RBertoni Propriedades Magnéticas da Matéria em Física do Estado Sólido 08 2017 Final

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Comportamento Magnético da Matéria 
em Física do Estado Sólido
Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Faculdade de Física
Renato Bertoni Lardosa Santos
Professor: Dr. Jordan del Nero (PPGF/FACFIS-UFPA)
Belém, agosto de 2017
1
Avaliação de Introdução à Física do Estado Sólido
Índice
Introdução
Paramagnetos e Diamagnetos
Susceptibilidade Magnética
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
Singletos e Tripletos: Sistema de dois Elétrons e Formalismo
Interações de Troca: Direta, Dupla, Indireta e Itinerante
Ordenamento e Tipos de Estruturas Magnéticas
Comportamento dos Materiais
Comportamento dos Materiais
2
Referências
Introdução
Classificação dos sólidos
Estrutura Cristalina
Comportamento Elétrico 
Grupos de Ponto e Espaciais
Comportamento Magnético 
Iônicos, Superiônicos, Metálicos, Semicondutores, 
Supercondutores e Isolantes
Diamagnético, Paramagnético, Ferromagnético, 
Antiferromagnético e Ferrimagnético
http://energyeducation.ca/encyclopedia/Conduction_band
http://www.geologyin.com/2014/11/crystal-
structure-and-crystal-system.html
http://pubs.rsc.org/en/Content/ArticleHtml/2001/JM/b003195j3
4
Parte I – Diamagnetismo e 
Paramagnetismo
Paramagnetos e Diamagnetos
5
Os comportamentos de paramagnetismo e diamagnetismo estão 
relacionadas à suscetibilidade magnética do material 
O quanto o material é atraído ou repelido por um campo 
magnético externo 𝐻. 
Representado pela letra grega 𝜒 (chi, “qui”)
Medida a partir da densidade de magnetização, 𝑀, em resposta à 
influência do campo externo 𝐻 [1]
𝑀(റ𝑟) =
𝑑𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑚 : dipolo magnético infinitesimal
𝑚 = න𝑀 റ𝑟 𝑑𝑉
Momento de dipolo 
total do volume V
Paramagnetos e Diamagnetos
6
A relação entre 𝑀 𝑒 𝐻 é dada por
𝑀(റ𝑟) = 𝜒𝐻
Onde 𝐻 é definido pela equação de Ampère
ර𝐻 റ𝑟 . 𝑑റ𝑙 = റ𝐼
E 𝐵 é a indução magnética detectada, que é relacionada a 𝐻 e a 𝜒 em 
𝐵 റ𝑟 = 𝜇0 𝐻 റ𝑟 + 𝑀 റ𝑟 = 𝜇0 𝐻 റ𝑟 + 𝜒𝐻 റ𝑟 = 𝜇0(1 + 𝜒)𝐻 റ𝑟
Materiais isotrópicos: 𝜒 é escalar
Materiais anisotrópicos: 𝜒 é tensor
∴ 𝐵 റ𝑟 = 𝜇 𝐻 റ𝑟
Paramagnetos e Diamagnetos
7
Considerações de Mecânica Estatística. 
Um número grande de dipolos infinitesimais (N), em um volume (V) e 
a uma temperatura de equilíbrio (T), pode ser descrito por um 
Ensemble Canônico [2] [3]
Variáveis 
Fixas
Descrição
Microscópica
Descrição
Macroscópica
N, V, T
𝑍 = ෍
𝑖
𝑒
−
𝐸𝑖
𝑘𝑏𝑇
𝑖: microestados
Função de Partição
𝐹 = −𝑘𝑏𝑇 ln𝑍
Energia Livre de Helmholtz
Descrição estatística do 
sistema em equilíbrio 
termodinâmico
𝐹 = 𝐸 − 𝑇𝑆
Paramagnetos e Diamagnetos
8
Deste modo, pode-se descrever como 𝜒 depende da temperatura, o 
que advém de 𝑀 depender da temperatura [4] 
𝑀 = −
1
𝑉
𝜕𝐸0 𝐻
𝜕𝐻
; 𝐸0 𝐻 : Energia no estado fundamental
Em equilíbrio térmico na temperatura T, a densidade de magnetização 
é a média em equilíbrio térmico para cada estado excitado
𝑀(𝐻, 𝑇) =
σ𝑛𝑀𝑛 𝐻 𝑒
−
𝐸𝑛
𝑘𝐵𝑇
σ𝑛 𝑒
−
𝐸𝑛
𝑘𝐵𝑇
Em função termodinâmica da energia livre de Helmholtz
𝑀𝑛 = −
1
𝑉
𝜕𝐸𝑛 𝐻
𝜕𝐻
;
𝑀 = −
1
𝑉
𝜕𝐹
𝜕𝐻
; 𝐹 = 𝐸𝑛 𝐻 − 𝑇𝑆;
Paramagnetos e Diamagnetos
9
Podemos então definir 𝜒 termodinamicamente 
𝑀(റ𝑟) = 𝜒𝐻 𝜒 =
𝜕𝑀(റ𝑟)
𝜕𝐻
𝑀 = −
1
𝑉
𝜕𝐹
𝜕𝐻
𝜕𝑀
𝜕𝐻
= −
𝜕
𝜕𝐻
1
𝑉
𝜕𝐹
𝜕𝐻
∴
𝜒 = −
1
𝑉
𝜕2𝐹
𝜕𝐻2∴
𝜕𝑀
𝜕𝐻
= −
1
𝑉
𝜕2𝐹
𝜕𝐻2
𝜒 em função de 𝐹 = 𝐸 − 𝑇𝑆, a 𝑇 = 𝑐𝑡𝑒
Paramagnetos e Diamagnetos
10
Procuremos saber agora como 𝐻 = (0 0 𝐻𝑧) altera a energia de um 
dipolo, o que pode ser conhecido por meio do Hamiltonano ℋ. 
𝑇0 =෍
𝑖
𝑝𝑖
2
2𝑚
; റ𝑝𝑖 +
𝑒
𝑐
റ𝐴 റ𝑟𝑖 ; റ𝐴 = −
1
2
റ𝑟 × 𝐻
O potencial vetor റ𝐴 é uma ferramenta matemática que permitirá que 
insiramos a descrição de 𝐻. É escolhido de maneira conveniente, pois
𝐵 = 𝛻 × റ𝐴 ; 𝛻. 𝐵 = 0 ; 𝛻. 𝐵 = 𝛻. 𝛻 × റ𝐴 = 0
Calibre de Coulomb : 𝛻. റ𝐴 = 0
Paramagnetos e Diamagnetos
11
ℋ =
റ𝑝2
2𝑚
→ ℋ =
1
2𝑚
റ𝑝 + 𝑒 റ𝐴
2
=
1
2𝑚
റ𝑝 − 𝑒
റ𝑟 × 𝐻
2
2
ℋ =
1
2𝑚
റ𝑝2 − 2 റ𝑝𝑒
റ𝑟 × 𝐻
2
+ 𝑒
റ𝑟 × 𝐻
2
2
ℋ =
1
2𝑚
റ𝑝2 − റ𝑝𝑒 റ𝑟 × 𝐻 +
𝑒2
4
റ𝑟 × 𝐻
2
ℋ =
റ𝑝2
2𝑚
+
𝑒𝐻
2𝑚
റ𝑟 × റ𝑝 +
𝑒2
8𝑚
റ𝑟 × 𝐻
2
; റ𝑎 𝑏 × റ𝑐 = −റ𝑐 𝑏 × റ𝑎
ℋ =
റ𝑝2
2𝑚
+
𝑒ℏ
2𝑚
𝐻. 𝐿 +
𝑒2
8𝑚
റ𝑟 × 𝐻
2
; 𝜇𝐵 =
𝑒ℏ
2𝑚
, ℏ𝐿 = റ𝑟 × റ𝑝
ℋ =
റ𝑝2
2𝑚
+ 𝜇𝐵𝐻. 𝐿 +
𝑒2
8𝑚
റ𝑟 × 𝐻
2
Paramagnetos e Diamagnetos
12
ℋ =
റ𝑝2
2𝑚
+ 𝜇𝐵𝐻. 𝐿 +
𝑒2
8𝑚
റ𝑟 × 𝐻
2
𝑇0
Relativos à perturbação 
de 𝐻 = (0 0 𝐻𝑧)
É necessário adicionar termo da interação de 𝐻 com o spin do 
elétron റ𝑆
Tem-se então [4] [6] [7] [8]
ℋ = 𝑔0𝜇𝐵𝐻. റ𝑆
ℋ =
റ𝑝2
2𝑚
+ 𝜇𝐵𝐻. 𝐿 +
𝑒2
8𝑚
റ𝑟 × 𝐻
2
+ 𝑔0𝜇𝐵𝐻. റ𝑆
ℋ =
റ𝑝2
2𝑚
+ 𝜇𝐵 𝐿 + 𝑔0 റ𝑆 . 𝐻 +
𝑒2
8𝑚
റ𝑟 × 𝐻
2
Paramagnetos e Diamagnetos
13
𝐸 = 𝜓 ℋ 𝜓 =
1
2𝑚
𝜓 റ𝑝2 𝜓 + 𝜇𝐵𝐻𝑧 𝜓 𝐿 + 𝑔0 റ𝑆 𝜓 +
𝑒2
8𝑚
𝐻𝑧
2 𝜓 (𝑥2 + 𝑦2) 𝜓
𝜓 ℋ0 𝜓 𝜓 ℋ𝑜𝑟𝑏 𝜓 𝜓 ℋ𝑑𝑖𝑎 𝜓
Tem-se então [4] [6] [7] [8]
ℋ0: está relacionado à energia do sistema não perturbado
ℋ𝑜𝑟𝑏: interação de 𝐻 com o റ𝐽𝑒. 𝐻 induz alinhamento, 
energia é reduzida. Relacionado ao Paramagnetismo
ℋ𝑑𝑖𝑎: Induz aumento de energia, efeito oposto ao 
paramagnetismo. Relacionado ao Diamagnetismo
Paramagnetos e Diamagnetos
14
Para o segundo termo a perturbação é pequena o suficiente para que 
se aplique a teoria de perturbação [8] [10] [11]
ℋ = ℋ0 +ℋ′
As autofunções correspondentes
𝜓𝑛 = 𝜓𝑛
0 + 𝜓′𝑛
E ter-se-á os autovalores
𝐸 = 𝐸𝑛
0 + 𝐸′𝑛
Paramagnetos e Diamagnetos
15
A energia depende de 𝐻 na segunda derivada: perturbação de 
segunda ordem 
ℋ = ℋ0 + 𝜆ℋ′
𝜓𝑛 = 𝜓𝑛
0 + 𝜆𝜓𝑛
1 + 𝜆2𝜓𝑛
2
𝐸𝑛 = 𝐸𝑛
0 + 𝜆𝐸𝑛
1 + 𝜆2𝐸𝑛
1
𝜒 = −
1
𝑉
𝜕2𝐹
𝜕𝐻2
Autoestados e autoenergias são expandidas até a segunda ordem 
Paramagnetos e Diamagnetos
16
ℋ0 + 𝜆ℋ′ 𝜓𝑛 = 𝐸𝑛𝜓𝑛
ℋ0 + 𝜆ℋ′ 𝜓𝑛
0 + 𝜆𝜓𝑛
1 + 𝜆2𝜓𝑛
2 = (𝐸𝑛
0 + 𝜆𝐸𝑛
1 + 𝜆2𝐸𝑛
1) 𝜓𝑛
0 + 𝜆𝜓𝑛
1 + 𝜆2𝜓𝑛
2
ℋ0 + 𝜆ℋ′ 𝜓𝑛
0 + 𝜆𝜓𝑛
1 + 𝜆2𝜓𝑛
2 = (𝐸𝑛
0 + 𝜆𝐸𝑛
1 + 𝜆2𝐸𝑛
2) 𝜓𝑛
0 + 𝜆𝜓𝑛
1 + 𝜆2𝜓𝑛
2
ℋ0𝜓𝑛
0 + 𝜆 ℋ′𝜓𝑛
0 +ℋ0𝜓𝑛
1 + 𝜆 2 ℋ′𝜓𝑛
1 +ℋ0𝜓𝑛
2 =
𝐸𝑛
0𝜓𝑛
0 + 𝜆 𝐸𝑛
1𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
1 + 𝜆 2 𝐸𝑛
2𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1𝜓𝑛
1 + 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
2
ℋ0𝜓𝑛
0 = 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
0
ℋ′𝜓𝑛
0 +ℋ0𝜓𝑛
1 = 𝐸𝑛
1𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
1
ℋ′𝜓𝑛
1 +ℋ0𝜓𝑛
2 = 𝐸𝑛
2𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1𝜓𝑛
1 + 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
2
Paramagnetos e Diamagnetos
17
ℋ′𝜓𝑛
0 +ℋ0𝜓𝑛
1 = 𝐸𝑛
1𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
1
Para o termo de primeira ordem
ℋ′𝜓𝑛
0 +ℋ0𝜓𝑛
1 = 𝐸𝑛
1𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
1 𝜓𝑛
0 ∗
ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0 +ℋ0 ۧ|𝜓𝑛
1 = 𝐸𝑛
1 ۧ|𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
0 ۧ|𝜓𝑛
1 . ۦ𝜓𝑛
0|
ൿൻ𝜓𝑛
0| ෡ℋ′|𝜓𝑛
0 + ൿൻ𝜓𝑛
0| ෡ℋ |𝜓𝑛
1 = ൿൻ𝜓𝑛
0|𝐸𝑛
1|𝜓𝑛
0 + ൿൻ𝜓𝑛
0 𝐸𝑛
0 𝜓𝑛
1
ൿൻ𝜓𝑛
0| ෡ℋ0𝜓𝑛
1 = ൿൻ𝜓𝑛
0 ෡ℋ0|𝜓𝑛
1 = ൿൻ𝜓𝑛
0𝐸𝑛
0|𝜓𝑛
1 = ൿ𝐸𝑛
0ൻ𝜓𝑛
0|𝜓𝑛
1
ൿൻ𝜓𝑛
0| ෡ℋ′|𝜓𝑛
0 + ൿ𝐸𝑛
0ൻ𝜓𝑛
0|𝜓𝑛
1 = ൿ𝐸𝑛
1ൻ𝜓𝑛
0|𝜓𝑛
0 + ൿ𝐸𝑛
0ൻ𝜓𝑛
0|𝜓𝑛
1
𝐸𝑛
1 = ൿൻ𝜓𝑛
0| ෡ℋ′|𝜓𝑛
0 Correção de primeira ordem para a energia
Paramagnetos e Diamagnetos
18
Para o termo de segunda ordem
ℋ′𝜓𝑛
1 +ℋ0𝜓𝑛
2 = 𝐸𝑛
2𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1𝜓𝑛
1 + 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
2
ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
1 +ℋ0 ۧ|𝜓𝑛
2 = 𝐸𝑛2 ۧ|𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1 ۧ|𝜓𝑛
1 + 𝐸𝑛
0 ۧ|𝜓𝑛
2 . ۦ𝜓𝑛
0|
ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
1 + ۦ𝜓𝑛
0|ℋ0 ۧ|𝜓𝑛
2 = ۦ𝜓𝑛
0|𝐸𝑛
2 ۧ|𝜓𝑛
0 + ۦ𝜓𝑛
0|𝐸𝑛
1 ۧ|𝜓𝑛
1 + ۦ𝜓𝑛
0|𝐸𝑛
0 ۧ|𝜓𝑛
2
ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
1 + ۦ𝜓𝑛
0|ℋ0 ۧ|𝜓𝑛
2 = 𝐸𝑛
2ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
1 + 𝐸𝑛
0ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
2
ൿൻ𝜓𝑛
0| ෡ℋ0𝜓𝑛
2 = ൿൻ𝜓𝑛
0 ෡ℋ0|𝜓𝑛
2 = ൿൻ𝜓𝑛
0𝐸𝑛
0|𝜓𝑛
2 = ൿ𝐸𝑛
0ൻ𝜓𝑛
0|𝜓𝑛
2
ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
1 + ൿ𝐸𝑛
0ൻ𝜓𝑛
0|𝜓𝑛
2 = 𝐸𝑛
2ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
1 + 𝐸𝑛
0ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
2
ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
1 = 𝐸𝑛
2 + 𝐸𝑛
1ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
1
𝐸𝑛
2 = ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
1 − 𝐸𝑛
1ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
1
Paramagnetos e Diamagnetos
19
𝐸𝑛
2 = ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
1 − 𝐸𝑛
1ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
1
ۧ|𝜓𝑛
1 = ෍
𝑚≠𝑛
𝐶𝑚
𝑛 ۧ|𝜓𝑚
0
ℋ′𝜓𝑛
0 +ℋ0𝜓𝑛
1 = 𝐸𝑛
1𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
0𝜓𝑛
1
Considerando que
ℋ0 − 𝐸𝑛
0 𝜓𝑛
1 = −(ℋ′+𝐸𝑛
1)𝜓𝑛
0
ۧ|𝜓𝑚
0 pertence ao conjunto de estados não perturbados
෍
𝑚≠𝑛
𝐸𝑚
0 − 𝐸𝑛
0 𝐶𝑚
𝑛 ۧ|𝜓𝑚
0 = −(ℋ′+𝐸𝑛
1) ۧ|𝜓𝑛
0
Paramagnetos e Diamagnetos
20
෍
𝑚≠𝑛
𝐸𝑚
0 − 𝐸𝑛
0 𝐶𝑚
𝑛 ۧ|𝜓𝑚
0 = −(ℋ′+𝐸𝑛
1) ۧ|𝜓𝑛
0 . ൻ𝜓𝑙
0|
෍
𝑚≠𝑛
𝐸𝑚
0 − 𝐸𝑛
0 𝐶𝑚
𝑛 ൿൻ𝜓𝑙
0|𝜓𝑚
0 = −ൻ𝜓𝑙
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0 + ൻ𝜓𝑙
0|𝐸𝑛
1 ۧ|𝜓𝑛
0
෍
𝑚≠𝑛
𝐸𝑚
0 − 𝐸𝑛
0 𝐶𝑚
𝑛 ൿൻ𝜓𝑙
0|𝜓𝑚
0 = −ൻ𝜓𝑙
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1ൻ𝜓𝑙
0| ۧ𝜓𝑛
0
Se 𝑙 = 𝑛
0 = −ൻ𝜓𝑙
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1
𝐸𝑛
1 = ൻ𝜓𝑙
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0
Precisamos obter a expressão para a constante 𝐶𝑚
𝑛
Paramagnetos e Diamagnetos
21
Porém, se 𝑙 ≠ 𝑛
෍
𝑚≠𝑛
𝐸𝑙
0 − 𝐸𝑛
0 𝐶𝑚
𝑛 ൿൻ𝜓𝑙
0|𝜓𝑙
0 = −ൻ𝜓𝑙
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0 + 𝐸𝑛
1ൻ𝜓𝑙
0| ۧ𝜓𝑛
0
𝐶𝑚
𝑛 =
ۦ𝜓𝑚
0 |ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0
𝐸𝑛
0 − 𝐸𝑚
0
− −𝐸𝑙
0 + 𝐸𝑛
0 𝐶𝑚
𝑛 = ൻ𝜓𝑙
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0
Paramagnetos e Diamagnetos
22
Retornando à expressão
𝐸𝑛
2 = ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
1 − 𝐸𝑛
1ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
1
ۧ|𝜓𝑛
1 = ෍
𝑚≠𝑛
𝐶𝑚
𝑛 ۧ|𝜓𝑚
0 . ۦ𝜓𝑛
0|
Tem-se que
ۦ𝜓𝑛
0| ۧ𝜓𝑛
1 = ෍
𝑚≠𝑛
𝐶𝑚
𝑛 ۧۦ𝜓𝑛
0|𝜓𝑚
0 = 0
𝐸𝑛
2 = ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′σ𝑚≠𝑛𝐶𝑚
𝑛 ۧ|𝜓𝑚
0 − 𝐸𝑛
1ۦ𝜓𝑛
0| σ𝑚≠𝑛𝐶𝑚
𝑛 ۧ|𝜓𝑚
0
𝐸𝑛
2 = ෍
𝑚≠𝑛
𝐶𝑚
𝑛 ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑚
0
⇒
Paramagnetos e Diamagnetos
23
Substituindo 𝐶𝑚
𝑛
𝐸𝑛
2 = ෍
𝑚≠𝑛
ۦ𝜓𝑚
0 |ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0
𝐸𝑛
0 − 𝐸𝑚
0
ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑚
0
𝐸𝑛
2 = ෍
𝑚≠𝑛
ۦ𝜓𝑚
0 |ℋ′ ۧ|𝜓𝑛
0 ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑚
0
𝐸𝑛
0 − 𝐸𝑚
0
𝐸𝑛
2 = ෍
𝑚≠𝑛
ۦ𝜓𝑛
0|ℋ′ ۧ|𝜓𝑚
0 2
𝐸𝑛
0 − 𝐸𝑚
0
Correção de segunda ordem 
para a energia
Paramagnetos e Diamagnetos
24
De modo que o valor esperado da energia do sistema perturbado por 
𝐻 será
𝐸 = ൿ𝜇𝐵𝐻𝑧ൻ𝜓𝑛
0|𝐿 + 𝑔0 റ𝑆|𝜓𝑛
0 +
+ ෍
𝑚≠𝑛
𝜇𝐵𝐻 ۦ𝜓𝑛
0|𝐿 + 𝑔0 റ𝑆 ۧ|𝜓𝑚
0
2
𝐸𝑛
0 − 𝐸𝑚
0 +
𝑒2
8𝑚
𝐻𝑧
2 𝜓 (𝑥2 + 𝑦2) 𝜓
Paramagnetos e Diamagnetos
25
O momento angular total do elétron, റ𝐽
Considerações de Mecânica Quântica. 
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/
റ𝐽 = 𝐿 + റ𝑆
h
tt
p
s:
//
en
.w
ik
ip
ed
ia
.o
rg
/w
ik
i/
A
zi
m
u
th
al
_q
u
an
tu
m
_n
u
m
b
er
Paramagnetos e Diamagnetos
26
Distribuição de elétrons em orbitais [13]
Considerações de Mecânica Quântica. 
h
tt
p
:/
/w
w
w
.m
et
a-
sy
n
th
es
is
.c
o
m
/w
eb
b
o
o
k/
3
4
_q
n
/q
n
_t
o
_
p
t.
h
tm
l
𝑛 𝑙Princípio de Aufbau
Camadas são preenchidas a 
partir do menor nível (𝑛)
energético disponível
Regra de Mandelung
Ordenamento energético vai do 
menor 𝑛 + 𝑙 para o maior; 
menor 𝑛 primeiro.
Há exceções: cobre e possíveis 
constituintes de moléculas e 
sólidos 
1𝑠2, 2𝑠2, 2𝑝6, 3𝑠2, 3𝑝6, 4𝑠2, 3𝑑10, …
Paramagnetos e Diamagnetos
27
Regras de Hund [4][13]
Considerações de Mecânica Quântica. 
Primeira
Elétrons tendem a alinhar seus spins por interações 
eletrostáticas de modo a minimizar a energia
Segunda
Elétrons tendem a maximizar seu momento angular 
orbital 𝑚𝑙
Terceira
റ𝐽 = 𝐿 ± റ𝑆 : റ𝑆 // 𝐿 𝑜𝑢 റ𝑆 ↙↗ 𝐿
Paramagnetos e Diamagnetos
28
O que resulta no esquema de preenchimento de subníveis orbitais
Considerações de Mecânica Quântica. 
O comportamento magnético está relacionado à configuração 
dos orbitais
Paramagnetos e Diamagnetos
29
Diamagnetismo de Larmor: Material isolante com todos os subníveis 
preenchidos
Com todos as camadas cheias (camadas fechadas), tem-se 
momento magnético nulo
റ𝐽 ۧ|0 = 𝐿 ۧ|0 = റ𝑆 ۧ|0 = 0
𝐸 = ൿ𝜇𝐵𝐻𝑧ൻ𝜓𝑛
0|𝐿 + 𝑔0 റ𝑆|𝜓𝑛
0 +
+ ෍
𝑚≠𝑛
𝜇𝐵𝐻 ۦ𝜓𝑛
0|𝐿 + 𝑔0 റ𝑆 ۧ|𝜓𝑚
0
2
𝐸𝑛
0 − 𝐸𝑚
0 +
𝑒2
8𝑚
𝐻𝑧
2 𝜓 σ𝑖(𝑥𝑖
2 + 𝑦𝑖
2) 𝜓
Paramagnetos e Diamagnetos
30
Restando apenas
𝐸 =
𝑒2
8𝑚
𝐻𝑧
2 𝜓 (𝑥2 + 𝑦2) 𝜓
𝐸 =
𝑒2
8𝑚
𝐻𝑧
2 0
2
3
σ𝑖 𝑟𝑖
2 0
Para uma distribuição esférica de cargas, sendo 𝑥2 + 𝑦2 a distância 
média quadrada dos elétrons ao núcleo
𝑥 2 = 𝑦 2 = 𝑧 2 =
1
3
𝑟2
𝑥 2 + 𝑦 2 =
2
3
𝑟2
Paramagnetos e Diamagnetos
31
Δ𝐸0 = 𝐸 =
𝑒2
12𝑚
𝐻𝑧
2 0 σ𝑖 𝑟𝑖
2 0
𝜒 = −
1
𝑉
𝜕2𝐹
𝜕𝐻2
𝐹 = 𝐸 − 𝑇𝑆
Com esta energia, retorna-se à formulação da suscetibilidade, para 
𝑁 íons em equilíbrio térmico
𝜒 = −
1
𝑉
𝜕2
𝜕𝐻2
𝑁
𝑒2
12𝑚
𝐻𝑧
2 0 σ𝑖 𝑟𝑖
2 0
𝜒 = −
𝑁
𝑉
𝑒2
6𝑚
0 σ𝑖 𝑟𝑖
2 0
Suscetibilidade 
diamagnética de Larmor
32
Parte II – Ferromagnetismo, 
Antiferromagnetismo e 
Ferrimagnetismo
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
33
Certos materiais apresentam magnetização 𝑀 mesmo na ausência de 𝐻
Não relacionado à interação entre dipolos magnéticos: da ordem de 𝜇𝐵
Energia de interação Coulombiana
Interação Eletron-Núcleo
Screening effect
Interação de troca
Diferença entre ter spins paralelos ou antiparalelos
Estados de singleto e tripleto
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
34
Interação elétron-núcleo e efeito blindagem
Elétrons mais próximos do núcleo apresentam ligação mais forte, menor 
energia
Elétrons mais internos blindam o núcleo 
dos átomos mais externos
Ao assumirem paralelismo com átomos 
mais internos, os mais externos aumentam 
a repulsão elétron, maior acesso ao núcleo
[13, p.213]
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
35
Descrição quântica do spin eletrônico (1/2) [12]
O spin é mais facilmente descrito em vetores de estado
Considerações de Mecânica Quântica. 
Para um sistema de dois elétrons
𝑚𝑠 = +
1
2
𝑚𝑠 = −
1
2
ۧ| ↑↑ , ۧ| ↑↓ , ۧ| ↓↑ , ۧ| ↓↓
𝑆𝑝𝑖𝑛 𝑢𝑝 → ۧ| ↑𝑆𝑝𝑖𝑛 𝑑𝑜𝑤𝑛 → ۧ| ↓
1 0 0 −1𝑚𝑠
𝜒− =
0
1 𝜒+ =
1
0
𝑆𝑝𝑖𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
36
Definamos os operadores spin a partir das matrizes de Pauli
Considerações de Mecânica Quântica. 
𝑆+ = 𝑆𝑥 + 𝑖𝑆𝑦
መ𝑆 =
ℏ
2
ො𝜎 𝜎𝑥 ≡
0 1
1 0
𝜎𝑦 ≡
0 −𝑖
𝑖 0
𝜎𝑧 ≡
1 0
0 −1
መ𝑆𝑥 =
ℏ
2
0 1
1 0
መ𝑆𝑦 =
ℏ
2
0 −𝑖
𝑖 0
መ𝑆𝑧 =
ℏ
2
1 0
0 −1
𝑆− = 𝑆𝑥 − 𝑖𝑆𝑦
As componentes do operador spin são
Os operadores de criação e aniquilação são definidos como
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
37
Momento angular total para o sistema de dois elétrons
റ𝑆 ≡ റ𝑆(1) + റ𝑆(2)
Considerações de Mecânica Quântica. 
Os 𝑚𝑠 são obtidos pela atuação do operador 𝑆𝑧 sobre os estados 
(spinores)
𝑆𝑧 =
ℏ
2
1 0
0 −1
𝑆𝑧඀|𝜎𝑠
(1)
𝜎𝑠
(2)
= 𝑆𝑧
1 + 𝑆𝑧
2 ඀|𝜎𝑠
(1)
𝜎𝑠
(2)
= 𝑆𝑧
1 𝜎𝑠
(1)
𝜎𝑠
(2)
+ 𝜎𝑠
(1)
𝑆𝑧
2 𝜎𝑠
(2)
ℏ𝑚𝑠
(1)
𝜎𝑠
(2)
+ 𝜎𝑠
(1)
ℏ𝑚𝑠
(2)
= ℏ 𝑚𝑠
1 +𝑚𝑠
2 𝜎𝑠
(1)
𝜎𝑠
(2)
𝑆𝑧 ൿ|𝜎𝑠
𝑖 = ℏ𝑚𝑠
𝑖 ൿ|𝜎𝑠
𝑖
𝑆𝑧𝜒1𝜒2 = റ𝑆
1 + റ𝑆 2 𝜒1𝜒2 = റ𝑆
1 𝜒1 𝜒2 + 𝜒1 റ𝑆
2 𝜒2
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
38
Momento angular total para o sistema de dois elétrons
Considerações de Mecânica Quântica. 
ۧ| ↑↑ → 𝑚𝑠 = 𝑚𝑠
1 +𝑚𝑠
2 =
1
2
+
1
2
= 1
ۧ| ↑↓ → 𝑚𝑠 = 𝑚𝑠
1 +𝑚𝑠
2 =
1
2
−
1
2
= 0
ۧ| ↓↑ → 𝑚𝑠 = 𝑚𝑠
1 +𝑚𝑠
2 = −
1
2
+
1
2
= 0
ۧ| ↓↓ → 𝑚𝑠 = 𝑚𝑠
1 +𝑚𝑠
2 = −
1
2
−
1
2
= −1
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
39
Obtemos as expressões dos operadores criação e aniquilação
Considerações de Mecânica Quântica. 
Novamente, tem-se
𝑆+ = 𝑆+
(1)
+ 𝑆+
(2) 𝑆− = 𝑆−
(1) + 𝑆−
(2)
𝑆+ = 𝑆𝑥 + 𝑖𝑆𝑦 =
ℏ
2
0 1
1 0
+ 𝑖
ℏ
2
0 −𝑖
𝑖 0
=
ℏ
2
0 1
1 0
+
ℏ
2
0 1
−1 0
= ℏ
0 1
0 0
𝑆− = 𝑆𝑥 − 𝑖𝑆𝑦 =
ℏ
2
0 1
1 0
− 𝑖
ℏ
2
0 −𝑖
𝑖 0
=
ℏ
2
0 1
1 0
−
ℏ
2
0 1
−1 0
= ℏ
0 0
1 0
Descrevem as mudanças no estado do sistema
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
40
Apliquemos o operador aniquilação em ۧ| ↓↓
Considerações de Mecânica Quântica. 
𝑆− ۧ| ↓↓ = 𝑆−
1 + 𝑆−
2 ۧ| ↓↓
𝑆− ۧ| ↓↓ = 𝑆−
1 ↓ ↓+↓ (𝑆−
2 ↓)
𝑆− ۧ| ↓↓ = ℏ −
1
2
↑ ↓ + ↓ ℏ −
1
2
↑
𝑆− ۧ| ↓↓ =
ℏ
2
ۧ| ↑↓ + ↓↑
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
41
Singletos e tripletos. Vetores de estado possíveis para um sistema 
com spins [4] [12] [13]
Os spinores de Pauli são normalizados 
ۧ| ↑↑
ۧ| ↓↓
1
2
ۧ| ↑↓ + ۧ| ↓↑
1
2
ۧ| ↑↓ − ۧ| ↓↑
1
𝑚𝑠 𝑆
1
0 1
−1 1
0 0
Combinação de 
tripleto
Combinação de 
singleto
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
42
Estrutura fina
http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydfin.html#c2
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑆𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 𝐸𝑡
𝐸𝑠
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
43
Considerações de Mecânica Quântica. 
Partículas idênticas: Elétrons; Princípio de exclusão de Pauli [12] [13]
Suponhamos dois elétrons não interagentes nos estados
𝜓𝑎 റ𝑟1 = ۧ|𝐴 e 𝜓𝑏 റ𝑟2 = ۧ|𝐵
𝜓𝑎 റ𝑟1 𝜓𝑏 റ𝑟2 = ۧ|𝐴𝐵
𝜓𝑏 റ𝑟1 𝜓𝑎 റ𝑟2 = ۧ|𝐵𝐴
Se quisermos as densidades de probabilidade, para partículas 
idênticas, teríamos problemas em identificá-las
𝜓𝑎 റ𝑟1 𝜓𝑏 റ𝑟2
2 = 𝜓𝑏 റ𝑟2 𝜓𝑎 റ𝑟1
2
𝜓𝑎𝑏 റ𝑟1, റ𝑟2 = 𝜓𝑎 റ𝑟1 𝜓𝑏 റ𝑟2
𝜓𝑎𝑏 റ𝑟1, റ𝑟2
2 𝑑റ𝑟1 𝑑റ𝑟2
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
44
Considerações de Mecânica Quântica. 
Se supormos uma troca simétrica e antissimétrica de partículas [9] 
𝜓𝑏𝑎 റ𝑟2, റ𝑟1 = + 𝜓𝑎𝑏 റ𝑟1, റ𝑟2
𝜓𝑏𝑎 റ𝑟2, റ𝑟1 = − 𝜓𝑎𝑏 റ𝑟1, റ𝑟2
Se considerarmos uma função, pode-se ter soluções diferentes 
𝜓12 റ𝑟1, റ𝑟2 = 𝐴 sin
𝜋 റ𝑟1
𝐿
sin
2𝜋 റ𝑟2
𝐿
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
45
Considerações de Mecânica Quântica. 
Isto é resolvido levando em conta possíveis combinações lineares 
𝜓𝑆 = 𝐴 𝜓𝑎 റ𝑟1 𝜓𝑏 റ𝑟2 + 𝜓𝑎 റ𝑟2 𝜓𝑏 റ𝑟1
𝜓𝐴 = 𝐴 𝜓𝑎 റ𝑟1 𝜓𝑏 റ𝑟2 − 𝜓𝑎 റ𝑟2 𝜓𝑏 റ𝑟1
Se 𝑎 = 𝑏
𝜓𝐴 = 0 𝜓𝑆 ≠ 0
Muitas partículas (elétrons incluso) podem apresentar apenas 
funções de onda total antissimétricas
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
46
Considerações de Mecânica Quântica. 
Princípio de exclusão de Pauli
Não mais de um elétron pode ocupar um dado estado quântico 
especificado por um conjunto de números quânticos: 𝑛, 𝑙,𝑚𝑙 , 𝑚𝑠
Para dois elétrons (férmions) idênticos, tem-se que não podem 
ocupar o mesmo estado [12]
𝜓𝐴 = 𝐴 𝜓𝑎 റ𝑟1 𝜓𝑏 റ𝑟2 − 𝜓𝑎 റ𝑟2 𝜓𝑏 റ𝑟1 = 0
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
47
Considerações de Mecânica Quântica. 
Escrito como vetores de estado [12] [13] 
Suponhamos dois elétrons nos estados
ۧ|𝜓− റ𝑟1, റ𝑟2 = 𝐴 ۧ|𝐴𝐵 − ۧ|𝐵𝐴
𝜓𝑎 റ𝑟1 = ۧ|𝐴 e 𝜓𝑏 റ𝑟2 = ۧ|𝐵
A combinação desses dois estados pode ser feito de duas maneiras
ۧ|𝜓+ റ𝑟1, റ𝑟2 = 𝐴 ۧ|𝐴𝐵 + ۧ|𝐵𝐴 Estados simétricos
Estados antissimétricos
𝜓𝑎 റ𝑟1 𝜓𝑏 റ𝑟2 = ۧ|𝐴𝐵
𝜓𝑏 റ𝑟1 𝜓𝑎 റ𝑟2 = ۧ|𝐵𝐴
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
48
Interação de troca. Descrição das energias de singleto e tripleto 
A diferença de energia entre spins paralelos e antiparalelos 
é chamada de interação de troca (energia de troca)
Se tivermos dois elétrons em orbitais diferentes
𝐴 റ𝑟 = ۧ|𝐴 𝐵 റ𝑟 = ۧ|𝐵
𝜓 = 𝜓 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑎𝑙 𝜙𝑠𝑝𝑖𝑛 = ۧ|𝜓
A função de onda total é descrita como
ۧ|𝜓 = ۧ|𝐴𝐵 − ۧ|𝐵𝐴
E deve ser antissimétrica (elétrons)
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
49
Considerando uma interação eletrostática 𝑉 റ𝑟1, റ𝑟2 , as energias de 
singleto e tripleto são obtidas por
ൻ ൿ𝐸𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜 = ۦ𝐴𝐵| − ۦ𝐵𝐴| ෠𝑉 ۧ|𝐴𝐵 − ۧ|𝐵𝐴
ൻ ൿ𝐸𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = ۦ𝐴𝐵| + ۦ𝐵𝐴| ෠𝑉 ۧ|𝐴𝐵 + ۧ|𝐵𝐴
Tem-se a energia de troca 𝐸𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎
ۦ𝐵𝐴| ෠𝑉 ۧ|𝐴𝐵
ۦ ۧ𝐸𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎 = 𝐸𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜 − 𝐸𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 ∝ ۦ𝐵𝐴| ෠𝑉 ۧ|𝐴𝐵
𝐽𝑎𝑏 = 𝐸𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜 − 𝐸𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜
Define-se a constante de troca
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
50
𝐽𝑎𝑏 informa-nos que
𝐽𝑎𝑏 > 0
𝐽𝑎𝑏 < 0
Antiparalelismo de spins
Paralelismo de spins
Ferromagnetismo
Antiferromagnetismo
Ferrimagnetismo
Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos
51
http://electrons.wikidot.com/magnetism-iron-oxide-magnetite
Referências
52
[1] Bassalo, J M F. Eletrodinâmica Clássica. Livraria da Física. 2008
[2] Salinas, S R A. Introduction to Statistical Physics. Springer-Verlag. 2001.
[4] Ashcroft, N W, e Mermin, N D. Solid State Physics. 1ª Ed. CENGAGE Learning. 
1976.
[3] Huang, K. Statistical Mechanics. 2ª Ed. John Wiley & Sons. 1987.
[5] Noltin, W e Ramakanth A. Quantum Theory of Magnetism. 1ª Ed. Springer. 
2009.
[6] Sirdeshmukh, D B et al. Electrical, Electronic and Magnetic Properties of
Solids. Srpinger. 2014.
[7] Kittel, C. Introduction to Solid State Physics. 8th Ed. John Wiley & Sons Inc. 
2005.
[8] Hofmann, P. Solid State Physics: An Introduction. 2ª Ed. Wiley-VCH. 2015.
[9] Tipler, P A e Llewellyn, R A. Modern Physics. 4ª Ed. W. H. Freeman and
Company. 2003.
Referências
53
[11] Bassalo, J M F. Eletrodinâmica Quântica. 2ª Ed. Livraria da Física. 2006
[10] Park, D. Introduction to the Quantum Theory. 3ª Ed. Dover Publications. 
2005. 
[12] Griffiths, D J. Introduction to the Quantum Mechanics. 2ª Ed. Pearson 
Prentice Hall. 2005.
[13] Simon, S H. The Oxford Solid State Basics. Oxford University Press. 2013.