VE1 2009.2

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Nome: Turma: Prof. Ralph
VE1 de Equações Diferenciais e Métodos Matemáticos (18/9/2009)
Questão 1 2 3 4 Total
Pontuação
Máximo 28 24 26 26 104
1) Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique brevemente as suas respostas.
a)
∞∑
n=1
n! (n+ 1)!
(2n)!
b)
∞∑
n=2
(−1)n
lnn
c)
∞∑
n=1
cos
(
2
n
)
d)
∞∑
n=1
(
1− cos
(
2
n
))
2) Considere a função f (x) = (1 + x)p onde p é um número não inteiro. Sua série de Taylor (chamada de série Binomial) é
f (x) =
∞∑
n=0
p (p− 1) (p− 2) ... (p− n+ 1)
n!
xn
(para n = 0, o numerador não tem termo algum, e é, por convenção, 1), e esta série é igual a f (x) para |x| < 1.
Encontre uma série de potências (em volta de x = 0) para a função
g (x) = arcsinx
e determine o raio de convergência desta série. [Dica: lembre que g′ (x) = 1√
1−x2 ].
3) Considere a EDO
xy′′ + 2y′ + y = 0
[4 pts] a) O ponto x = 0 é ponto ordinário ou singular desta E.D.O.?
[18 pts] b) Encontre alguma solução (não-nula) desta E.D.O. usando uma série de potências em volta de x = 0.
[+4 pts] c) Re-escreva a solução que você encontrou no item anterior usando a seguinte função de Bessel
J1 (x) =
∞∑
m=0
(−1)m
m! (m+ 1)!
(x
2
)2m+1
4) Use a Transformada de Laplace para encontrar a solução y (t) (para t ≥ 0) do seguinte Problema de Valor Inicial
y′′ + 4y = g (t)
y (0) = 0
y′ (0) = 0
onde g (t) tem o gráfico abaixo
1