PROVA ANPEC 2014 Matemática

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EXAME NACIONAL DE SELEÇÃO 2014 
 
 
 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2o Dia: 26/09/2013 - QUINTA FEIRA 
HORÁRIO: 8h 00m às 10h 15m (horário de Brasília) 
 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 5 
 
QUESTÃO 01 
Analisar a veracidade das seguintes afirmações: 
Ⓞ Se 
BAf :
 e 
CBg :
 são funções injetoras, então 
fg 
 é injetora. 
① Se 
xxff ))((
 para todo 
x
 no domínio de 
f
, então 
f
 deve ser a função identidade. 
② A função 
 2)2/(,1min)(  xxxf
 é uma função bijetora de 
R
 em 
R
. 
③ A soma de funções injetoras é uma função injetora. 
④ A função 
 dycxbyaxyxf  ,),(
 é bijetora se e só se 
bcad 
. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 6 
 
QUESTÃO 02 
Considere a transformação linear 
32: RRT 
, definida por 
),,22(),( xyxyxyxT 
. 
Julgue as seguintes afirmativas: 
Ⓞ A matriz que representa 
T
 em quaisquer bases tem 3 colunas. 
① A transformação linear não é sobrejetora. 
② Existe um vetor não nulo que é levado ao vetor zero. 
③ O sistema 
vTx 
 sempre tem solução para 
v
 na imagem da 
T
. 
④ A imagem de 
T
 é um plano que passa pela origem e tem vetor normal 
)2,4,0(
. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 7 
 
QUESTÃO 03 
Analisar a veracidade das seguintes afirmações: 
Ⓞ Se 
12
2
lim
2
2
1 


 xx
xx
m
x
 e 
5
209
lim
2
5 


 x
xx
n
x
, então 
52 nm
. 
① Se 
0x
 é ponto de inflexão do gráfico de 
)(xfy 
, então 
0)( 0  xf
. 
② Se 
Rbaf ],[:
 é uma função côncava e 
0)( 0  xf
, em que 
[,]0 bax 
, então 
0x
 é 
máximo absoluto. 
③ A função 
284)( 234  xxxxf
 tem dois pontos de inflexão. 
④ A inclinação da reta tangente ao gráfico de 
01)ln( 1  xyeyx
 no ponto 
1x
, 
1y
 é 
-2. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 8 
 
QUESTÃO 04 
Avalie a veracidade das seguintes afirmações: 
Ⓞ A taxa de juros simples equivalente a uma taxa de juros composta de 10% aplicada 
durante 3 períodos é 12%. 
① A taxa de juros composta equivalente a uma taxa de juros simples de 22% aplicada 
durante 2 períodos é 20%. 
② A taxa de juros real é definida como a taxa de juros em termos de um numerário 
(cesta de referência). Assim, se o preço do numerário é 
tp
 em 
t
, então uma unidade 
monetária equivale a 
tp/1
 unidades do numerário, e se a taxa de juros nominal para o 
período 
]1,[ tt
 é 
1tr
, então o rendimento real nesse período será 
11 /)1(  tt pr
 
unidades do numerário. Portanto, a taxa de juros real é definida como a taxa de 
retorno de aplicar 
tp/1
 unidades do numerário e que resulta em 
11 /)1(  tt pr
 unidades 
do numerário no fim do período. 
 Afirmamos que a taxa de juros real no período 
]1,[ tt
 é 
1
1
1
1
1 




t
tr

, em que 
1t
 é a 
inflação no período 
]1,[ tt
. 
③ Se a inflação é igual à metade da taxa de juros nominal, então a taxa de juros real é a 
metade da taxa de juros nominal. 
④ Se a taxa de juros real é 10% e a inflação é 5%, então a taxa de juros nominal é 
15,5%. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 9 
 
QUESTÃO 05 
Considere uma função 
RRf :
 tal que existe a derivada. Suponha que
)()(' xfxf 
 
sempre. Julgue as seguintes afirmativas: 
Ⓞ 
)()( xfexg x
 é estritamente crescente. 
① Se 
0)( 0 xf
, então 
.0)(,0  xfxx
 
② Se 
,
2
12)(
2x
xexf x 
 então 
f
 não tem nenhuma raiz real. 
③ Se 
f
 for a função do item 2, temos que 
).(')(, xfxfx 
 
④ A equação 
2
12
2x
xe x 
 tem exatamente uma raiz real. 
 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 10 
 
QUESTÃO 06 
Considere a matriz cujas colunas são: 
).0,5,0,0();5,0,5,1();0,5,0,5();0,1,5,0(
 
Julgue as seguintes afirmativas: 
Ⓞ A matriz tem pelo menos um autovalor que não é real. 
① A soma dos autovalores é zero. 
② A matriz tem inversa. 
③ A matriz tem 4 autovalores positivos. 
④ A matriz tem um autovalor zero. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 11 
 
QUESTÃO 07 
Responda se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: 
Ⓞ A função 
||)( xxxf 
 não é diferenciável em 
0x
. 
① Se 






2;1
2;
)(
2 xxx
xBAx
xg
 é diferenciável em todo 
R
, então 
12  BA
. 
② Se 
Rh [,0[:
 é 
2C
 em 
[,0] 
; para todo 
0x
, 
0)(  xh
, 
0)(  xh
; e 


)(lim
0
xh
x
, então a função 
)4()( xhxx 
 definida em 
[4,0[
 tem função inversa 
que é estritamente crescente. 
③ A área abaixo do gráfico da função 
2
)( xxexu 
,à direita do eixo Y e acima do eixo X, 
é 1. 
④ O coeficiente de 
2x
 no desenvolvimento de Taylor de terceiro grau de 
xxv )(
 no 
ponto 
10 x
 é 
16/1
. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 12 
 
QUESTÃO 08 
Considere a função 
3/12/16),( yxyxfz 
. Analisar as seguintes afirmações: 
Ⓞ A equação do plano tangente ao gráfico de 
),( yxfz 
 no ponto 
4x
, 
1y
 é 
04283  zyx
. 
① A reta perpendicular ao gráfico de 
),( yxfz 
 no ponto 
4x
, 
1y
 passa pelo ponto 
),,13( ba
. Então 
3 ab
. 
② A equação da reta tangente à curva de nível de 
),( yxfz 
, que passa por 
9x
 e 
8y
, é 
060  byax
. Então 
6ab
. 
③ A partir do ponto 
)1,1(),( 00 yx
, se seguirmos a direção do vetor 
)1,1(
, a função 
f
 irá 
decrescer para variações infinitesimais de 
x
 e 
y
. 
④ O plano paralelo a 
015246  zyx
, que tangencia o gráfico de 
),( yxfz 
, o faz no 
ponto 
),( yx
. Então 
6 yx
. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 13 
 
QUESTÃO 09 
Analisar a veracidade das seguintes afirmações: 
Ⓞ O valor de 
 11111S
 é 
2/1
. 
① A série 


 0
2 23
1
n nn
 é divergente. 
② Defina a sequência 
0}{ nna
 da seguinte forma: 
00 a
, 
11 a
 e 
na
 é o ponto médio dos 
dois antecessores, para 
2n
. Então 
3/2lim 

n
n
a
. 
③ Seja 
nn ab 
3
2
, 
0n
, em que 
0}{ nna
 é a sequência definida na parte 2 desta 
questão. Então 
3/1
0


n n
b
. 
④ A série 
n
n
n 


 1
1
2 32
 converge. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 14 
 
QUESTÃO 10 
Considere a seguinte equação diferencial: 
5 yyay
, 
7)0( y
, 
3)0( y
, em que 
Ra
. Avalie as seguintes afirmações: 
Ⓞ Se 
2a
, então a solução converge monotonicamente decrescente a 
5y
. 
① Se 
22  a
, então a solução converge oscilando a 
5y
. 
② Se 
2a
, então a solução converge a 
5y
. 
③ Se 
2a
, então a solução diverge de 
5y
. 
④ Se 
2a
, então a solução particular é uma função linear de 
x
 com inclinação 
negativa. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 15 
 
QUESTÃO 11 
Julgue as afirmativas: 
Ⓞ Seja 
RRf 2:
, definida por 
.32),( 22 yxyxyxf 
 
f
 é homogênea de grau 4. 
① Seja 
RRf 2:
, definida por 
.),( xyexyxf 
 O gradiente de f em (0,1) é 
).0,2()1,0( f
 
② Sejam 
senytxyxz  ,cos);1ln( 22
t. Então 
0
dt
dz
, para todo 
.Rt
 
③ Seja 
RRf 2:
, definida por 
.1462),( 22  yxyxyxf
 Então (1,3) é ponto de 
mínimo absoluto em 2R . 
④ Sejam 
RRf 2:
 e 
RRg 2:
 definidas por 
yxyxf 64),( 
 e 
.),( 22 yxyxg
Existem 2 pontos de máximo relativo de 
f
 sujeita à restrição 
.13),( yxg
 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 16 
 
QUESTÃO 12 
A função 
2),( kxyyxf 
, 
0k
, está definida no conjunto 
 xyxxRyxC  )2/(,10/),( 2
. Avalie as seguintes asserções: 
Ⓞ Se 
1),( 
C
dxdyyxf
, então o valor de 
k
 é 1. 
① Se 
1k
, então 
048,0),( 
C
dxdyyxxf
. 
② Considere 
1k
. Para cada 
]1,0[y
 definimos o conjunto 
 CyxxCy  ),/(]1,0[
 e a 
função 

yC
Y dxyxfyf ),()(
. Então 
33,2
)4/1(
)4/3(

Y
Y
f
f
. 
③ A área da região 
C
 é 

C
dxdy
. 
④ Existe 
Cyx ),( 00
 tal que 
),(),( 00 yxfdxdyyxf
C

. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 17 
 
QUESTÃO 13 
Encontre 
00 yx 
, em que 
),( 00 yx
 é a solução do seguinte problema de otimização: 
)2(max
,
yx
yx

 
Sujeito à 
.182 22  yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 14 
Calcule a parte inteira de 
dxxx
e
1
3 )ln(
. Considere 
6,544 e
. 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 18 
 
QUESTÃO 15 
Sabendo que a seguinte expressão corresponde à diferencial total de uma função 
),( yxfz 
, determine o valor da constante 
a
. 
.)
1
ln2()3( 3 dy
y
xydx
x
y
e
a
x 
 
 
 
 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 19 
 
Exame Nacional ANPEC 2014: 2º Dia 20