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Nome: Turma: A1 (9h) P1 de Equações Diferenciais e Métodos Matemáticos (23/3/2012) Questão 1 2 3 Total Pontuação Máximo 100 40 40 180 1) Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. a) 1X n=0 (�1)n n 2 + 2 5n2 � 2 b) 1X n=1 2n n! c) 1X n=2 (n� 1)! (n!) � lnn d) 1X n=0 (�1)n cos (2n) 2n 2) Encontre a série de Taylor da função f (x) = x3 + 3x2 + 5x+ 7 em torno de x = 1. Qual é o seu raio de convergência? 3) Considere a função J0 (x) de nida pela série J0 (x) = 1X k=0 (�1)k 22k (k!) 2x 2k = 1� 1 4 x2 + 1 64 x4 � 1 2304 x6 + 1 147 456 x8 � 1 14 745 600 x10 + ::: a) Encontre o raio de convergência desta série. b) Encontre as séries de J 00, J 00 0 e mostre que xJ 000 + J 0 0 = �xJ0 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 -1.0 -0.5 0.5 1.0 x y Grá co de J0 (x) puramente ilustrativo! 1
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