Teoria dos números

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Prof.: Joaquim Rodrigues 
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TEORIA DOS NÚMEROS 
 
 
Número: é o resultado da comparação de uma grandeza com a unidade. 
Grandeza: é tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. 
Unidade: é uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A 
grandeza escolhida é arbitrária, mas é necessário que seja perfeitamente definida. 
Algarismos: são símbolos que representam os números. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
 
Número natural é um conceito primitivo, originário da necessidade dos homens 
contarem quantidade de coisas ou objetos. 
Posteriormente foi estabelecida a sucessão dos números naturais, que se constitui 
num conjunto infinito de números, denominado conjunto dos números naturais. 
 
 IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
Esse conjunto tem as seguintes características: 
• é representado pela letra N (maiúscula) 
• é um conjunto infinito 
• todo número natural tem um sucessor 
• todo número natural, exceto o zero, tem um antecessor 
• zero é o menor dos números naturais 
 
NOTA: 
� sucessor de um número natural é outro número natural acrescido de um (1) 
Exemplos: 
O sucessor de 0 é 1 
O sucessor de 1 é 2 
etc 
� antecessor de um número natural, exceto o zero, é outro número natural, subtraído 
de um (1) 
Exemplos: 
O antecessor de 1 é 0 
O antecessor de 2 é 1 
etc 
 
 
 
 
Importante: não confundir algarismo com número. (Por exemplo: 738 é um 
número representado pelos algarismos 7, 3 e 8; já 6 é um número representado 
pelo único algarismo 6). 
 
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IMPORTANTE: 
Um número natural e seu sucessor ou o seu antecessor são chamados consecutivos 
 
 
Exemplos: 
7, 8 e 9 são consecutivos 
1 e 2 são consecutivos 
 
O algarismo zero (0) é o único número natural que não possui antecessor, isto é, não 
há nenhum número natural antes dele. 
 
Observações 
1. Quando se exclui o zero do conjunto dos números naturais, obtém-se o conjunto 
IN* = {1, 2, 3, ...} 
 
2. Os números que usamos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} são chamados algarismos indo-
arábicos e a partir deles, podemos formar qualquer outro número. 
Exemplos: 
7 é um número formado pelo algarismo 7 
21 é um número formado pelos algarismos 2 e 1 
103 é um número formado pelos algarismos 1, 0 e 3 
etc 
 
3. Lembre-se que número é uma idéia de quantidade, mas numeral é simplesmente o 
símbolo que representa essa idéia. 
Exemplo: idéia de quantidade numeral indo-arábico 
 cinco bolas 5 bolas 
 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 
 
1. ADIÇÃO: adição é a operação que determina um número natural para representar o 
total de objetos de duas ou mais coleções. 
2. SUBRAÇÃO: é a operação inversa da adição 
3. MULTIPLICAÇÃO: é uma soma de parcelas iguais. 
Observe: 3 + 3 + 3 + 3 = 12 
Podemos representar a mesma igualdade de uma forma diferente, assim: 4 x 3 = 12 
ou 4 ▪ 3 = 12 que se lê, quatro vezes três igual a doze. 
Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal x ou ▪ 
Na multiplicação 4 x 3 = 12, dizemos que: 
• 4 e 3 são os fatores 
• 12 é o produto 
 
 
 
 
 
 
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4. DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação 
 
 
 
Quando o resto da divisão for igual a zero, dize-
mos que a divisão é exata. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o resto da divisão for diferente de zero, a 
divisão não é exata. 
 
 
 
Algumas observações importantes: 
� No conjunto IN não se pode dividir um número menor por um número maior. 
� Zero dividido por qualquer número dá sempre zero. 
� Mas, é impossível dividir qualquer número por zero, ou seja, não existe divisão 
por zero. 
 
 
 
5. POTENCIAÇÃO: Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são 
iguais: 
 
5 x 5 x 5, que vamos indicar por 35 , ou seja: 12555553 =××= 
 
 
 
Desta forma, temos que: 
 
 
 
 
Onde: 
• 5 é a base (que é o fator que se repete) 
• 3 é o expoente (o número de vezes que repetimos a base) 
• 125 é a potência (que é o resultado da operação) 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 3 
4 0 
dividendo 
divisor 
quociente 
resto 
17 3 
5 2 
dividendo 
divisor 
quociente 
resto 
5 3 = 125 
Base 
Potência 
Expoente 
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Casos particulares: NÃO ESQUEÇA VIU!!! 
� qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele próprio. 
Exemplos: a) 771 = 
 b) 20201 = 
� qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Exemplos: a) 180 = 
 b) 12350 = (viu, não importa o tamanho do número) 
� para resolver uma potência de base 10, basta repetir o número 1 e acrescentar 
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. 
Exemplos: a) 10101 = (1 zero) 
 b) 100102 = (2 zeros) 
c) 000.100105 = (5 zeros) 
 
 
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES 
� Não é preciso escrever o expoente quando o número é elevado a 1, pois fica sub-
entendido. 
� Quando o expoente é 2, lê-se ao quadrado. 
� Quando o expoente é 3, lê-se ao cubo. 
� Quando o expoente é 4, lê-se à quarta potência. 
� etc 
 
Assim, podemos dizer que a POTENCIAÇÃO EM IN, é definida como: 
 
2,... ≥∈⋅⋅⋅⋅= neINnaaaaa
vezesn
n
4434421
 
• Se n = 0 ⇒ )0(10 ≠= aa 
• Se n = 1 ⇒ )(1 aaa ∀= 
 
 
PROPRIEDADES 
1. nmnm aaa +=⋅ 
2. )0( nmeaa
a
a nm
n
m
≥≠= − 
3. ( ) nmnm aa ⋅= 
4. nnn baba ⋅=⋅ )( 
5. )0( ≠=




 b
b
a
b
a
n
nn
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. RADICIAÇÃO: Consideremos o caso particular de um número natural elevado ao 
quadrado. 
Por exemplo: quanto dá o número 3 elevado ao quadrado? 
932 = 
 
E se fizermos agora, a pergunta inversa: qual é o número que elevado ao quadrado 
dá 9? 
A resposta é 3. 
 
 
E sua operação é chamada de radiciação e 
indicada assim: 
 
 
 
 
 
• o símbolo chama-se radical 
• o número 9 é o radicando 
• o número 3, que é o resultado da operação chama-se raiz quadrada de 9 
 
Obs.: quando o índice do radical é 2, como nesse caso que examinamos, a raiz cha-
ma-se quadrada e não há a necessidade de se escrevê-la. Então podemos fazer sim-
plesmente assim: 39 = 
 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Numa expressão numérica com adição e subtração, o que devemos fazer primeiro? 
Devemos efetuar essas operações na ordem em que aparecem na expressão. 
Exemplos: 
1) 35 − 18 + 13 = 17 + 13 = 30 
2) 57 + 35 − 42 − 15 = 92 − 42 − 15 = 50 − 15 = 35 
 
E se a expressão tiver parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }? 
Em primeiro lugar, devemos resolver as operações indicadas entre parênteses, depois 
as operações entre colchetes e por último as operações entre chaves. 
 
Exemplos: 
1) 35 + [80 − (42 + 11)] = 35 + [80 − 53] = 35 + 27 = 62 
 
2) 18 + {72 − [43 + (35 − 28 + 13)]} = 18 + {72 − [43 + 20]} = 18 + {72 − 63} = 
= 18 + 9 = 27 
 
Para calcular o valor de expressões numéricas com as operações de adição, subtração e 
multiplicação: 
1º ) efetuamos as multiplicações. 
2º ) efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda 
para a direita. 
 
2 9 = 3 
índice do radical 
radicando 
raiz 
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Exemplos: 
1) 341852184012928543 =−=−+=⋅−⋅+⋅ 
 
2) 201461448542712469 =+=+−=⋅+⋅−⋅ 
 
3) =⋅+⋅++−⋅−⋅−⋅− )}76()]53()4810(212[7)618{(75 
=++−⋅−−=++⋅−⋅−−= }42]151212[7108{75}42]156212[7108{75 
304575}42105108{75}42157108{75 =−=+−−=+⋅−−= 
 
4) =−−+++=⋅−⋅−⋅+⋅++ }72]21)3648[(12{22}98)]73()9486[(12{22 
25322}726312{22}72]2184[12{22=+=−++=−−++= 
 
Para calcular o valor das expressões numéricas com as quatro operações: 
1º ) efetuamos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem. 
2º ) efetuamos as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem. 
 
Exemplos: 
1) 49445936153 =+=÷+⋅ 
 
2) 1732038121030826105682318 =−=−+=÷−+⋅=÷⋅−+⋅÷ 
 
3) =+++=+⋅+÷+⋅ 16)]728(144[16)]126972()436[(
2401622416]80144[ =+=++= 
 
4) =÷−+⋅−÷⋅+÷− )}10120()]143()452[(3)246{(11 
=−+−⋅+−= }12)]112(13[323{11
=−⋅+−=−−⋅+−= }120323{11}12]1313[323{11 
01111}1223{11}12023{11 =−=−−=−+−= 
 
IMPORTANTE: não se esqueça da ordem de resolução numa expressão numérica 
1º) potenciação 
2º) multiplicação e divisão 
3º) adição e subtração 
 
Obs.: Ao resolver uma expressão numérica, devemos eliminar parênteses, colchetes e 
chaves, nessa ordem. A ordem de resolução das operações deve ser, potenciação e ra-
diciação, na ordem em que aparecerem, multiplicação e divisão, na ordem em que apa-
recerem e finalmente, adição e subtração, na ordem em que aparecerem. Para ficar 
mais fácil, começamos pelas expressões que estão dentro dos parênteses, colchetes ou 
chaves, a partir do mais interno, no caso de estar um dentro do outro. 
 
IMPORTANTE 
Veja que, em uma expressão numérica, a posição dos parênteses, colchetes e chaves 
alteram o resultado da expressão. 
 
 
 
 
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EXEMPLOS 
Resolva as expressões: 
a) 271885 22 ⋅−−+ 
Resolução 
57328914186425 =−=−−+ 
 
b) ( ) 271885 22 ⋅−−+ 
Resolução 
1282642)2589(2)7186425( =⋅=⋅−=⋅−−+ 
 
c) ]3)2:6(7[83 222 −+++ 
Resolução 
816417]367[17]31849[17]3)2:36(49[89 =+=−+=−++=−+++ 
 
d) )]}89(2064[285{237 −⋅−⋅−÷+⋅− 
Resolução 
=−⋅−=−−⋅−=⋅−−+⋅− }49{237]}2024[9{237]}12024[45{237 
2710375237 =−=⋅−= 
 
e) [ ]{ }5)233(27321 22 ⋅⋅−+−⋅⋅+ 
Resolução 
=+−⋅+=⋅+−⋅+=⋅−+−⋅+ ]}154[21{21]}534[21{21]}5)69(4[21{21 
541221}1921{21 =+=⋅+=−⋅+ 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Calcule o valor das expressões: 
a) 9 + 7 − 2 b) 18 + 12 − 13 
c) 23 − 14 + 35 d) 320 − 150 + 230 − 270 
e) 10 − 1 + 8 − 4 f) 12 − 8 + 9 − 3 
g) 25 − 1 − 4 − 7 h) 45 − 18 + 3 + 1 − 2 
i) 75 − 10 − 8 + 5 − 1 j) 10 + 5 − 6 − 3 − 3 + 1 
 
 
Questão 02 
Calcule o valor das expressões: 
a) 12 − (6 + 4) b) (12 − 6) + 4 
c) (15 + 9) − 8 d) 15 + (9 − 8) 
e) 30 − (5 + 3) f) 15 + (8 + 2) 
g) 25 − (10 −1 − 3) h) 23 − (2 + 8) − 7 
i) (10 + 5 ) − (1 + 6) j) 7 − (8 − 3) + 1 
k) 9 + [13 − (6 + 4 − 7)] l) 57 − [64 − (23 + 7 − 8) + 15] 
m) 17 + {42 + [26 − (9 + 5)] − 10} n) 72 − {25 + [34 − (18 + 9 − 5)] + 15} 
 
 
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Questão 03 
Calcule o valor das expressões: 
a) 1770 −÷ b) 2320 ×+ 
c) 101030 ÷+ d) 127150 ×− 
e) 4201648 ÷+÷ f) 13220 +×− 
g) 32810 +÷− h) 321530 ×+−÷ 
 
Questão 04 
Calcule o valor das expressões: 
a) )89()43( −×+ b) )43()820( +÷+ 
c) )32(815 +×+ d) 1)235( −×+ 
e) 1)128(25 −+÷+ f) )]268(5[15 ÷−×+ 
g) ]2)210(13[50 ÷−−− h) 202)]57(240[ −×−×+ 
 
Questão 05 
Calcule o valor das expressões: 
a) ]5)2318(10[16 ++÷−+ 
b) )]123(12[25 +×−− 
c) ]3)125(25[90 +−×+− 
d) )]2618()21058[(45 −÷+÷−×+ 
e) }])45(39[287{250 −×−−÷+×− 
f) }])67(38[285{3100 −×−−÷+×− 
g) )25(35}]6)1735[(21060{ +÷−÷−⋅+÷ 
 
Questão 06 
Calcule o valor das expressões: 
a) 472 − 
b) 1023 + 
c) 652 − 
d) 02 74 + 
e) 30 55 + 
 
Questão 07 
Calcule o valor das expressões: 
a) )52(104 32 −+− 
b) 32 2)12(30 ++− 
c) ]1)35(6[30 2 +−÷+ 
d) 1)310(46[20 2 +−×−− 
e) ]34)21(3[50 3 ×++÷+ 
f) ]12)510(5[100 42 ×+−÷− 
g) 332 )79(])35(4[ −÷−+ 
h) ]14)13([27 322 ×−+×+ 
i) }])52(353[93{25 1323 −×−×+÷+ 
 
 
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DIVISIBILIDADE EM IN 
Sejam a e b ∈ IN*. Dividir a por b é encontrar dois outros números naturais q e r, tais 
que: 
 
 
 
 Sendo rqba +⋅= e r < b 
 
 
 
 
 
NOTA: se r = 0, temos qba ⋅= . Dizemos, neste caso, que: 
1. a é divisível por b; 
2. a é múltiplo de b; 
3. b é divisor de a 
 
Por conseguinte, temos os múltiplos e divisores de um número natural. 
 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO 
Para obter o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pelos 
elementos do conjunto dos números naturais. 
 
 
 
Exemplo: 
Obter o conjunto dos múltiplos de 5 
 
Indicaremos por M(5), o conjunto formado por todos os 
números que são múltiplos de 5. 
Assim: 
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...} 
 
O conjunto dos múltiplos de um número natural qualquer, diferente de zero, é um con-
junto infinito. 
 
IMPORTANTE (NÃO ESQUEÇA) 
• O zero é múltiplo de qualquer número. 
• Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo. 
• O único múltiplo de zero é o próprio zero. 
 
DIVISORES DE UM NÚMERO 
Quando um número é múltiplo de outro, este chama-se divisor do primeiro. 
 
Assim: 
8 é múltiplo de 1 e 1 é divisor de 8 
8 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 8 
8 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 8 
8 é múltiplo de 8 e 8 é divisor de 8 
 
a b 
r q 
dividendo 
divisor 
quociente 
resto 
IN 
5 x 0 = 0 
5 x 1 = 5 
5 x 2 = 10 
5 x 3 = 15 
5 x 4 = 20 
. . . 
. . . 
. . . 
Múltiplos de 5 
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Agora, observe novamente: 
8 : 1 = 8 8 : 5 = ? 
8 : 2 = 4 8 : 6 = ? 
8 : 3 = ? 8 : 7 = ? 
8 : 4 = 2 8 : 8 = 1 
 
 
 
NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS 
Dado um número natural n, tal que n ≠ 0 e n ≠1, chamamos: 
i. divisores triviais de n: 1 e n 
ii. divisores próprios de n: os demais divisores 
 
Exemplos: 
1. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
Divisores triviais: 1 e 24 
Divisores próprios: 2, 3, 4, 6, 8 e 12 
 
2. D(7) = {1, 7} 
Divisores triviais: 1 e 7 
Divisores próprios: não tem 
 
Nessas condições, quando um número possui somente os divisores triviais, como no ca-
so do 7, esse número é chamado de número primo; 
Mas, se o número possui, pelo menos um divisor próprio, então ele será chamado de 
número composto. 
 
Observe que, um número primo, possui exatamente dois divisores, que são os diviso-
res triviais. Assim, o número 1 não é primo, pois ele só possui um divisor, e para ser 
primo, deve possuir 2 divisores. 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
Um número é divisível: 
1. por 2: quando for par; 
2. por 3: quando a soma de seus algarismos formar um número divisível por 3; 
3. por 9: quando a soma de seus algarismos formar um número divisível por 9; 
4. por 6: quando for divisível por 2 e por 3, ao mesmo tempo; 
5. por 4: quando os dois últimos algarismos à direita, formarem um número divisível 
por 4 
6. por 8: quando os três últimos algarismos à direita, formarem um número divisível 
por 8 
7. por 5: quando terminar em 0 ou 5; 
8. por 10: quando terminar em 0; 
9. por 11: quando a soma dos algarismos de ordem ímpar, menos a soma dos algaris-
mos de ordem par, for divisível por 11. 
 
Obs.: 
A expressão geral dos números pares é 2n (n ∈ IN) e a dos ímpares é 2n + 1 (n ∈ IN) 
 
 
Somente os números 1, 2, 4 e 8 dividem exa-
tamente o número 8. 
Eles formam um conjunto, denominado con-
junto dos divisores de 8, que indicamos por: 
D(8) = {1, 2, 4, 8} 
 
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EXEMPLOS 
Questão 01 
Calcule o maior valor de a para que o número 5.210.45a seja divisível por 3. 
Resolução 
Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5, logo para que o número 5.210.45a 
seja divisível por 5, é necessário que a seja 0 ou 5; como queremos saber o maior valor 
de a, devemos tomar somente a = 5. 
 
 
Questão 02 
Qual o menor valor de a para que o número 35.45a seja divisível por 6? 
Resolução 
Um número é divisível por 6 sefor divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
Para ser divisível por 2, deve ser par, assim a deve ser {0, 2, 4, 6, 8}. 
Para ser divisível por 3, a soma de seus algarismos deve formar um número divisível 
por 3, logo 3 + 5 + 4 + 5 + a = 17 + a 
A soma formada deu 17 + a, e o primeiro número depois de 17, divisível por 3 é 18, lo-
go 17 + a = 18 ou a = 1 
o próximo número depois de 17, divisível por 3, é 21, logo 17 + a = 21 ou a = 4 
o próximo número depois de 17, divisível por 3, é 24, logo 17 + a = 24 ou a = 7 
o próximo número depois de 17, divisível por 3, é 27, logo 17 + a = 27 ou a = 10 (mas 
nesse caso, não nos interessa mais, pois o número 10, é formado de dois algarismos e 
nós queremos apenas um algarismo, que é o algarismo das unidades no número 35.45a 
Agora vamos tomar os valores que são pares e que satisfazem a condição de ser múlti-
plo de 3, ou seja apenas o 4, pois 1 e 7 são ímpares. 
 
 
Questão 03 
Se o número 7.21a.47b é divisível por 45, calcule a soma a + b. 
Resolução 
Se o número é divisível por 45, então ele será divisível por 9 e por 5 (45 = 9 x 5). 
Assim, se ele é divisível por 5, então ele deve terminar em 0 ou 5. 
Então temos 2 hipóteses: 
1.Se ele terminar em 0, será 7.21a.470 e nesse caso, a soma dos algarismos será: 
 7 + 2 + 1 + a + 4 + 7 + 0 = 21 + a 
 O primeiro número depois de 21 que dá uma divisão exata por 9 é 27, logo a = 6 
 O próximo é 36, logo a = 15 (não pode, pois tem 2 algarismos e a possui somente um 
 algarismo) 
2. Se ele terminar em 5, será 7.21a.475 e nesse caso, a soma dos algarismos será: 
 7 + 2 + 1 + a + 4 + 7 + 5 = 26 + a 
 O primeiro número depois de 26 que dá uma divisão exata por 9 é 27, logo a = 1 
 O próximo é 36, logo a = 10 (não pode, pois tem 2 algarismos e a possui somente um 
 algarismo) 
Na primeira hipótese, temos a = 6 e b = 0, cuja soma 606 =+=+ ba 
Na segunda hipótese, temos a = 1 e b = 5, cuja soma 651 =+=+ ba 
Nos dois casos, a soma 6=+ ba 
 
 
 
 
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Questão 04 
Considere todas as divisões de números naturais não nulos em que o divisor é 19 e o 
resto é igual ao triplo do quociente. Determine a soma de todos os valores possíveis pa-
ra estes quocientes. 
Resolução 
 
 
 
 
De acordo com os dados, temos que, os números A, Q e R devem ser naturais não nulos 
 
Para Q = 1, temos 313 =⋅=R 
Para Q = 2, temos 623 =⋅=R 
Para Q = 3, temos 933 =⋅=R 
Para Q = 4, temos 1243 =⋅=R 
Para Q = 5, temos 1553 =⋅=R 
Para Q = 6, temos 1863 =⋅=R 
Se considerarmos Q = 7, teremos 2173 =⋅=R , o que nos leva a uma situação onde o 
resto fica maior do que o divisor, e como sabemos que o maior resto possível, deve ser 
1 a menos do o divisor, então, pode ser no máximo 6, assim as nossas hipóteses, são: 
Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A soma desses possíveis quocientes será: 21654321 =+++++ 
 
 
Questão 05 
Na divisão de dois números naturais não nulos, o quociente é 14 e o resto é igual ao di-
visor menos duas unidades. Se a diferença do dividendo e do divisor é 110, calcule o 
resto. 
Resolução 
 
 
 
 
 
215214)2(1414 −=⇒−+=−+=∴+⋅= BABBBBARBA 
 
por outro lado, temos: 
110215110)215(110 =−−⇒=−−⇒=− BBBBBA 
811214110214 =⇒=⇒=− BBB 
 
E como 2−= BR , teremos 628 =⇒−= RR 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 19 
Q R 
e R = 3Q 
A B 
14 R 
e 



=−
−=
110
2
BA
BR
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 13 
FATORAÇÃO 
Teorema fundamental da aritmética 
Todo número composto é igual ao produto de números primos. 
 
Dessa forma, todo número composto pode ser decomposto, ou seja, pode ser fatorado. 
 
Exemplo: 
Fatorar 140 
 
PROCEDIMENTO 
 
• Escrevemos o número dado (no caso, 140) e marcamos 
uma barra vertical ao seu lado 
• Dividimos o número 140 pelo menor número primo pos-
sível. Neste caso, é o 2. 
• Voltamos a dividir o quociente, que é 70, pelo menor 
número primo possível. Aqui, novamente é o 2. 
• O processo é repetido, até que o quociente seja 1. 
 
DETERMINAÇÃO DE TODOS OS DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL 
Vamos supor que se queira determinar todos os divisores do número 24. 
 
• Fatora-se o número 24; 
• Faz-se um traço vertical à direita dos 
fatores da decomposição completa de 
24; 
• Escreve-se o número 1 (que é o pri-
meiro divisor de qualquer número na-
tural) um pouco acima do primeiro fa-
tor primo (2). 
 
• Os divisores serão obtidos, a partir de 1, multiplicando-se cada um dos fatores pri-
mos (que estão à esquerda do traço), pelos números que vêm à direita do traço, e si-
tuados acima dele. 
• Os divisores obtidos mais de uma vez, não serão repetidos. 
Logo, D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
 
 
Mas se, o nosso interesse, é saber quantos são os divisores de um número natural, va-
mos utilizar a seguinte estratégia: 
 
“ basta somar 1 a cada expoente de seus fatores primos (na fatoração completa) e multi-
plicar os resultados encontrados.” 
 
13 32 × 
(3 + 1) x (1 + 1) = 4 x 2 = 8 
Logo, o número 24, possui 8 divisores. 
 
 
 
323 ×
 24 
 12 
 6 
 3 
 1 
2 
2 
2 
3 
 
140 
 70 
 35 
 7 
 1 
2 
2 
5 
7 
 7522 ××
 24 
 12 
 6 
 3 
 1 
2 
2 
2 
3 
 
1 
2 
2, 4 
2, 4, 4, 8 
3, 6, 6, 12, 6, 12, 12, 24 
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 14 
EXEMPLOS 
Questão 01 
Quais são os divisores naturais de: 
a) 8 
Resolução 
Fatoramos 8 
 
 
logo, os divisores de 8, são {1, 2, 4, 8} 
 
 
 
 
 
 
b) 20 
Resolução 
Fatoramos 20 
 
 
Os divisores de 20, são {1, 2, 4, 5, 10, 20} 
 
 
 
 
 
 
c) 7 
Resolução 
O número 7 é primo, logo, possui somente dois divisores, um e ele mesmo, assim 
D7 ={1, 7} 
 
 
Questão 02 
Determine quantos divisores possui o número: 
a) 70. 
Resolução 
Observe que 111 752752)52(710770 ××=××=××=×= 
A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e 
multiplicamos o resultado obtido, assim: 
 
8222)11()11()11( =⋅⋅=+⋅+⋅+ , logo, o número 70 possui 8 divisores 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
4 
2 
1 
2 
2 
2 
1 
2 
2, 4 
2, 4, 4, 8 
20 
10 
5 
1 
2 
2 
5 
1 
2 
2, 4 
5, 10, 10, 20 
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 15 
b) 60 
Resolução 
Observe que 112 5325322)52()32(10660 ××=×××=×××=×= 
A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e 
multiplicamos o resultado obtido, assim: 
 
12223)11()11()12( =⋅⋅=+⋅+⋅+ , logo, o número 60 possui 12 divisores 
 
c) 140 
Resolução 
Observe que 112 7527522)52()72(1014140 ××=×××=×××=×= 
A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e 
multiplicamos o resultado obtido, assim: 
 
12223)11()11()12( =⋅⋅=+⋅+⋅+ , logo, o número 140 possui 12 divisores 
 
d) 11752 23 ⋅⋅⋅ 
Resolução 
Observe que, nesse caso, o número já está fatorado, isto é, suas bases, são formadas 
de números primos, veja: 2, 5, 7 e 11 são números primos. Então é só tomar cada 
expoente de cada número primo que está na base, somamos uma unidade e multipli-
camos o resultado obtido, assim: 
 
482324)11()12()11()13( =⋅⋅⋅=+⋅+⋅+⋅+ , logo, o número 11752 23 ⋅⋅⋅ possui 48 
divisores 
 
e) 32 65 ⋅ 
Resolução 
Nesse caso, 5 é primo, mas 6, não é, assim, temos que 
2333323232 532325)32(565 ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅ 
Agora é só tomar cada expoente de cada número primo que está na base, somamos 
uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim: 
 
48344)12()13()13( =⋅⋅=+⋅+⋅+ , logo, o número 32 65 ⋅ possui 48 divisores 
 
 
Questão 03 
Fatore: 
a) 72 b) 3.600.000 
Resolução Resolução 
2)32(2623672 22 ××=×=×= 525 )52(61036000.600.3 ××=×= 
2222 32223272 ××=××= 552 52)32(000.600.3 ×××= 
23 3272 ×= 5522 5232000.600.3×××= 
 
5252 5322000.600.3 ×××= 
 
527 532000.600.3 ××= 
 
 
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 16 
Questão 04 
Calcule a soma de todos os divisores de 90. 
Resolução 
Os divisores de 90 são {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} 
A soma será 234904530181510965321 =+++++++++++ 
 
Questão 05 
Calcule a soma dos divisores próprios de 108. 
Os divisores de 108 são { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}, sendo que os diviso-
res próprios são: {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54}, pois 1 e 108 são os divisores triviais 
Assim, a soma será: 171543627181296432 =+++++++++ 
 
Questão 06 
Calcule k, sabendo que 322 106532 ⋅⋅⋅⋅ k tem 240 divisores. 
Resolução 
Nesse caso, 2, 3 e 5 são primos, mas 6 e 10, não são, assim, temos que 
33222322322 5232532)52()32(532106532 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ kkk 
42732322322 5325533222106532 ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ +kkk 
Agora é só tomar cada expoente de cada número primo que está na base, somamos uma 
unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim: 
240)14()12()17( =+⋅++⋅+ k 
2405)3(8 =⋅+⋅ k ⇒ 240)3(58 =+⋅⋅ k ⇒ 240)3(40 =+⋅ k 
40
240)3( =+k ⇒ 63 =+k ⇒ 36 −=k ⇒ 3=k 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
O mdc de dois ou mais números é o maior número que divide dois ou mais números ao 
mesmo tempo. Para determinar o mdc, fatoramos os números e tomamos os fatores co-
muns com os menores expoentes. 
Exemplo 
Determinar o mdc entre 360 e 48. 
532360 23 ⋅⋅= e 3248 4 ⋅= 
Logo, o mdc (360, 48) = 2438323 =⋅=⋅ 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
O mmc é o menor número divisível por dois ou mais números ao mesmo tempo. Para 
determinar o mmc, fatoramos os números e tomamos os fatores comuns e não comuns 
com os maiores expoentes. 
Exemplo 
Determinar o mmc entre 360 e 48. 
532360 23 ⋅⋅= e 3248 4 ⋅= 
Logo, o mmc (360, 48) = 720532 24 =⋅⋅ 
 
Propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao produto dos dois 
números. 
 
 
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 17 
QUESTÕES 
Questão 01 
Calcule o mmc e o mdc de 24 e 30. 
Resolução 
3224 3 ×= e 53230 ××= 
Logo, 120538532)30,24( 3 =××=××=mmc e o 632)30,24( =×=mdc 
Observe que: 
7203024 =× 
7206120)30,24()30,24( =×=× mdcmmc 
 
Questão 02 
Calcule o mmc e o mdc entre A e B, sendo tyxbaA 2435= e syxbaB 643= . 
Resolução 
styxbaBAmmc 2645),( = , que é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior 
expoente; 
yxbaBAmdc 433),( = , que é o produto só dos fatores comuns e de menor expoente. 
 
Questão 03 
O produto de dois números é 2400 e o mdc deles é 20. Calcule o seu mmc. 
Resolução 
400.2),(),( =× bamdcbammc 
400.220),( =×bammc 
20
400.2),( =bammc 
120),( =bammc 
 
Questão 04 
Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços meno-
res, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que 
haja perda de material. O menor número total possível de pedaços é: 
a) 7 
b) 9 
c) 11 
d) 13 
e) 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Se queremos o menor número total de pedaços, é porque queremos o 
maior tamanho de cada fio, ou seja, o mdc dos três números. 
Assim, fatorando os números, temos: 
Fio A (36m): 22 3236 ×= 
Fio B (48m): 3248 4 ×= 
Fio C (72m): 23 3272 ×= 
123432)72,48,36( 2 =×=×=mdc 
Isto quer dizer que o maior tamanho de cada fio é de 12m, logo: 
pedaços312:36 = 
pedaços412:48 = 
pedaços612:72 = 
daí, temos um total de pedaços13643 =++ 
Letra D 
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 18 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
 
Como existem infinitos números naturais, é impossível inventar um nome especial para 
cada número, bem como representar cada um deles por um símbolo especial. Daí a ne-
cessidade de certas regras que permitam ler e escrever qualquer número, usando poucas 
palavras e poucos símbolos. O conjunto de tais regras constitui um sistema de numera-
ção. 
 
Base do sistema de numeração: é a quantidade de algarismos que ele utiliza. 
 
Mudança de base 
• Da base 10 para uma base qualquer: efetue sucessivas divisões do número dado e 
dos quocientes obtidos pela base dada, até achar um quociente menor que a base da-
da. 
Exemplos: 
1. Escreva o número 353, base 10, na base 7. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 353 na base 7 será escrito como 3531013 )7( = 
 
 
 
2. Escreva o número 1513, base 10, na base 5. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 1513 na base 5 será escrito como 151322023 )5( = 
 
 
 
 
 
 
353 7 
3 50 7 
7 1 7 
1 0 último quociente 
1513 5 
3 302 5 
60 2 5 
0 
último quociente 
12 5 
2 2 
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 19 
• De uma base qualquer para a base 10: vamos associar a cada algarismo, da direita 
para a esquerda, uma potência crescente a partir de zero da base dada; multiplicamos 
cada algarismo e somamos os produtos obtidos. 
Exemplos: 
1. Escrever o número 12102
 ( 3 ) na base dez. 
Resolução 
43210
)3( 313231303212102 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 
81127291301212102 )3( ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 
815490212102 )3( ++++= 
14612102 )3( = 
 
2. Escrever o número 12301
 (4 ) na base dez. 
Resolução 
43210
)4( 414243404112301 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 
2561642163401112301 )4( ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 
256128480112301 )4( ++++= 
43312301 )4( = 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
Os números inteiros formam um conjunto que se indica por 
Z = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
OPERAÇÕES EM Z 
1. Adição e subtração 
 
2. multiplicação e divisão 
Regra de sinais 
Sinais iguais (resultado positivo) Ex.: 6)3()2( +=+⋅+ e 6)3()2( +=−⋅− 
Sinais opostos (resultado negativo) Ex.: 6)3()2( −=+⋅− e 6)3()2( −=−⋅+ 
 
3. Potenciação com expoente natural 
• Base positiva (expoente par ou ímpar) dá resultado positivo; 
Ex.: 4)2( 2 +=+ e 8)2( 3 +=+ 
• Base negativa (expoente par) dá resultado positivo; 
Ex.: 4)2( 2 +=− 
Obs.: cuidado, pois 4)2( 2 +=− , mas 422 −=− , pois nesse caso, somente o 2, é 
que está elevado ao quadrado, o sinal de menos não. 
• Base negativa (expoente ímpar) dá resultado negativo. 
Ex.: 8)2( 3 −=− 
 
 
 
 
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 20 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os números racionais formam um conjunto que se indica por: 






∈∈== *,/ ZqeZp
q
p
xxQ 
 Um número racional )0( ≠q
q
p
, ele pode ser: 
i. um número inteiro 
Ex.: ...
4
12
3
9
2
6
1
33 ===== 
 
ii. um número decimal exato 
Ex.: 5,3
2
7
= 
 
iii. um número decimal periódico (dízima periódica) 
Ex.: ...333,0
3
1
= 
 
 
OPERAÇÕES EM Q (COM FRAÇÕES) 
1. Adição e subtração (com o mesmo denominador) 
Conserve o denominador e efetue a operação indicada no numerador 
Ex.: 
a) 
3
7
3
52
3
5
3
2
=
+
=+ 
b) 
5
4
5
711
5
7
5
11
=
−
=− 
 
2. Adição e subtração (com os denominadores diferentes) 
É só tirar o mmc dos denominadores; depois dividir o novo denominador, que é o 
mmc, por cada um dos denominadores e o resultado multiplicar pelo numerador de 
cada fração correspondente. 
Ex.: 
a) 
5
1
12
5
3
2
−+ tirando o mmc (3, 12, 5) encontramos 60, assim: 
 
60
23
60
122510
60
112
60
55
60
25
5
1
12
5
3
2
=
−+
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=−+ 
 
b) 
12
52
8
3
+− , note que podemos fazer 
12
52
8
3
+− igual a 
12
5
1
2
8
3
+− 
 e tirando o mmc (8, 1, 12) encontramos 24, logo: 
 
24
29
24
10489
24
52
24
224
24
33
12
5
1
2
8
3
−=
+−
=
⋅
+
⋅
−
⋅
=+− 
 
 
 
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 21 
3. Multiplicação e divisão 
Na multiplicação, devemos multiplicarnumerador com numerador e denominador 
com denominador. 
Ex.: 
a) 
21
10
73
52
7
5
3
2
=
⋅
⋅
=⋅ 
 
b) 
4
5
3
2
⋅ (note que nesse caso, é possível simplificar antes o 2 com o 4) 
 
6
5
2
5
3
1
4
5
3
2
=⋅=⋅ 
 
c) 7
3
2
5
3
⋅⋅ (vamos simplificar 3 com 3) 
 
1
7
1
2
5
17
3
2
5
3
⋅⋅=⋅⋅ (veja que temos 
1
22 = e 
1
77 = ) 
 
5
14
1
7
1
2
5
17
3
2
5
3
=⋅⋅=⋅⋅ 
 Obs.: veja que essa fração 
5
14
 pode ser escrita como uma fração mista, assim 
 
5
42
5
14
= (o que significa que são 2 inteiros e 
5
4 ) 
 e para retornar à fração, basta fazer 
5
14
5
410
5
425
5
42 =+=+⋅= 
 
 
Na divisão, devemos conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da outra 
Ex.: 
a) 
15
14
5
7
3
2
7
5
:
3
2
=⋅= 
 
b) 
9
7
3
7
3
1
7
3
:
3
1
=⋅= 
 
c) 
7
9
1
3
7
3
3
1
:
7
3
=⋅= 
 
d) 
7
1
3
1
7
3
1
3
:
7
33:
7
3
=⋅== 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 22 
4. Potenciação 
• com expoente natural 
Basta elevar o numerador e o denominador ao expoente, seguindo a propriedade 
n
nn
b
a
b
a
=





 
Ex.:
9
4
3
2
3
2
2
22
==





 
 
• com expoente inteiro negativo 
Nesse caso, devemos inverter a fração para depois elevar ao mesmo expoente 
com o sinal trocado, conforme a propriedade 
nn
a
b
b
a






=





−
 
Ex.: 
a) 
4
9
2
3
3
2 22
=





=





−
 
b) 273
1
3
3
1 3
33
==





=





−
 
c) 23− note que nesse caso, 3 é o mesmo que 
1
3
, logo: 
 
9
1
3
1
1
33
22
2
=





=





=
−
−
 
 
 
 
REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL EXATO EM FRAÇÃO 
Devemos colocar um traço de fração, em seguida, escrevemos no numerador, o número 
sem a vírgula e no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem as 
casas após a vírgula. 
Ex.: 
a) 
10
133,1 = (1 casa após a vírgula, colocamos 1 zero) 
b) 
100
23737,2 = (2 casas após a vírgula, colocamos 2 zeros) 
c) 
000.1
171
1000
0171171,0 == (3 casas após a vírgula, colocamos 3 zeros) 
d) 
10
55,0 = (veja que nesse caso, é possível simplificar) 
2
1
10
55,0 == 
e) 
000.1
3
000.1
0003003,0 == 
 
 
 
 
 
 
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 23 
REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE UMA DÍZIMA EM FRAÇÃO 
 
Dízima simples: uma dízima periódica simples é igual à parte inteira mais uma fração 
cujo numerador é o período e cujo denominador é um número formado de tantos noves 
quantos forem os algarismos do período. 
Ex.: 
a) 
3
1
9
3
9
30...333,0 ==+= 
b) 
99
122
99
2399
99
231...232323.1 =+=+= 
c) 
999
454.3
999
457997.2
999
4573999
999
4573457,3 =+=+⋅=+= (observe que o traço acima 
do número nas casas decimais, indica que ele é o número que repete, ou período) 
 
 
Dízimas compostas: uma dízima periódica composta é igual à parte inteira mais uma 
fração cujo numerador é formado pelo ante-período, seguido de um período, menos o 
ante-período e cujo denominador é formado de tantos noves quantos forem os algaris-
mos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos do ante-período. 
Ex.: 
a) 
990
229
990
22310...23131,0 =−+= 
b) 
900.99
218.235
900.99
418.352900.99
900.99
418.352
99900
35354532...35453453,2 =+⋅=+=−+= 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
São todos os números decimais não exatos e não periódicos. 
Ex.: 
a) ...41421,12 = 
b) ...1413,3=pi 
c) ...7182,2=e 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
É a união entre os racionais e os irracionais 
 
Expoentes fracionários: n mn
m
aa = 
Ex.: 
a) 5 35
3
22 = 
b) 333 2 12
1
== 
c) 3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
3
2






=





=





−
 
 
 
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 24 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
Quando o denominador é irracional, é útil transformar a fração numa equivalente de de-
nominador racional. Essa transformação denomina-se racionalização do denominador. 
A racionalização é obtida multiplicando-se ambos os termos da fração por uma expres-
são convenientemente escolhida e denominada fator racionalizante. 
 
1º caso: o denominador é um radical de 2º grau. Multiplicaremos os dois termos da fra-
ção pelo denominador. 
Ex.: Racionalizar o denominador de 
3
2
 
multiplicamos o numerador e o denominador por 3 , assim: 
23
32
33
32
3
3
3
2
=
⋅
⋅
=× aqui devemos simplificar o índice do radical com o expoen-
te do radicando 332 2 = , logo: 
3
32
3
32
33
32
3
3
3
2
2
==
⋅
⋅
=× 
 
2º caso: o denominador é um radical de grau qualquer. Multiplicaremos os dois termos 
da fração pela potência do denominador que tornar o expoente do radicando igual ao 
índice. 
Ex.: Racionalizar o denominador de 
7 23
2
 
multiplicamos o numerador e o denominador por 3 , assim: 
3
32
3
32
33
32
33
32
3
3
3
2 7 5
7 7
7 5
7 52
7 5
7 57 2
7 5
7 5
7 5
7 2
==
⋅
=
⋅
⋅
=× 
 
3º caso: denominador binômio em que um só termo, ou ambos, são radicais de 2º grau. 
Multiplicaremos os dois temos da fração pela expressão conjugada do denominador, ba-
seando-se no princípio: “o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à dife-
rença de seus quadrados. 
Ex.: Racionalizar o denominador de 
35
2
−
 
A expressão conjugada de 35 − é 35 + 
logo ( ) ( )
( ) ( ) 35
2
352
35
352
35
)35(2
35
35
35
2
22 +=
+
=
−
+
=
−
+
=
+
+
×
−
 
Note que ao racionalizarmos uma expressão como 
35
2
−
, estamos transformando 
essa expressão numa equivalente que nesse caso é: 35 + 
 
 
 
 
 
 
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 25 
TESTES 
 
Questão 01 (PUC – MG) 
A soma dos valores absolutos do número ab é 9. Se invertermos a ordem dos algarismos 
(ba), o número obtido será maior que o anterior em 45 unidades. Então, é CORRETO 
afirmar que o número ab é: 
a) múltiplo de 2 
b) múltiplo de 3 
c) múltiplo de 4 
d) múltiplo de 5 
e) um número primo 
 
 
Questão 02 (UFMG) 
Considere um número de dois algarismos tal que a soma desses algarismos seja 13. A-
dicionando-se 9 ao número, obter-se-á outro formado com os mesmos algarismos dis-
postos em ordem inversa. O novo número é: 
a) menor que 49 
b) maior que 50 e menor que 60 
c) maior que 61 e menor que 77 
d) maior que 78 e menor que 86 
e) maior que 87 
 
 
Questão 03 (UNIMONTES) 
A soma dos algarismos das dezenas simples com o algarismo das unidades simples de 
um número de dois dígitos é 15. Subtraindo 9 unidades desse número, obteremos um 
segundo que se escreve usando os algarismos do primeiro, mas com ordem invertida. O 
primeiro e o segundo números são, respectivamente: 
a) 78 e 87 
b) 87 e 78 
c) 96 e 69 
d) 69 e 96 
 
Questão 04 (PUC – MG) 
Os algarismos A e B formam os números AB e BA, na base 10. Se A + B = 12, o valor 
de AB + BA é: 
a) 142 
b) 132 
c) 122 
d) 112 
 
Questão 05 
Um número de dois dígitos, é k vezes a soma dos seus dígitos. Trocando-se de posição 
seus dígitos, a soma dos dígitos desse novo número fica multiplicado por: 
a) 9 − k 
b) 9 + k 
c) 11 + k 
d) 11 − k 
 
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 26 
Questão 06 (PUC – MG) 
O númeronatural A é ímpar e a soma de seus dois algarismos é 11. A soma dos possí-
veis valores de A é: 
a) 76 
b) 103 
c) 141 
d) 148 
e) 224 
 
Questão 07 
A soma dos 3 algarismos de um número é 9; a diferença entre o algarismo das dezenas e 
o das unidades é 6; a razão entre o algarismo das dezenas e o das centenas é 2. Nessas 
condições, a soma do algarismo das centenas com o algarismo das unidades é: 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
 
Questão 08 (UNIMONTES) 
O resto da divisão de 42)37325()671075( 2 +×+××+× , por 7 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
Questão 09 (PUC – MG) 
Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a 
soma do dividendo e do divisor é 125, o resto é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
Questão 10 
Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente obtido é 18 e o resto é igual ao divisor 
menos duas unidades. Sendo a diferença entre o dividendo e o divisor igual a 106, o di-
visor é um número: 
a) primo 
b) múltiplo de 2 
c) par e maior que 8 
d) ímpar 
 
Questão 11 (PUC – MG) 
No conjunto IN, a divisão do número M por 14, apresenta como resto o triplo do quoci-
ente. A soma dos possíveis valores do quociente é: 
a) 8 
b) 10 
c) 13 
d) 23 
e) 30 
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 27 
Questão 12 
Considerem-se todas as divisões em que seus termos são inteiros positivos, o divisor é 
325 e o quociente é igual ao resto. O número de tais divisões é: 
a) 124 
b) 180 
c) 200 
d) 320 
e) 324 
 
Questão 13 (UFMG) 
Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é igual 
ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é: 
a) 10 
b) 17 
c) 217 
d) 1 + 2 + 3 + ... + 17 
e) 2222 17...321 ++++ 
 
Questão 14 (UNICAMP) 
Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em fila única. Suponha que 
o atendimento de cada cliente demore exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atende o 
primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa 2 atende o segundo, o caixa 3 atende o 
terceiro, e assim sucessivamente. Com base nas informações acima, responda: Quantos 
minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento do sexagésimo oitavo 
cliente e em que caixa será atendido? 
a) 33 minutos; caixa 2 
b) 35 minutos; caixa 5 
c) 39 minutos; caixa 3 
d) 51 minutos; caixa 4 
 
Questão 15 (UNA) 
O valor do mdc do conjunto {24, 36, 72, 144}, é igual a: 
a) 4 
b) 6 
c) 12 
d) 18 
e) 32 
 
Questão 16 (UFMG) 
Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 segundos, da 
segunda, uma de 6 em 6 segundos, e da terceira, uma de 10 em 10 segundos. Exatamen-
te às 2 horas, cai uma gota de cada torneira. O número de vezes que as três torneiras 
pingaram juntas, no intervalo de 2h 30s às 2 h 27min 30s, é: 
a) 26 
b) 27 
c) 28 
d) 29 
e) 30 
 
 
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 28 
Questão 17 (FUVEST) 
No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com freqüências 
diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. 
Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas 
voltarão a piscar simultaneamente? 
a) 12 
b) 10 
c) 20 
d) 15 
e) 30 
 
Questão 18 (UFMG) 
Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis 
e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de 
famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo 
número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. 
Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi: 
a) 6 
b) 9 
c) 8 
d) 4 
 
Questão 19 
Dois terrenos de 21.600m2 e 16.800m2 são loteados em lotes iguais com a maior área 
possível e sem perda de terreno. O número de lotes obtidos é: 
a) 16 
b) 23 
c) 9 
d) 7 
 
Questão 20 
Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços meno-
res, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que 
haja perda de material. O menor número total de pedaços é: 
a) 7 
b) 9 
c) 11 
d) 13 
e) 17 
 
Questão 21 
Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divi-
sões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma 
x + y é: 
a) 36 
b) 34 
c) 30 
d) 25 
e) 18 
 
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 29 
Questão 22 
O produto de dois números é 1.200 e o mdc deles é 4. O mmc desses dois números é: 
a) 200 
b) 300 
c) 400 
d) 600 
e) 800 
 
Questão 23 
Assinale a afirmativa falsa: 
a) a é divisor de b ⇒ mdc (a, b) = a 
b) a é múltiplo de b ⇒ mmc (a, b) = a 
c) mdc (a, b) = 1 ⇒ mmc (a, b) = ab 
d) a e b são primos e a ≠ b ⇒ mdc (a, b) = 1 
e) mdc (a, 1) = a 
 
Questão 24 
Assinale a afirmativa falsa: 
a) todo natural é divisor de si mesmo; 
b) todo natural é múltiplo de si mesmo; 
c) 1 é divisor de todo natural; 
d) todo natural é múltiplo de 1 
e) o único divisor natural de 1 é o próprio 1. 
 
Questão 25 
A soma de todos os divisores do número 105 é: 
a) 192 
b) 121 
c) 120 
d) 16 
e) 15 
 
Questão 26 
O número 20632 ⋅⋅⋅a tem 48 divisores. O valor de a é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Questão 27 
O número 322 106532 ⋅⋅⋅⋅ k tem 240 divisores. O valor de k é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
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 30 
Questão 28 (UFMG) 
Sabe-se que o número 1213 − é primo. Seja 16217 −=n . No conjunto dos números na-
turais, o número de divisores de n é: 
a) 10 
b) 6 
c) 8 
d) 5 
 
Questão 29 
Seja o número 5.210.45a. O maior valor de a para que esse número seja divisível por 6 
é: 
a) 1 
b) 4 
c) 7 
d) 9 
 
Questão 30 
Qual o menor valor de a para que o número 35.45a seja divisível por 6? 
a) 1 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
e) 9 
 
Questão 31 
Seja o número m = 488a9b, onde b é o algarismo das unidades e a, o algarismo das cen-
tenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, então a + b é igual a: 
a) 1 
b) 7 
c) 9 
d) 16 
e) 18 
 
Questão 32 (UNIMONTES) 
“Seja { } { }...,2,...,8,6,4,21 pK ∪= , p ∈ IN*. Um número x ∈ K, x ≠ 1, é chamado 
par primo, se x ∈ K e seus únicos divisores, em k, são: ele mesmo e 1.” 
Com base na definição acima, escolha a alternativa que apresenta um conjunto formado 
só de pares primos. 
a) {2, 6, 10, 18} 
b) {4, 6, 20, 22} 
c) {6, 12, 18, 24} 
d) {6, 36, 14, 16} 
 
Questão 33 (PUC – MG) 
O número 10101 está escrito na base dois. A sua representação na base 10 é: 
a) 11 
b) 21 
c) 31 
d) 41 
e) 51 
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 31 
Questão 34 
O número 201 na base 3, é na base 2, igual ao número: 
a) 10101 
b) 11010 
c) 11001 
d) 10011 
 
Questão 35 (UNIMONTES) 
O sistema de numeração mais adotado pela sociedade é o de base dez. No entanto, se a 
base fosse mudada para a base 6, nós contaríamos: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 
20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, ... 
A soma do quadragésimo número, contando-se na base 6, conforme o exemplo acima, 
será: 
a) 7 
b) 4 
c) 6 
d) 5 
 
Questão 36 
Converter o número 1FC9 na base 16 para a base 10. 
a) 3840 
b) 4096 
c) 6746 
d) 8137 
e) 3546 
 
Questão 37 (CEFET – MG) 
Seja x = (1001)
 2 e y = (123) 8. Nessas condições, o valor de (x + y) 16 é: 
a) 5C 
b) 5E 
c) 46 
d) 92 
e) 125 
 
Questão 38 
A base do sistema de numeração em que o número 211 é igual a 79 na base decimal é: 
a) divisor de 10 
b) múltiplo de 3 
c) múltiplo de 4 
d) menor que 5 
e) um número primo 
 
Questão 39 
Se )2(111=a e )3(12=b , então a + b, na base 10, vale: 
a) 9 
b) 11 
c) 12 
d) 15 
e) 21 
 
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 32 
Questão 40 
O número 221 escrito na base x é igual ao número 121 na base x + 1. O número na base 
10, vale: 
a) 12 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e)32 
 
Questão 41 (FCMMG) 
Simplificando a expressão 








−+








×





−
6
72
3
18
...777,0
49
4
15,0
, obteremos: 
a) 
2
29
 
b) 
3
27
 
c) 
9
101
 
d) 2 
e) 
2
9
 
 
Questão 42 (Diamantina) 
Se o número b é tal que 
2
32
2
13 −
=
−
⋅b , então é CORRETO afirmar que b2 vale: 
a) 
2
32 −
 
b) 
2
13 −
 
c) 
2
23 −
 
d) 
2
12 −
 
 
Questão 43 (Diamantina) 
Sejam as dízimas periódicas a = 0, 333 ... e b = 0, 444 .... A soma ba 51227 + é igual a: 
a) 15 
b) 16 
c) 17 
d) 19 
 
 
 
 
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 33 
Questão 44 
A expressão 
3
3 32
aaa
aaa
 é igual a: 
a) 12 7aa 
b) 62 aa 
c) 12 5aa 
d) 6 52 aa 
e) 6 aa 
 
Questão 45 (PUC – MG) 
Os números naturais distintos a, b e c são tais que 
3
2c
a = e b = 15 −3c. O valor da so-
ma a + b + c é: 
a) 5 
b) 17 
c) 9 
d) 11 
e) 15 
 
Questão 46 
A expressão 6 15
318
12
22
8
1
−
−
⋅ é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 12 − 
 
Questão 47 
O valor de 
21
1
3
6 217
7 3
82
5532








−
⋅=m é: 
a) 3 5 
b) 5 
c) 75 
d) 6 5 
 
Questão 48 (FGV – SP / 2001) 
Seja N o resultado da operação 22 374375 − A soma dos algarismos de N é: 
a) 18 
b) 19 
c) 20 
d) 21 
e) 22 
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 34 
Questão 49 (UFMG) 
O valor de [ ] 1232 )4(3(332 −−+⋅−−−=m é igual a: 
a) 
60
121
 
b) 
84
169
 
c) 
102
205
 
d) 
102
203
 
 
Questão 50 
O quociente 33:)192248537( +− é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 32 
d) 33 
 
Questão 51 (UFMG) 
O valor de 
2
1
2
104,6
)2(...3444,2
−
⋅
−−
=m é: 
a) 
72
1031
 
b) 
72
31
 
c) 
72
213
 
d) 
72
10213
 
e) 
4
23
 
 
Questão 52 (UF – Sergipe) 
Racionalizando-se o denominador da expressão 
503212235
63
+−−
+
, obtém-se: 
a) 23 − 
b) 3 
c) 23 + 
d) 32 
e) 23 
 
 
Prof.: Joaquim Rodrigues 
 35 
Questão 53 (UFMG) 
Se 
63
31112108
−
−+
=m , então pode-se afirmar que: 
a) m = 3 
b) m < 3 
c) 23<m 
d) m > 3 
 
Questão 54 (PUC – MG / 2001) 
Se 4 4
27
5
+
+
=m , então m é igual a: 
a) 7 
b) 72 
c) 7− 
d) 27 − 
 
Questão 55 (PUC – MG / 2001) 
O quociente do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor comum de 6323 ⋅⋅=m 
e 10325 ⋅⋅=n é: 
a) 
3
20
 
b) 20 
c) 60 
d) 
60
1
 
 
Questão 56 (UNIMONTES / 2001) 
Dispondo em ordem crescente as potências 7002 , 6004 , 5005 e 2009 , obteremos: 
a) 600500700200 4529 <<< 
b) 500700600200 5249 <<< 
c) 200500600700 9542 <<< 
d) 200700500600 9254 <<< 
 
 
Questão 57 (UFMG / 2002) 
Seja 
4
11
3
4127 2
+






−−
=m . O valor de m é: 
a) 
3
20
 b) 
3
68
 c) 
12
85
 d) 
12
125
 
 
 
 
 
Prof.: Joaquim Rodrigues 
 36 
Questão 58 (UNIMONTES / 2003) 
O quociente e o resto da divisão de 10010
 (2) por 110 (2) são: 
a) quociente 101
 (2) e resto 0 
b) quociente 11
 (2) e resto 0 
c) quociente 10
 (2) e resto 1 (2) 
d) quociente 11
 (2) e resto 1 (2) 
 
Questão 59 (Paes – UNIMONTES / 2003) 
Na “Olimpíada de Matemática – 2003” do Colégio “São Pedro” havia a seguinte ques-
tão: Na divisão exata xyz4:3 = 1xyz, os algarismos x, y e z são desconhecidos. O valor da 
soma x + y + z é: 
a) 14 
b) 64 
c) 28 
d) 18 
 
Questão 60 (FGV – SP / 2003) 
Simplificando a expressão 
5
23
14
3
+
+
, obteremos: 
 
a) 
73
51
 
b) 
71
49
 
c) 
75
53
 
d) 
69
47
 
 
Questão 61 (UNIMONTES / 2004) 
A tábua de multiplicação abaixo está incompleta. 
 
x 1 2 3 
1 1 2 3 
2 2 
3 3 
 
Os números para completá-la, na base 4, são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 6 
 6 9 
 
a) 10 12 
 12 21 
 
b) 
10 12 
 11 12 
 
c) 10 12 
 11 13 
 
d) 
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 37 
Questão 62 (UNIMONTES / 2005) 
Duas empresas, M e N, realizam avaliações periódicas de seus funcionários. Na empre-
sa M, a avaliação acontece de dois em dois anos e, na empresa N, de três em três anos. 
Essas avaliações coincidiram em maio de 2003. Quando voltarão a coincidir? 
a) Maio de 2005 
b) Maio de 2009 
c) Maio de 2006 
d) Maio de 2008 
 
Questão 63 (Paes – UNIMONTES / 2005) 
O número 143 é: 
a) o produto de dois números pares 
b) divisor de 1431 
c) divisível por 13 
d) primo 
 
Questão 64 (UNIMONTES / 2005) 
Qual o valor de a + b, se 
b
a
 é a fração irredutível equivalente a 
...222,1
...444,3 ? 
a) 
9
42
 
b) 
9
21
 
c) 21 
d) 42 
 
Questão 65 (UNIMONTES / 2005) 
O número 6 é o primeiro elemento de uma seqüência. O próximo é obtido calculando-se 
o quadrado do número anterior e, a seguir, somando-se seus algarismos e adicionando-
se 1 à soma, isto é: 
3662 = → 3 + 6 = 9 → 9 + 1 = 10. 
Repetimos esse processo e encontramos o terceiro número da seqüência e, assim, suces-
sivamente. Qual o 1010º elemento dessa seqüência? 
a) 2 
b) 5 
c) 8 
d) 10 
 
Questão 66 (UNIMONTES / 2005) 
Suponha que da estação rodoviária de Montes Claros saia um ônibus para o bairro San-
tos Reis, a cada 45 minutos, e um ônibus para o bairro Independência, a cada 50 minu-
tos. Suponha, ainda, que a primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. A 
que horas, depois da primeira saída conjunta, ocorrerá a próxima? 
a) 21h 15min 
b) 13h 30min 
c) 19h 20min 
d) 16h 50min 
 
 
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 38 
Questão 67 (UNIMONTES / 2005) 
O número 22222 −⋅+⋅ é: 
a) irracional 
b) natural 
c) inteiro não natural 
d) racional não inteiro 
 
Questão 68 (UFMG / 2005) 
No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1.500 unidades. Se essas la-
ranjas fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e, se 
fossem colocadas em sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. 
Assim sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 u-
nidades cada um? 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
 
Questão 69 (UNIMONTES / 2006) 
Dois cavalos de corrida completam o percurso de uma volta em 18 min e 21 min, res-
pectivamente. Tendo saído juntos, depois de quanto tempo voltarão a se encontrar no 
lugar de onde saíram? 
a) 1h 6 min 
b) 6h 2 min 
c) 2h 6 min 
d) 6h 1 min 
 
Questão 70 (UNIMONTES / 2006) 
Dada a seqüência numérica 987687987687987687987687 ..., o seu 1214º algarismo é o: 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
 
Questão 71 (UNIMONTES / 2006) 
Uma caixa de bombons custa R$ 4, 80. Se cada bombom custa R$ 0, 16, então essa cai-
xa tem: 
a) 30 bombons 
b) 20 bombons 
c) 25 bombons 
d) 35 bombons 
 
Questão 72 (Paes – UNIMONTES / 2006) 
Numa caixa cabem 9 dúzias de laranjas. Na cooperativa, o transporte é feito em carretas 
que levam 18 caixas por vez. Quantas laranjas são carregadas em uma carreta? 
a) 162 
b) 261 
c) 1494 
d) 1944 
 
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 39 
Questão 73 (UFMG / 2006) 
Sejam N um número natural de dois algarismos não nulos e M o número obtido inver-
tendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N − M = 45. Então, quantos são os 
possíveis valores de N? 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
Questão 74 (UFMG / 2006) 
Considere o conjunto de números racionais 






=
7
4
,
11
5
,
7
3
,
9
5M . 
Sejam x o menor elemento e y o maior elemento de M. Então, é CORRETO afirmar 
que: 
a) 
11
5
=x e 
7
4
=y 
b) 
73
=x e 
9
5
=y 
c) 
7
3
=x e 
7
4
=y 
d) 
11
5
=x e 
9
5
=y 
 
 
Questão 75 (PAS – Lavras / 2006) 
Considere a expressão dada por: 














−⋅












+
+
−⋅





−
−
1
45,0
5,0
1
2
32
2
11
1)2(
162
9
1
 
O valor dessa expressão é : 
 
a) 
9
1
 b) 
2
2
 c) 
3
2
 d) 9 e) 1 
 
 
Questão 76 (UNIMONTES / 2007) 
Se em uma fração o denominador for 5 unidades maior que o numerador e se, ao subtra-
irmos duas unidades aos dois termos, obtivermos uma fração equivalente a 
2
1
, então 
essa fração é: 
a) 
7
2
 b) 
10
5
 c) 
6
1
 d) 
12
7
 
 
 
 
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 40 
Questão 77 (PUC – MG / 2007) 
Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um terço é de 
5 centavos, e as restantes são de 10 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de: 
a) 8, 75 
b) 7, 35 
c) 5, 45 
d) 4, 35 
 
Questão 78 (PUC – RJ / 2007) 
Dados que a = 2, 4; 2,6=b e 
5
13
=c , temos que: 
a) a < b < c 
b) a < c < b 
c) c < b < a 
d) b < c < a 
e) b < a < c 
 
Questão 79 (Mack – SP / 2007) 
A soma de dois números inteiros positivos, a e b, é 43. Sabendo-se que o produto do 
mdc (a, b) pelo mmc (a, b) é 190, o valor absoluto da diferença desses números é: 
a) 25 
b) 33 
c) 41 
d) 49 
e) 57 
 
Questão 80 (PAS – Lavras / 2007) 
O produto 63 2 aaa ⋅⋅ , no qual a > 0, pode ser simplificado como: 
a) a 
b) aa 
c) 3 aa 
d) 3 2a 
e) a 
 
Questão 81 
Um terço do número )93( 59 + é equivalente a: 
a) 53 33 + b) 22 93 + c) 49 93 + d) 26 33 + 
 
 
RESPOSTAS 
A. 7, 8, 13, 18, 19, 24, 25, 28, 32, 37, 42, 44, 50, 54, 56, 57, 59, 60, 68, 71, 73, 78 
B. 1, 3, 4, 10, 16, 22, 30, 31, 33, 38, 51, 52, 58, 61, 62, 66, 67, 79 
C. 2, 9, 14, 15, 21, 27, 29, 39, 48, 49, 55, 63, 65, 69, 70, 74, 80 
D. 5, 20, 26, 34, 35, 36, 40, 43, 45, 46, 47, 53, 64, 72, 75, 76, 77 
E. 6, 11, 12, 17, 23, 41