Econometria II resumo 5

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Eco 2 – monitoria Leandro Anazawa 
 
1 
 
Econometria II 
Este não é um resumo extensivo. O intuito deste resumo é de servir como guia 
para os seus estudos. Procure desenvolver as contas e passos apresentados em 
sala de aula. Quaisquer dúvidas me procurem ou me escrevam um e-mail 
(leandro.swa@gmail.com). Bons estudos! 
 
Painel – (1ª Diferenças, Efeitos Fixos e escolha entre estimadores 
de painel) 
 
I) Relembrando 
𝑦𝑖𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 
Em que o termo de erro se divide em um termo constante no tempo (𝑎𝑖) e um 
termo aleatório (𝑣𝑖𝑡): 
𝜀𝑖𝑡 = 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖𝑡 
Note que alguns termos tem o sub índice i que representa o indivíduo i. O sub 
índice t representa o período. 
Em termos matriciais temos o seguinte modelo: 
𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝝐 
𝒀 =
(
 
 
 
 
𝑦11
𝑦12
⋮
𝑦1𝑇
𝑦21
⋮
𝑦𝑁𝑇)
 
 
 
 
 ; 𝑿 =
(
 
 
 
1 𝑋111 𝑋211 ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋯
1
1
⋮
1
𝑋11𝑇
𝑋121
⋮
𝑋1𝑁𝑇
𝑋21𝑇 ⋯
𝑋221 ⋯
 ⋮ ⋯
𝑋2𝑁𝑇 ⋯)
 
 
 
 ; 𝜷 =
(
 
 
𝑏0
𝑏1
⋮
𝑏𝑘−1
𝑏𝑘 )
 
 
 ; 𝝐 =
(
 
 
 
 
𝜀11
𝜀12
⋮
𝜀1𝑇
𝜀21
⋮
𝜀𝑁𝑇)
 
 
 
 
 
Hipóteses de painel1 
i. 𝑣𝑖𝑡 ⊥ 𝑎𝑖 , 𝑋𝑖𝑠 ∀ 𝑡, 𝑠 {hipótese: V idiossincrático} 
𝑣𝑖𝑡 ⊥ 𝑣𝑖𝑠 ∀ 𝑡 ≠ 𝑠 
ii. (𝑌𝑖𝑡 , 𝑋𝑖𝑡 , 𝑎𝑖 , 𝑣𝑖𝑡) ⊥ (𝑌𝑗𝑠, 𝑋𝑗𝑠, 𝑎𝑗, 𝑣𝑗𝑠) ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 𝑒 ∀ 𝑡, 𝑠 {hipótese: Amostra Aleatória} 
iii. 𝑉𝑎𝑟(𝑎|𝑋) = 𝜎𝑎
2 {hipótese: homocedasticidade} 
𝑉𝑎𝑟(𝑣|𝑋, 𝑎) = 𝜎𝑣
2 
iv. 𝐸(𝑎) = 𝐸(𝑣) = 0 
 
1 O símbolo ⊥ representa independência neste resumo (não achei o símbolo certo). 
2 
 
CASO 1: Vale 𝑬(𝒂|𝑿) = 𝟎 
Se além disso, valer também as quatro hipóteses de painel, então temos que 
𝐸(𝑣|𝑋) = 0. 
Como 𝐸(𝜀|𝑋) = 𝐸(𝑎|𝑋) + 𝐸(𝑣|𝑋), então também temos que 𝐸(𝜀|𝑋) = 0. Isso 
permite que a gente utilize MQO e obtenha estimativas não viesadas!!! Assim, 
os estimadores recomendados para esse caso são: 
 
 MQO Empilhado: 
�̂�𝑴𝑸𝑶𝑬 = (𝑿′𝑿)−1𝑿′𝒀 
�̂�𝑴𝑸𝑶𝑬 𝑁(𝜷, (𝑿′𝑿)−1𝑿′𝚺 𝑿(𝑿′𝑿)−1)~
 𝐴 
 Estimador de Efeitos Aleatórios: 
�̂�𝑬𝑨 = (𝑿′𝚺−𝟏𝑿)−1𝑿′𝚺−𝟏𝒀 
�̂�𝑬𝑨 𝑁(𝜷, (𝑿′𝚺−𝟏𝑿)−1)~
 𝐴 
Ambos os estimadores são consistentes sob 𝐸(𝑎|𝑋) = 0. 
Em amostras infinitas, o estimador de Efeitos Aleatórios é melhor do que o 
estimador de MQO empilhado. Isso porque o estimador de Efeitos Aleatórios é 
assintoticamente o mais eficiente (menor variância). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
II) CASO 2: Vale 𝑬(𝒂|𝑿) ≠ 𝟎 
Obs: A notação que utilizo neste resumo é diferente da notação utilizada em 
sala de aula. Portanto, recomendo que utilizem o resumo apenas para 
compreender o funcionamento dos estimadores. 
 Estimador de 1ª Diferenças: 
𝑦𝑖𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 
𝜀𝑖𝑡 = 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖𝑡 
A ideia do estimador de 1ª Diferenças pode ser derivado da seguinte 
transformação do modelo de regressão: 
𝑦𝑖𝑡 − 𝑦𝑖𝑡−1 = (𝑏0 − 𝑏0) + (𝑏1𝑋𝑖𝑡 − 𝑏1𝑋𝑖𝑡−1) + (𝜀𝑖𝑡 − 𝜀𝑖𝑡−1) 
𝑦𝑖𝑡 − 𝑦𝑖𝑡−1 = (𝑏0 − 𝑏0) + (𝑏1𝑋𝑖𝑡 − 𝑏1𝑋𝑖𝑡−1) + [(𝑎𝑖 + 𝑣𝑖𝑡) − (𝑎𝑖 + 𝑣𝑖𝑡−1)] 
𝑦𝑖𝑡 − 𝑦𝑖𝑡−1 = (𝑏0 − 𝑏0) + (𝑏1𝑋𝑖𝑡 − 𝑏1𝑋𝑖𝑡−1) + (𝑣𝑖𝑡 − 𝑣𝑖𝑡−1) 
∆𝑦𝑖 = 𝑏1∆𝑥𝑖 + ∆𝑣𝑖 
∆𝑌 = ∆𝑋𝛽 + ∆𝑉 , em que temos 𝐶𝑜𝑣(∆𝑉, ∆𝑋) = 0. 
Estimando essa regressão por um MQO obtemos o �̂�𝟏𝑫 (Estimador de 1ª 
Diferenças). 
�̂�𝟏𝑫 = (∆𝑿′∆𝑿)−𝟏∆𝑿′∆𝒀 
�̂�𝟏𝑫 𝑵(𝜷, �̂�𝒗
𝟐(∆𝑿′∆𝑿)−𝟏)~
 𝑨 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 Estimador de Efeitos Fixos: 
𝑦𝑖𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋𝑖𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 
𝜀𝑖𝑡 = 𝑎𝑖 + 𝑣𝑖𝑡 
Agora, ao invés de subtrair o y de t-1, nós subtraímos a média de y de todo o 
período analisado, 𝑦�̅� =
1
𝑇
∑ 𝑦𝑖𝑡
𝑇
𝑡=1 : 
𝑦𝑖𝑡 − 𝑦�̅� = (𝑏0 − 𝑏0) + (𝑏1𝑋𝑖𝑡 − 𝑏1𝑋�̅�) + (𝜀𝑖𝑡 − 𝜀�̅�) 
𝑦𝑖𝑡 − 𝑦�̅� = (𝑏0 − 𝑏0) + (𝑏1𝑋𝑖𝑡 − 𝑏1𝑋�̅�) + [(𝑎𝑖 + 𝑣𝑖𝑡) − (𝑎𝑖 + 𝑣�̅�)] 
𝑦𝑖𝑡 − 𝑦�̅� = (𝑏0 − 𝑏0) + (𝑏1𝑋𝑖𝑡 − 𝑏1𝑋�̅�) + (𝑣𝑖𝑡 − 𝑣�̅�) 
𝑦�̃� = 𝑏1𝑥�̃� + 𝑣�̃� 
Em que 𝑦�̃� = (𝑦𝑖𝑡 − 𝑦�̅�), 𝑥�̃� = (𝑋𝑖𝑡 − 𝑋�̅�) e 𝑣�̃� = (𝑣𝑖𝑡 − 𝑣�̅�). 
�̃� = �̃�𝜷 + �̃� , em que temos 𝐶𝑜𝑣(�̃�, �̃�) = 0. 
Estimando essa regressão por um MQO obtemos o �̂�𝑬𝑭 (Estimador de Efeitos 
Fixos). 
�̂�𝑬𝑭 = (�̃�′�̃�)−𝟏�̃�′�̃� 
�̂�𝑬𝑭 𝑵(𝜷, �̂��̃�
𝟐(�̃�′�̃�)−𝟏)~
 𝑨 
 
III) 1ª Diferenças x Efeitos Fixos 
 Se T=2, então �̂�𝑬𝑭 = �̂�𝟏𝑫. 
 Com homocedasticidade + ausência de autocorrelação, temos: 
𝑽𝒂𝒓 (�̂�
𝑬𝑭
) < 𝑽𝒂𝒓 (�̂�
𝟏𝑫
) 
Ou seja, �̂�𝑬𝑭 é assintoticamente mais eficiente nesse caso. 
 
IV) Efeito Fixos x Efeitos Aleatórios 
Para fazer essa escolha nós podemos utilizar o Teste de Hausman, com a 
seguinte hipótese nula: 
𝐻0: �̂�
𝐸𝐴 = �̂�𝐸𝐹 
Que é a mesma coisa que testar a seguinte hipótese nula: 
5 
 
𝐻0: 𝐸(𝑎|𝑋) = 0 
Para testar essa hipótese nós utilizamos a seguinte estatística teste: 
𝑊 = (�̂�𝐸𝐴 − �̂�𝐸𝐹)′[𝑉𝑎𝑟(�̂�𝐸𝐴) − 𝑉𝑎𝑟(�̂�𝐸𝐹)]
−1
(�̂�𝐸𝐴 − �̂�𝐸𝐹) 
𝑊~𝜒(𝑘)
2 , em que k é a dimensão da matriz (�̂�𝐸𝐴 − �̂�𝐸𝐹). 
 Se não rejeitarmos 𝐻0, então temos que 𝐸(𝑎|𝑋) = 0. 
o Nesse caso temos �̂�𝐸𝐴 (Efeitos Aleatórios) consistente e 
assintoticamente eficiente e �̂�𝐸𝐹 (Efeitos Fixos) apenas consistente. 
Portanto, escolhemos o Estimador de Efeitos Aleatórios (EA). 
 Se rejeitarmos 𝐻0, então temos 𝐸(𝑎|𝑋) ≠ 0. 
o Nesse caso temos �̂�𝐸𝐴 (Efeitos Aleatórios) inconsistente e �̂�𝐸𝐹 
(Efeitos Fixos) consistente. Portanto, escolhemos o Estimador de 
Efeitos Fixos (EF). 
 
Obs importante! Estudem o quadro comparativo de estimadores de painel 
que o Daniel passou em sala de aula. É bem importante saber as vantagens 
e desvantagens de cada um dos estimadores, assim como compará-los.