados de forma simples, claros, objetivos e 
significativos de quais decisões devem ser tomadas buscando a solução ótima na produção 
agrícola desta propriedade. 
Para a concretização deste estudo foi feito um levantamento de produção da situação atual, o 
levantamento dos custos dos insumos, aplicação da programação linear para determinar a 
quantidade de hectares cultivados por cultura e por fim, auxiliar o agricultor a fazer a tomada 
de decisão de qual cultura agregara mais lucro. 
2. Revisão bibliográfica 
2.1. Planejamento agrícola 
2.1.1. Cultivo da soja 
O primeiro registro de cultivo de soja no Brasil data de 1914 no município de Santa Rosa, RS. 
A partir dai a soja começou a ter um crescimento expressivo na sua área cultivada. O 
crescimento da produção e o aumento da capacidade competitiva da soja brasileira sempre 
estiveram associados aos avanços científicos e à disponibilização de tecnologias ao setor 
produtivo (EMBRAPA, 2004). 
O Brasil é o segundo maior produtor mundial de soja e produz aproximadamente 27% do total 
produzido no mundo. Na federação o Rio Grande do Sul é atualmente o terceiro maior 
produtor de soja em grão do Brasil, registrou em 2011 a produção de 11.717.548 toneladas do 
grão (ATLASSOCIOECONOMICO, 2012). 
 
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A soja é cultivada especialmente nas regiões Centro Oeste e Sul do país e se firmou como um 
dos produtos mais destacados da agricultura nacional e na balança comercial (MINISTÉRIO 
DA AGRICULTURA, PECUÁRIA E ABASTECIMENTO, 2015). 
 
2.1.2. Cultivo do milho 
O Rio Grande do Sul é atualmente o quarto maior produtor de milho em grão do Brasil, 
superado pelos estados do Paraná, Mato Grosso e Minas Gerais. De acordo com a Pesquisa 
Agrícola Municipal do IBGE, o RS registrou em 2011 a produção de 5.772.422 toneladas do 
grão (ATLASSOCIOECONOMICO, 2012). 
A primeira ideia é o cultivo do grão para atender ao consumo na mesa dos brasileiros, mas 
essa é a parte menor da produção. O principal destino da safra são as indústrias de rações para 
animais. O cultivo do milho é realizado em diferentes sistemas produtivos, sendo plantado 
principalmente nas regiões Centro-Oeste, Sudeste e Sul. O grão é transformado em óleo, 
farinha, amido, margarina, xarope de glicose e flocos para cereais matinais (MINISTÉRIO 
DA AGRICULTURA, PECUÁRIA E ABASTECIMENTO, 2015). 
2.1.3. Cultivo do painço 
O painço (Panicum dichotomiflorum Michx) é uma poácea de ciclo anual, sendo cultivado 
com o objetivo de exploração dos grãos para utilização na alimentação animal, principalmente 
de pássaros em cativeiro. É também empregado na indústria cervejeira, misturado em pequena 
proporção com a cevada (SILVA, CRUSCIOL, et al., 2013). 
O cultivo do painço é uma atividade com produção mundial de 25,6 milhões de toneladas, em 
área cultivada de 31,2 milhões de hectares. A Índia é o maior produtor (9,1 milhões de 
toneladas), seguida por Níger (7,6 milhões de toneladas) e Nigéria (2,7 milhões de toneladas). 
Por sua vez, a produção no Brasil ainda é muito restrita, ao ponto que não há registros nos 
órgãos oficiais (SILVA, 2014). 
2.2. A tomada de decisão na agricultura 
A teoria da decisão é um conjunto de conhecimentos e técnicas analíticas relacionadas a 
diferentes graus de formalidade, desenvolvida para ajudar o tomador de decisão a processar 
escolhas entre um cenário de alternativas, levando em conta as possíveis consequências da 
decisão, tendo como objetivo a seleção de alternativas que representem um conjunto preferido 
de consequências (OLIVEIRA, MACHADO, et al., 2007). 
A tomada de decisão é baseada em um processo de escolha que conduz àquela alternativa que 
for considerada ótima para a organização, onde, por meio de regras e modelos, o tomador de 
 
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decisão efetua uma escolha racional, ou seja, ele escolhe a melhor alternativa entre as 
existentes (DUTRA, MACHADO, et al., 2008). 
Estudos em administração rural mostram que o produtor, antes de dar inícioao processo de 
tomada de decisão, analisa suas características quanto aos recursos que dispõe e as restrições 
que o limita. Tais estudos demonstram que o ato administrativo em muitas explorações 
agrícolas é assumido por apenas uma pessoa, que ao mesmo tempo planeja e executa 
(CARRIERI, 1992 apud DALCIN, 2010). 
Segundo Dalcin et al. (2010) na agricultura familiar, a tomada de decisão é mais acentuada. 
As decisões e ações a serem desempenhadas, nas unidades familiares, dependem muito das 
situações e dos objetivos do agricultor (DALCIN, 2010). 
De acordo com Caixeta Filho e Toniello (1992) o uso da Programação Linear para um 
problema de planejamento agrícola, é preciso levantar os dados relevantes antecipadamente 
quais atividades explorar naquele ano agrícola. Mas cabe ao produtor analisar os relatórios do 
software de programação linear e levar em conta outros fatores que não sejam da 
programação linear para tomar a decisão correta (CAIXETA FILHO e TONIELLO, 1992). 
2.2.1. Programação linear 
A Programação Linear pode ser considerada uma ciência voltada para a resolução de 
problemas reais, em que se procura trazer para o campo de tomada de decisões (Economia, 
Medicina, Agricultura, etc.) os métodos próprios de outras áreas científicas; refere-se a um 
conjunto de métodos cujo objetivo principal é tirar o maior proveito possível de sistemas 
econômicos, industriais, militares…, cuja estrutura possa ser definida matematicamente 
(MATOS, SANTOS, et al., S.D). 
Os problemas de Programação Linear buscam a distribuição eficiente de recursos limitados 
para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em 
se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear, denominada de 
"Função Objetivo" (RODRIGUES, 2013). 
Rodrigues (2013) afirma que é necessário que se defina quais as atividades que consomem 
recursos e em que proporções os recursos são consumidos. Essas informações são 
apresentadas em forma de equações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas 
equações e/ou inequações, denomina-se "Restrições do Modelo". 
De acordo com Belfiore e Fávero (2013), o modelo matemático de um problema linear pode 
ser formulado como mostra a figura 1: 
Figura 1 – Modelo matemático 
 
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Caixeta Filho (2004) ressalta que uma das aplicações da programação linear, ramo da 
pesquisa operacional, diz respeito ao planejamento agrícola. Para Louhichi et al. (2004) apud 
Oliszeski (2011) os principais componentes que devem englobar a construção de um modelo 
para o planejamento agrícola são: 
- Um conjunto de variáveis de decisão que descrevem as atividades agrícolas e do estado do 
sistema. 
- Uma função objetivo que descreve o comportamento do agricultor e os objetivos sobre o 
risco. 
- Um conjunto de restrições físicas, financeiras, técnicas, econômicas e agronômicas, 
representando as especificações de funcionamento do sistema. 
- Um conjunto de políticas e medidas ambientais, cotas e obrigações, restrições à 
condicionalidade, etc. 
2.3. Descrição do modelo matemático 
Variáveis de Decisão: Belfiore e Fávero (2013) definem as variáveis de decisão como 
incógnitas que serão calculadas pela solução do modelo. As variáveis de decisão não podem 
ter valor negativo. 
Função Objetivo: segundo Belfiore e Fávero (2013), a função objetivo determina o valor real 
que se pretende alcançar em função das variáveis de decisão. A função objetivo pode exercer 
função de maximização ou de minimização. 
 
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Restrições do modelo matemático: Belfiore e Fávero (2013) definem as restrições como um 
conjunto de equações e inequações que as variáveis de decisão do modelo devem satisfazer. 
As restrições são limitações físicas impostas no sistema, e afetam diretamente os valores das 
variáveis de decisão. 
2.3.4. Análise de sensibilidade 
A análise de sensibilidade segundo Belfiore e Fávero (2013) é de grande importância na 
programação linear, pois tem objetivo de investigar os efeitos que determinadas alterações nos 
parâmetros do modelo causariam na solução ótima. 
Lachtermacher (2012) define dois tipos de análise de sensibilidade. O primeiro refere-se às 
alterações que podem ocorrer nos coeficientes das variáveis de decisão da função objetivo e 
para as constantes das restrições. O segundo verifica se mais de uma mudança simultânea em 
um problema altera a sua solução ótima. Neste relatório, alguns conceitos importantes 
necessitam ser analisados. 
Preço sombra: Segundo Lachtermacher (2012) o preço sombra representa a quantidade pela 
qual a função objetivo é alterada, dado um acréscimo de uma unidade na constante da 
restrição, assumindo que todos os outros coeficientes e constantes das restrições conservam-se 
inalterados. A interpretação econômica seria até quanto se está disposto a pagar por uma 
unidade adicional de um recurso. 
Custo reduzido: Lachtermacher (2012) afirma que o custo reduzido é a quantidade que o 
coeficiente da função objetivo de uma variável deve melhorar antes dessa variável se tornar 
básica, ou ainda, pode ser interpretado como a penalização que deverá ser paga para tornar 
uma variável básica. O custo reduzido mostra quando se esta deixando de ganhar (ou perder) 
por desprezar determinada alternativa. 
 
3. Métodos e técnicas de pesquisa 
Para Güllich, Lovato e Evanlegista, (2007) a metodologia é definida como o estudo das 
técnicas pela qual irão caracterizar e identificar todas as etapas desenvolvidas no decorrer do 
desenvolvimento e captação das informações visando atender os objetivos propostos no 
trabalho. 
O presente trabalho caracteriza-se quanto a abordagem como dedutiva, qualitativa e 
quantitativa. Utilizou-se método dedutivo para obter informações bibliográficas sobre a 
programação linear aplicada na agricultura, para poder desenvolver a formulação do modelo 
matemático para obter qual cultura é viável cultivar. 
 
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A pesquisa quantitativa foi utilizada para quantificar o custo dos produtos que são aplicados à 
cultura da soja, milho e painço em uma propriedade agrícola de médio porte, nos meses de 
julho 2015 até fevereiro de 2016, a fim de apresentar a quantidade de hectares necessário para 
cada cultura, visando a maximização do lucro. 
O procedimento envolvido no trabalho é o descritivo, serviu para buscar, registrar e descrever 
os dados do custo da produção de milho, soja e painço e elaborar o modelo matemático de 
Programação Linear. 
Com a técnica de coleta de dados foi possível identificar a quantidade de produtos utilizada 
em cada cultura nos meses de julho 2015 a fevereiro de 2016. Utilizou-se registros das 
empresas fornecedoras dos insumos, o software Excel para elaboração das tabelas e cálculos 
pelo Solver, sobre os dados da produção, além de observação direta e entrevista com o 
proprietário e agrônomo. A entrevista fez-se necessária para levantamento dos dados sobre a 
quantidade de insumos utilizados por hectares nas três culturas para elaborar o modelo 
matemático. 
Para as técnicas de análise de dados foi utilizado o Software Excel para a elaboração de 
planilhas eletrônicas sobre dados numéricos referente a produção de cada cultura, bem como 
para a elaboração e solução do modelo matemático de Programação Linear. A Programação 
Linear foi utilizada para evidenciar qual a melhor cultura para se explorar naquele momento. 
4. Análise e discussão dos resultados 
4.1. Levantamento da receita bruta 
A receita bruta de vendas está diretamente relacionada à produtividade de cada uma das três 
culturas (milho, painço e soja) por hectare e ao preço de venda de cada saca no mercado. A 
tabela 1 mostra a receita bruta por hectare de cada culturaem função da produtividade de 
sacas por hectare e do preço de venda de cada saca. 
Tabela 1- Receita bruta por hectare 
 
Conforme pode ser observado na tabela 1, são colhidas 160 sacas de milho por hectare, o que 
gera uma receita total de R$ 4.000,00. No caso do painço, são colhidas 25 sacas por hectare, 
gerando uma receita total de R$ 2.400,00, já a soja são colhidas 65 sacas, gerando uma receita 
de R$ 4.550,00. 
4.2 Apuração dos custos 
Cultura 
Sacas por 
hectare 
Preço Saca 
(R$) 
Total 
(R$) 
Milho 160 25 4000 
Painço 25 96 2400 
Soja 65 70 4550 
 
 
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Inicialmente, para proceder a apuração dos custos foi necessária a descrição do processo de 
plantio de cada uma das três culturas – milho, painço e soja. A partir dessa descrição foram 
apurados os dados de produção por hectare para cada cultura, conforme apresentado nas 
tabelas 2 a 4, correspondendo ao milho, painço e soja, respectivamente. 
Na tabela 2 são apresentados os dados de produção de milho por hectare. 
Tabela 2 - Dados da produção de milho (por hectare) 
 
Na tabela 2 apurou-se os dados de produção do milho, onde observa-se que o custo mais 
significativo é o da semente, representando um total de R$684,00 por hectare cultivado. 
Na tabela 3 apresenta-se o levantamento dos custos de produção de painço por hectare 
Tabela 3 – Dados da produção de painço (por hectare) 
 
Como pode-se observar na tabela 3 o fertilizante teve o custo mais significativo, com um total 
de R$312,00 por hectare cultivado e o custo total para a cultura do painço é de R$864,70. 
Na tabela 4 apresentam-se os dados de produção da soja por hectares. 
Tabela 4 - Dados da produção de soja (por hectare) 
INSUMO QUANTIDADE/HA UNIDADE R$/UNID Total 
Roundup Wg Herbicida 2 kg R$ 23,00 R$ 46,00 
Aureo oleo Vegetal 0,8 L R$ 14,00 R$ 7,00 
Panther 120 EC (5LT) 0,8 L R$ 52,50 R$ 42,00 
DKB240PRO3 1,2 Sc R$ 570,00 R$ 684,00 
Fertilizante 12-30-20 300 Kg R$ 78,00 R$ 468,00 
Ureia 250 Kg R$ 76,00 R$ 380,00 
Herbicida trazina 4 L R$ 12,00 R$ 48,00 
Herbicida soberam 230 g R$ 320,00 R$ 73,60 
 TOTAL R$ 1.748,60 
 
INSUMO QUANTIDADE/HA UNIDADE R$/UNID TOTAL 
Roundup Wg Herbicida 2 kg R$ 23,00 R$ 46,00 
Aureo oleo Vegetal 0,8 L R$ 14,00 R$ 7,00 
Panther 120 EC (5LT) 0,8 L R$ 52,50 R$ 42,00 
Paiço vermelho 70 kg R$ 96,00 R$ 115,20 
Fertilizante 12-39-20 300 Kg R$ 78,00 R$ 312,00 
Ureia 250 Kg R$ 76,00 R$ 304,00 
Abacus hc 0,5 L R$ 30,00 R$ 15,00 
Inseticida Belt 0,05 Ml R$ 470,00 R$ 23,50 
 TOTAL R$ 864,70 
 
 
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Conforme apresentado na tabela 4 o custo mais significativo para a produção da soja é a 
semente, representando R$540,75 por hectare cultivado. Não foi possível calcular os custos de 
combustíveis e lubrificantes gastos com cada cultura, pois o produtor não possui essa 
informação, bem como não foi possível dimensionar este custo. Mas cabe ressaltar que, para 
ter um custo mais exato precisaria acrescentar o custo de combustível e lubrificante. 
Após calculada a receita bruta e o custo de cada cultura, calculou-se o lucro que cada cultura 
proporciona, para isso utilizou-se da formula: 
 
A tabela 5 apresenta os lucros por hectare de cada cultura. 
Tabela 5 - Lucros por hectare de cada cultura 
 
Na tabela 5 pode-se visualizar o lucro de cada cultura. A cultura do milho apresenta um lucro 
de R$2.251,40 por hectare, o painço um lucro de R$1.535,30 por hectare e a soja R$3.202,30 
de lucro por hectare. Com esses valores elaborou-se o modelo matemático. 
 
 
4.2 Elaboração do modelo matemático de Programação Linear 
INSUMO QUANTIDADE/HA UNIDADE R$/UNID TOTAL 
Roundup Wg Herbicida 2 kg R$ 23,00 R$ 46,00 
Fertilizante Mineral Aller 0,05 Ml R$ 79,00 R$ 3,95 
Panther 120 EC (5LT) 0,8 L R$ 52,50 R$ 42,00 
Semente 1,75 Kg R$ 309,00 R$ 540,75 
Adubo 2-23-23 5 Sc R$ 78,00 R$ 390,00 
Roundup Wg Herbicida 2 kg R$ 23,00 R$ 46,00 
Carbendazim 0,5 LT R$ 25,00 R$ 12,50 
Fungicida Fox 0,4 LT R$ 180,00 R$ 72,00 
Fungicida Fox 0,4 LT R$ 180,00 R$ 72,00 
Fungicida Fox 0,4 LT R$ 180,00 R$ 72,00 
Inseticida Conect 0,5 LT R$ 27,00 R$ 13,50 
Inseticida Conect 0,5 LT R$ 27,00 R$ 13,50 
Inseticida Belt 0,05 Ml R$ 470,00 R$ 23,50 
 TOTAL R$ 1.347,70 
 
Descrição Receita bruta (R$) Custo total (R$) Lucro (R$) 
Milho R$ 4.000,00 R$ 1.748,60 R$ 2.251,40 
Painço R$ 2.400,00 R$ 864,70 R$ 1.535,30 
Soja R$ 4.550,00 R$ 1.347,70 R$ 3.202,30 
 
 
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No presente estudo, utilizou-se a Programação Linear para analisar a quantidade de hectares a 
ser produzida de cada produto, visando maximizar o lucro. Para tanto, elaborou-se o modelo 
matemático dividido em função objetivo, variáveis de decisão e restrições do problema. 
4.2.1 Função objetivo 
A função objetivo foi elaborada visando obter os melhores resultados em relação ao lucro das 
culturas de milho, painço e soja, ou seja, fazer o melhor aproveitamento da área disponível 
pelo produtor. Durante os meses de julho de 2015 a fevereiro de 2016, a propriedade cultiva 
milho, painço e soja, que foi adotado como variáveis de decisão, conforme apresentado no 
quadro 1: 
Quadro 1 - Variáveis de Decisão do Modelo Matemático 
 
A partir da definição das variáveis de decisão foi elaborado o modelo matemático com base 
nos dados pesquisados na propriedade rural em estudo. A função objetivo busca maximizar o 
lucro com a quantidade de hectares cultivados para cada cultura, sendo assim, os coeficientes 
da função objetivo são os lucros de cada uma das três culturas: milho, painço e soja. Desse 
modo, a função objetivo é dada por: 
 
As restrições referem-se a quantidade de insumos em cada processo de produção, ao número 
de hectares disponíveis de soja, ao número de hectares disponíveis de milho e painço, além 
das condições de não negatividade, para as culturas de milho, painço e soja respectivamente. 
Os valores que aparecem ao lado direito da desigualdade relacionam-se à quantidade 
disponível de cada restrição para o plantio, bem como, representam as restrições de hectares 
disponíveis das três culturas. Na tabela 6 apresenta-se as restrições do modelo matemático. 
 
 
 
 
 
 
Xi VARIÁVEIS 
X1 Quantidade a ser produzida do milho 
X2 Quantidade a ser produzida do painço 
X3 Quantidade a ser produzida de soja 
 
 
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Tabela 6 - Restrições do modelo matemático 
 
Na tabela 6 pode-se observar a apresentação das equações das restrições do modelo 
matemático. As equações (1 à 20) representam os insumos utilizados nas culturas de milho, 
painço e soja, a qual deve ser menor ou igual a disponibilidade de insumos existentes. A 
equação (21) representa os hectares utilizados no cultivo de milho e painço, a qual deve ser 
menor ou igual a disponibilidade de hectares existente. A equação (22) corresponde aos 
hectares utilizados no cultivo da soja, a qual também deve ser menor ou igual a 
disponibilidade de hectares existentes. E por fim, a equação (23) evidencia que as variáveis 
devem ser maiores ou iguais a zero, ou seja, não podem ser negativas, o que indica a não 
negatividade. 
4.2.2. Resolução do modelo matemático 
Assim, o modelo matemático constituído de três variáveis de decisão, a função objetivo de 
vinte e três restrições foram inseridos no software Microsoft Excel, onde foi utilizada a função 
solver para encontrar a solução ótima, ou seja, a solução que maximiza a margem de 
Roundup Wg Herbicida 2 + 2 + 2 ≤ 815 kg (1) 
Áureo óleo Vegetal 0,8 + 0,8 + 0 ≤ 115 L (2) 
Panther 120 EC (5LT) 0,8 + 0,8 + 0,8 ≤ 225 L (3) 
DKB240PRO3 1,2 + 0 + 0 ≤ 78 Sc (4) 
Fertilizante 12-30-20 300 + 300 + 0 ≤ 41000 Kg (5) 
Ureia 250 + 250 + 0 ≤ 35000 Kg (6) 
Herbicidatrazina 4 + 0 + 0 ≤ 260 L (7) 
Herbicida soberam 230 + 0 + 0 ≤ 15000 g (8) 
Abacus hc 0 + 0,5 + 0 ≤ 35 L (9) 
Inseticida Belt 0 + 0,05 + 0,05 ≤ 15 l (10) 
Fertilizante Mineral Aller 0 + 0 + 0,05 ≤ 70 l (11) 
Semente soja 0 + 0 + 1,75 ≤ 240 Kg (12) 
Adubo 2-23-23 0 + 0 + 5 ≤ 680 Sc (13) 
Carbendazim 0 + 0 + 0,5 ≤ 70 LT (14) 
Fungicida Fox 0 + 0 + 0,4 ≤ 55 LT (15) 
Fungicida Fox 0 + 0 + 0,4 ≤ 55 LT (16) 
Fungicida Fox 0 + 0 + 0,4 ≤ 55 LT (17) 
Inseticida Conect 0 + 0 + 0,5 ≤ 70 LT (18) 
Inseticida Conect 0 + 0 + 0,5 ≤ 70 LT (19) 
Paiço vermelho 0 + 70 + 0 ≤ 5000 kg (20) 
Hectares milho/painço 1 + 1 + 0 ≤ 135 Hectares (21) 
Hectares soja 0 + 0 + 1 ≤ 135 
 
(22) 
Não negatividade X1 : X2 ; X3 ≥ 0 (23) 
 
 
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contribuição do produtor de acordo com a quantidade de hectares cultivados para cada 
cultura. A Figura 2 demonstra a utilização da ferramenta solver no software Microsoft Excel. 
 
 
Figura 2 - Utilização da ferramenta solver no software Microsoft Excel 
 
Depois de calculados os resultados do modelo matemático através do Solver, gerou-se o 
relatório de sensibilidade a fim de realizar análises referente as alterações que podem ocorrer 
nas variáveis de decisão da função objetivo e as possíveis alterações que as restrições podem 
sofrer. 
4.2.3. Relatório de sensibilidade 
Na figura 3 apresenta-se o relatório de sensibilidade gerado através da ferramenta Solver do 
Excel. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 3 - Relatório de sensibilidade 
 
Microsoft Excel 14.0 Relatório de Sensibilidade
Planilha: [POII EXCEL.xlsx]Programação Linear
Relatório Criado: 19/05/2016 16:58:48
Células Variáveis
Final Reduzido Objetivo Permitido Permitido
Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Reduzir
$C$5 Milho 65 0 2251,4 1E+30 716,1
$D$5 Painço 70 0 1535,3 716,1 1535,3
$E$5 Soja 135 0 3202,3 1E+30 3202,3
Restrições
Final Sombra Restrição Permitido Permitido
Célula Nome Valor Preço Lateral R.H. Aumentar Reduzir
$F$7 Roundup Wg Herbicida Utilizado 540 0 815 1E+30 275
$F$8 Aureo oleo Vegetal Utilizado 108 0 115 1E+30 7
$F$9 Panther 120 EC (5LT) Utilizado 216 0 225 1E+30 9
$F$10 DKB240PRO3 Utilizado 78 0 78 1E+30 0
$F$11 Fertilizante 12-30-20 Utilizado 40500 0 41000 1E+30 500
$F$12 Ureia Utilizado 33750 0 35000 1E+30 1250
$F$13 Herbicida trazina Utilizado 260 179,025 260 0 0
$F$14 Herbicida soberam Utilizado 14950 0 15000 1E+30 50
$F$15 Abacus hc Utilizado 35 0 35 1E+30 0
$F$16 Inseticida Belt Utilizado 10,25 0 15 1E+30 4,75
$F$17 Fertilizante Mineral Aller Utilizado 6,75 0 70 1E+30 63,25
$F$18 Semente soja Utilizado 236,25 0 240 1E+30 3,75
$F$19 Adubo 2-23-23 Utilizado 675 0 680 1E+30 5
$F$20 Carbendazim Utilizado 67,5 0 70 1E+30 2,5
$F$21 Fungicida Fox Utilizado 54 0 55 1E+30 1
$F$22 Fungicida Fox Utilizado 54 0 55 1E+30 1
$F$23 Fungicida Fox Utilizado 54 0 55 1E+30 1
$F$24 Inseticida Conect Utilizado 67,5 0 70 1E+30 2,5
$F$25 Inseticida Conect Utilizado 67,5 0 70 1E+30 2,5
$F$26 Paiço vermelho Utilizado 4900 0 5000 1E+30 100
$F$27 Hectares disponivel Utilizado 135 1535,3 135 0 70
$F$28 hectares soja Utilizado 135 3202,3 135 1 135
 
- 219 - 
Pode-se verificar no relatório de sensibilidade na parte das células variáveis a coluna final 
valor que apresenta a quantidade a ser produzida de cada cultura. Essa coluna exibe que 
devem ser produzidos 65 hectares de milho, 70 hectares de painço e 135 hectares de soja. O 
Custo reduzido traz valores apenas para aquelas culturas que não são cultivadas, o que não é o 
caso deste estudo. A coluna Objetivo Coeficiente apresenta o lucro de cada cultura por 
hectare, de acordo com a coluna de Objetivo Coeficiente o milho obtém um lucro de 
R$2.251,40, painço um lucro de R$1.535,30 e a soja um lucro de R$3.202,30 e as colunas 
Permitido Aumentar e Permitido Reduzir, trazem o valor que pode ser acrescido ou reduzido 
do lucro das culturas, que não vai modificar a quantidade de hectares a ser cultivada de cada 
cultura. 
Já a segunda parte do relatório de sensibilidade apresenta as alterações com relação às 
restrições do modelo matemático. A coluna Final Valor traz quanto de cada restrição é 
utilizado para o cultivo das três culturas, sendo que através desta coluna pode-se programar 
quanto de cada restrição precisa para o cultivo das culturas. A coluna Preço Sombra apresenta 
quanto pode ser acrescido ao lucro total em caso de adquirir uma unidade a mais. De acordo 
com o preço sombra a cada hectare que aumentar na cultura de soja sofre um acréscimo de 
R$3.202,30 ao lucro final e a cada hectare de milho e painço que aumentar sofre um 
acréscimo de R$1.535,30 ao lucro final. Através desta analise pode-se perceber que se o 
agricultor tivesse mais hectares disponíveis ele poderia aumentar a sua lucratividade em 
R$3.202,30 por hectare a mais cultivado porem, sabe-se que atualmente o agricultor não tem 
mais hectares disponíveis não sendo possível aumentar o cultivo de soja. 
Na coluna Restrição Lateral R.H. aparece a disponibilidade de cada restrição, no caso da soja 
a disponibilidade é de 135 hectares e nas colunas Permitido Aumentar e Permitido Reduzir 
apresenta-se a quantidade que pode ser aumentado ou reduzido de cada restrição sem 
interferir nas demais restrições e este acréscimo ou redução irá aumentar ou diminuir o lucro 
do agricultor, isto para aqueles produtos que possuem preço sombra maior que zero. Para as 
restrições que há sobras de recursos, na coluna Permitido Reduzir aparece a quantidade que 
pode ser reduzida de cada restrição sem afetar a lucratividade. Como houve sobra de insumos 
sugere-se ao agricultor que compre somente os insumos necessários para a produção das três 
culturas, podendo desta forma diminuir custos e com essa redução de custos, fazer 
investimentos para a propriedade. 
4.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
De um modo geral muitas propriedades rurais se deparam com a dúvida de quais culturas 
produzir naquele ano agrícola para otimizar a lucratividade. Diante disso a principal 
contribuição deste estudo foi a otimização da rentabilidade do cultivo de culturas de milho, 
painço e soja em uma propriedade rural no noroeste do Rio Grande do Sul. Por intermédio do 
 
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levantamento da receita bruta e dos custos de produção por hectare plantado das três culturas 
na propriedade rural, possibilitou encontrar a modelagem das restrições do problema estudado 
e os coeficientes da função objetivo, o que facilitou a posterior análise do que deveria ser 
cultivado com o uso do Solver do Software Excel. 
Os objetivos propostos foram alcançados e comprovados por meio do relatório de 
sensibilidade, gerado pelo Solver, que auxilia no processo de tomada de decisão, pois as 
análises realizadas apresentaram contribuições relevantes para a gestão de uma propriedade 
rural, baseado na análise das três culturas produzidas. 
Diante do problema de pesquisa evidenciado no estudo, que visava saber se é possível 
melhorar a lucratividade de uma propriedade rural através da aplicação da programação 
linear, confirmou-se com a aplicação da programação linear e com o relatório de 
sensibilidade, pois identificou qual das três culturas obterá mais lucro naquele ano agrícola, 
considerando uma maximização do lucro para o produtor rural e respeitando todas as 
restrições encontradas. 
Um fator limitante deste estudo refere-se justamente à sua natureza, ou seja, é um estudo de 
caso específico, o que não permite utilização desse modelo de programação linear para outras 
propriedades rurais, outro fator limitante refere-se ao dimensionamento de todos os custos de 
produção. Portanto, vislumbra-se a realização de estudos futuros que analisemtodos os custos 
de cada cultura para obter um resultado mais preciso, inclusive o custo de combustível que 
não foi possível dimensionar nesse estudo por falta de dados, então sugere-se ao agricultor 
que faça esse controle para poder ter uma análise mais precisa e mais completa. Também não 
foi considerada mão de obra devido a mesma ser familiar. 
5. Referências 
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planejamento agrícola em propriedade da região centro-oeste. Universidade de São Paulo. 
[S.l.], p. 07. 1992. Disponivel em:< http://esalqlog.esalq.usp.br/wp-
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Abril de 2016. 
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sistêmico do processo de tomada de decisão nas propriedades rurais. SOBER, 2008. 
 
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Disponivel em: <http://ageconsearch.umn.edu/bitstream/109727/2/11.pdf>. Acesso em: 2016 
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Prentice Hall, 2012. 223 p. p. ISBN 9788576050933. 
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9788599020050. 
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Paulo: Atlas S.A, 2012. ISBN 9788522448784. 
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de Coimbra. [S.l.], p. 45. S.D. Disponivel em:< 
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