VE1B1Sol 2012.1

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Gabarito da P1 de EDMM (23/3/2012 –Turma B1)
1) Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
a)
1X
n=1
sin
�
1
n
�
+ 1
cos
�
1
n
� b) 1X
n=2
(n� 2)!
n!
c)
1X
n=0
en
(2n)!
d)
1X
n=1
lnnp
n
a) Como
lim
n!1
sin
�
1
n
�
+ 1
cos
�
1
n
� = sin 0 + 1
cos 0
= 1 6= 0
pelo Teste da Divergência, a série DIVERGE.
b) Sejam an =
(n�2)!
n! =
1
n(n�1) e bn =
1
n2 . Note que ambas são positivas, e
lim
n!1
����anbn
���� = limn!1 n2n (n� 1) = 1 > 0
Como
P
bn converge (série p com p = 2), então, pelo Teste da Comparação no Limite,
P
an também CONVERGE.
c) Como
lim
n!1
����an+1an
���� = limn!1 en+1(2n+ 2)! � (2n)!en = limn!1 e(2n+ 2) (2n+ 1) = 0 < 1
então, pelo Teste da Razão, a série CONVERGE.
d) Temos lnn > 1 para n > e, portanto
0 � 1p
n
� lnnp
n
desde que n � 3
Como
P
1p
n
diverge (série p com p = 12), então, pelo Teste da Comparação, a série dada DIVERGE.
2) Encontre a série de Taylor da função f (x) = x3 � 2x2 + 3x� 4 em torno de x = 1. Qual é o seu raio de convergência?
Usando a de…nição de série de Taylor, vem
f (x) = x3 � 2x2 + 3x� 4) f (1) = �2) c0 = �2
f 0 (x) = 3x2 � 4x+ 3) f (1) = 2) c1 = 2
f 00 (x) = 6x� 4) f 00 (1) = 2) c2 = 2
2!
= 1
f 000 (x) = 6) f 000 (1) = 6) c3 = 6
3!
= 1
f (n) (x) = 0) f (n) (1) = 0) cn = 0 para n = 4; 5; 6; :::
Assim, a série pedida é
T (x) = �2 + 2 (x� 1) + (x� 1)2 + (x� 1)3 + 0 (x� 1)4 + 0 (x� 1)5 + ::: =
= �2 + 2 (x� 1) + (x� 1)2 + (x� 1)3
Como a série é nula a partir de n = 4, ela converge qualquer que seja x 2 R. Portanto, o raio é R =1.
1
3) Considere a função J0 (x) de…nida pela série
J0 (x) =
1X
k=0
(�1)k
22k (k!)
2x
2k = 1� 1
4
x2 +
1
64
x4 � 1
2304
x6 +
1
147 456
x8 � 1
14 745 600
x10 + :::
a) Encontre o raio de convergência desta série.
b) Encontre as séries de J 00 e de J
00
0 e mostre que
xJ 000 + J
0
0 = �xJ0
a) Façamos ak =
(�1)kx2k
22k(k!)2
: Então
lim
k!1
����ak+1ak
���� = limk!1
����� (�1)k+1 x2k+222k+2 ((k + 1)!)2 � 2
2k (k!)
2
(�1)k x2k
����� = limk!1 x24 (k + 1)2 = 0
Assim, a série converge qualquer que seja x 2 R, e o raio de convergência é in…nito.
b) Temos
J 00 (x) =
1X
k=1
(�1)k
22k (k!)
2 (2k)x
2k�1 =
1X
k=1
(�1)k
22k�1k! (k � 1)!x
2k�1
J 000 (x) =
1X
k=1
(�1)k
22k�1k! (k � 1)! (2k � 1)x
2k�2 ) xJ 000 (x) =
1X
k=1
(�1)k
22k�1k! (k � 1)! (2k � 1)x
2k�1
Somando as duas expressões
xJ 000 (x) + J
0
0 (x) =
1X
k=1
(�1)k
22k�1k! (k � 1)! (1 + 2k � 1)x
2k�1 =
1X
k=1
(�1)k
22k�2 ((k � 1)!)2x
2k�1
En…m, fazendo k = m+ 1
xJ 000 (x) + J
0
0 (x) =
1X
m=0
(�1)m+1
22m (m!)
2x
2m+1 = �x
1X
m=0
(�1)m
22m (m!)
2x
2m = �xJ0 (x)
-30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
Grá…co de J0 (x) –puramente ilustrativo!
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