Matemática A a Z

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CAPÍTULO 1
Capítulo 1
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C
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Conjuntos
Numéricos1.1
Conjunto dos Números Naturais (N)
Os números naturais são em geral associados à ideia de contagem, e o conjunto que os 
representa é indicado por N.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
• Um subconjunto importante de N é o conjunto N*. Quando aparece a notação 
N*, significa que o zero está excluído do conjunto.
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } → o zero foi excluído do conjunto N.
• O menor número natural é o zero.
• Há infinitos números naturais.
• A partir de qualquer número natural n, basta adicionar (somar) 1 unidade para 
obter o número natural seguinte, ou seja, o sucessor de n é n+1.
• Para relacionarmos elementos com conjuntos, usamos a relação de pertinên-
cia cujos símbolos são:
∈: pertence ∉: não pertence
Exs.:
2 ∈ N
7 ∈ N
2,3 ∉ N
-5 ∉ N
Fique Ligado!
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
A reta numérica do conjunto dos inteiros é infinita. Representamos essa ocorrência co-
locando uma seta nos dois lados da reta. Veja a representação da reta numérica dos inteiros:
André Arruda e Javert Falco
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-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8
Menor número Maior número
Os números na reta numérica são dispostos em relação ao zero. Assim, os números 
positivos ficam do lado direito da reta, e os negativos, do lado esquerdo.
• Vale destacar os seguintes subconjuntos de Z:
Z* = Z – {0}
Z+ = conjunto dos números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z – = conjunto dos números inteiros não positivos = {0, -1, -2, -3, -4, ...}
• Todo número inteiro n tem um antecessor n-1 e um sucessor n+1.
• Todo número inteiro n tem seu oposto ou simétrico –n.
Ex.: o oposto de +5 é o número -5.
• Há infinitos números inteiros.
Fique Ligado!
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Acrescentando as frações positivas e negativas aos números inteiros, teremos os nú-
meros racionais.
Então: -3, -5/4, -1, -1/3, 0, ¾, 1, 3/2, são exemplos de números racionais.
Todo número racional pode ser colocado na forma a/b, com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0.
Q = {x / x = a/b, com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0}
Conjunto dos Números Irracionais (I)
Considere os seguintes números e sua representação decimal:
√2 = 1,4142135...
√3 = 1,7320508...
Observa-se, então, que existem decimais infinitas e não periódicas, às quais damos o 
nome de números irracionais. Os números irracionais NÃO PODEM ser escritos na forma a/b.
Capítulo 1
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• Constantes irracionais ou números transcendentais:
π = 3,1415926535...(número pi, constante de Arquimedes)
ϕ = 1,6118033988... (número áureo ou número de ouro)
e = 2,7182818... (constante de Euler)
Em outras palavras, números irracionais são aqueles números que possuem in-
finitas casas decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição.
• Raízes quadradas de números primos são irracionais.
Fique Ligado!
Conjunto dos Números Reais (R)
Dados Q e {Irracionais}, define-se o conjunto dos números reais como:
R = {Q ∪ I} = {x / x é racional ou x é irracional}
Observação: Todo número real é racional ou irracional, o que nos permite representar o 
conjunto dos números reais por meio do esquema a seguir:
R
Z
Q
NI
Três Noções Numéricas Básicas: Número, Numeral e Algarismo
Número: é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos 
e medimos.
Numeral: é toda representação de um número, seja ela escrita, falada ou indigitada. Os nu-
merais podem ser divididos em cardinais, ordinais, multiplicativos, coletivos ou fracionários.
• Numerais cardinais: são a forma que mais utilizamos, e indicam quantidades sim-
ples. Ex: Um, dois, duzentos, mil;
• Numerais ordinais: representam alguma forma de ordem, hierarquia ou sequência. 
Ex: Primeiro, segundo, terceiro;
André Arruda e Javert Falco
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• Numerais multiplicativos: indicam a multiplicação de uma unidade. Ex: Dobro, 
triplo, duplo e quíntuplo;
• Numeral coletivo: representam conjuntos de unidades. Ex: Dezena, centena, déca-
da, dúzia;
• Numeral fracionário: expressam uma unidade dividida, em relação ao seu total. 
Ex.: Meio, doze avos, um terço.
Algarismo: é todo símbolo numérico que usamos para formar os numerais escritos.
Sistema de numeração: é todo conjunto de regras para a produção sistemática de numerais.
Algarismos Romanos Algarismo Indo-arábicos
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
O número vinte e um pode ser representado pelo numeral XXI (no sistema romano), pelo 
numeral 21 (no sistema indo-arábico) e de muitas outras maneiras. No sistema indo-arábico, 
sua representação usou os algarismos 2 e 1, e no sistema romano usou os algarismos X e I.
Nas situações do cotidiano, são extremamente comuns as confusões entre os conceitos 
de número, numeral e algarismo. Vejamos algumas:
Certo: minha senha bancária tem três algarismos.
Errado: minha senha bancária três números.
Certo: o funcionário da Companhia de Energia registrou mal o algarismo das centenas 
do valor de meu consumo mensal de energia elétrica
Errado: o funcionário da Companhia de Energia registrou mal o número das centenas 
do valor de meu consumo mensal de energia elétrica.
EM RESUMO: número é o conceito de quantidade, numeral é a forma como o escreve-
mos, e os algarismos são os símbolos que usamos para formar o numeral.
Veja como é!
Capítulo 1
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Conceitos Importantes
»» Número Abstrato: é aquele em que se faz abstração da natureza dos elementos de um 
conjunto.
Ex.: 4 unidades, 7 unidades, ou simplesmente, 4 e 7.
»» Número Abundante: é aquele em que a soma dos seus divisores, exceto o próprio número, 
é maior que o mesmo.
Ex.: 24. Divisores do 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Soma dos divisores exceto o 24 = (1+2+3+4+6+8+12) = 36. Como a soma é maior que o 
número, 24 é abundante.
»» Número Áureo ou Número de Ouro: é conhecido como a chave matemática da harmo-
nia universal. É representado pela letra grega Φ (PHI). Uma maneira de encontrar a 
representação numérica de Φ é através da razão (1+5√2)/2, que equivale à dízima 
não periódica 1,61803398... Sendo assim, Φ é um número irracional.
»» Número Composto: Um número natural é composto quando ele é divisível por mais de dois 
números distintos.
Ex.: 0, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16 e todos os números que tiverem mais que dois divisores. 
Note que o número Zero é um número composto.
»» Número Primo: um número natural é primo quando ele é divisível por exatamente dois 
números distintos, ou seja, por 1 e por ele mesmo.
Ex.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e todos os números que tiverem apenas dois divisores, o 
1 e ele mesmo.
»» Número UM: o número 1 não é primo e nem composto. Apenas o número 1 é divisível por 
um número só (ele mesmo). Ele não é chamado nem de primo, nem de número composto.
»» Número Perfeito: é todo número igual à soma dos seus divisores, exceto o próprio número.
Ex.: Os divisores do 6 são: {1, 2, 3, 6}. A soma dos divisores, com exceção do 6, é 1+2+3 
= 6. 
»» Números Primos entre si: dois números são ditos primos entre si, quando o máximo divisor 
comum entre ele é igual a 1.
Ex.: Os números 8 e 15, pois o m.d.c (8, 15) = 1
»» Números Triangulares: um número triangular é um número natural que pode ser represen-
tado na forma de triângulo equilátero. Para encontrar o n-ésimo número triangular a partir 
do anterior basta somar-lhe n unidades. A sequência dos números triangulares, começan-
do pelo 0-ésimo termo, é:
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(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ... )
Tn =
n (n + 1)
2
T1 = 1
T4 = 10
T2 = 3
T5 = 15
T3 = 6
T6 = 21
»» Número Quadrado Perfeito: um número será quadrado perfeito quando respeitar a regra 
de formação: n2= a. Nessa regra, n é qualquer número inteiro positivo e a é o número qua-
drado perfeito.
Ex.: 12 = 1 22 = 4 32 = 9
Quadrados perfeitos: (1, 4, 9, 16, 25, 36, ... )
Obs.: Somente o número quadrado perfeito possui raiz quadrada exata.
• Zero elevado a Zero (00): a avaliaçãode zero elevado a zero é um problema mate-
mático. Sabemos que todo número diferente de zero, elevado a zero, é igual a 1. 
Mas, e se o número for zero?
A expressão matemática 00 é considerada como uma INDETERMINAÇÃO em Matemática. 
Vamos Praticar!
1. Assinale a afirmativa falsa:
a) 2 ∈»N
b) √4 ∈»I
c) √3 ∈»I
d) –3 ∈»Z
e) –3 ∈»R
2. Com os conhecimentos em conjun-
tos numéricos, assinale a alternati-
va correta:
a) N ⊃ Z
b) N ∈ Z
c) Z ⊂ I
d) R ⊃ Q
e) Q ⊂ Z
3. (Efoa-MG) Seja R o conjunto dos 
números reais, N o conjunto dos 
números naturais e Q o conjun-
to dos números racionais. Qual a 
afirmativa falsa?
a) (Q ∪ N) ⊂ R
b) (Q ∩ N) ⊂ R
c) (Q ∪ N) = R
d) (Q ∩ N) = Q
e) (Q ∩ N) ≠»∅
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4. (Fatec-SP) Sejam a e b números irracionais quaisquer. Das afirmações:
I. ab é um número irracional;
II. a + b é um número irracional;
III. a – b pode ser um número racional;
Pode-se concluir que:
a) As três são falsas.
b) As três são verdadeiras.
c) Somente (I) e (III) são verdadeiras.
d) Somente (I) é verdadeira.
e) Somente (I) e (II) são falsas.
Decomposição em Fatores Primos
Decompor em fatores primos é realizar todas as possíveis divisões em fatores crescen-
tes de primos.
Ex.: Decompor o número 120 em fatores primos
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
120 = 23 . 3 . 5
Divisores e Múltiplos de um Número
Na divisão de dois números, o primeiro número que é o maior é denominado dividendo 
e o outro que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se mul-
tiplicarmos o divisor pelo quociente e somarmos com o resto, obteremos o dividendo.
13 3
- 12 4
1
Obs: Q . d + R = D
4 . 3 + 1 = 13
• Divisor: Definimos divisores de um número, como sendo o conjunto numérico for-
mado por todos os números que o dividem exatamente.
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Roteiro para obtermos o Número de Divisores de um número
(vamos utilizar o 36 como exemplo).
1º) fatorar o número
36 2
18 2
9 3
3 3
1 22 . 32 36 = 22 . 32
2º) a cada expoente acrescentamos uma unidade e a seguir efetuamos o produto, resul-
tando assim o número de divisores naturais do número
36 = 22 . 32
 
( 2 + 1 ) . ( 2 + 1 ) = 3 . 3 = 9
Então, 36 possui 9 divisores naturais.
• Múltiplo: 
Ex.: O conjunto dos múltiplos do número 3.
D(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ... }
Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
I) Máximo Divisor Comum: o máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é 
obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se a maior. O mdc pode 
ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o 
de menor expoente.
Ex.: Calcular o MDC entre 120 e 36.
120,36 2
60,18 2
30,9 3
10,3 3
10,1 5
2,1 2
1,1
Logo, o MDC entre 120 e 36 é o produto dos valores em comum: 2 . 2 . 3 = 12
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II) Mínimo Múltiplo Comum: o número múltiplo comum entre dois números naturais é 
obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuan-
do o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, consi-
derados uma única vez e de maior expoente.
Ex.: Calcular o MMC entre 120 e 36.
120,36 2
60,18 2
30,9 3
10,3 3
10,1 5
2,1 2
1,1
Logo, o MMC entre 120 e 36 é o produto de todos valores em comum: 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 2 = 360
Obs.: Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b
m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b
O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.
Critérios de Divisibilidade
Um número é divisível por outro quando, ao ser dividido, o resultado é sempre exato, ou 
seja, o resto é sempre igual a zero.
8 3
- 6 2
 2
8 4
- 8 2
 0
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2, quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8. Um 
número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrário, ímpar.
Ex.:
122 (é divisível por 2) 131 (não é divisível por 2)
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos 
for divisível por 3.
Ex.: 
123 = 1+2+3 = 6
132 = 1+3+2 = 6
213 = 2+1+3 = 6
231 = 2+3+1 = 6
312 = 3+1+2 = 6
321 = 3+2+1 = 6
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a. 120 = 1+2+0 = 3 (é divisível por 3)
b. 4511 = 4+5+1+1 = 11 (não é divisível por 3)
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4, quando o número formado pelos dois últimos algarismos 
da direita for 00 ou divisível por 4.
Ex.: 
800 (é divisível por 4) 416 (é divisível por 4) 511 (não é divisível por 4)
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5, quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
Ex.:
200 (é divisível por 5) 155 (é divisível por 5) 122 (não é divisível por 5)
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6, quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
Ex.:
123 
132 (é divisível por 6)
213 
231 
312 (é divisível por 6)
321 
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10, quando o algarismo das unidades for 0 (zero)
Ex:
100 (é divisível por 10) 121 (não é divisível por 10)
Vamos Praticar!
1. Calcule a soma dos divisores de 1960:
a) 5310 
b) 1530 
c) 5130 
d) 5031 
e) 5013
2. O produto dos divisores de 16 é:
a) 512 
b) 516 
c) 624 
d) 1024 
e) 1032
3. Calcular o produto dos divisores de 45:
a) 91152 
b) 91521 
c) 91125 
d) 92125 
e) 92115
4. Calcule o mdc entre 240 e 252:
5. Calcule o mmc entre 240 e 252:
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6. Calcule o mdc e o mmc entre 15 e 16:
7. Calcular o mmc de dois números 
cujo o produto é 32 e o mdc é 4.
8. Calcular o produto de dois números 
cujo o mmc é 35 e o mdc é 1.
9. Dado dois números consecutivos 
onde a soma é 11. Calcule o mdc e o 
mmc entre eles.
10. O máximo divisor de dois números 
é igual a 10 e o mínimo múltiplo 
comum deles é igual a 210. Se um 
deles é igual a 70, qual o outro?
11. Se o mmc entre dois números natu-
rais é 15 e o mdc entre os mesmos 
é também 15, então o produto entre 
os dois números naturais é:
a) 340 
b) 490 
c) 280 
d) 225 
e) 150
12. Uma filha me visita a cada 15 dias; 
uma outra me visita a cada 18 dias. 
Se aconteceu hoje a visita das duas 
filhas, a próxima visita acontecerá 
daqui a quantos dias?
13. Dois tanques têm respectivamente 
400 litros e 250 litros de capacida-
de. Qual a maior capacidade que 
pode ter uma vasilha que se encha, 
um número exato de vezes, com 
água de qualquer dos tanques?
14. Quais são os divisores de:
a) 20
b) 45
c) 72
15. Quantos são os divisores de:
a) 96
b) 102
c) 50
16. Determine o valor de n para que os 
números tenham:
a) 22 x 3n x 5 - 18 divisores
b) 23 x 32 x 7n - 36 divisores
17. Dentre os divisores de 60, quantos 
são múltiplos de:
a) 6
b) 10
c) 12
d) 18
e) 20
18. Coloque V se for verdadeiro e F se 
estiver falso.
a) 4 é múltiplo de 2 ( )
b) 958 é múltiplo de 3 ( )
c) 70 é múltiplo de 2 ( )
d) 55 é múltiplo de 8 ( )
e) 97 é múltiplo de 7 ( )
f) 25 é múltiplo de 5 ( )
André Arruda e Javert Falco
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19. Escreva os 5 primeiros múltiplos de 45:
20. Qual o elemento do conjunto dos 
números naturais que é divisor de 
todos os números?
21. Qual é o menor número primo com 
dois algarismos?
22. O número 5 é divisor do número 16? 
Justifique a sua resposta.
23. Qual é o menor número primo com 
dois algarismos diferentes?
24. Conhecendo um método para iden-
tificar os números primos, verifi-
que quais dos seguintes números 
são primos:
a) 49
b) 37
c) 12
d) 11
25. Exiba todos os números primos 
existentes entre 10 e 20?
26. Se 3a9b é divisível ao mesmo tem-
po por 2 e 5, então b é igual a:
a) -2
b) -1
c) 2
d) 1
e) 0
Vamos Praticar! Página 15
1) B 2) D 3) C 4) E
Vamos Praticar! Página 19
1) C 2) D 3) C 4) 12
5) 5040 6) mdc= 1 e mmc= 240 7) 8
8) 35 9) mdc= 1 e mmc= 30 10) 30
11) D 12) 90 dias 13) 50 litros
14) a) 1, 2, 4, 5, 10 e 20 b) 1, 3, 5, 9, 15 e 45 c) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 e 72
15) a) 12 b) 8 c) 6 16) a) 2 b) 2
17) a) 4 b) 4 c) 2 d) 0 e) 2 18) a) V b)F c) V d) F e) F f) V
19) 0, 45, 90, 135 e 180 20) 1 21) 11
22) Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.
23) 13 24) a) não b) sim c) não d) sim 25) 11, 13, 17 e 19 26) e
Conjuntos Numéricos
Gabarito - 1.1
Capítulo 1
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Expressões
Numéricas1.2
São expressões matemáticas que envolvem operações com números.
a. 9+3+5 b. 2-5+4 c. (15-4)+2
Veja como é!
Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação parênteses ( ), 
colchetes [ ] ou chaves { } podem funcionar como verdadeiras vírgulas.
A expressão 9 – 4 + 3 pode ter resultados diferentes, conforme a colocação dos parênteses:
(9 – 4) + 3 = 5 + 3 = 8 9 – (4 + 3) = 9 – 7 = 2
Prioridade das operações numa expressão matemática
Nas operações em uma expressão matemática deve-se obedecer a seguinte ordem:
1º) Potenciação ou Radiciação 2º) Multiplicação ou Divisão 3º) Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade
a. Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se rea-
lizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
b. A multiplicação pode ser indicada por um “x” ou por um ponto “•” ou às 
vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Multiplicação e divisão de Números Reais
( + ) ⋅ ( + ) = ( + )
( - ) ⋅ ( - ) = ( + )
( + ) ⋅ ( - ) = ( - )
( - ) ⋅ ( + ) = ( - )
( + ) : ( + ) = ( + )
( - ) : ( - ) = ( + )
( + ) : ( - ) = ( - )
( - ) : ( + ) = ( - )
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Soma e subtração de Números Reais
Prevalece o sinal do maior.
Resolva a seguinte expressão:
4 – 5 + 7 – 2 
-1 + 7 – 2
+ 6 – 2 = + 4 = 4
Resolva a seguinte expressão:
20 + 3(–4) – 2(–5)
= 20 – 12 + 10
= 18
Resolva a seguinte expressão:
20 + [3 – 5 . 2 + (3 – 5) . 2]
= 20 + [3 – 10 + (– 2) . 2]
= 20 + [3 – 10 – 2 . 2]
= 20 + [3 – 10 – 4]
= 20 + [– 11]
= 20 – 11
= 9
Veja como é!
Capítulo 1
24
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Vamos Praticar!
1. Calcule o valor das expressões 
abaixo:
a) 20 – [(8 – 3) + 4] – 1
b) 123 – [90 – (38 + 50) – 1]
c) 10 + [–8 – (–1 + 2)]
d) –3 – [8 + (–6 – 3) + 1]
e) 8 – (4 + 5) – [3 – (6 – 11)]
f) –(–2) – [9 + (7 – 3 – 6) – 8]
g) 1 + [–7 – (–2 + 6) + (–2)] – (–6 + 4)
h) 6 – {4 + [–7 – (–3 – 9 + 10)]}
i) –3 – [(–1 + 6) + 4 – (–1 – 2) – 1]
j) 2 – (–2) – {–6 – [–3 + (–3 + 5)]} – 8
Expressões Numéricas
Gabarito - 1.2
Vamos Praticar! 
1)
a) 10 b) 122 c) 1 d) -3
e) -9 f) 3 g) -10 h) 7
i) -14 j) 1
2) 
a) 10 b) 2 c) 11 d) -15
e) -11 f) -2 g) 24
2. Calcule o valor das expressões 
abaixo:
a) 21 – 15 : 5 – 12 + 3 + 1
b) (21 – 15) : (15 – 12 + 3) + 1
c) 31 – 40 : 2
d) –10 – 20 : 4
e) 30 : (–6) + (–18) : 3
f) 7 : (–7) + 2(–6) + 11
g) 10 . 3 – 2 + 5 – 2 : 2 + 7 . 3 – 3 
(4 + 5) – 2
André Arruda e Javert Falco
25
M
A
TEM
Á
TIC
A
Nos números decimais, a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.
0,001
Parte decimal
Parte inteira
1, 17
Parte decimal
Parte inteira
Veja como é!
Fração Decimal e Números Decimais
Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:
Fração Decimal = Número Decimal
3/10 = 0,3
3/100 = 0,03
3/1000 = 0,003
Operações com
Números 
Decimais
1.3
Capítulo 1
26
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
Agora é sua Vez!
1. Efetue as adições:
a) 12,48 + 19 = 
b) 12,5 + 0,07 = 
c) 12,8 + 3,27 = 
d) 31,3 + 29,7 = 
e) 107,03 + 32,7 = 
f) 83,92 + 16,08 = 
g) 275,04 + 129,3 = 
h) 94,28 + 36,571 = 
i) 189,76 + 183,24 = 
j) 13,273 + 2,48 =
2. Efetue as subtrações:
a) 85,3 – 23,1 = 
b) 97,42 – 31,3 = 
c) 250,03 – 117,4 = 
d) 431,2 – 148,13 = 
e) 400 – 23,72 = 
f) 1050,37 – 673,89 = 
g) 3 – 1,07 = 
h) 98 – 39,73 = 
i) 43,87 – 17 = 
j) 193 – 15,03 =
3. Efetue as multiplicações:
a) 200 x 0,3 = 
b) 130 x 1,27 = 
c) 93,4 x 5 = 
d) 208,06 x 3,15 = 
e) 0,3 x 0,7 = 
f) 112,21 x 3,12 = 
g) 12,1 x 4,3 = 
h) 243,5 x 2,53 = 
i) 357 x 0,5 = 
j) 793 x 0,07 =
4. Efetue as divisões:
a) 3 : 2 = 
b) 21 : 2 = 
c) 7 : 50 = 
d) 9,6 : 3,2 = 
e) 4064 : 3,2 = 
f) 1,5 : 2 = 
g) 4,8 : 30 = 
h) 1,776 : 4,8 = 
i) 7,502 : 12,4 = 
j) 0,906 : 3 = 
k) 50,20 : 5 = 
l) 21,73 : 1,06 = 
m) 35,28 : 9,8 =
Vamos Praticar!
a) Um milionário, antes de mor-
rer, deixou escrito no tes-
tamento: “Dos três milhões 
que tenho no banco, deixo 1 
milhão e 800 mil para institui-
ções de caridade e o restante 
para ser repartido igualmente 
entre meus três filhos”. Quan-
to recebeu cada filho?
André Arruda e Javert Falco
27
M
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TEM
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TIC
A
b) João tem 26 tickets refeição e An-
dré tem o triplo. Quantos tickets 
refeição têm os dois juntos?
c) Dois operários, Paulo e Pedro, 
cobram juntos, R$ 385,00 por 
um trabalho a ser realizado 
em 5 dias. Paulo ganha R$ 
32,00 por dia de trabalho. 
Quanto ganhou Pedro pelo 
trabalho?
d) Gaspar comprou uma bicicleta 
pagando um total de R$ 970,00, 
sendo R$ 336,00 de entrada 
e o restante em 8 prestações 
mensais iguais. Qual o valor de 
cada prestação?
e) José mandou fazer, de alu-
mínio, as janelas de sua 
casa. Deu uma entrada de R$ 
250,00 quando fez a enco-
menda e o restante vai pagar 
em quatro parcelas iguais de 
R$ 145,25 cada uma. Qual a 
quantia que José vai gastar 
para fazer as janelas?
f) O preço de uma corrida de 
táxi é formado de duas par-
tes: uma fixa, chamada “ban-
deirada”, e uma variável, de 
acordo com o número de 
quilômetros percorridos. Em 
uma cidade, a “bandeirada” 
é de R$ 4,00 e o preço por 
quilômetro percorrido é de 
R$ 2,00. Quanto pagará uma 
pessoa que percorrer, de táxi, 
12 quilômetros?
g) Regina comprou roupas, gas-
tando um total de R$ 814,00. 
Deu R$ 94,00 de entrada e 
o restante da dívida vai pa-
gar em 5 prestações mensais 
iguais. Qual é o valor de cada 
prestação?
Capítulo 1
28
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C
A
Operações com Números Decimais
Gabarito - 1.3
Agora é sua Vez!
1)
a) 31,48 b) 12,57 c) 16,07 d) 61
e) 139,73 f) 100 g) 404,34 h) 130,851
i) 373 j) 15,753
2)
a) 62,2 b) 66,12 c) 132,63 d) 283,07
e) 376,28 f) 376,48 g) 1,93 h) 58,27 
i) 26,87 j) 177,97
3)
a) 60 b) 165,1 c) 467 d) 655,389
e) 0,21 f) 350,0952 g) 52,03 h) 616,055
i) 178,5 j) 55,51
4)
a) 1,5 b) 10,5 c) 0,14 d) 3
e) 1270 f) 0,75 g) 0,16 h) 0,37
i) 0,605 j) 0,302 k) 10,04 l) 20,5
m) 3,6 
Vamos Praticar!
a) 400.000 b) 104 c) R$ 225 d) R$ 79,25
e) R$ 831 f) R$ 28 g) R$ 144
André Arruda e Javert Falco
29
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TEM
Á
TIC
A
Chamamos de fração a uma ou mais partes do inteiro, dividido em partes iguais. É repre-
sentada por um par de números naturais a e b, com b ≠ 0 , onde: b indica o número de partes 
em que foi dividido o todo e a indica o número de partes consideradas. A fração será escrita 
como a/b, em que a representa o numerador e b o denominador.
Ex.: 2/3, que representa um inteiro dividido em três partes iguais, em que consideramos 
duas delas.
Leitura e Representação de Frações
1
2
→ um meio ou metade
1
3
→ um terço
1
4
→ um quarto
1
5
→ um quinto
3
5
→ três quintos
Transformação de Número Misto em Fração
Multiplicamos o denominador pela parte inteira e adicionamos o produto ao numera-
dor. O denominador será o mesmo da parte fracionária.
Ex.: 
Transformar 2 1
5
 em fração imprópria. Encontramos 2 x 5 + 1
5
 = 11
5
 .
Frações1.4
Capítulo 1
30
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A
Operações entre Frações
a. Soma e subtração de fração: deve-se tirar o m.m.c entre os denominadores. 
b. Produto de fração: deve-se multiplicar numerador com numerador e deno-
minador com denominador
c. Divisão de fração: repete o primeiro e multiplica pelo inverso do segundo.
I) Soma
Ex.: 
a. 1 + 4 = 5 
 3 3 3
b. 1 + 4 = 3 + 8 = 11
 2 3 6 6
m.m.c (2,3) = 6
II) Subtração
Ex.: 
a. 1 - 4 = - 3 
 5 5 5
b. 1 - 4 = 3 - 8 = -5
 2 3 6 6
m.m.c (2,3) = 6
III) Multiplicação
Ex.: 
a. 
 1 . 4 = 4 
 3 3 9
b. 2 . 4 = 8 
 3 3
c. 3. 2 = 6 = 2
 3 3 
IV) Divisão
Ex:
a. 
 1 : 4 = 1 . 3 = 3 
 2 3 2 4 8
b. 1 : 2 = 1 . 1 = 16 6 2 12
c. 4 : 8 = 4 . 5 = 20 = 5 
 5 8 8 2
André Arruda e Javert Falco
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Conversão de Números Decimais em Frações
Coloca-se o número no numerador da fração, sem a vírgula e no denominador o “um” 
seguido de tantos “zeros” quantas forem as casas decimais.
»» 0,32 = 32
100
»» 1,315 = 1315
1000
»» 0,2 = 2
10
 = 1
5
Veja como é!
Dízima Periódica
Em uma dízima periódica, a parte decimal que repete recebe o nome de período, a parte 
que não repete é chamada de anti-período, a parte não decimal é a parte inteira.
Dízima periódica simples
2,555...
Período 5
Parte inteira
Dízima periódica composta
2,4 555...
Período 5
Ante-período
Parte inteira
Transformar Dízima Periódica em Fração Geratriz
Ex.:
0,333.... = 3/9 = 1/3
0,666.... = 6/9 = 2/3
0,494949.... = 49/99
0,512512.... = 512/999
0,21313.... = (213-2) / 990 = 211/990
Transformar fração imprópria em número misto
Ex.:
a. 15/7 = 2 1
7
b. 6/5 = 1 1
5
c. 5/2 = 2 1
2
d. 13/2 = 6 1
2
Capítulo 1
32
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A
Número misto 
É a soma de um número natural com uma fração.
»» 3 4
5
 = 3 + 4
5
 = 15 + 4
5
 = 19
5
 »» 1 1
2
 = 1 + 1
2
 = 2 + 14
2
 = 3
2
Veja como é!
Tipos de Fração
a. Fração Própria: é aquela cujo numerador é menor que o denominador.
Ex.: 3/5; 2/3; ¼.
b. Fração Imprópria: é aquela cujo numerador é maior que o denominador.
Ex.: 8/5; 3/2; 6/5.
Se o numerador é múltiplo do denominador, dizemos que a fração é aparente. Observe 
que uma fração aparente é, na verdade, um número inteiro.
Ex.: 4/2 = 2; -15/5 = -3.
Simplificando Frações
Uma fração pode ser simplificada dividindo-se numerador e denominador pelo seu má-
ximo divisor comum.
Ex.:
12
20
 = 12 : 4
20 : 4
 = 3
5
m.d.c (12,20) = 4.
Dizemos que a fração 3/5 é IRREDUTÍVEL, pois o único divisor comum do numerador e 
do denominador é 1. 
Inverso de um Número
Chama–se inverso de um número racional a/b ≠ 0 o número racional b/a, obtido do 
primeiro invertendo-se numerador e denominador.
André Arruda e Javert Falco
33
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A
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TIC
A
a) O inverso de 2
3
 é 3
2
b) O inverso de - 3
8
 é - 8
3
c) O inverso de 1
4
 é 4
d) O inverso de 5 é 1
5
Veja como é!
Observações: 
• Não se define o inverso de 0 (zero).
• O produto de um racional pelo seu inverso e igual a 1. 
Oposto ou Simétrico de um Número Real 
Um número será o oposto ou simétrico de outro número quando for representado em 
uma reta numérica e possuir a mesma distância da origem em relação a outro número.
Observe na reta numérica que a distancia do -7 até o zero é a mesma do +7 até o zero, 
estes números são chamados de opostos ou simétricos. 
Logo: - 7 é oposto ou simétrico do + 7.
Distância - 7 Distância 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Módulo de um Número Real 
Chama-se módulo ou valor absoluto de um número inteiro “x” a distância desse número 
até o zero na reta numérica e indicamos por |x|, ou seja, um número real positivo tem como mó-
dulo o próprio número. Já um número real negativo terá como módulo o oposto a esse número. 
a. O módulo de +163 é 163 e indica-se |+163| = 163. 
b. O módulo de − 75 é 75 e indica-se |−75| = 75.
Veja como é!
Capítulo 1
34
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
Agora é sua Vez!
1. Efetue as operações:
a) 3/6 + 2/6 = 
b) 13/7 + 1/7 = 
c) 7/9 – 5/9 = 
d) 9/5 -2/5 = 
e) 5/4 + ¾ – ¼ = 
f) 1/8 + 9/8 -3/8= 
g) 1/3 + 1/5 = 
h) ¾ + ½ = 
i) 2/4 + 2/3 = 
j) 2/5 + 3/10 = 
k) 5/3 + 1/6 = 
l) ¼ + 2/3 + ½ = 
m) 5/4 – ½ = 
n) 3/5 – 2/7 = 
o) 8/10 – 1/5 = 
p) 2 + 5/3 = 
q) 7 + ½ = 
r) 3/5 + 4 =
s) 6/7 + 1 = 
t) 3/5 + ½ – 2/4 = 
u) 2/3 + 5/6 – ¼ = 
v) 4/5 – ½ + ¾ = 
w) 5/7 – 1/3 + ½ = 
2. Efetue as multiplicações:
a) ½ x 8/8 = 
b) 4/7 x 2/5 = 
c) 5/3 x 2/7 = 
d) 4/3 x ½ x 2/5 = 
e) 1/5 x ¾ x 5/3 = 
f) 2 x 2/3 x 1/7 = 
3. Efetue as divisões:
a) ¾ : 2/5 = 
b) 5/7 : 2/3 = 
c) 7/8 : ¾ = 
d) 8/7 : 9/3 = 
e) 5 : 2/3 = 
f) 3/7 : 2 = 
4. Calcule o valor das expressões:
a) 5/8 + ½ -2/3 = 
b) 5 + 1/3 -1/10 = 
c) 7/8 – ½ – ¼ = 
d) 2/3 + 3 + 1/10 = 
e) ½ + 1/6 x 2/3 = 
f) 3/10 + 4/5 : ½ = 
g) 7/4 – ¼ x 3/2 = 
h) ½ + 3/2 x ½ = 
i) 1/10 + 2/3 x ½ = 
5. Encontre a geratriz das seguinte dí-
zimas periódicas:
a) 0,777... = 
b) 0,232323... = 
c) 0,1252525... =
d) 0,04777... = 
e) 0,01222... =
André Arruda e Javert Falco
35
M
A
TEM
Á
TIC
A
6. Calcule o valor de:
a) 0,333... + 0,1414... =
 2/33
7. Transforme as frações em números 
decimais
a) 3/10 =
b) 45/10 =
c) 517/10 =
d) 2138/10 =
e) 57/100 =
f) 2856/1000 =
g) 4761 / 10000 =
h) 15238 /10000 =
8. Transforme os números decimais 
em frações
a) 0,4 =
b) 7,3 =
c) 4,29 =
d) 0,674 =
Vamos Praticar!
a) Determine 2/3 de R$ 1200,00.
b) Numa caixa existem 80 bombons. 
Calcule 2/5 desses bombons. 
c) O comprimento de uma peça 
de tecido é de 42 metros. 
Quanto mede 3/7 dessa peça? 
d) Um automóvel percorreu 3/5 de 
uma estrada de 600 km. Quan-
tos quilômetros percorreu? 
e) Numa viagem de 72 km, já foram 
percorridos ¾. Quantos quilô-
metros já foram percorridos? 
f) Um livro tem 240 páginas. Você 
estudou 5/6 do livro. Quantas 
páginas você estudou?
g) Os 2/5 de um número cor-
respondem a 80. Qual é esse 
número? 
h) Os ¾ do que possuo equivalem 
a R$ 900,00. Quanto possuo? 
Capítulo 1
36
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
i) Um time de futebol marcou 35 
gols, correspondendo a 7/15 
do total de gols do campeona-
to. Quantos gols foram marca-
dos no campeonato? 
j) Para encher 1/5 de um reser-
vatório são necessários 120 
litros de água. Quanto é a ca-
pacidade desse reservatório? 
k) Se 2/9 de uma estrada corres-
ponde a 60 km, quantos quilô-
metros tem essa estrada?
l) Para revestir ¾ de uma parede 
foram empregados 150 azulejos. 
Quantos azulejos são necessá-
rios para revestir toda a parede? 
m) De um total de 240 pessoas, 1/8 
não gosta de futebol. Quantas 
pessoas gostam de futebol?
n) Eu fiz uma viagem de 700 km. 
Os 3/7 do percurso foram fei-
tos de automóvel e o restante 
de ônibus. Que distância eu 
percorri de ônibus? 
o) Numa prova de 40 questões 
um aluno errou ¼ da prova. 
Quantas questões ele acertou?
p) Numa classe de 45 alunos, 3/5 
são meninas. Quantos meni-
nos há nessa classe? 
q) Um brinquedo custou R$ 152,10. 
Paguei 1/6 do valor desse obje-
to. Quanto estou devendo?
r) Uma caneca tem 3,7 litros de lei-
te que vai ser dividido por co-
pos de 1/4 de litro. O número de 
copos que ficarão cheios será:
André Arruda e Javert Falco
37
M
A
TEM
Á
TIC
A
Frações
Gabarito - 1.4
Agora é sua Vez!
1) a) 5/6 b) 2 c) 2/9 d) 7/5 e) 7/4 f) 7/8
g) 8/15 h) 5/4 i) 7/6 j) 7/10 k) 11/6 l) 17/12
m) ¾ n) 11/35 o) 3/5 p) 11/3 q) 15/2 r) 23/5
s) 13/7 t) 3/5 u) 5/4 v) 21/20 x) 37/42
2) a) 1/2 b) 8/35 c) 10/21 d) 4/15 e) 1/4 f) 4/21
3) a) 15/8 b) 15/14 c) 7/6 d) 8/21 e) 15/2 f) 3/14
4) a) 11/24 b) 157/30 c) 1/8 d) 113/30 e) 11/18 f) 19/10
g) 11/8 h) 5/4 i) 13/30
5) a) 7/9 b) 23/99 c) 124/990 d) 43/900 e) 11/900 
6) a) 47/6
7) a) 0,3 b) 4,5 c) 51,7 d) 213,8 e) 0,57 f) 2,856
g) 0,4761 h) 1,5238
8) a) 4/10 b) 73/10 c) 429/100 d) 674/1000
Vamos Praticar!
a) 800 b) 32 c) 18m d) 360 km e) 54 km f) 200
g) 200 h) 1200 i) 75 j) 600 litros k) 270 km l) 200
m) 210 n) 400 km o) 30 p) 18 q) R$ 126,7 r) 14
Capítulo 1
38
M
A
TE
M
Á
TI
C
A Potenciação1.5
Dado um número real a qualquer e, um número n, inteiro e positivo, define-se potência 
de base a com o expoente n, como sendo o produto de n fatores iguais a base a.
Assim, temos:
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ... ⋅ a
 n fatores
Potenciação é a operação pela qual se eleva um número a qualquer expoente. Repre-
sentamos uma potência da seguinte forma: 
Notação:
an = b
Em que:
a → base n → expoente b → potência
Base
Expoente
23 = 8
Potência
23 = 2 . 2 . 2 = 8
Veja como é!
Regra de sinais
( + )n = +
( - )par = +
( - )ímpar = -
André Arruda e Javert Falco
39
M
A
TEM
Á
TIC
A
»» 24 = 16
»» 23 = 8
»» (-2)4 = 16
»» (-2)3 = -8
Veja como é!
Casos particulares
ao = 1
1n = 1
a1 = a
on =o
»» 30=1 ; (-5)0 = 1 ; (1/5)0 = 1
»» 110 = 1 ; 17 = 1 ; 1-5 = 1
»» 21 = 2 ; 31 = 3 ; 41 = 4
»» 03 = 0 ; 05 = 0 ; 08 = 0
Veja como é!
00 → não se define
Propriedades gerais das potências
Sejam m e n números, números reais, são válidas as seguintes propriedades:
I) am . an = am+n
II) am : an = am-n
III) (am)n = am.n
IV) (a.b)m = am . bm
V) (a/b)m = am / bm
VI) a-n = (1/a)n = 1/an
VII) am/n = n√am
Algumas outras definições que podem ser utilizadas:
a1 = a a0 = 1, a ≠ 0
Capítulo 1
40
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
Potência de ordem superior
anm ≠ (an)m
Em que:
»» anm → potência de ordem superior »» (an)m → potência de uma potência
»» 232 ≠ (23)2 , pois:
»» 232 = 29 = 512
»» (23)2 = 26 = 64
Veja como é!
Potências de 10
10n = 1 00 ... 0
 n zeros
10n = 1 =0,000...1
1 0 ... 0 
n
n casas
»» 103 = 1000
»» 10000 = 104
»» 230000 = 23 . 104
»» 10-3 = 0,001
»» 0,00012 = 12 . 10-5
»» 0,00125 = 1,25 . 10-3
Veja como é!
André Arruda e Javert Falco
41
M
A
TEM
Á
TIC
A
Potências de números decimais
»» (1,2)2 = 1,44
»» (0,13)2 = 0,0169
»» (0,03)2 = 0,0009
»» (0,2)3 = 0,008
Veja como é!
Potências de base 10 (notação científica)
São um tipo de notação científica. São muito úteis em cálculos que envolvem números 
que representam grandezas muito grandes ou grandezas muito pequenas.
Para escrever um número em notação científica devemos obedecer ao seguinte formato: 
A x 10B, onde A deve ser um número que esteja entre 1 e 9 , ou seja, deve ser maior ou igual 
a 1 e menor que 10 e B o número de zeros (ou casas decimais se o expoente for negativo) do 
número.
»» 50000 = 5 x 104
»» 0,0005 = 5 x 10-4
»» 159400 = 1,594 x 105
»» 0,00265 = 2,65 x 10-3
»» 40 = 4 x 10
»» 15000 = 1,5 x 104
»» 0,2 = 2 x 10-1
»» 0,07 = 7 x 10-2
»» 0,003 = 3 x 10-3
Veja como é!
Capítulo 1
42
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
Agora é sua Vez!
1. Calcule:
a) (1,02)2 
b) 990 
c) 4561 
d) 24 
e) 2-3
f) 2-1
g) 3-2
h) (½)2 
i) (½)-2
Potenciação
Gabarito - 1.5
Agora é sua Vez!
1) a) 1,0404 b) 1 c) 456 d) 16 e) 1/8
f) 1/2 g) 1/9 h) 1/4 i) 4
2) a) 1 b) 1/3 c) 65/8 d) 1/25 e) 2-4
f) 32 g) 1/9 h) 125/27
2. Calcular:
a) 23 . 2-3
b) 33 . 3-4
c) 23 + 2-3
d) 53 . 5-3. 5-2. 50
e) (½)
3 ⋅ (½)-2
23
f) - (-2)5
g) 3-2
h) (3/5)-3
André Arruda e Javert Falco
43
M
A
TEM
Á
TIC
A
É uma operação matemática, sendo a raiz apenas uma forma de se representar a potencia-
ção com expoente fracionário. A RADICIAÇÃO é a operação inversa da POTENCIAÇÃO.
n√a
Índice chama-se Radical ao símbolo
Radicando
Obs.: Quando o índice da raiz, n, é omitido; então é assumido como índice daquela raiz 
o valor 2. 
Ou seja n = 2.
»» √16 = 4, pois 42 = 16
»» √25 = 5, pois 52 = 25
»» 3√27 = 3, pois 33 = 27
»» 4√16 = 2, pois 24 = 16
Veja como é!
par√+ = +
par√- = ∉»ℜ
ímpar√+ = +
ímpar√- = -
Veja como é!
Radiciação1.6
Capítulo 1
44
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
Propriedades dos radicais
Propriedade Exemplo
n√A⋅n√B = n√A⋅B 3√2⋅3√4 = 3√8 = 2
n√A =
n A
n√B B
√8 =
 8
√4 4 
= √2
(n√A)m = n√Am (√3)2 = √32 = √9 = 3
n√An = A 3√27 = 3√33 = 3
n⋅k√An⋅m = k√Am 10√215 = 10:5√215:5 = √23
n⋅m√Am = n√A 10√25 = 10:5√25:5 = √2
n√An⋅B = A⋅n√B √52⋅3 = 5√3
n√m√A = m⋅n√A √√3 = 4√3
n√Am = A
 m 
 n √3 = 3
 1 
 2 , 25 = √25
 1 
 2 = 5
Redução de radicais
Dado uma adição ou subtração envolvendo radicais, só é possível reduzir a expressão a 
um único radicando se os mesmos tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando. Às vezes se 
faz necessário a simplificação dos radicais antes de efetuar-se as somas.
»» 2√5 + √5 = 3√5
»» √12 + 4√3 = 6√3
»» √12 + √27 = 5√3
»» √18 + 3√8 - √50 = 4√2
Veja como é!
»» √2 + √3 ≠ √5
»» √2 ⋅ √3 = √6
Veja como é!
André Arruda e Javert Falco
45
M
A
TEM
Á
TIC
A
Racionalização de denominadores
Racionalizar um denominador irracional é fazer com que não tenha radical, nem 
expoente fracionário no denominador.
Denominador é um monômio
x
√y = 
x⋅»√y
y
»» 1
√3
 = 1
√3
 ⋅ √3
√3
 = √3
√3
 = √3
3
»» 4
√2
 = 4
√2
 ⋅ √2
√2
 = 4√2
√22
 = 4√2
2
= 2√2
Veja como é!
Quando o índice do radical é maior que 2, temos:
x
q√yp
 = x
q√yp
 ⋅ 
q√yq - p
q√yq - p
 = x ⋅ 
q√yq - p
y
»» 35√23
 = 3
5√23
 ⋅ 
5√25 - 3
5√25 - 3
 = 3
5√22 
5√25
 = 3
5√4 
2
Veja como é!
Denominador é um binômio
x
(a + √b)
 = x(a + √b) = 
(a - √b)
(a - √b)
(a + b) ⋅ (a – b) = a2 – b2
Capítulo 1
46
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
»» 1
2 + √3
 = 1
2 + √3
 ⋅ (2 - √3)
(2 - √3)
 = 2 - √3
4 - 3
 = 2 - √3
»» 3
4 + √2
 = 3
4 - √2
 ⋅ (4 + √2)
(4 + √2)
 = 3(4 + √2)
16 - 2
 = 3(4 + √2)
14
Veja como é!
Agora é sua vez!
1. Determine as raízes:
a) √256
b) √0,04
c) 3√-8
d) √16
e) 3 √64
2. Efetue:
a) 28 - 3√29 + 5√-32 
b) 3√125 + √15 - 3√1 + 7 + 4√81
3. Racionalize os denominadores:
a) 12
√3
b) 15 √2
√5
4. Resolva as seguintes questões:
a) O número √18 - √8 - √2 é igual a:
b) O valor de 5√45 + 3√5 - 2√125 é:
c) A expressão de √2 + √3 x √18 
é igual a:
5. Efetue as operações com radicais:
a) √24 + √54 - √96 + √6
b) 5√8 + 2√50 - 6√98 + 3√32
c) √300 + √50 - √162 - √243
d) 3√2 + 3√16 + 3√54 + 3√128
André Arruda e Javert Falco
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TIC
A
Radiciação
Gabarito - 1.6
Agora é sua Vez!
1) a) 16 b) 0,2 c) -2 d) 2 e) 2
2) a) 5 b) 3
3) a) 4√3 b) 3√10
4) a) 0 b) 8√5 c) √2 (1+3√3) 
5) a) 2√6 b) -10√2 c) √3-4√2 d) 10 3√2 
Capítulo 1
48
M
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Definição de logaritmo
ax = b ↔ x = logab
sendo b>0 , a>0 e a≠1
a= base do logaritmo
b= logaritmando ou antilogaritmo
x= logaritmo
Consequências da definição
Sendo b>0 , a>0 e a≠1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequên-
cias da definição de logaritmo:
loga 1 = 0
loga a = 1
loga am = m
loga b = loga c ↔ b = c
alogab = b
Propriedades operatórias dos logaritmos
• Logaritmo do produto: (a>0, a≠1, x>0 e y>0)
loga(x⋅y) = logax + logay
• Logaritmo do quociente: (a>0, a≠1, x>0 e y>0)
loga 
x
y = logax - logay
• Logaritmo da potência: (a>0, a≠1, x>0 e m ∉ℜ)
logaxm = m⋅logax
Logaritmos1.7
André Arruda e Javert Falco
49
M
A
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Á
TIC
A
• Caso particular: como n√xm = x
m
n , temos:
loga n√xm = logax
m
n = mn logax
Mudança de base
Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases dife-
rentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é 
necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base 
conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base 
a para uma outra base b, usa-se:
loga x = 
logbx
logba
Agora é sua Vez!
1. Calcule:
a) log2 8
b) log3 1/9
c) log5 5
d) log7 1
e) log4 8
f) log0,2 25
g) log0,25 32
h) log2 1/8
i) log0,01 0,001
j) log2 √2
2. Calcule a soma S nos seguintes casos:
a) S = log100 0,001 + log1,5 4/9 - 
log1,25 0,64
b) S = log8 √2 + log√2 8 - log√2 √8
3. Se log 2 = a e log 3 = b, coloque em 
função de a e b os seguintes loga-
ritmos decimais:
a) log 6
b) log 4
c) log 12
d) log 0,5
4. Calcule o valor de:
a) 8 log2
 5
b) 3 1+log3
 4
5. Determine o número, cujo logarit-
mo na base a é 4 e na base a/3 é 8.
6. O logaritmo de um número na base 
16 é 2/3. Calcule o logaritmo desse 
número na base ¼.
Capítulo 1
50
M
A
TE
M
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A
7. Seja x o número cujo logaritmo na 
base (9)1/3 vale 0,75. Determine o 
valor de x2 - 1
8. Se log10 2 = 0,301, calcule o valor 
da expressão log10 20 + log10 40 + 
log10 800.
9. A soma dos logaritmos de dois nú-
meros na base 9 é ½. Determine o 
produto desses números.
10. abendo que log30 3 = a e log30 5 = b, 
calcule log10 2.
11. Se log12 27 = a, calcule log6 16.
12. Calcule o valor de log0,04 125
13. Determine o valor de:
log3 2 . log4 3 . log5 4 . log6 5 . log7 6 . log8 
7 . log9 8 . log10 9
14. Se ab = 1, calcule logb √a
15. Calcule o valor de log3 5 . log25 27 
André Arruda e Javert Falco
51
M
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TEM
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TIC
A
Logaritmos
Gabarito - 1.7
Agora é sua Vez!
1) a) 3 b) -2 c) 1 d) 0 e) 3/2
f) -2 g) -5/2 h) -3 i) 3/2 j) 1/2
2) a) S =-3/2 b) S = 19/6
3) a) a+b b) 2a c) 2a+b d) -a
4) a) 125 b) 12
5) 6561 6) -4/3
7) 2 8) 5,806
9) 3 10) (1-a-b)/1-a
11) 4(3-a)/a+3 12) -3/2
13) log10 2 14) -1/2
15) 3/2
Capítulo 1
52
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
1. O valor da expressão 
16 x 6 + 28 : 7 - 1 x 3 é:
a) 14.
b) 17.
c) 85.
d) 97.
e) 89.
2. O valor da expressão 
11/10 : (1/5 + 1/4 : 3/2) é:
a) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 2/3.
e) 4.
3. O resultado da sentença encontrada 
abaixo se encontra na alternativa:
Observação 1: O símbolo (/) indica 
uma divisão, enquanto o (x), uma 
multiplicação.
5 + 65/5 - 2 x 13 x 1 + 3 
a) -1
b) -2
c) -5
d) 5
e) 2
4. Assinale a resposta correta para a 
seguinte expressão:
0,99 +
1 + 15 3
3 - 15 15
a) 0,99.
b) 1,99.
c) 2,99.
d) 3,99.
e) 4,99.
Questões de 
Concursos1.8
5. (FCC) O número que corresponde ao 
resultado da expressão numérica 
2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 7 + 1 ⋅ 93 4 6 10 9 4
é igual a:
a) 5/9.
b) 13/36.
c) 3.
d) 1.
e) 7/18.
6. O valor da expressão 
(-1)0 + (-6) : (-2) – 24 é:
a) 20
b) -12
c) 19,5
d) 12
e) 10
7. O valor da expressão 
(-5)2 - 42 + (1/5)0 é:
(3)-2 + 1
a) -4
b) 1/9
c) 1
d) 5/4
e) 9
André Arruda e Javert Falco
53
M
A
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Á
TIC
A
8. Se 53a = 64, o valor de 5-a é:
a) –1/4
b) 1/40
c) 1/20
d) 1/8
e) ¼
9. Uma fábrica funciona em três perío-
dos: 1/4 dos funcionários trabalham 
à noite; 1/3 pela manhã e o restante 
à tarde. São 60 os operários que tra-
balham à tarde. Quantos operários 
trabalham pela manhã?
a) 35 
b) 38
c) 48
d) 44
e) 56
10. Quantos múltiplos de 9 ou 15 há 
entre 100 e 1000?
a) 100
b) 120
c) 140
d) 160
e) 180
11. Qual a fração que dá origem à dí-
zima 2,54646... em representação 
decimal?
a) 2.521 / 990
b) 2.546 / 999
c) 2.546 / 990
d) 2.546 / 900
e) 2.521 / 999
12. (FCC) Somando-se certo número positi-
vo x ao numerador, e subtraindo-se o 
mesmo número x do denominador da 
fração 2/3 obtém-se como resultado, o 
número 5. Sendo assim, x é igual a
a) 52/25
b) 13/6
c) 7/3
d) 5/2
e) 47/23
13. Considere as expressões numéri-
cas, abaixo
A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 e2 4 8 16 32
B = 1 + 1 + 1 + 1 + 13 9 27 81 243
O valor, aproximado, da soma entre 
A e B é
a) 1.
b) 2,5.
c) 1,5.
d) 2.
e) 3.
14. O valor da expressão numérica 
(4 − 3)2 ⋅ (3 − 4)3 após o cálculo 
completo é
a) -6.
b) -1.
c) 305.
d) 1.
e) 6.
15. (FCC) O número que corresponde ao 
resultado da expressão numérica:
(3⋅0,1+ 4⋅0,01+ 5⋅0,001) ÷ (69 ÷ 100) 
é igual a
a) 50.
b) 5.
c) 0,05.
d) 2.
e) 0,5.
16. (FAFIPA) Qual é o valor numérico da 
expressão
16 - (- 24) ÷ (-8) + (-1) x (-1)?
a) 6.
b) 14.
c) 15.
d) 18.
e) 20.
Capítulo 1
54
M
A
TE
M
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TI
C
A
17. (UFPR) O resultado da expressão 
(1/3 – 1/2) + 1/6 é:
a) 1/7.
b) -1/3.
c) -1/6.
d) 0.
e) 1/3.
18. (UFPR) A quantos minutos corres-
pondem 2/5 de hora? 
a) 15. 
b) 20. 
c) 24. 
d) 25. 
e) 30.
19. (UFPR) O valor da expressão
2 + 4 ⋅ 53 3 4
 é: 
a) 5/2
b) 7/3
c) 11/10
d) 22/15
e) 40/36
20. (UFPR) O número 10/9 escrito em 
forma fracionária corresponde a:
a) 0,11111... 
b) 1,11111... 
c) 1,010101... 
d) 1,101010... 
e) 1,001001...
21. (UFPR) Mara percebeu que 1/3 de 
seu salário é gasto com alimentos e 
1/6 é gasto com transporte. Que fra-
ção do salário de Mara é gasto com 
esses dois itens?
a) 1/2
b) 2/9
c) 1/9
d) 2/3
e) 2/6
22. (UFPR) Deseja-se cortar fitas, que 
vêm em dois rolos, em pedaços do 
mesmo tamanho. Um dos rolos tem 
45 m de fita, e o outro 36 m de fita. 
Qual o maior tamanho que pode-
mos cortar cada pedaço de cada 
rolo?
a) 7 m.
b) 8 m.
c) 9 m.
d) 10 m.
e) 11 m.
23. (UFPR) Use a linha numerada a se-
guir para responder à pergunta:
-10 10
A C
-5 5
B D E
0
Qual das letras marcadas represen-
ta o número 
(-1) . (-8) ?
a) A.
b) B.
c) C.
d) D.
e) E.
André Arruda e Javert Falco
55
M
A
TEM
Á
TIC
A
24. (FCC) – Considere a sequência de 
números (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7), 
obtida como mostrado abaixo.
R1 =
1
2
R2 =
1 + 12 4
R3 =
1 + 1 + 12 4 6
R4 =
1 + 1 + 1 + 12 4 6 8
R5 =
1 + 1 + 1 + 1 + 12 4 6 8 10
R6 =
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 12 4 6 8 10 12
R7 =
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 12 4 6 8 10 12 14
O primeiro elemento dessa se-
quência que é maior do que 1 é
a) R2
b) R3
c) R4
d) R5
e) R6
25. (FCC) O resultado de 
3/7 + 7/3 é
a) 10/10. 
b) 10/21. 
c) 58/21. 
d) 42/10. 
e) 42/21
26. (FCC) Em uma empresa, 2/3 dos 
funcionários são homens e 3/5 fa-
lam inglês. Sabendo que 1/12 dos 
funcionários são mulheres que não 
falam inglês, pode-se concluir que 
os homens que falam inglês repre-
sentam, em relação ao total de fun-
cionários, uma fração equivalente a
a) 3/10. 
b) 7/20. 
c) 2/5. 
d) 9/20. 
e) 1/2.
27. (FCC) Um funcionário de uma em-
presa deve executar uma tarefa em 
4 semanas. Esse funcionário execu-
tou 3/8 da tarefa na 1ª semana. Na 
2ª semana, ele executou 1/3 do que 
havia executado na 1ª semana. Na 
3ª e 4ª semanas, o funcionário ter-
mina a execução da tarefa e verifica 
que na 3ª semana executou o do-
bro do que havia executado na 4ª 
semana. Sendo assim, a fração de 
toda a tarefa que esse funcionário 
executou na 4ª semana é igual a
a) 5/16.
b) 1/6.
c) 8/24.
d) 1/4.
e) 2/5.
28. (FCC) Somando-se um mesmo nú-
mero ao numerador e ao denomi-
nador da fração 3/5, obtém-se uma 
nova fração, cujo valor é 50% maior 
do que o valor da fração original. 
Esse número está entre
a) 1 e 4.
b) 5 e 8.
c) 9 e 12.
d) 13 e 16.
e) 17 e 20.
29. Somando-se 15 a um certo número, 
obtemos 12/7 desse número. Esse 
número é:
a) 14
b) 21
c) 20
d) 28
e) 34
Capítulo 1
56
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
(Cespe) – Julgue os seguintes itens, 
relativos a sistemas numéricos e 
sistema legal de medidas.
30. Se A = 1,232323... e B = 0,434343..., 
então A + B = 165/99.
31. A soma 
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 12 4 8 16 32 64
é inferior a 2.
32. (FUNDATEC) – Sendo a, b e c núme-
ros reais, afirma-se que:
I. Se a ≠ 0 e b ≠ 0, e a > b, então 
1
- a
 < 1
- b
 .
II. Se c ≠ 0, a - b = a - bc c c
 .
III. Se a > b > c, então a2 > b2 > c2.
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas I e II. 
d) Apenas I e III. 
e) Apenas II e III.
33. (TJPR) Um recipiente está cheio de 
água, e dele são retirados 3/4 do 
conteúdo. Recolocando-se 15 litros 
de água, o conteúdo passa a ser um 
terço do volume inicial. O volume 
de água que esse recipiente com-
porta é:
a) 0,6m3
b) 1,8 m3
c) 60 m3
d) 180 dm3
34. (TJPR) Um auxiliar administrativo 
decidiu registrar suas atividades 
durante um dia de trabalho no 
Juizado Especial. No final do seu 
expediente de 6 horas constatou 
que havia gasto 18% de seu tempo 
digitando petições, 8/25 na escri-
turação de livros e 2h52min48s no 
atendimento ao público. Nestas 
condições, concluiu que o tempo 
livre que teve durante este dia de 
trabalho corresponde a:
a) 7min12s.
b) 3%.
c) 52min48s.
d) 4%.
e) 1%.
35. (CESGRANRIO) – Um prêmio e di-
nheiro foi dividido entre 3 pessoas: 
a primeira recebeu 1/4 do valor do 
valor do prêmio, a segunda recebeu 
1/3 e a terceira ganhou R$ 1.000,00. 
Então, o valor desse prêmio, em 
reais, era de:
a) 2.400,00
b) 2.200,00
c) 2.100,00
d) 1.800,00
e) 1.400,00
André Arruda e Javert Falco
57
M
A
TEM
Á
TIC
A
(Cespe) João, Pedro e Carlos com-
praram um imóvel em sociedade de 
modo que João tem direito a 7/20 
do valor da propriedade, Pedro tem 
direito a 1/4 e Carlos, a 2/5.
Com base nessa situação, julgue os 
itens a seguir. 
36. Se o imóvel for avaliado em R$ 
60.000,00, então a parte dos direi-
tos de Pedro e Carlos corresponde 
a mais de R$ 40.000,00.
37. Se João vendesse 2/5 de seus direi-
tos de propriedade para Pedro, en-
tão, nesse caso, Pedro se tornaria o 
detentor da maior parte de direitos 
da propriedade.
38. (FCC) Relativamente aos 75 funcio-
nários de uma Unidade do Tribunal 
Regional do Trabalho, que participa-
ram certo dia de um seminário sobre 
Primeiros Socorros, sabe-se que: 
- no período da manhã, 48% do to-
tal de participantes eram do sexo 
feminino; 
- todas as mulheres participaram 
do início ao fim do seminário; 
- no período da tarde foi notada a 
ausência de alguns funcionários do 
sexo masculino e,assim, a quantida-
de destes passou a ser igual a 3/7 do 
total dos participantes na ocasião. 
Nessas condições, o número de ho-
mens que se ausentaram no perío-
do da tarde é:
a) 6.
b) 7.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
39. (UFPR) – Na figura abaixo está re-
presentada uma parte de uma ré-
gua graduada. Considerando que as 
marcações dividem o segmento em 
partes iguais, o número que corres-
ponde a x é
3
8
5
8x
a) 25/32.
b) 15/32.
c) 15/16.
d) 9/16.
e) 3/4.
(Cespe) João, Pedro e Cláudio rece-
beram o prêmio de um jogo de lo-
teria. Do total do prêmio, João terá 
direito a 1/3, Pedro, a 1/4 e Cláudio 
receberá R$ 125.000,00. Consideran-
do essa situação hipotética, julgue os 
itens seguintes.
40. João deverá receber quantia supe-
rior a R$ 98.000,00. 
41. O prêmio total é inferior a 
R$ 295.000,00. 
42. Pedro deverá receber 25% do prêmio.
(Cespe) – Na secretaria de um ór-
gão público, as páginas dos pro-
cessos, para serem digitalizadas, 
são separadas e distribuídas en-
tre 7 servidores — 4 servidores 
recém-contratados e 3 servidores 
antigos. Julgue o item a seguir, a 
respeito dessa situação.
Capítulo 1
58
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43. Considere que, com a aquisição de 
novos equipamentos, o tempo para 
se digitalizar uma página, que era 
de 22 segundos, passou a ser de 
[22 – 22 × P] segundos, em que P 
correspondente à dízima periódica 
0,27272727.... NESA situação, com 
os novos equipamentos, a digitali-
zação de uma página passou a ser 
feita em 16 segundos.
44. (Quadri) A intersecção dos conjun-
tos A = [-2, 5] e B = [3, 6] é o conjunto 
C, tal que: 
a) C é vazio. 
b) Apenas os elementos 3, 4 e 5 
pertencem a C. 
c) C ∩ A tem infinitos elementos. 
d) C ∩ A é finito. 
e) A-C é vazio. 
45. (Prefeitura de Cascavel/PR) – Dados 
os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 
4, 5, 6}, assinale a alternativa FALSA.
a) A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A∩B = {3, 4}
c) A∪B = {x ∈ N / 1 ≤ x < 7}
d) A∩B = {x ∈ R / 3 ≤ x ≤ 4}
e) A – B = {1, 2}
46. (FUNDATEC) – O resultado da ex-
pressão numérica
2x (
1
3 + 
7
2 ) 
5
 é:
a) 21/15
b) 22/5
c) 22/15
d) 23/15
e) 12
47. (FUNDATEC) – O intervalo que re-
presenta o subconjunto dos núme-
ros reais definido por
{x ∈ ℜ , tal que 7 < x ≤ 1} é:
a) [7,11) 
b) [6,11] 
c) (7,11) 
d) [7,11] 
e) (7,11]
48. (FUNDATEC) – Uma confeiteira divi-
diu 1/4 de uma torta em 5 pedaços 
iguais e comeu 2 desses pedaços. 
Que fração da torta ela comeu? 
a) 1/10. 
b) 1/5. 
c) 2/8. 
d) 3/8. 
e) 3/4.
49. (FUNDATEC) – A produção de esto-
fados de uma empresa foi distri-
buída na seguinte ordem: a loja A 
recebeu 20% da produção, a loja B 
recebeu 3/4 do que ainda não havia 
sido distribuído e, por fim, foram 
entregues as 21 unidades restantes 
para a loja C. A partir desa infor-
mações, quantos estofados a loja 
B recebeu? 
a) 47. 
b) 54. 
c) 60. 
d) 63. 
e) 71.
(Cespe) Julgue os itens seguintes, 
relativos a números reais.
50. De todos os números que podem ser 
escritos na forma 5 × 3n, em que n 
é um numero natural, é correto afir-
mar que mais de 12 deles são maio-
res que 1 e menores que 10.936.
André Arruda e Javert Falco
59
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51. A soma dos números naturais múl-
tiplos de 13, maiores que 10 e me-
nores que 651, é inferior a 16.200.
52. Se a = 1,6666... e b = 0,34343434..., 
então 
a + b < 201/99.
53. Para cada número natural n tal que 
1 ≤ n ≤ 12, tem-se que √37 √37 < 6 
+ 1/n.
54. Se m = 0,66666..., então 3m < √3.
55. (Cesp) Sabendo-se que em uma 
empresa que possui 80 emprega-
dos, 40 são mulheres e, dos ho-
mens, 30 atuam na área adminis-
trativa, julgue o próximo item.
Item - Se 1
3
 dos empregados da 
área administrativa forem mulhe-
res, então menos de 30 mulheres 
não atuam na área administrativa.
(Cespe) – Um cliente contratou os 
serviços de cartão pré-pago de 
uma financeira e, em seguida, via-
jou. Esse cliente gastou metade do 
limite do cartão com hospedagem, 
1/3 com combustível e 1/9 com ali-
mentação. Nesse caso,
56. O cliente gastou todo o limite do 
cartão contratado com hospeda-
gem, combustível e alimentação.
57. Se o gasto do cliente com hospeda-
gem utilizando o cartão pré-pago 
atingiu o montante de R$ 1.500,00, 
então, nesse cartão, o seu gasto 
com combustível foi de R$ 1.000,00.
58. (FCC) – Dos funcionários do depar-
tamento administrativo de uma 
repartição pública, 5/8 trabalham 
diretamente com computadores. 
Se o total de funcionários desse 
departamento que não trabalham 
diretamente com computadores 
é igual a 120 pessoas, então esse 
departamento tem um total de fun-
cionários igual a
a) 285. 
b) 200. 
c) 195. 
d) 320. 
e) 192.
59. (FCC) – O cadastro dos pacientes 
que se consultaram em uma clíni-
ca odontológica, em janeiro, indica 
que apenas 2/5 eram homens. Des-
ses pacientes homens, 2/7 fizeram 
tratamento que se estendeu até 
depois de janeiro, e os demais, que 
totalizaram 140 homens, concluíram 
seu tratamento no próprio mês de 
janeiro. De acordo com ESAs infor-
mações, o total de homens e mulhe-
res que se consultaram nESA clínica 
em janeiro foi igual a 
a) 420. 
b) 520. 
c) 490. 
d) 380. 
e) 350.
Capítulo 1
60
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60. (FCC) Sabendo que x dividido por 
y é igual a 12, então o dobro de x 
dividido pelo triplo de y é igual a
a) 8. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 24.
61. (FCC) Do total de documentos proto-
colados certo dia em uma Unidade 
do Tribunal Regional do Trabalho, 
sabe-se que: a quarta parte foi 
protocolada por Arlete, os 2/3 por 
Cristiano e os restantes por Cláudio. 
NESAs condições, a que fração do 
total de documentos corresponde 
os protocolados por Cláudio?
a) 1/12
b) 1/6
c) 1/4
d) 5/12
e) 1/2
62. (ESA) Sejam a e b números inteiros 
positivos não nulos e a divisível 
por b. Então o MMC(a, b) é: 
a) 1
b) a
c) b
d) ab
e) nra
63. (EEAR) Sabendo-se que o MDC en-
tre 30 e 36 é a e que o MMC é b, en-
tão o produto ab é igual a: 
a) 1080
b) 10800
c) 108000
d) 1080000
e) 1008000
64. (EsPCEx) Determinar o menor nú-
mero que dividido por 12, 15, 18 e 
24 dá resto 7.
65. (Colégio Naval) Qual deve ser o valor 
de a no número N = 3.52.2a+1 para 
que o m.d.c. entre 96, N e 240 seja 24?
66. Calcule o maior número pelo qual 
se deve dividir 115 e 97 para obter 
os restos 7 e 1 respectivamente.
67. (Colégio Naval) Os números 756 e 
2x.3y tem 9 como m.d.c. Quais os 
valores de x e y?
68. Grupos de 12, de 15 ou de 24, uma 
criança observa que sobravam 
sempre 7 figurinhas. Sendo o total 
de suas figurinhas compreendi-
dos entre 120 e 240, a criança tem 
quantas figurinhas:
a) 149
b) 202
c) 127
d) 216
e) 120
69. (ESA) Se o MDC entre os números a 
e b é x, então seu MMC é:
a) abx
b) ab – x
c) x + ab
d) (ab)/x
e) (ax)/b 
André Arruda e Javert Falco
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70. (ESA) Seja n um número natural, 
sabendo-se que o MDC (n,15) = 3 e o 
MMC (n,15) = 90, determine o valor 
de 2n.
a) 18
b) 5
c) 6
d) 36
e) n.r.a
71. (ESA) Sabendo-se que A = 2x. 32. 5 e 
B = 22x. 3 . 52 e que o MMC de A e B 
tem 45 divisores, o valor de x será:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 8
72. (ESA) O MDC de dois números A e 
B é 25. 32. 54. 7. Sendo A = 2x. 34. 
5z. 7 e B = 26. 3y. 55. 7, então x.y.z 
é igual a:
a) 20
b) 80
c) 60
d) 40
e) 11
73. (ESA) Se decompusermos em fato-
res primos o produto dos números 
naturais de 1 a 200 e escrevermos 
os fatores comuns em uma única 
base, o expoente do fator 5 será:
a) 46
b) 49
c) 48
d) 45
e) 47
74. (ESA) A potência ( 20,12121212...) 990 
tem quantos divisores naturais ?
a) 12
b) 13
c) 120
d) 121
e) 991
75. (ESA) Quantos múltiplos de 9 ou 15 
há entre 100 e 1000?
a) 100
b) 120
c) 140160
d) 180
76. Calcule a soma dos divisores de 
1960:
a) 5310
b) 1530
c) 5130
d) 5031
e) 5013
77. Determine o m.m.c. entre os núme-
ros 3, 6, 8 e 12:
a) 12
b) 15
c) 18
d) 24
e) 36
78. (Objetivo-SP)- O m.m.c. entre os nú-
meros 2m, 3n e 5 é 360. Então, os va-
lores de m e n são, respectivamente:
a) 3 e 2
b) 2 e 3
c) 1 e 4
d) 4 e 1
e) n.d.a
79. Dona Armênia recebe periodica-
mente a visita de seus filhos: Krip-
tônio quea visita a cada 12 dias; 
Neônio, a cada 15 dias; e Estrôn-
cio a cada 30 dias. No dia da Pás-
coa, todos foram visitá-la. Daqui a 
quantos dias coincidirá a visita dos 
três filhos?
a) 40
b) 50
c) 60
d) 80
e) 120
Capítulo 1
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80. (FUVEST-SP) No alto de uma torre 
de uma emissora de televisão duas 
luzes piscam com freqüências dife-
rentes. A primeira pisca 15 vezes por 
minuto e a segunda pisca 10 vezes 
por minuto. Se uma certo instante 
as luzes piscam simultaneamente, 
após quantos segundos elas volta-
rão a piscar simultaneamente?
a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
81. (Cesgranrio-RJ) Ordenando os núme-
ros racionais p = 13
24
, q = 2
3
 e r = 5
8
, 
obtemos:
a) p<r<q
b) q<p<r
c) r<p<q
d) q<r<p
e) r<q<p
82. Se A = 1 + 13 2
 e B = 1 - 12 3
, 
o valor de A+B é igual a:
a) 7
6
b) 5
6
c) 1
6
d) 11
6
e) 1
83. (PUC-SP) A parte sombreada repre-
senta que fração do círculo?
1
2
1
4
1
6
a) 1
3
b) 1
10
c) 1
12
d) 1
24
e) 1
36
84. Determine o valor numérico da 
expressão 4 + 1 - 55 2 8
:
a) 1240
b) 17
40
c) 23
40
d) 27
40
e) 40
27
85. (PUC) O valor da expressão 
2 + 1 ⋅ 18 8 2
 é:
a) 3
6
b) 5
16
c) 1
8
d) 3
4
e) n.d.a
86. (OBJETIVO-SP)-O valor de 
1 + 1 : 52 3 3
 é:
a) 
1
3
b) 
1
2
c) 1
4
d) 
3
5
e) 
5
3
André Arruda e Javert Falco
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87. (PUC-RJ) A expressão 
 1 ⋅ 9 : 2 - 12 7 4 6
 + 3 representa 
 um número compreendido entre:
a) 2 e 3
b) 3 e 4
c) 4 e 5
d) 5 e 6
e) n.d.a
88. (FUVEST -SP) O valor da expressão 
abaixo para a = 1/2 e b = 1/3 é igual a
a + b
1 - a ⋅ b
89. (FUVEST-SP) Se A = x - y ; x = 2x ⋅ y 5
 
e y = 12
, então o valor de A é?
90. (UNIFOR) Efetuando-se 10 ⋅ 3 + 88 5 30
, 
obtém-se:
a) 13
12
b) 12
13
c) 5
11
d) 11
28
e) 15
29
91. Efetuando-se 4 3 + 2 1 : 1 110 5 4
 
obtém-se:
a) 65
8
b) 5 1
5
c) 8 1
8
d) 3 1
5
e) 40 1
2
92. (PUC) O valor de 
A = 1 1 + 0,333... ⋅ 8 : 1 16 9 3
 é:
93. (FMU) O valor de 
3 - 2 : 5 + 1 14 3 3 2
 é:
a) 17
120
b) 
5
102
c) 10
12
d) 17
15
e) n.d.a
94. (UNICAMP-SP-Adaptado) Um funcio-
nário teve seu salário reajustado em 
e passou a ganhar R$860,00. Qual o 
seu salário antes do aumento?
a) R$500,00
b) R$525,00
c) R$530,00
d) R$527,50
e) R$537,50
95. (PUC) Uma firma gasta mensal-
mente R$6.000,00 com material de 
escritório, 2/3 dessa quantia com 
serviços de terceiros e ¼ dela com 
transporte. O gasto mensal conjun-
to nesses três itens é:
a) R$10.000,00
b) R$11.500,00
c) R$12.000,00
d) R$15.000,00
e) R$16.000,00
96. (UFAL) Dados os números a = 1/3; 
b=1/2 c=3/2 então:
a) b<a
b) a.b>c
c) a+b>c
d) a.b = c
e) a.c = b
Capítulo 1
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97. (F. Oswaldo Cruz - SP) Numa 
cidade de 200.000 habitantes, 
2
5 da população trabalham na 
agricultura. Isso significa que 
o número de pessoas que não 
trabalha na agricultura é:
a) 4.000
b) 80.000
c) 120.000
d) 160.000
e) 180.000
98. O valor da expressão numérica 
(4 − 3)2 ⋅ (3 − 4)3 após o cálculo com-
pleto é
a) -6.
b) -1.
c) 305.
d) 1.
e) 6.
99. (FUNCA) – O conjunto solução da 
expressão numérica
E = 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 - 2 ⋅ 5
(4 ⋅ 2)2
 , é:
a) 0,5
b) 0,6
c) 0,7
d) 0,8
e) 1,2
100. (FCC) – O valor da expressão
A2 - B3
AB + BA
para A = 2 e B = -1, é um número 
compreendido entre
a) -2 e 1.
b) 1 e 4.
c) 4 e 7.
d) 7 e 9.
e) 9 e 10.
101. (FCC) – Simplificando a expressão
(2,3)2 : (21/5 – 3/4)
obtém-se um número compreendi-
do entre
a) 1 e 5
b) 5 e 10
c) 10 e 15
d) 15 e 20
e) 20 e 25
102. Qual o valor da expressão abaixo?
{26 x [√1024 : (53 + 37 x 3 - 283)2]3}0
a) 101
b) 86
c) 7
d) 3
e) 1
103. (ESPP) – O valor numérico de 
+3.( –9) – (–1)4 + (–2)3 – 1 é:
a) -37
b) 0
c) 1
d) 6
104. (ESPP) Fazer a barba no passado era 
um ritual que consumia algo como 
meia hora no barbeiro, tempo neces-
sário para ela ficar de molho em água 
quente, receber fartas pinceladas de 
espuma e ser retirada com navalhas 
finíssimas. Hoje, as pessoas levam 
cinco minutos para barbear-se em 
casa. Resolva a expressão numérica 
abaixo, cujo valor corresponde ao 
ano em que surgiu a primeira lâmina 
de barbear descartável:
112 - √100 + 54 x (9:3)0 + (15 - 40:8)3 + 11 x 15
a) 1.821
b) 1.901
c) 1.705
d) 1.796
e) 1.836
André Arruda e Javert Falco
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105. (ESPP) – Efetue o resultado
{ (4)3 + (3)4 – (9)2 }
a) 6.
b) 64.
c) 36.
d) 32.
e) 2.
106. A potência (20,12121212...)990 tem quan-
tos divisores naturais ?
a) 12
b) 13
c) 120
d) 121
e) 991
107. Simplificando a expressão 
[29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se:
a) 236 
b) 2-30
c) 2-6
d) 1 
e) 0
108. (FCC) Escrever um número na nota-
ção científica significa expressá-lo 
como o produto de dois números 
reais x e y, tais que: 1 ≤ x < 10 e y é 
uma potência de 10.
Assim, por exemplo, as respectivas 
expressões dos números 0,0021 
e 376,4, na notação científica, são 
2,1×10−3 e 3,764 ×102.
Com base nessas informações, a 
expressão do número 
N = 1,2x0,0540,64×0,000027
na notação científica é
a) 3,75 x 102. 
b) 7,5 x 102. 
c) 3,75 x 103. 
d) 7,5 x 103.
e) 3,75 x 104.
109. (UFPR) O valor da expressão 4 ⋅ 
(0,5)3 + √0,25 - 2-2 é:
a) 0,25.
b) 0,50.
c) 0,75.
d) 1,25.
e) 1,50.
110. (FCC) Se x = 0,919919919... e y = 
0,031031031..., determinando √x-y, 
e obtém-se:
a) (2√2 ) / 3
b) (2√2 ) / 9
c) 1
d) 8/9
e) (3√2 ) / 2
111. (UFPR) – O valor da expressão
√0,16
(0,5)3
a) 0,00032.
b) 0,0032.
c) 0,032.
d) 0,32.
e) 3,2. 
112. (FCC) A soma S é dada por:
S = √2 + √8 +2√2 + 2√8 + 3√2 + 3√8 + 
4√2 + 4√8 + 5√2 + 5√8
Dessa forma, S é igual a
a) √90.
b) √405.
c) √900.
d) √4050.
e) √9000.
113. A expressão - 2-2 + (-1)
6
- 3°4
 é 
igual a:
a) 2
b) –1
c) –2
d) 3
e) ¼
Capítulo 1
66
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114. (FUVEST-SP) A metade de 2100 é:
a) 250
b) 1100
c) 299
d) 251
e) 150
115. (PUC-SP) Qual o valor de 25 ⋅ 12,8
100
a) 16
b) 32
c) 1,6
d) 3,2
e) n.d.a
116. Simplificando-se a expressão 
x7 y4
x³ y² , obtém-se:
a) x4y2
b) xy2
c) x10y6
d) xy
e) n.d.a
117. O valor de 0,025 dividido por 2.10-4 
é:
a) 12,5
b) 1,25
c) 125
d) 0,125
e) n.d.a
118. (PUC-SP-adaptado) O valor da 
expressão - 10 + 5 - (- 4)
3² : 3 + (-2)
- 3 é:
a) –1
b) –2
c) 2
d) 1
e) n.d.a
119. (UEMT) Simplificando a expressão 
[29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se:
a) 236
b) 2-30
c) 2-6
d) 1
e) 1
3
120. (OBJETIVO-SP) O valor de 315:0,0045 é:
a) 70
b) 700
c) 7000
d) 70000
e) 700000
121. (FUVEST-SP) O valor da expressão 
1 - 1 - 16 3
1 + 1 + 36 2 2
2
 
é:
a) 1/2
b) 3/4
c) 3/5
d) –3/5
e) n.d.a
122. (UEL-PR) O valor da expressão 
1 ⋅ - 2 - - 5 : 34 3 6 2
2 - 1 é:
a) 1/3
b) 4/9
c) 2/3
d) 3/2
e) 9/4
123. (UFBA) Simplificando a expressão 
6 ⋅ 10-3 ⋅ 10-4 ⋅ 108
6 ⋅ 10-1 ⋅ 10⁴
, obtêm-se:
a) 10
b) 102
c) 10-2
d) 10-3
e) 10-4
124. (P.FUNDO-RS) O valor da expressão
- 1 : - 1 ⋅ - 1 + 2-72 2 2
4 3 6
 é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1/2
e) 2
André Arruda e Javert Falco
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125. (CEFET - PR) Assinale a afirmativa 
correta:
a) 432 = (4³)²
b) 432 ≠ (4³)²
c) (43)2 = 4⁹
d) (43)2 = (4²)³
e) 432 = 4²³
126. (VUNESP-SP) Se 10-3 = x, então a 
expressão é igual a :
(0,1) ⋅ (0,001) ⋅ 10-1
10 ⋅ (0,0001)
a) 10.x
b) 1
c) x
d) x/10
e) x/100
127. (UEL-PR) Se x = 1 1 - - 1 + 33 3 2
3 3 - 2, 
então 27x é:
a) 57
b) 67
c) 77
d) 87
e) n.d.a
128. (CEFET-PR) Simplificando a expressão 
(2-2 + 4-3)
(4-2 + 8-2)
 tem-se:
a) 1
54
b) 1
16
c) 3
8
d) 13
11
e) 17
5
129. (Cefet-BA) Se 53a = 64, o valor de 5-a é:
a) –1/4
b) 1/40
c) 1/20
d) 1/8
e) 1/4
130. (STO ANDRÉ-SP-Adaptado) Simplifi-
cando a expressão obtém-se:
2x+4 - 2 ⋅ 2x
2 ⋅ 2x+3
a) 7
8
b) 5
8
c) 8
7
d) 2
x
3
e) 1
8
131. (UEL - PR) A expressão abaixo para 
x ≠ -y ≠ 0, é equivalente a 
1 + 1x y
- 1
: 
a) x + y
b) x-1 + y-1
c) (x⋅y)/(x + y)
d) (x - y)/(x⋅y)
e) (-1/x)+(-1/y)
132. (CEFET-BA) O valor da expressão 66 
+ 66 + 66 + 66 +66 + 66 é:
a) 66
b) 67
c) 76
d) 636
e) 366
133. (UEL – PR) Selecione a alternativa 
correta.
a) √3⁷ = 3
b) 5 ≠ 5
3 3
c) √2 + √5 = √7
d) 3√4 x ³√3 = ⁶√4x3
e) 1 = √2√2 2
Capítulo 1
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134. (ACAFE-SC) Calculando o valornumérico da expressão 
a + (2a - √3a2 - b) sendo a = 8 e b = 12, 
encontramos:
a) 1
b) 4
c) 6
d) 8
e) 16
135. (PUC-DF) O valor numérico da ex-
pressão 2√xy - √x2 - 21 y para x = 12 
e y = 3 é igual a:
a) 0
b) 3
c) 9
d) –3
e) –9
136. (FMU) O valor da expressão 
2-2 + 50 - 4√16 é:
a) –5
b) 5
c) 0
d) –3/4
e) –1/2
137. (UF-RN) O valor da expressão 
13 + 7 + 2 + √4 é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
138. (FUVEST-SP) Simplificando o radical 
228 + 230
103
, obtém-se:
a) 2⁸
5
b) 2⁹
5
c) 2⁸
d) 2⁹
e) 2⁵⁸
10
1
3
139. (UEL-PR) O valor da expressão 
92,5 - 10240,1 é:
a) –83
b) –81
c) 241
d) 243
e) 254
140. Com os conhecimentos sobre potên-
cias e radicais, é correto afirmar que:
a) 3√-8 = -2
b) √-4 ∉ℜ 
c) 3√2 = 3√105√5 25
d) √49 : 7 + (24 - 23) ⋅ 1⁵ = 9
e) 3⁴ - √4 ⋅ [5² + (√100 + 2³)] = 5
141. (UNIP-SP) O valor da expressão nu-
mérica ³√-1 + ³√8 + √4
√9 + 16
 é:
a) 0,6
b) 3/7
c) 0,75
d) 1/2
e) 1
142. (UFRS) A expressão
(3 6√2⁹)5 ⋅ (6 3√29)5 é igual a:
143. (PUC) A expressão com radicais 
√8 - √18 + 2√2 é igual a:
a) √2
a) √12
b) -3√2
c) -√8
André Arruda e Javert Falco
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144. (UFMG) O quociente (7 ⋅ √3 - 5 ⋅ √48 
+ 2 ⋅ √192) : 3 ⋅ √3 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2√3
e) 3√3
145. O valor da expressão √108 - √27 + 
√75 - 2√48, é igual a:
a) 2√3
b) 3√3
c) 5√3
d) 6√3
e) 0
146. (USF) Sobre as sentenças:
I. 2√2 = √4
II. 5 ⋅ √12 ⋅ √20 = 12√3
III. 2⁶√27 ÷ ⁴√9 = 2
é correto afirmar que apenas
a) I é verdadeira
b) II é verdadeira
c) III é verdadeira
d) I e II são verdadeiras
e) II e III são verdadeiras
147. (Bandeirantes-PR) A expressão 
23√a2
√a
 pode ser representada por:
a) 6a3/2
b) 6a2/3 
c) a1/3
d) 2a6
e) 2a1/6 
148. Determine a soma das preposições 
verdadeiras:
a) 2 3 4 = 4√24
b) O valor da expressão 
(-1)³ + 1 ⋅(-2)-12
 é igual a zero.
c) Sendo A = (81)-(2-2), então 9A é 
igual a 3.
d) A expressão 12[(√2)-2 - (√3)-2] é 
igual a 01.
e) Resolvendo (-8)-2/3, obtém-se 
1/4.
149. (UTFPR-Adaptado) O valor da ex-
pressão abaixo é:
[(81)2]1/4 ⋅ √5323 ⋅ 1252/3
3√272 ⋅» 2
3
-3 ⋅» 9
4
-2
a) 50/3
b) 150
c) 300
d) 300/7
e) 125/3
150. Racionalizando o denominador da 
expressão 2√5
√2
, obtemos:
a) 2√10
b) √102
c) 5√10
d) 10√2
e) √10
151. Sendo A = 6√2 e B = √12, então o 
valor de A-B é:
a) 0
b) √2
c) 2√2
d) 4√2
e) 6√2
152. Racionalizando 27√2
, obtém-se:
a) 32
b) 7√64
c) 
7√2
2
d) 7√64
e) n.d.a
153. A expressão 
9
2 , pode ser repre-
sentada por:
a) 
√2
3
b) 
√3
2
c) 3√2
2
d) 
√2
2
e) n.d.a
Capítulo 1
70
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154. O valor do produto (2 - √5) ⋅ (2 + √5) 
é igual a:
a) 1
b) –1
c) 4 + √5
d) 4 - √5
e) 4 + 2√5
155. Se A = √7 - √3 e B = √7 + √3, então o 
produto 2AB vale:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 2(√7 - √3)
e) 2(√7 + √3)
156. Simplificando a expressão 
3√10 - √10√10 - 3
, obtém-se:
a) –10
b) 10
c) √10
d) -√10
e) 10√10
157. (Mack-SP) Racionalizando o denomi-
nador da fração 1
√5 - 2
, obtemos:
a) 2 + √5
b) 2 - √5
c) 3 + √5
d) √5 - 2
e) n.d.a
158. Racionalizando o denominador da 
expressão 2
√7 + √5
, obtém-se:
a) √7 + √5 
b) 2(√7 + √5)
c) √7 - √5 
d) √7 + 5 e) √7 - 5
159. Racionalizando 1 - √2
1 + √2
, temos:
a) 2√2 + 3 
b) 2√2 - 3
c) 1 + √2 
d) 1 - √2
e) n.d.a
160. (FUVEST-SP) Qual o valor da expres-
são 2 - √2
√2 - 1
a) √2
b) 
1
√2
c) 2
d) 
1
2
e) √2 + 1
161. Simplifique a expressão 
1 + 13 + √7 3 - √7 :
a) √7 + 3
b) 3 - √7
c) 2
d) 3
e) √7 - 3
162. (FUVEST-SP) Qual é o valor da ex-
pressão
√3 + 1 + √3 - 1√3 - 1 √3 + 1
a) √3 
b) 4
c) 3
d) 2
e) √2
André Arruda e Javert Falco
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Logaritmos
163. (ESA) Sabe-se que 1, a e b são raízes 
do polinômio p(x) = x3 -11x2 + 26x – 16, 
e que 
a > b. Nessas condições, o valor de 
ab + logb a é: 
a) 49/3
b) 64
c) 67
d) 193/3
e) 19
164. (ESA) – Aumentando-se um núme-
ro x em 75 unidades, seu logaritmo 
na base 4 aumenta em 2 unidades. 
Pode-se afirmar que x é um número:
a) irracional
b) maior que 4
c) divisor de 8
d) menor que 1
e) múltiplo de 3
165. (MACK) O logaritmo de 144 na base 
2√3 é igual a :
a) –2 
b) –1
c) 2 
d) 3
e) 4
166. (UFPA) O valor do log1/3 (log5 125) é:
a) 1
b) -1
c) 0
d) 2
e) 0,5
167. (MACK) Se 2m = 3, então log2 54 é 
igual a:
a) 2m + 3
b) 3m + 1 
c) 6m
d) m + 6
e) m + 3
168. (VUNESP) Se log3 a = x, então log9 
a2 é igual a:
a) 2x2
b) x2
c) x+2
d) 2x
e) x
169. (ANGLO) O número E = log2 33 – log2 3 
está compreendido entre :
a) –1 e 0
b) 0 e 2
c) 2 e 3
d) 3 e 4
e) 5 e 7
170. (UDESC) Se loga b = 3 e 
logab c = 4, então loga c é:
a) 12
b) 16
c) 24
d) 8
e) 6
171. (EsPCEx) Considerando logm 10 = 
1,4 e logm 50 = 2,4, pode-se afirmar, 
com base nesses dados, que o va-
lor do logaritmo decimal de 5 é :
a) 3/7
b) ½
c) 5/7
d) 7/3
e) 7/5
Capítulo 1
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172. (PMPR) Considere as afirmativas.
I. A função logarítmica na base 2, f(x) = log2 x, para x > 0, é sempre positiva.
II. A função logarítmica natural, f(x) = ln x, para x > 0, é sempre crescente.
III. A função cosseno, f(x) = cos x, para x > 0, é sempre positiva.
IV. A função tangente, f(x) = tg x, para 0 < x < π/2, é sempre crescente.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são corretas.
b) Somente as afirmativas II e IV são corretas.
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.
d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
e) Somente as afirmativas I, III e IV são corretas.
André Arruda e Javert Falco
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Questões de Concursos
Gabarito - 1.8
1) D 2) A 3) C 4) B 5) D
6) B 7) E 8) E 9) C 10) C
11) A 12) B 13) C 14) B 15) E
16) B 17) D 18) C 19) B 20) B
21) A 22) C 23) D 24) C 25) C
26) B 27) B 28) D 29) B 30) C
31) C 32) B 33) D 34) A 35) A
36) E 37) E 38) E 39) D 40) C
41) E 42) C 43) C 44) C 45) D
46) D 47) E 48) A 49) D 50) E
51) E 52) C 53) C 54) E 55) C
56) E 57) C 58) D 59) C 60) A
61) A 62) B 63) A 64) 367 65) 2
66) 12 67) x=0 e y=2 68) C 69) D 70) D
71) B 72) D 73) B 74) D 75) C
76) C 77) D 78) A 79) C 80) A
81) A 82) E 83) C 84) D 85) B
86) B 87) C 88)1 89)1/2 90) A
91) B 92) 1 93) B 94) E 95) B
96) E 97) C 98) B 99) A 100) B
101) A 102) E 103) A 104) B 105) B
106) D 107) D 108) C 109) C 110) A
111) E 112) D 113) C 114) C 115) D
116) A 117) C 118) A 119) D 120) D
121) C 122) C 123) C 124 ) C 125) B
126) A 127) C 128) E 129) E 130) A
131) C 132) B 133) A 134) B 135) B
136) D 137) A 138) D 139) C 140) (V,V,V,V,F) = 15
141) A 142) 32 143) A 144) A 145) E
146) C 147) E 148) (V,V,V,F,V) = 23 149) C 150) E
151) A 152) B 153) C 154) B 155) C
156) A 157) A 158) C 159) B 160) A
161) D 162) B 163) C 164) B 165) E
166) B 167) B 168) E 169) D 170) B
171) C 172) B
Capítulo 1
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