Aula 4 – Estradas e Pavimentação Curvas Horizontais Circulares

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ESTRADAS E PAVIMENTAÇÃO
Aula 3 – Curvas Horizontais Circulares
1. Introdução
O traçado de uma rodovia é constituído por trechos retos e trechos curvos
alternadamente. Os trechos retos recebem o nome de tangentes e os trechos curvos
de curvas horizontais.
Uma forma de definir o traçado é acomodar as retas no terreno em função da
topografia e demais obstáculos existentes e depois concorda-las por meio de curvas.
Outra forma é localizar os “pontos obrigados”, colocar as curvas nestes pontos e
depois liga-las com retas tangentes.
Reduzir no numero de curvas não é tão importante quanto ter curvas com raios
grandes. O traçado deve acompanhar a topografia da região, alterando-a quando
necessário. Há normas de projeto que definem o traçado como sendo uma sequencia
de curvas ligadas entre si por trechos retos.
Vamos considerar as curvas horizontais como sendo formadas por arcos de
circunferência que se ligam diretamente às tangentes. Essas curvas são denominadas
curvas horizontais circulares.
O raio adotado para cada curva circular deve ser aquele que melhor adapte o
traçado ao terreno, respeitando valores mínimos que garantam segurança dos veículos
que percorrem a estrada na velocidade de projeto.
2. Geometria das Curvas Horizontais Circulares
Elementos da curva circular e nomenclatura 
adotada
PI – ponto de interseção das tangentes
PC – ponto de curva (inicio de curva)
PT – ponto de tangencia (fim da curva)
A – deflexão entre tangentes = ângulo central da curva
R – raio da curva
T – tangente da curva
D – desenvolvimento = comprimento do arco
O – centro da curva
A curva circular simples é usada normalmente para raios maiores que 600
metros, mas pode ser aplicada também em raios muito pequeno, como no caso de
praças, trevos, estacionamentos, etc. A curva circular como o nome indica, é um
seguimento de uma circunferência.
Na Figura têm-se representado alguns elementos da curva circular simples:
 Os pontos PC e PT, são pontos de início e término da curva, sendo pontos
de tangência, os alinhamentos PC => O e PT => O, são ortogonais às tangentes
da estrada.
 O desenvolvimento (D), é o comprimento curvo entre o PC e o PT.
 A distância reta do PC ao PI e do PT ao PI, são iguais e são chamadas
tangentes externas (T).
 O ângulo de deflexão (I), é o ângulo de mudança de direção das tangentes.
 AC é o ângulo interno da curva, formado pelas as ortogonais do PC do PT.
 O centro da curva (O) é o ponto que com a distância do raio (R) traça-se a
curvatura passando pelos pontos PC e PT
 Traçando-se uma reta ligando o PI ao centro da curva (O), definimos um eixo de
simetria. O raio (R) e o Ângulo de deflexão (I) são dados conhecidos do projeto
Cálculo da Tangente Externa (T)
Para o cálculo da distância da tangente externa (T), vamos utilizar o triângulo retângulo PC-PI-O, 
sabendo se que o raio (R) e a deflexão (I) são dados conhecidos no projeto.
R
T
2
AC
tg 








2
AC
tg.RT
Tem-se:
Cálculo do desenvolvimento (D)
Sabendo-se que o comprimento de uma circunferência é “2..R” e que corresponde a um
ângulo de 360°, pode-se fazer uma regra de três, para saber o comprimento “D”
correspondente a um ângulo “AC”:
2..R 360°
D AC 2..R .AC = 360 . D

180
AC.R.
D
360
ACR..2
D




Então
Ainda não se conhece o valor do ângulo central (AC) da curva.
Levando-se em conta o eixo de simetria da curva, toma-se o triângulo “O-PI-PT” na Figura, assim
temos:
A soma dos ângulos internos do triângulo é 180°, então:
00 180
2
90 
AC
2
I
90
2
I180
I180.2180I 


(1)
(2)
Substituindo-se (2) em (1) tem-se
IAC
2
I
2
AC
180
2
AC
2
I
180180
2
AC
90
2
I90





 
Portanto, o ângulo central (AC) de uma curva é igual à sua deflexão (I). Como a deflexão é um
elemento já conhecido, também passamos a conhecer o AC
Cálculo das estacas do PC e do PT
A estaca do primeiro PI (PI1) da Figura, tem-se que é a estaca inicial mais a distância até o PI. A
estaca do PC1 é a distância da estaca inicial ao PI 1 (d1), menos a tangente externa T1, calculada
em metros e depois transformada em estacas, ou seja:
TPI.estPC.est 
Para o cálculo da estaca do PT 1, deve-se partir da estaca do PC 1 (já calculada), e passar pela 
curva, percorrendo seu desenvolvimento (D1) 
Exemplo 1: Para uma curva circular de raio igual a 750,00m, estaca do PI igual a
47 + 12,30 m e deflexão (I) de 47° 30’ 40’’, calcular os elementos :
a) Tangente externa (T);
b) Desenvolvimento (D);
c) Estaca do PC;
d) Estaca do PT.
a) 
m095,330T
2
''40'3047
tg750T
2
AC
tg.RT 

 





b) 
m919,621D
180
''40'3047750.
D
180
AC.R.
D 




c) 
   095,33030,1247.EstPC.EstTPI.ESTPC.Est
m205,231PC.Estm205,622PC.Est095,330300,952PC.Est 
d)
   919,621205,231.EstPT.EstDPC.ESTPT.Est
m124,462PT.Estm124,244.1PT.Est919,621205,622PT.Est 
Cálculo das estacas do PI’s seguintes
A estaca do primeiro PI não muda com a implantação da curva. A distância da estaca inicial ao
PI1 é d1 (est. PI1 = d1), porém a partir do segundo PI as estacas sofrem alteração se
considerarmos o estaqueamento do trecho reto e após a implantação das curvas.
A distância da estaca inicial até o PI 2 considerando o trecho reto é igual a d1+d2, porém se
considerarmos as curvas as tangentes externas (T) são substituídas pelo desenvolvimento (D).
Pode-se generalizar a equação como
1nn1n1nn TdDPC.estPI.est  
Locação da curva horizontal 
O procedimento mais comum para locação é o das deflexões e os elementos a serem calculados 
para se preparar a planilha de locação são: 
Onde: 
 – Ângulo de deflexão das tangentes R – Raio 
T – Tangente D – Desenvolvimento 
dm – Deflexão por metro PI – Ponto de intersecção das tangentes 
PC – Ponto de começo de curva PT – Ponto de término de curva 
G – Grau da curva c – corda 

Observações: 
1 - Em estradas é comum utilizar o conceito de Grau da Curva (G), que é o ângulo 
central que corresponde ao arco de 20 m. 
2 - A planilha de locação deve conter as seguintes informações: 
Número da estaca, distância entre estacas, comprimento da corda, 
ângulo de deflexão, ângulo de deflexão acumulado e observações. 
a) Cálculo da Tangente Externa (T)
Para o cálculo da distância da tangente externa (T), vamos utilizar o triângulo retângulo PC-PI-O da
Figura , sabendo se que o raio (R) e a deflexão (I) são dados conhecidos no projeto.
R
T
2
AC
tg 








2
AC
tg.RT
Tem-se:
b) Cálculo do desenvolvimento (D)
Sabendo-se que o comprimento de uma circunferência é “2..R” e que corresponde a um ângulo de
360°, pode-se fazer uma regra de três, para saber o comprimento “D” correspondente a um ângulo “AC”:
2..R 360°
D AC 2..R .AC = 360 . D
Então:

180
AC.R.
D
360
ACR..2
D




Ainda não se conhece o valor do ângulo central (AC) da curva.
Levando-se em conta o eixo de simetria da curva, toma-se o triângulo “O-PI-PT” na Figura ,assim
temos:
IAC 
Locação da Curva Circular Simples
Na implantação da estrada, as locações dos trechos de retas e de curvas, são fundamentais para obra, 
pois a marcação dos pontos no terreno servirá de referência para a execução da obra. A locação da curva no 
campo, é feita através de pontos no eixo da estrada, podendo ser feita por vários processos, entre eles os mais 
usados na prática são: locação por deflexão e locação por coordenadas.
A locação por deflexão é feita com teodolito ou estação total, instalado no ponto de início da curva (PC). A 
marcação dos pontos é feita apartir da medição de ângulos e distâncias.
A locação por coordenadas é feita com estação total, que poderá ficar em qualquer posição que tenha 
visão da curva. A marcação dos pontos é feita a partir de medidas fornecidas pela estação total, previamente 
programada.
A distância entre os pontos que demarcam o eixo da curva na locação, deve ser tal que represente bem a 
curvatura, de maneira que os pontos marcados mostrem com eficiência o alinhamento correto da curva.
A distância entre os pontos pode ser reta (corda) ou curva (arco) e seu comprimento será em função do 
raio. A divisão da curva é feita em arcos, porém em campo as medidas são tomadas retas, portanto o 
comprimento do arco deverá ser de forma que a medida reta (corda) entre dois pontos, seja bastante aproximada 
da medida curva. Quanto menor o raio, maior será o grau de curvatura da curva, devendo ser dividida em arcos 
menores. Para raios maiores, a representação poderá ser feita com arcos maiores pois sendo o grau de 
curvatura menor, o arco será aproximadamente igual à corda.
Como se nota na figura , para raios menores, necessita-se de cordas menores, assim na prática se 
utilizam as seguintes medidas:
m00,20cam600R
m00,10cam600Rm100
m00,5cam100R



Deflexões
Deflexão é o ângulo formado entre a reta tangente à curva em um ponto “A” qualquer, até 
a direção de um ponto “B”, na mesma curva.
A deflexão total da curva (Dt), é o ângulo formado entre a tangente no início da 
curva (PC), e o alinhamento PCPT,correspondente a um ângulo central (AC)
dm.21G,mas
2
a1G
daa1GGa,mas
2
Ga
da 


admda 
Cálculo da deflexão parcial para um arco “a”
então:
Cálculo da deflexão acumulada
A deflexão acumulada (dt), até um ponto qualquer da curva,será a soma de todas as 
deflexões parciais dos arcos anteriores ao ponto.
1dadt 
2da1dadt 
3da2da1dadt 
Para o ponto 1, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual à deflexão parcial do 
primeiro arco (da1), ou seja:
Para o ponto 2, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual às deflexões parciais 
do primeiro arco (da1) e do segundo arco (da2), ou seja:
Para o ponto 3, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual às deflexões parciais 
do primeiro arco (da1), do segundo arco (da2) e do terceiro arco (da3), ou seja:
As deflexões parciais tomadas a partir do PC, referente a dois pontos quaisquer (Pc e 
1), (1 e 2) e (2 e 3), são as mesmas que tomadas a partir das tangentes destes pontos, 
A deflexão da2, tomada a partir do PC, é o ângulo formado entre os alinhamentos
PC1 e o alinhamento PC2. Porém a deflexão tomada no ponto 1, é o ângulo
formado entre a tangente do ponto 1 e o alinhamento 12, que também é a deflexão
da2.
Para comprovar esta afirmativa, e como estes conceitos são muito importantes
no estudo das deflexões das curvas circulares, tem-se a seguir, a demonstração destes
conceitos, com base na figura:
➢ Os triângulos (A B C), (A D E) e (D B F), são equiláteros, pois são formados com
as tangentes de uma circunferência.
➢ A soma dos Ângulos internos de um triângulo é 180°.
Cálculo das cordas












2
AC
senR2c
R.2
c
2
AC
sen
Exemplos de diferença entre a corda e o arco para alguns raios
R.
90
dm,eadmda,ondedasenR2c


Cálculo das coordenadas
O cálculo de coordenadas para locação dos pontos do eixo de uma curva, segue o mesmo
procedimento de cálculo de coordenadas visto no anteriormente em Topografia I e
relembrando:
BABABA
BABABA
AZcos.dy
AZsen.dx




BAAB
BAAB
yYY
xXX




Coordenadas parciais:
Coordenadas Totais:
Para o cálculo específico de curvas, o procedimento de cálculo das coordenadas parciais
será portanto o mesmo, onde a distância dAB será a corda “c” e o azimuteAB será o azimute da
direção da deflexão, referente ao ponto a ser determinado.
O cálculo das coordenadas totais será a soma das coordenadas do último ponto com as
coordenadas parciais do ponto considerado.
Como mostra a figura a seguir, as coordenadas totais, X1 e Y1 do ponto 1, serão iguais à
soma das coordenadas totais do último ponto, XPC e YPC, com as coordenadas parciais de PC ao
ponto 1, x PC-1 e y PC-1 , respectivamente.
O cálculo da coordenada parcial depende do azimute da direção de cada corda, e será 
calculado conforme a figura a seguir, como o azimute da direção da corda anterior, somado à 
deflexão parcial da corda anterior e a deflexão da corda em estudo, ou seja:
CBBABACB ddAZAZ  
Um modo prático para o cálculo de azimute na planilha poderá ser feito seguindo-se o esquema 
abaixo
DEFLEXÕES
Parciais (da)
45° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00''
45° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41''
45° 46' 48,66'' 00° 38' 11,83''
47° 03' 12,32'' 00° 38' 11,83''
AZIMUTES
+
+
+
A B
C D
E F
G H
O primeiro azimute (A) é da direção PCPI. O segundo azimute (C) será da 
direção de PC  1, e dado por (A) + (B) + (D). O terceiro azimute (E) será da direção 1 
 2 e dado por (C) + (D) + (F) e sendo o quarto azimute (G), da direção 2 3, dado 
por (E) + (F) + (H).
A planilha abaixo exemplifica o cálculo de uma curva circular com os dados da curva
vista anteriormente (exemplo 3), porém com o cálculo de azimutes e coordenadas. O
azimute inicial, ou seja, o azimute da direção PC  PI é de 45° 00’ 00’’ e as
coordenadas de PC: (1.000,00; 5.000,00).
Azimute Curva
Inteira Interm. RAIO A.C. PC - PI "D ou E"
277 15,400 450,000 26°38'12'' 45°00'00'' D 1.000,000 5.000,000
Distância Azimute
Inteira Interm. Inteira Intermediária Tangente (m) Desenv.(m) PC - PT (m) PC - PT
272 8,872 282 18,076 106,528 209,204 207,325 58° 19' 06,00''
AZIMUTES
Inteira Interm. Corda Arco Parciais Parcial (da) Acumulada (dt) X Y
272 8,872 - - 45° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00'' 1.000,000 5.000,000
272 10,000 1,1275 1,128 45° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41'' 1.000,798 5.000,796
273 - 9,9998 10,000 45° 46' 48,66'' 00° 38' 11,83'' 00° 42' 30,24'' 1.007,965 5.007,770
273 10,000 9,9998 10,000 47° 03' 12,32'' 00° 38' 11,83'' 01° 20' 42,07'' 1.015,285 5.014,583
274 - 9,9998 10,000 48° 19' 35,98'' 00° 38' 11,83'' 01° 58' 53,90'' 1.022,754 5.021,232
274 10,000 9,9998 10,000 49° 35' 59,64'' 00° 38' 11,83'' 02° 37' 05,73'' 1.030,369 5.027,713
275 - 9,9998 10,000 50° 52' 23,31'' 00° 38' 11,83'' 03° 15' 17,56'' 1.038,126 5.034,023
275 10,000 9,9998 10,000 52° 08' 46,97'' 00° 38' 11,83'' 03° 53' 29,40'' 1.046,022 5.040,160
276 - 9,9998 10,000 53° 25' 10,63'' 00° 38' 11,83'' 04° 31' 41,23'' 1.054,052 5.046,119
276 10,000 9,9998 10,000 54° 41' 34,29'' 00° 38' 11,83'' 05° 09' 53,06'' 1.062,213 5.051,899
277 - 9,9998 10,000 55° 57' 57,96'' 00° 38' 11,83'' 05° 48' 04,89'' 1.070,500 5.057,495
277 10,000 9,9998 10,000 57° 14' 21,62'' 00° 38' 11,83'' 06° 26' 16,72'' 1.078,909 5.062,906
278 - 9,9998 10,000 58° 30' 45,28'' 00° 38' 11,83'' 07° 04' 28,56'' 1.087,436 5.068,129
278 10,000 9,9998 10,000 59° 47' 08,94'' 00° 38' 11,83'' 07° 42' 40,39'' 1.096,077 5.073,162
279 - 9,9998 10,000 61° 03' 32,61'' 00° 38' 11,83'' 08° 20' 52,22'' 1.104,828 5.078,001
279 10,000 9,9998 10,000 62° 19' 56,27'' 00° 38' 11,83'' 08° 59' 04,05'' 1.113,685 5.082,644
280 - 9,9998 10,000 63° 36' 19,93'' 00° 38' 11,83'' 09° 37' 15,88'' 1.122,642 5.087,089
280 10,0009,9998 10,000 64° 52' 43,59'' 00° 38' 11,83'' 10° 15' 27,71'' 1.131,696 5.091,335
281 - 9,9998 10,000 66° 09' 07,26'' 00° 38' 11,83'' 10° 53' 39,54'' 1.140,842 5.095,378
281 10,000 9,9998 10,000 67° 25' 30,92'' 00° 38' 11,83'' 11° 31' 51,37'' 1.150,076 5.099,216
282 - 9,9998 10,000 68° 41' 54,58'' 00° 38' 11,83'' 12° 10' 03,21'' 1.159,392 5.102,849
282 10,000 9,9998 10,000 69° 58' 18,24'' 00° 38' 11,83'' 12° 48' 15,04'' 1.168,787 5.106,274
282 18,076 8,076 8,076 71° 07' 21,04'' 00° 30' 50,96'' 13° 19' 06,00'' 1.176,429 5.108,887
Estaca do PI
COORDENADAS
Dados da Curva
Estaca do PTEstaca do PC Dados da Curva
DISTÂNCIAS DEFLEXÕES
CADERNETA DE LOCACAO
RESPOSTAS PARA CURVA CIRCULAR À DIREITA
ESTACAS
Cordenadas "PC, PI ou PT"
PC
ENTRADA DE DADOS
Locação em campo das curvas
l.1) Através do processo por deflexões
A locação de uma curva, normalmente é feita implantando-se piquetes no eixo da
estrada, ponto a ponto, com o teodolito instalado no PC. O processo de locação segue
as seguintes etapas:
 Instala-se o teodolito no PC;
 Visa-se a direção do PI e com ângulo “zero”;
 Mede-se o ângulo da 1a deflexão acumulada, e com este alinhamento e a
distância da corda PC 1, marca-se o ponto 1;
 Mede-se o ângulo da 2a deflexão acumulada, e com este alinhamento e a
distância da corda 1 2, marca-se o ponto 2, a partir do ponto 1;
 Repete-se este processo, até chegar ao PT, com a marcação das deflexões
totais sempre a partir do PC e a marcação das cordas a partir do último ponto locado.
PC
PI
PT
Através do processo por coordenadas
A locação de uma curva por coordenadas geralmente é executada por
equipamento eletrônico. Este deve ter uma visão abrangente da curva a locar,
podendo estar posicionado em qualquer local, de forma a obter necessariamente as
coordenadas desta estação, através de visadas a três pontos coordenados no mínimo.
Normalmente é feita implantando-se piquetes no eixo da estrada, ponto a ponto,
com a tomada da distância e ângulo de forma eletrônica, onde o operador orienta o
auxiliar na implantação dos pontos.
O processo de locação segue as seguintes etapas:
 Programar a estação total com as coordenadas dos pontos a locar (Planilha de
coordenadas);
 Instala-se a estação total em ponto de ampla visão para a locação;
 Visa-se no mínimo, três pontos de coordenadas conhecidas (por exemplo, PC,
PI, PT) e a estação reconhecerá as coordenadas do ponto instalado;
 Com referência das coordenada da estação e do PC, o operador orienta o
auxiliar a marcar ângulos e distâncias, a partir desta origem;
 Segue este procedimento até o PT.
PC
PI
PT
X
Y
YP
XP
• Curvas Horizontais com Transição
PRÓXIMA AULA
Estudar –
VIEIRA, A.; GONÇALO, E.; LOPES, L. A. S.; ANTAS, P. M. Estradas - Projeto Geométrico e de Terraplenagem. 
1ª edição. Editora Interciência, 2010. – pág. 92
PIMENTA, C. R. T.; OLIVEIRA, M. P. Projeto Geométrico de Rodovias. 2ª edição. Editora Rima, 2004. Pág. 35