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EXERCÍCIOS DE REVISÃO – CFVV – Prof. Machado – 2013 01. Qual é o domínio da função f(x, y) = ln (x – y) ? A) D = {(x, y) ε IR2 | x ≤ y} B) D = {(x, y) ε IR2 | x ≠ y} C) D = {(x, y) ε IR2 | x > y} D) D = {(x, y) ε IR2 | x < y} E) D = {(x, y) ε IR2 | x ≥ y} Solução: C.E.: x – y > 0 x > y ∴∴∴∴ D(f) = {(x, y) εεεε IR2 | x > y} 02. O valor da integral dupla ∫ ∫ + 1 0 3 1 2 dydx)y3x4( é: A) 10 B) 24 C) 30 D) 32 E) 12 Solução: ∫ ∫ + 1 0 3 1 2 dydx)y3x4( =∫ ∫ + = = 1 0 3y 1y 2 dxdy)y3x4( = ∫ ∫ ∫ + = = = = 1 0 3y 1y 3y 1y 2 dxdyy3xdy4 = ∫ ∫ ∫ + = = = = 1 0 3y 1y 3y 1y 2 dxdyy3dyx4 = ∫ = = + 1 0 3 dx 1y 3y 3 y .3y.x4 = [ ]∫ = = + 1 0 3 dx 1y 3y y.y.x4 = [ ] [ ]( )∫ +−+ 1 0 33 dx11.x43.3.x4 = [ ] [ ]( )∫ +−+ 1 0 dx1x427..x12 = ( )∫ −−+ 1 0 dx1x427x12 = ( )∫ + 1 0 dx26x8 = 8 ∫∫ + 1 0 1 0 dx26xdx = 0 1 x26 2 x 8 2 + = 0 1 )x26x4( 2 + = (4.12 + 26.1) – (4.02 + 26.0) = 4 + 26 = 30 03. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 0,02 cm/min e 0,03 cm/min, respectivamente. Qual a taxa de variação do volume quando r = 10 cm e h = 5 cm. h.rV 2cilindro π= A) 6π cm3 / min. B) 2,64π cm3 / min. C) 5π cm3 / min. D) –1,5π cm3 / min. E) π cm3 / min. Solução: Regra da Cadeia Suponha que z = f(x, y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é uma função diferenciável de t e: dt dy . y f dt dx . x f dt dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = Para os dados do exercício onde o volume de um cilindro é função do raio e da altura, podemos formular: Seja V = f(r, h) uma função diferenciável de r (raio) e h (altura), onde r = g(t) e h = w(t) são diferen – ciáveis de t. Então, V é uma função diferenciável de t e: dt dh . h f dt dr . r f dt dv ∂ ∂ + ∂ ∂ = Do enunciado, temos: 02,0 dt dr = cm/min., 03,0 dt dh = cm/min., r = 10 cm e h = 5 cm A taxa de variação do volume neste caso é: dt dh . h f dt dr . r f dt dv ∂ ∂ + ∂ ∂ = = 2πrh. dt dr + πr2. dt dh = 2π.10.5.0,02 + π.102.0,03 = 2π + 3π = 5ππππ cm3/min. Exemplo extra: A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (em kelvins) de um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula PV = 8,31T. Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é de 300 k e está aumentando com a taxa de variação de 0,1 k/s e o volume é de 100L e está aumentando com a taxa de 0,2 L/s. Solução: Se t representa o tempo decorrido, medido em segundos, então a um dado instante temos: T = 300, 1,0 dt dT = , V = 100, 2,0 dt dV = Como PV = 8,31T P = 8,31 V T , pela Regra da Cadeia dt dV . V P dt dT . T P dt dP ∂ ∂ + ∂ ∂ = = dt dV . V T31,8 dt dT . V 31,8 2 − = 2,0. 100 300.31,8 1,0. 100 31,8 2 − = –0,04155 Portanto, a pressão está decrescendo com a taxa de 0,042 kPa/s
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