P3BSol 2012.1

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Gabarito da P3 de Equa�c~oes Diferenciais e M�etodos Matem�aticos (11/5/2012)
Quest~ao 1 2 3 Total
Pontua�c~ao
M�aximo 40 110 40 180 (+10)
1) Num sistema linear invariante por transla�c~oes, quando a entrada �e fin (t) = (cos t) :U (t) observa-se a sa��da fout (t) =
(sin t+ cos t) :U (t). Se a entrada fosse gin (t) = t:U (t), qual seria a sa��da gout (t)?
Todo sistema L.I.T. �e uma convolu�c~ao no tempo, isto �e, uma multiplica�c~ao na fase:
fout = fin � h, ou seja, Fout (s) = Fin (s) �H (s)
Ent~ao a Fun�c~ao de Transfere^ncia deste sistema �e
H (s) =
Fout (s)
Fin (s)
=
1
s2+1 +
s
s2+1
s
s2+1
=
1
s
+ 1
Portanto:
Gout (s) = Gin (s) �H (s) = 1
s2
�
1
s
+ 1
�
=
1
s3
+
1
s2
) gout (t) =
�
t2
2
+ t
�
� U (t)
Curiosidade: o sistema �e convolu�c~ao com h (t) = U (t) + � (t), isto �e, integra�c~ao mais identidade:
fout (t) = fin � (U + �) =
Z t
0
fin (u)U (t� u) du+ fin (t) =
Z t
0
fin (u) du+ fin (t)
3) Seja A uma matriz 3�3 constante com um �unico autovalor � (triplo) correspondente a apenas dois autovetores linearmente
independentes w1 e w2. Suponha que voce^ encontrou um vetor u tal que (A� �I)u = w2 (onde u; w1 e w2 s~ao linearmente
independentes). Mostre que
X1 (t) = e
�tw1
X2 (t) = e
�tw2
X3 (t) = te
�tw2 + e
�tu
s~ao 3 solu�c~oes linearmente independentes do sistema homoge^neo _X = AX.
Come�camos veri�cando que X1 e X2 s~ao solu�c~oes. Para i = 1; 2:
_Xi = �e
�twi
AXi = A
�
e�twi
�
= e�t (Awi) = e
�t (�wi)
�
) _Xi = AXi
Agora, para X3, como Au = �u+ w2, vem:
_X3 =
�
e�t + �te�t
�
w2 + �e
�tu
AX3 = A
�
te�tw2 + e
�tu
�
= te�t (Aw2) + e
�t (Au) = te�t�w2 + e
�t (�u+ w2)
�
) _X3 = AX3
Como X1; X2; X3 s~ao solu�c~oes de uma E.D.O. linear, para veri�car se X1,X2; X3 s~ao L.I., basta veri�car se eles s~ao L.I. em
um ponto, digamos t = 0. Ali temos
X1 (0) = w1; X2 (0) = w2 e X3 (0) = u
que o enunciado diz serem L.I. Acabou.
Curiosidade: �e f�acil MOSTRAR que nas condi�c~oes do enunciado, se w1 e w2 s~ao L.I., ent~ao u n~ao pode ser combina�c~ao de
w1 e w2. De fato, se fosse, ter��amos
u = �w1 + �w2
Ent~ao
w2 = (A� �I)u = � (A� �I)w1 + � (A� �I)w2 = 0 + 0 = 0
que �e absurdo, j�a que w2 �e um autovetor. 1
2) Considere a E.D.O. de segunda ordem em x (t)
x00 � 3x0 + 2x = 3t:Dirac (t� 1)
[20] a) Reduza-a �a forma normal e escreva o sistema obtido na forma X 0 = AX + F , destacando a matriz A e o vetor F (t).
[50] b) Encontre todas as solu�c~oes do sistema homoge^neo associado (a saber, X 0 = AX) e esboce suas solu�c~oes no plano de fase.
[40] c) Encontre a solu�c~ao geral do sistema X 0 = AX + F do item (a), destacando ao �nal a express~ao obtida para x (t).
a) Fazendo _x = y, e depois montando o vetor X = (x; y), vem:�
_x = y
_y = 3y � 2x+ 3t � � (t� 1) ) _X =
�
0 1
�2 3
�
| {z }
A
X +
�
0
3t� (t� 1)
�
| {z }
F (t)
b) Autovalores de A (via �2 � (TrA)�+DetA = 0):
�2 � 3�+ 2 = 0) � = 1 ou � = 2
Autovetores de A (via (A� �I) ~w = ~0):
�1 = 1)
� �1 1
�2 2
�
~w1 = ~0) ~w1 =
�
1
1
�
�2 = 2)
� �2 1
�2 1
�
~w2 = ~0) ~w2 =
�
1
2
�
Solu�c~ao geral:
X (t) = C1e
t
�
1
1
�
+ C2e
2t
�
1
2
�
Plano de Fase: equil��brio tipo n�o inst�avel
c) Como j�a temos a solu�c~ao geral da homoge^nea, procuremos uma solu�c~ao particular. Por exemplo, podemos aplicar a Trans-
formada de Laplace �a EDO original, tomando arbitrariamente xp (0) = x
0
p (0) = 0 (lembre que f (t) � (t� a) = f (a) � (t� a)):
s2X � 3sX + 2X = 3e�s ) X = 3
s2 � 3s+ 2e
�s =
�
3
s� 2 �
3
s� 1
�
e�s )
) xp (t) =
�
3e2(t�1) � 3e(t�1)
�
� U (t� 1))
) yp (t) = _xp (t) =
�
6e2(t�1) � 3e(t�1)
�
� U (t� 1) + 3
�
e2(t�1) � e(t�1)
�
| {z }
0 em t=1
� � (t� 1) =
�
6e2(t�1) � 3e(t�1)
�
� U (t� 1)
Assim, a solu�c~ao geral de _X = AX + F �e
X (t) = C1e
t
�
1
1
�
+ C2e
2t
�
1
2
�
+ 3
�
e2(t�1) � e(t�1)
2e2(t�1) � e(t�1)
�
U (t� 1)
ou seja, a solu�c~ao geral da EDO original �e
x (t) = C1e
t + C2e
2t + 3
�
e2(t�1) � e(t�1)
�
� U (t� 1)
2