AulaN4

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Método das Forças 
 O problema consiste em escrever as equações 
geométricas expressas em função das incógnitas 
hiperestáticas. Estas equações traduzem a 
condição de ser nulo o deslocamento na direção 
de cada incógnita escolhida. 
Incógnitas: 
Esforços seccionais 
 
Precisamos romper 
vínculos até obter 
uma estrutura 
Isostática. 
Sistema Principal 
E0  Efeito do Carregamento Externo no Sistema Principal 
E1  Efeito de X1 = 1 no Sistema Principal 
E2  Efeito de X2 = 1 no Sistema Principal 
 Coeficientes de flexibilidade: 
 (deslocamentos) 
 d10 = deslocamento na direção de X1 para a ação 
 externa; 
 d20 = deslocamento na direção de X2 para a ação 
 externa; 
 d11 = deslocamento na direção de X1 para X1 = 1; 
 d12 = deslocamento na direção de X1 para X2 = 1; 
 d21 = deslocamento na direção de X2 para X1 = 1; 
 d22 = deslocamento na direção de X2 para X2 = 1; 
Equações de compatibilidade de deslocamentos 
 0 = d10 + d11 X1 + d12 X2 
 
 0 = d20 + d21 X1 + d22 X2 
Resolvendo o sistema, podemos obter X1 e X2 
E = E0 + E1 X1 + E2 X2 (esforço qualquer) 
 
M = M0 + M1 X1 + E2 X2 (momento fletor) 
 
R = R0 + R1 X1 + R2 X2 (reação de apoio) 
 Se tivermos n incógnitas, teremos n equações 
 
 Coeficientes: 
 Teremos que resolver o sistema principal para a ação: 
 a) Das ações externas; 
 b) Dos estados auxiliares Xk = 1. 
 A determinação dos deslocamentos é feita por meio do 
 Princípio dos Trabalhos Virtuais. 
 
 Chamando: 
 Mk – momentos para Xk = 1; 
 Mi – momentos para Xi = 1; 
 M0 – momentos devidos às ações externos. 
dki =  (Mk Mi / EJ) ds 
 Se considerarmos apenas a contribuição dos 
 momentos fletores: 
dk0 =  (Mk M0 / EJ) ds 
Estamos desprezando a influência de cortante, 
normal e torsor. 
Observação: Se o grau hiperestático for n, 
lidaremos com n + 1 diagramas. 
Roteiro para o Método das Forças 
1. Escolher o Sistema Principal e indicar os 
 hiperestáticos; 
2. Calcular os n + 1 diagramas M0 e Mi; 
3. Calcular os coeficientes de flexibilidade - 
i0 e ij; 
4. Estabelecer as equações de compatibilidade 
 de deslocamentos e resolvê-las (Xi); 
5. Calcular de esforços e reações de apoio por 
superposição na estrutura hiperestática. 
 1) Resolver a estrutura hiperestática: 
 Combinando os diagramas: EJd10 = -20 e EJd11 = 6 
 d10 + d11 X1 = 0  X1 = - d10/d11 = 20/6 = 10/3 
 Esforços Finais: 
 M = M0 + 10/3 M1 
 R = R0 + 10/3 R1 
MD = 0 + 10/3 (-1) = 3,33 
MC3 = -6 + 10/3 (-1) = -9,33 
MC2 = 0 + 10/3 (-1) = -3,33 
Barras com inércias constantes e diferentes 
Seja o quadro da figura. Um deslocamento  devido ao 
trabalho de flexão é: 
 =  (MM/EJ)ds =  barra (MM/EJbarra)ds 
Sendo JC uma inércia arbitrária, chamada inércia de 
comparação, que usualmente é arbitrada igual à 
menor das inércias das barras, temos: 
E JC  =  JC/Jbarra barra M M ds 
 
 Em função dos diagramas M e M em cada 
 barra, tabelaremos os valores de: 
 
JC/Jbarra barra M M ds 
 
 que, somados para todas as barras da 
estrutura, nos darão o valor E JC , a partir 
 do qual se obtém o valor do deslocamento 
  desejado. 
Expressão de Vereschaguin 
 Os diagramas M são sempre compostos de trechos retos 
para estruturas compostas por barras retas. Os 
diagramas M poder ser quaisquer. Temos, para uma 
barra de inércia Ji e comprimento li: 
 
 JC/Ji  M M ds = JC/Ji a
a+li M x tg  dx 
 Da Geometria das Massas, sabemos que  a
a+li M 
x dx é o momento estático da área M em relação 
ao eixo y, numericamente igual ao produto da 
área AM do diagrama M pela distância x do seu 
centro de gravidade ao eixo y. 
 
 JC/Ji  M M ds = JC/Ji tg  AM x = JC/Ji AM y 
 
 O valor de JC/Ji  M M ds que desejamos tabelar é 
igual ao produto de JC/Ji pela área do diagrama 
qualquer e pela ordenada, na posição do seu 
centro de gravidade, lida no diagrama retilíneo. 
Exemplos: 
 a) Combinação de M e M retilíneos: 
Chamando-se li Jc / Ji = l’i de comprimento elástico da 
barra i e que é o comprimento fictício de uma barra de 
inércia Jc que nos dá a mesma deformação da barra de 
comprimento li e inércia Ji, temos: 
 JC/Ji  M M ds = l’i/6 [MA (2MA + MB) + MB (2MB + MA)] 
 
 b) Combinação de M retilíneo e M parabólico do 2° grau: 
 2) Calcular o DMF para: 
 a) Carregamento indicado; 
 b) Aumento uniforme de temperatura de 30° C; 
 c) Recalque de apoio vertical no apoio B de 2 cm (). 
 Dados: E = 2,1 x 107 kN/m2 e J = 0,02 m4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B 
Diagramas no Sistema Principal 
ql2/8 = 16 x 152 / 8 = 450 
Cálculo dos d: 
EJc d11 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 6 + 1 x 1 x 1 x 6 = 10 
EJc d12 = 1/2 x 1 x 1 x 6 = 3 
EJc d22 = 2 x 1/3 x 1 x 1 x 6 + 1 x 1 x 1 x 6 = 10 
EJc d10 = -2/3 x 450 x 1 x 6 = -1800 
EJc d20 = -2 x 1/3 x 450 x 1 x 6 = -1800 
Matriz 2 x2:  d11 d12 -1 =  a b -1 = 1/ x  d -c  
  d21 d22   c d   -b a  
 d = 10 3  d -1 =  10/91 -3/91  
  3 10   -3/91 10/91  
 [ d ]= a x d – b x c = 100 – 9 = 91 
 
 a) Carregamento externo: 
  X1  =  10/91 -3/91   1800  =  138,5  
  X2   -3/91 10/91   1800   138,5  
 b) Variação de Temperatura: 
 d1t = 10-5 x 30 x 15 x (-1/6) = -75 x 10-5 
 d2t = 10-5 x 30 x 0 = 0 
 EJc d1t = -315 
 EJc d2t = 0 
  X1  =  10/91 -3/91   315  =  34,6  
  X2   -3/91 10/91   0  -10,4  
 c) Recalque de Apoio: 
 d1r = 0 
 1 x d2r + (-2/15) x 0,02 = 0  d2r = 0,04/15 
 EJc d1r = 0 
 EJc d2r= 1120 
  X1  =  10/91 -3/91   0  =  36,9  
  X2   -3/91 10/91   -1120  -123,0  
B 
 3) Calcular o DMF para a estrutura, em que todas as 
barras têm EJ constante, considerando apenas o efeito do 
momento fletor. Tirar partido da simetria vertical. 
 As figuras seguintes apresentam os estados E0, E1 e E2, 
 auto-equilibrados, com os correspondentes DMFs. 
 A partir dos diagramas e utilizando as tabelas: 
 Sistema de equações: 
12 X1 + 2X2 = 1480 
2 X1 + 12 X2 = -840 
 X1 = 138,85 kNm e X2 = -93,14 kNm 
 
Diagrama Final 
 4) Traçar os diagramas de esforços solicitantes (DMF, 
DEC e DMT) para a grelha representada na figura. 
 Sistema Principal e Hiperestáticos 
Ações no Sistema Principal - Carregamento 
Ações no Sistema Principal – X1=1 
Ações no Sistema Principal – X2=1 
(Como exercício, desenhar os diagramas para X3 = 1) 
 
Cálculo dos deslocamentos: 
 EJ d11 = 1,404 x 10-3 ; EJ d10 = -2,889 x 10-2; 
 EJ d22 = 1,222 x 10-4 ; EJ d20 = 2,000 x 10-3; 
 EJ d33 = 1,111 x 10-4 ; EJ d30 = -6,519 x 10-3 . 
 EJ d12 = -5,000 x 10-5 ; 
 EJ d13 = 3,556 x 10-4 ; 
 EJ d23 = 0,000; 
 
Resolvendo o sistema de equações: 
X1 = 29,38 kN; 
 X2 = -4,35 kNm; 
 X3 = -35,34 kNm 
Diagramas Finais: 
PROGRAMA SALT –Diagrama de Momentos 
PROGRAMA SALT – Diagrama de Momentos Torsores e de Cortantes 
 5) Resolver a treliça hiperestática da figura, cujas barras 
têm, todas, a mesma área. 
 Trata-se de uma treliça uma vez hiperestática internamente. O 
Sistema Principal está representado na figura da direita. Poderíamos 
ter rompido outra barra no Sistema Principal. 
Diagramas no Sistema Principal 
 Temos, então: 
 EA d10 =  (N1 N0 l) = 2 P a (1 + SQRT(2)) 
 EA d11 =  (N1N1 l) = 4 a (1 + SQRT(2)) 
 X1 = - d10 / d11 = - P/2 
 Esforços Finais: N = N0 + N1 X1 = N0 – (P/2) X1 
 
 6) Obter, pelo Método das Forças, os diagramas 
solicitantes na estrutura representada na figura, para uma 
diminuição uniforme de temperatura de 40 °C em toda a 
estrutura. 
 Dados: Viga: J = 0,045 m4; A = 0,3000 m2; E = 21 GPa 
 Tirante: A = 0,0005 m2; E = 210 GPa 
  = 10-5 / °C 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
Efeitos no Sistema Principal – X1 =1 
 Fx = 0  HA = - HB 
 Fy = 0  VA + VB = -1 
MCrot = 0  HB = 0  HA = 0 
 MA = 0  15 X1 + 6 VB – 8 HB = 0  VB = -15/6 = -2,5 kN 
 VA = -1 + 2,5 = 1,5 kN 
 Desprezando a deformação por esforço cortante, temos: 
 d11 = (1/EvJv) (9 x 9 x 6/3 + 9 x 9 x 9/3) + (1/ETAT) (2,5 x 2,5 x 8) = 
 = 405 / (21 x 106 x 0,045) + 50 / (210 x 106 x 0,0005) = 
 = 4,29 x 10-4 + 4,76 x 10-4 = 9,05 x 10-4 
 Variação Uniforme de Temperatura: 
 Todas as barras: t = tg = -40 °C 
 Como todas as barras têm inércia constante: 
 d1t =  tg  N1 dx = 10-5 x (-40) x (-2,5) x 8 = 8,0 x 103 
 
 Cálculo do Hiperestático: 9,05 x 10-4 X1 + 8,0 x 103 = 0 
 X1 = - 8, 84 kN 
 Diagramas Finais: 
Exercício de casa 
 Resolver o problema anterior adotando o seguinte 
Sistema Principal: 
d11 = 1,45 x 10-4 d1t = - 3,2 x 10-3 X1 = 22,10 kN