VE1A1 2011.1

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Nome: Turma: A1 (9h-11h)
VE1 de Equações Diferenciais e Métodos Matemáticos (15/4/2011)
Questão 1 2 3 4 5 Total
Pontuação
Máximo 32 16 22 (+4) 10 20 100
1) Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justi…que brevemente as suas respostas.
a)
1X
n=1
(�1)n 1
n2 + 1
b)
1X
n=1
(n+ 2)!
(2n)!
c)
1X
n=1
�
1
2
� cos2
�
1
n
��
d)
1X
n=1
1
n
ln
�
1 +
1
n
�
2) Encontre a série de Taylor da função f (x) = x ln (1 + x) em volta de x = 0.
3) Considere a EDO
4x2y00 � 2xy0 + (2 + x) y = 0
[4 pts] a) O ponto x = 0 é ponto ordinário, singular regular ou singular irregular desta E.D.O.?
[18 pts] b) Encontre uma solução (não-nula) desta E.D.O. pelo método de Frobenius, usando a menor raiz da equação indicial.
[+4 pts] c) Escreva a resposta de (b) usando apenas funções elementares (sem somatórios; você pode supor x � 0).
4) Calcule a Transformada de Laplace da função h (t) cujo grá…co é
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
4
t
h(t)
5) Seja y (t) a solução (admissivel) de
ty00 + y0 + ty = 0
y (0) = 1
y0 (0) = 0
Determine Y (s) = Lfyg. [Dica: use que lims!1 sY (s) = y (0).]
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