Cálculo de DMF em Estruturas

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Estruturas com inércia variando em mísulas 
 Emprego de tabelas para cálculo de JC  MMds/J 
 Variações propostas (Tabelas de Guldan): 
São 4 tabelas: MRA, MPA,MRS e MPS. Nas tabelas de mísulas simétricas, 
só existem 2 valores em cada cruzamento, por causa da simetria. 
São 4 tabelas: MRA, MPA,MRS e MPS. Nas tabelas de mísulas simétricas, 
só existe 1 valor em cada cruzamento, por causa da simetria. 
São 4 tabelas: MRA, MPA, 
MRS e MPS. Ao contrário 
das outras tabelas, aqui 
temos 3 parâmetros de 
entrada:  = a/l, n = JC/JA 
 e N (posição da carga), 
que varia de 1 até 11, já 
que as seções 0 e 12 estão 
sobre os apoios. 
Cada cruzamento tem 
sempre dois valores em 
todas as tabelas. 
 
 Aplicações: 
 1) Calcular o deslocamento vertical de A para a viga 
da figura. Todas as mísulas são retas com Jmín = JC e 
 Jmáx = 5JC. É dado o produto EJC = 2 x 10
5 kNm2. 
Temos, para os carregamentos virtual e externo, os seguintes 
diagramas: 
Cálculo dos : 
Para a barra : mísula reta assimétrica (MRA) com: 
 = 3 / 3 = 1; n = JC / 5JC = 0,2; l’ = l x JC / Jmín = 3 m 
3 x 3 x 45 x 0,098 = 40 
-3 x 10 x 9 x 3 x 0,0153 = -12 
Notar que basta conhecer a linha de fechamento do diagrama M para o cálculo. 
Para a barra : mísula reta simétrica (MRS) com: 
 = 2,4 / 12 = 0,2; n = JC / 5JC = 0,2; l’ = l x JC / Jmín = 12 m 
 
12 x 3 x 45 x 0,241 = 390 
-3 x 10 x 144 x 12 x 0,038 = 
= -1970 
-3 x 50 x 12 x 12 x 0,0584 = 
= -1261 
Cálculo do deslocamento: 
EJC = 40 -12 + 390 – 1970 – 1261 = - 2813 
Assim: 
 = -2813 / 2 x 105 = -0,014 m = -1,4 cm 
Portanto o ponto A sobe (). 
 
Exemplos de resolução de estruturas hiperestáticas: 
2) Obter o diagrama de momentos fletores e as reações de 
 apoio para a viga contínua da figura: 
Dados: JA = JC = JD = Jcomp; JB = 5Jcomp 
 
Sistema principal e hiperestático: 
Diagramas no sistema principal: 
Cálculos dos (EJcomp) : 
Sendo as barras mísulas retas assimétricas (MRA), 
empregando as respectivas tabelas, obtemos: 
 
(EJcomp) 10: 
Características das barras  e : 
 = 2,4 / 8 = 0,3; n = Jcomp / 5Jcomp = 0,2 
(EJcomp) 11: 
Considerando 
as barras  e : 
 
Tabela MRA (carga distribuída) 
1 = 0,0351 
-2 x 10 x 82 x 8 x 0,0351 = -362,0 
Tabela MRA (triângulos) 
= 0,151 
8 x 40 x 1 x 0,151 = 48 
 
EJcomp 10 = -314 
Tabela MRA (triângulos) 
1 = 0,207 
2 x 8 x 1 x 1 x 0,207 = 3,32 
Equação de compatibilidade: 
-314 + 3,32 X1 = 0  X1 = 94,5 
 
Diagrama Final: 
3) Obter o diagrama de momentos fletores provocado por 
 um aumento uniforme de temperatura de 30 C, para o 
 quadro da figura. Dado: EJC  = 5 kNm
2 / C. 
Sistema Principal e hiperestático: 
Diagramas no sistema principal: 
DMF DEN 
Cálculo dos EJC : 
EJC 1t: 
EJC 1t = EJC  tg AN1 = 5 x 30 x (-20) = -3000 
 
EJC 11: 
Barras 1 e 2 (MRA):  = 1; n = JC / 5JC = 0,2 
Tabela MRA: 1 = 0,098 
2 x 5 x (-5) x (-5) x 0,098 = 24,5 
Barra 3 (MRS):  = 5 / 20 = 0,25; n = 4JC / 20JC = 0,2 
Tabela MRS:  = 0,222 e  = 0,144 
2 l’ M1 M1 ( + ) = 2 x 5 x 52 x (0,222 + 0,144) = 91,5 
EJC 11 = 24,5 + 91,5 = 116 
Equação de compatibilidade: 
-3000 + 116 X1 = 0  X1 = 25,8 
Diagrama final de momentos fletores: 
4) Calcular o DMF para a estrutura representada pela 
 figura abaixo: 
 Dados: JA = Jb; JB = 5Jb; JC = 2Jb; JD = 2Jb 
 Considerar d11 = 2,285 (dado) 
Diagramas M1, M2 e M0: 
Comprimentos elásticos: 
L’1 = 8 m 
L’2 = 6 / 2 = 3 m 
L’3 = 10 / 2 = 5 m 
Cálculo de 12: (barra do meio) 
 = 1,00; n = 0,40;  = 0,105 
12 = 0,105 x 1 x 1 x 3 = 0,315 
 
Cálculo de 22: 
(barra do meio) 
 = 1,00; n = 0,40; 2 = 0,264 
22 = 0,264 x 1 x 1 x 3 = 0,792 
 
(barra da direita) 
 = 1,00; n = 1,00;  = 0,333 
22 = 0,333 x 1 x 1 x 5 = 1,665 
 
22 = 0,792 + 1,675 = 2,457 
Cálculo de 10: 
(barra da esquerda) 
 = 0,25; n = 0,20; 1 = 0,0368 
10 = 0,0368 x 1 x 20 x 82 x 8 = 
 = 376,83 
 
(barra do meio) 
 = 1,00; n = 0,40; N = 6 (meio) 
1 (interpolado) = 0,0358 
n = 0,20  1 = 0,0234 
n = 0,50  1 = 0,0420 
10 = 0,0358 x 1 x 50 x 6 x 3 
 = 32,22 
 
10 = 376,83 + 32,22 = 409,05 
Cálculo de 20: 
(barra do meio) 
 = 1,00; n = 0,40; N = 6 (meio) 
2 = 0,0410 
20 = 0,0410 x 1 x 50 x 6 x 3 = 
 = 36,90 
 
(barra da direita) 
 = 1,00; n = 1,00;  = 0,0416 
20 = 0,0416 x 1 x 30 x 102 x 5 = 
 = 624,00 
 
20 = 36,90 + 624,00 = 661,90 
Resolvendo o sistema: 
2,285 X1 + 0,315 X2 = -409,05 
0,315 X1 + 2,457 X2 = -661,90 
X1 = -144,43 kNm 
X2 = -250,88 kNm 
 
Diagrama de Momentos Final 
5) Calcular o DMF para a estrutura abaixo representada. 
 Dado: EJc = 10
5 kNm2 e 12 = 21 = -1,35 (SP dado) 
Expressão dada para combinação de trapézios: 
L’ [M1 (M1 1 + M2 ) + M2 (M2 2 + M1 ) 
Diagramas M0, M1 e M2: 
Cálculo dos : 
11 = 22 
 = 1/4 = 0,25; n = Jc/5Jc = 0,20 
L’ = 4 m; (barra vertical esquerda) 
11 = 4 [0,5 (0,51 + 1) + 1,0(1,02 + 0,5) = 
 = 4 [0,5 (0,5x0,223 + 1x0,155) + 1,0(1,0x0,332 + 
 + 0,5x0,155) = 2,171 
 = 2/5 = 0,40; n = 2Jc/5Jc = 0,40 
L’ = 5 x Jc/2Jc = 2,5 m; (barra horizontal) 
11 = 2 x 0,5 x 0,5 x 2,5 x 1 = 1,25 1 = 
 = 1,25 x 0,227 = 0,284 
 
 = 1/4 = 0,25; n = Jc/5Jc = 0,20 
L’ = 4 m; (barra vertical direita) 
11 = 0,5 x 0,5 x 4 x 1 = 1 = 0,223 
 
Total: 
11 = 2,171 + 0,284 + 0,223 = 2,678 
10 = -20: 
 = 1/4 = 0,25; n = Jc/5Jc = 0,20 
L’ = 4 m; (barra vertical esquerda) 
10 = -L’ [120 (0,51 + 1,0)] = 
 = -4 x 120 x (0,5 x 0,223 + 
 + 1,0 x 0,155) = -127,92 
 
 = 2/5 = 0,40; n = 2Jc/5Jc = 0,40 
L’ = 5 x Jc/2Jc = 2,5 m; (barra horizontal) 
10 = -2 x 0,5 x 125 x 2,5 x 1 = 
 = -3001 = -300 x 0,227 = -68,10 
 = 1/4 = 0,25; n = Jc/5Jc = 0,20 
L’ = 4 m; (barra vertical direita) 
10 = -0,5 x 125 x 4 x 1 = -250 1 = 
 = -250 x 0,223 = -53,52 
 
Total: 
10 = - 127,92 – 68,10 – 53,52 = 
 = -249,60 
20 = + 249,60 
Sistema: 
2,678 X1 – 1,350 X2 = 249,60 
-1,350 X1 + 2,678 X2 = -249,60  X1 = 61,96; X2 = -61,96 
Diagrama de Momentos Final: 
MA = (-1) x (61,96) + (0) x (-61,96) + 0 = -61,96 
MB = (0) x (61,96) + (-1) x (-61,96) + 0 = 61,96 
MC = (-0,5) x (61,96) + (0,5) x (-61,96) + (120) = 58,04 
MD = (0,5) x (61,96) + (-0,5) x (-61,96) + (-120) = -58,04 
O diagrama será antimétrico, como era de se esperar.