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CÁLCULO
INTEGRAI S
DUPLAS
ENGENHARIA
INTEGRAIS DUPLAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE INTEGRAIS DUPLAS
Nas integrais simples, nós “somamos” os valores de uma função f(x) em comprimentos dx. Agora, 
nas integrais duplas fazemos o mesmo, mas para funções de duas variáveis f(x,y) em uma área 
dA= dx . dy, sendo a região de integração um retângulo R= [a,b] x [c,d]. O gráfico abaixo deixa mais 
claro.
∫∫R f(x,y) dx dy ou ∫∫R f(x,y) dA
sendo A a área de R
ATENÇÃO! Devemos começar sempre resolvendo a integral de dentro! E também é importante 
colocarmos os limites que são constantes na integral mais externa, para no final obtermos um 
valor numérico.
Exemplo:
Resolva a seguinte integral
∫ ∫ y dy dx
Vamos deixar a integral de fora um pouquinho de lado, e vamos começar pela integral de dentro:
 ∫ y dy = [ ] = - =
Agora, substituímos esse resultado na integral:
Ou seja:
∫ ∫ y dy dx = 
2 REGIÕES NÃO RETANGULARES
TIPO I
Quando podemos limitar nossa região com barras verticais.
a ≤ x ≤ b
f1(x) ≤ y ≤ f2(x)
2 x
0
2
0
0
2
x 2 22 xy x
4
2
4
2⁰
4
x2
2 x
0
2
0
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∫ ∫ [ ]² ² 240 0 0dx dxx= =
4
x2
5
x5¹2 ¹2
[ ]= = = =.-
5
5
5
5
2 0¹2 ¹2
32 32 16
5 10 5
16
5
∫ ∫a
f
2
f
1
h(x,y) dy dxb
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TIPO II
Quando podemos limitar nossa região com barras horizontais.
c ≤ y ≤ d
g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)
Obs.: quando tivermos uma região que não se encaixa em nenhum dos dois tipos, podemos 
dividi-la em duas partes!
Exemplo:
Calcule ∫∫R x.y dA, onde R é uma região entre:
 
Esboço do gráfico:
2 ≤ x ≤ 4
≤ y ≤ 
Logo, temos uma região do Tipo I. Vamos à integral:
√xx2
∫ ∫4
√x
x . y dy dx2 x2
∫ [x. [x. ] dx dx - ( )².] ∫4 4√x2 2x22y x x x2 2 2 2= =
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y y x = 2 e x = 4√x= =; ;x2
∫ ∫
d g2
g
1
h(x,y) dy dxc
∫ [ [] ]dx - -. .4 42 2
2 3 3 4
x 1x 1x x2 28 83 4= =
[ ]- - -
3 43 4
2 2 114 4 6 32 66 32= =
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3 MUDANÇA NA ORDEM DE INTEGRAÇÃO 
Quando vemos que é muito complicado integrar em y, por exemplo, e que em x fica mais fácil (ou 
vice-versa), podemos inverter os limites de integração. Passos:
1. Fazer um esboço da região de integração.
2. Escrever a região de outra forma: Tipo I ↔ Tipo II.
3. Reescrever a integral com os diferenciais invertidos e com os novos intervalos.
4. Integrar!
Exemplo:
 
Como não há antiderivada elementar de , não conseguimos resolver a integral primeiro em 
relação a x.
Esboço do gráfico
Fixando x de 0 a 1, y irá variar de 0 a 2x. Reescrevemos a integral:
4 COORDENADAS POLARES
Usamos coordenadas polares quando a integral dupla é mais bem adaptada a esse tipo de plano, 
como no caso da região de integração ter circunferências/elipses ou a função a ser integrada tiver 
termos em x2 e y2. 
Precisamos de duas informações para fazer a mudança de plano:
1. A distância até a origem (r).
2. O ângulo (θ) que o segmento r faz com o eixo x.
ex²
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∫ ∫
2 1 e dx dy0 y2Calcule
x²
0 ≤ y ≤ 2
≤ x ≤ 1x2
∫= 2x . dx = =|11 00 e e e - 1x x² ²∫ ∫∫ ∫dx dy = dx dy
2 11 2x
0 0 0y2 ex² ex²
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x = r cos Ɵ
y = r sen Ɵ
dA = r dr d Ɵ
Exemplo:
Calcule, convertendo para coordenadas polares, a seguinte integral ∫∫R √ x²+ y² dA , sendo R a 
região do plano limitada no 1° quadrante pelo círculo x2 + y2.
Esboço do gráfico 
A região R corresponde à região interior ao círculo de centro na origem e raio √2, no 1° quadrante. 
Então R corresponde ao retângulo polar:
Vamos converter a integral para polar, substituindo no integrando
x² = r2 cos2 Ɵ
y² = r2 sen2 Ɵ
dA = r dr d Ɵ
Lembre que cos2 Ɵ + sen2 Ɵ = 1, portanto a integral fica:
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Esboço do gráfico 
0 ≤ r ≤ √2
0 ≤ Ɵ ≤ π2
∫ ∫∫ ∫√r2 r dr dƟ = r dr dƟ√² √²0 00 0
π π
2 2
∫ ∫dƟ = dƟ [ ]
√²
0 00
π π
2 2
33
r2
(√2)
3
[ ] = = = = .Ɵ
3 33 (√2) (√2) √2 √2π π π π(√2)
6 6 6 33=
π
2 2
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FORMAS ESPECIAIS DE COORDENADAS POLARES
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