Modelagem Matemática

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MODELAGEM DE SISTEMAS DE CONTROLE MECÂNICA 
Resumo – Nesse capítulo iremos falar sobre modelagem matemáticas de sistemas mecânicos e elétricos. A lei 
fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda Lei de Newton. As leis básicas que governam os 
circuitos elétricos são as leis de Kirchhoff. 
Modelos com molas e com amortecedores são modelos relativamente simples. Deriva-se os modelos em função 
de trasnferencia e espaço de estados de vários sistemas mecânicos. 
 
Obtemos as constantes de mola para os sistemas mostrados nas figuras abaixo. 
 
Para molas em paralelo a constante de mola equivalente kcq é obtida a partir de 
 
ou 
 
Para molas em série , a força em cada mola é a mesma. Nesse caso, 
 
 
 
 
Eliminando o y nas duas equações temos, 
 
 ou 
 
Encontramos para esse caso a constante de mola equivalente Keq 
 
 
 
Identificamos o coeficiente de atrito viscoso beq para cada um dos sistemas de amortecedores mostrados anteri-
ormente. Amortecedores de êmbulo são é conhecido como amortecdor pistão. Os amortcedores pistão são equi-
pamentos que possuem atrito viscoso ou amortecimento. 
 
A força f devido aos amortecedores em (a) é 
 
 
 
Em termos de coeficiente de atrito viscoso beq, a força f é dada por 
 
 
 então 
 
A força f devido aos amortecedores em (b) é 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento de um ponto entre amortecedores b1 e b2 é z. Vemos que a força é transmitida através do eixo 
 
 ou 
Em relação a coeficiente de atrito viscoso equivalente beq, a força f é dada por 
 
 
 
 
Substituindo as equações temos 
 
 
 
Portanto, 
 
 
Então 
 
Exemplo 3.3 
 
Vamos considerar o sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro sem massa, como na figura abaixo. 
Identificamos o modelo matemático desse sistema considerando que o carro esteja parado para t<0 e que o sis-
tema massa-mola-amortecedor para t<0. A entrada do sistema e deslocamento do carro para esse caso é u(t). No 
momento t=0, o carro se move em velocidade constante, ou u=constante . O deslocamento y(t) da massa é a 
 
saída (O deslocamento é relativo ao chão.) Para esse sistema m é a massa e b é o coeficiente de atrito viscoso, k 
é a constante da mola. Supondo que a força de atrito do amortecedor a pistão seja proporcional a y-u e que a 
mola seja linear , então a força da mola é proporcional a y-u. 
 
Para sistemas translacionais a segunda lei de Newton diz 
 
 
 
 
 
Onde m é a massa, a é a aceleração dessa massa e a ΣF é o somatório das forças em sobre a massa na mesma 
direção da aceleração a. Utilizando a segunda lei de Newton, o carro é isento a massa 
 
 ou 
 
A próxima equação representa o modelo matemático do sistema em questão. Tomando-se a transformada de 
Laplace da ultima equação e presumindo zero como condição inicia temos: 
 
 
 
Relacionando Y(s) e U(s) , temos a função de transferência do sistema 
 
 
Essa representação de modelo matemático por transferência é muito utilizada em Engenharia de Controle. 
Agora obtemos o modelo em espaço desse sistema. Comparando a equação diferencial temos 
 
 
 
Com a forma padrão 
 
 
 
 
E identificamos a1, a2, b0, b1 e b2 como segue 
 
 
 
Em relação a equação 2.35, temos 
 
 
 
Em seguida em relação a equação 2.34, definimos 
 
 
 
A partir da equação 2.36, temos 
 
 
 
E a equação de saída torna-se 
 
 ou e 
 
Exemplo 3.4 
 
Obtenha as funções de transferência X1(s)/U(s) e X2(s)/U(s) do sistema mecânico mostrado na Figura 3.4 
 
Equações de movimento para o sistema 
 
 
 
Simplificando 
 
 
 
 
Com a transformada de Laplace dessas duas equações , com condições iniciais nulas 
 
 
 
Resolvendo a equação 3.6 para X,(s), substituindo-a na Equação 3.5 e simplificando 
 
 
 
A partir do qual obtemos 
 
 
A partir das equações 3.6 e 3.7, temos 
 
 
 
As equações 3.7 e 3.8 são as funções de transferência X1(s)/U(s) e X2(s)/U(s) , respectivamente 
 
 
Exemplo 3.5 
 
Um pêndulo invertido montado em um carro motorizado. Vide a figura abaixo, figura 3.5. Este é um modelo de 
controle de posição de um foguete na fase de lançamento. O objetivo é manter o foguete em posição vertical. O 
pêndulo invertido é instável, podendo cair a qualquer momento . 
 
 
 
 
Considerando o centro de gravidade da haste do pendulo , obtenha o modelo matemático 
 
 
 
Reduzindo a equação 
 
 
 
Movimento horizontal do centro de gravidade da haste do pêndulo 
 
 
Movimento vertical do centro de gravidade da haste do pêndulo 
 
 
 
Movimento horizontal do carro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Referências Bibliográficas 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. PEARSON, 2005.