Resistência dos Materiais Aplicada Engenharia Civil

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
APLICADA 
PARA ENGENHARIA CIVIL 
PROFESSOR CELSO JOSÉ LEÃO E SILVA 
2014.2 
 
 
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ÍNDICE 
 
Capítulo 1 – Torção 03 
1.1. Conceito de Torque 03 
1.2. Fórmula da Torção 04 
1.3. Transmissão de Potência 07 
1.4. Projeto de eixos sob torção 07 
Capítulo 2 – Estudo das Cargas Móveis sobre Estruturas Isostáticas 09 
2.1. Trens-tipo 09 
2.2. Linha de Influência 10 
2.3. Pesquisa dos Valores Máximos 11 
2.4. Teorema de Barré 13 
Capítulo 3 – Deflexão de Vigas 15 
3.1. Relação momento-curvatura 16 
3.2. Deslocamento por Integração 17 
3.3. Método da Superposição 19 
Capítulo 4 – Flambagem de Colunas 20 
4.1. Coluna ideal com pinos 20 
4.2. Comprimento Efetivo 24 
4.3. Projeto de Colunas para Cargas Concêntricas 25 
4.3.1. Colunas de Aço 26 
4.3.2. Colunas de Alumínio 27 
4.3.3. Colunas de Madeira 27 
Lista de Exercícios 30 
Bibliografia 36 
Apêndice I – Inclinações e Deflexões em Vigas 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1 TORÇÃO 
 
1.1. Conceito de Torque 
 
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal. O efeito do torque é uma preocupação essencial em projetos de 
eixos de diversas estruturas. 
Se o eixo tiver uma de suas extremidades presa e for aplicado um torque à sua 
outra extremidade, ele será distorcido em uma forma oblíqua. Uma linha radial 
localizada na seção transversal a uma distância x da extremidade fixa do eixo 
girará de um ângulo φ(x), denominado ângulo de torção, que varia ao longo do 
eixo como mostra a figura: 
 
Isolando um pequeno elemento localizado à distância ρ (rô) da linha central do 
eixo, observa-se que antes da deformação, o ângulo entre as bordas AB e AC é 
90°; todavia, após a deformação, as bordas do elemento se tornam AD e AC e o 
ângulo entre elas é θ´. 
 
 
 
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Se Δx =dx e Δφ=dφ, tem-se que: 
BD = ƴ • dx = ρ• dφ. Ou seja, 
 
 
 
dφ e dx são os mesmos em pontos da seção transversal localizados a uma 
distância x do eixo e, portanto, a relação 
 
 
 é constante nesta seção. A 
deformação por cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de 
qualquer linha radial, de zero na linha central do eixo até um valor máximo 
 em seu contorno externo (extremidade). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Fórmula da Torção 
Considerando que o material é linear elástico, a Lei de Hooke se aplica através 
da seguinte relação: 
 
A equação acima traduz que a variação linear na deformação por cisalhamento 
 resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente, 
ao longo de qualquer linha radial na seção transversal. Como são proporcionais, 
podemos escrever que: 
 
 
 
 
 
Especificamente, cada elemento de área , localizado em , está sujeito a uma 
força . O torque produzido por essa força é . Assim: 
 
 
 
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Visto que 
 
 
 é constante, 
 
A integral na fórmula depende da geometria do eixo e representa o momento 
polar de inércia da área da seção transversal do eixo calculada em torno da linha 
central longitudinal do eixo.Esse valor é representado pela letra J, tornando a 
fórmula mais compacta: 
 
 
 
 
A tensão de cisalhamento na distância intermediária é determinada por uma 
equação semelhante: 
 
 
 
 
EIXO MACIÇO: se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, o 
momento polar de inércia J pode ser determinado por meio de um elemento de 
área na forma de um anel diferencial, de espessura e circunferência . 
Para esse anel, Portanto, 
 ou seja, 
 
onde 
τmax= tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre 
na superfície externa 
T = torque interno resultante na seção transversal 
J = momento polar de inércia da área da seção transversal 
c = raio externo do eixo 
 
 
 
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EIXO TUBULAR: se o eixo tiver uma seção transversal tubular, com raio 
interno e raio externo , podemos determinar seu momento polar de inércia 
substraindo J para um eixo de raio daquele determinado para um eixo de raio 
 : 
 
EXEMPLO 1.1: 
A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico em três 
linhas radiais arbitrárias como mostra a figura. Determine o torque interno 
resultante na seção. 
 
 
 
EXEMPLO 1.2: 
O eixo maciço de raio é submetido a um torque T. Determine a fração de T à 
qual resiste o material contido no interior da região externa do eixo, que tem 
raio interno c/2 e raio externo c. 
 
 
 
 
 
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1.3. Transmissão de Potência 
Eixos e tubos de seções transversais circulares são utilizados frequentemente 
para transmitir potência por uma máquina. Nestes casos, estão sujeitos a 
torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade 
angular do eixo. 
Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. O trabalho 
transmitido por um eixo rotativo é igual ao produto entre o torque aplicado e o 
ângulo de rotação. Num instante dt um toque aplicado T provoca a rotação dϴ 
no eixo, então a potência instantânea será 
 
 
 
 
 
Como a velocidade angular do eixo 
 
 
, tem- se 
 , medida em watts. 
Em máquinas rotativas costuma-se informar a frequência de rotação de um eixo 
f. 
Frequência é a medida do número de revoluções ou ciclos que o eixo faz por 
segundo e é expressa em hertz. 
 . Como 1 ciclo = 2 ∏ rad, a potência pode ser expressa por: 
 
 
1.4. Projeto de eixos sob torção 
Quando a potência transmitida por um eixo e sua frequência de rotação são 
conhecidas, o torque desenvolvido no eixo pode ser determinado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Caso T e a tensão de cisalhamento admissível para o material forem 
conhecidos, pode-se determinar as dimensões da seção transversal do eixo pela 
fórmula da torção, desde que o material seja linear elástico. Especificamente, o 
parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico J/c torna-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um eixo maciço, 
 
 
 
 
 
 e para o eixo tubular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1.3: 
Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750W do motor M ao 
qual está acoplado. Se o eixo girar a = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de 
cisalhamento admissível = 100MPa, determine o diâmetro exigido para o 
eixo com precisão de mm. 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 2 ESTUDO DAS CARGAS MÓVEIS SOBRE ESTRUTURAS 
ISOSTÁTICAS 
 
As cargas que atuam sobre uma estrutura podem ser permanentes ou acidentais. 
As cargas permanentes são aquelas que atuam na estrutura, ao longo do tempo, 
devido ao seu peso e aos revestimentos e materiais de enchimento que ela 
suporta, cujo estudo não apresenta maiores dificuldades,pois são cargas com 
valor e posição invariáveis. 
As cargas ditas acidentais são aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e 
são provocadas por ventos, empuxos de terra e água, sobrecargas, efeitos de 
terremoto, peso de neve acumulada, frenagens ou acelerações de veículos, e, 
finalmente, pelas que são determinadas como “cargas móveis”, resultantes de 
veículos que percorrem a estrutura (no caso de pontes rodoviárias ou 
ferroviárias, viadutos, pontes rolantes industriais). 
Para fins de análise estática, as cargas acidentais, com exceção das cargas 
móveis, são aquelas que têm posição e valor conhecidos na estrutura, podendo 
ou não atuar ao longo do tempo. 
No caso das cargas móveis, as posições que ocupam na estrutura variam à 
medida que os veículos por elas representados a atravessem. Assim, teríamos 
que calcular esforços para cada uma das infinitas posições que elas podem ter 
enquanto percorrem a estrutura, o que se torna evidentemente inadequada e 
impraticável a forma de tratamento até então estudada. 
 
2.1. Definição de trens-tipo 
Suponha uma missão de construção de um viaduto. Que cargas móveis deverão 
ser consideradas e em que ordem? 
Surge daí a definição de trens-tipo: veículos ideais representados por cargas com 
valores e guardando uma distância conhecida, constante entre si. 
Considere um exemplo representativo de trem-tipo abaixo: 
 
 
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Os trens-tipo mais usuais são aqueles de pontes rodoviárias e ferroviárias, 
definidos pela NB-6 e NB-7 da ABNT. 
 
2.2. Linha de influência 
 
Linha de influência de um efeito elástico E em uma dada seção S é a 
representação gráfica ou analítica do valor deste efeito, naquela seção S, 
produzido por uma carga concentrada unitária, de cima para baixo, que 
percorre a estrutura. 
 
 
Para vigas biapoiadas, considere: 
 
 
 
 
 
 
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2.3. Pesquisa dos valores máximos 
 
Teorema geral: “Ocorrerá um efeito máximo quando uma das cargas 
concentradas do trem-tipo estiver sobre um dos pontos angulosos da Linha de 
influência em questão.” 
 
 
 
 
A partir do esquema da figura acima, usando o procedimento clássico do cálculo 
infinitesimal, damos um acréscimo dz à variável independente; a variável 
dependente E sofrerá um acréscimo dE igual a 
 
 
 
Impondo a condição de máximo, sabemos que? 
- antes do máximo: 
- após o máximo: 
 
Seja o trem-tipo composto pelas cargas concentradas , , ..., , indicado na 
figura abaixo: 
 
 
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Chamando-se e às resultantes das cargas do trem-tipo à esquerda e à 
direita da seção dada S, respectivamente, temos: 
 
 = + 
 
Por semelhança de triângulos, temos: 
 
 
 
Derivando em relação a z, vem: 
 
 
Sendo R a resultante de todas as cargas concentradas do trem-tipo. 
Suponhamos seja a carga concentrada que, colocada sobre o ponto anguloso, 
nos forneça (a esta carga chamaremos eixo crítico). Temos então: 
 
 
 
 
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- antes do máximo: 
 
 
 = 
 
 
 - 
 
 >0 
 
- após o máximo: 
 
 
 = 
 
 
 - 
 
 <0 
 
 
As duas desigualdades, que definem o eixo crítico , podem ser englobadas da 
forma a seguir: 
 
 
 
 < 
 
 
 < 
 
 
 
 
Exemplo 3.1: Para a seção S da viga ilustrada abaixo, percorrida pelo trem-tipo 
indicado (que pode deslocar-se nos dois sentidos), obtenha 
 
 
 
Exemplo 3.2: Para a mesma viga do exercício anterior, percorrida agora pelo 
trem-tipo indicado (que pode deslocar-se nos dois sentidos), obtenha 
 
 
 
 
 
2.4. Teorema de Barré 
A obtenção da seção onde ocorre o momento fletor máximo absoluto 
numa viga biapoiada, provocado por um trem-tipo constituído por 
cargas concentradas. 
 
 
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Seja S a seção onde ocorre o , cuja abscissa x queremos determinar. 
Chamando-se: 
R à resultante geral das cargas do trem-tipo; 
d à distância do eixo crítico à resultante geral R; 
 à resultante das cargas à esquerda da seção S; 
e à distância de a , obtemos: 
 
 
 
 
 e, pois, 
 
 
 
 
, derivando em relação a x, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Impondo a condição de máximo, vem: 
 
 
 
 
 
Concluímos, então, que e R devem ser simétricos em relação ao meio da viga 
e podemos, então enunciar o teorema de Barré: 
 
“O momento fletor máximo absoluto numa viga biapoiada ocorre numa seção 
tal e para uma posição do trem-tipo tal que o meio da viga coincida com o meio 
da distância que vai do eixo crítico até a resultante geral das cargas do 
trem-tipo” 
 
 
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Capítulo 3 DEFLEXÃO DE VIGAS 
 
Muitas vezes, é preciso limitar o grau de deflexão que uma viga ou eixo pode 
sofrer quando submetido a uma carga. 
O diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada 
área da seção transversal da viga é denominado linha elástica. Muitas vezes, o 
rascunho da linha elástica pode ser traçado sem muita dificuldade. 
 Quando uma linha elástica de uma viga parecer difícil de ser determinada, 
convém primeiramente traçar o diagrama de momento fletor da viga. 
 Um momento interno positivo tende a curvar a viga com concavidade para 
cima. Da mesma maneira, um momento negativo tende a curvar a viga com 
concavidade para baixo. Portanto, se o diagrama de momento for conhecido, 
será fácil representar a linha elástica. 
Considere a viga da figura abaixo e seu momento associado mostrado na figura. 
Devido aos tipos de apoio, o deslocamento em B e D deve ser nulo. 
 
 
 
 
 
 
M 
Diagrama de momento 
fletor 
 
 
 
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3.1. Relação momento-curvatura 
Considere a viga carregada ilustrada abaixo: 
 
 
A análise da linha elástica da viga exigirá a utilização de duas coordenadas: 
O eixo xestende-se na direção positiva para a direita, ao longo do eixo 
longitudinal inicialmente reo da viga. Ele é usado para localizar o elemento 
diferencial , cuaj largura não deformada é dx. 
O eixo estende-se na direção positiva para cima em relação ao eixo x e mede o 
deslocamento do centroide na área da seção transversal do elemento . Com essas 
duas coordenadas, pode-se definir a equação da curva da linha elástica v em 
função de x. 
Quando o momento fletor interno M deforma o elemento da viga, o ângulo entre 
as seções transversais torna-se dϴ. O arco dx representa uma porção da linha 
elástica que intercepta o eixo neutro para cada seção transversal. O raio de 
curvatura para esse arco é definido como a distância ρ, que é medida do centro 
de curvatura O´até dx. A deformação no arco ds, localizado em uma posição y 
em relação ao eixo neutro, é Є = (ds´-ds)/ds. Todavia, ds=dx=ρdϴ e ds´= (ρ-
y)dϴ e, portanto, Є=[(ρ-y)dϴ-ρdϴ]/ρdϴ ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se o material for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear elástica, a 
lei de Hooke, 
 
 
 , é aplicável. Além disso, a fórmula da flexão, 
 
 
.Combinando as equações, tem-se: 
 
 
 
 
 
 onde: 
ρ = raio de curvatura em um ponto específico sobre a curva da linha elástica 
(1/ρ é denominado curvatura) 
M = momento fletor interno na viga no ponto onde ρ deve ser determinado 
E = módulo de elasticidade do material 
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro. 
 
O produto EI é denominado rigidez à flexão e sempre representa uma 
quantidade positiva. 
 
3.2. Deslocamento por Integração 
Para se obter a equação da linha elástica é necessário representar a curvatura 
(1/ρ) em termos de e x. A maioria dos livros de cálculo mostra que essa relação 
é 
 
 
 
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Substituindo na equação anterior, obtém-se: 
 
 
Sabe-se que as deflexões elásticas para a maioria das vigas e eixos formam uma 
curva rasa, devido às limitações para as deflexões visando a questões de 
tolerância ou estética. Assim, a inclinação da linha elástica determinada por 
dυ/dx será muito pequena e o quadrado dessa inclinação será desprezível. 
Portanto, a curvatura pode ser aproximada por 
 
 
 
 
 
 
Ou ainda, 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2.1: 
A viga em balanço mostrada abaixo está sujeita a uma carga vertical P em sua 
extremidade. Determine a equação da linha elástica e o valor do deslocamento 
máximo na viga. EI é constante. 
 
 
 
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3.3. Método da Superposição 
O método da superposição estabelece que, se 1 for a deflexão para uma carga e 
 2 for a deflexão para outra, a deflexão total para ambas as cargas agindo em 
conjunto será a soma algébrica 1 + 2. Portanto, utilizando resultados 
tabulados para várias cargas de vigas, como os relacionados no apêndice C 
(Hibbeler, Resistência dos Materiais – 7ª edição), é possível determinar o 
deslocamento em um ponto sobre uma viga submetida a várias cargas diferentes 
efetuando a soma algébrica dos efeitos de suas várias partes componentes. 
 EXEMPLO 2.2: 
Determine o deslocamento no ponto C da viga mostrada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
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Capítulo 4 FLAMBAGEM DE COLUNAS 
 
Um elemento estrutural necessita satisfazer requisitos específicos de resistência, 
deflexão e estabilidade. Alguns elementos podem estar sujeitos a cargas de 
compressão e, se forem compridos e esbeltos, a carga poderá ser suficiente para 
provocar uma deflexão ou oscilação lateral. 
Especificamente, elementos estruturais compridos e esbeltos sujeitos a uma 
força de compressão axial são denominados colunas e a deflexão lateral que 
ocorre se chama flambagem. 
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está na iminência 
de sofrer flambagem é chamada carga crítica Pcr. 
 
 
 
4.1. Coluna ideal com pinos 
Uma coluna é considerada ideal quando se encontra perfeitamente reta antes da 
carga, feita de material homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide da 
seção transversal. O material da coluna se comporta de maneira linear elástica 
 
 
 
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A coluna sofre flambagem em um único plano 
 
O fato de a coluna continuar estável ou tornar-se instável quando submetida a 
uma carga axial dependerá de resistência à flexão. Para isso, é necessário aplicar 
a fórmula que relaciona o momento interno na coluna com sua forma defletida: 
 
 
 
 
 
 
Na figura anterior, tanto a deflexão quanto o momento interno M são 
mostrados na direção positiva. Então, o momento interno é M 
 
 
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Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral é: 
 
As duas constantes de integração são determinadas pelas condições de contorno 
nas extremidades da coluna, em que em e em . 
Assim, C2 =0 e 
 
Fazendo: 
 , a solução é 
 
Ou 
 
O valor de n representa o número de ondas defletidas na coluna. Por exemplo, 
se n=2, aparecerão duas ondas defletidas na coluna e a carga crítica será igual a 
4Pcr, imediatamente antes da flambagem. 
 
 
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O menor valor de P é obtido quando n=1, de modo que a carga crítica para a 
coluna é 
 
 
 
 
 
Essa carga é denominada carga de Euler, nome que se deve a Leonhard Euler, 
primeiro a resolver esse problema em 1767. 
Deve-se observar que a carga crítica independe da resistência do material, mas 
tem relação com as dimensões da coluna (I e L) e com a rigidez ou módulo de 
elasticidade do material E. Por essa razão, colunas feitas, por exemplo, de aço 
de alta resistência não oferecem nenhuma vantagem em relação às feitas de aço 
de resistência mais baixa. 
Deve-se observar também que a capacidade de carga de uma coluna aumentará 
à medida que o momento de inércia da seção transversal aumenta . Assim , 
colunas eficientes são projetadas de modo que a maior parte da área da seção 
transversal da coluna esteja localizada o mais longe possível dos eixos principais 
 
 
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do centroide da seção. É por isso que seções ocas como tubos são mais eficiente 
do que as maciças. 
Também é importante entender que uma coluna sofrerá flambagem em torno do 
eixo principal da seção transversal que tenha o menor momento de inércia (eixo 
menos resistente). O equilíbrio é encontrando quando tubos ou formas para as 
quais . 
 
EXEMPLO 4.1: um tubo de aço A-36 (Eaço=200GPa) com 7,2m de comprimento 
e seção transversal ilustrada abaixo, deve ser usado como coluna presa por pinos 
na extremidade. Determine a carga axial admissível máxima que a coluna pode 
suportar sem sofrer flambagem. Considere que 
 
 
 
4.2. Comprimento Efetivo 
 
A fórmula de Euler foi desenvolvida para o caso de coluna com extremidades 
presas por pinos ou livres para girar, de forma que L na equação representa a 
distância sem apoio entre os pontos de momento nulo. Se a coluna for apoiada 
de outro modo, a fórmula de Euler pode ser usada para determinar a carga 
crítica, desde que “L” represente a distância entre pontos de momento nulo. 
Essa distância é denominada “comprimento efetivo”. 
 
 
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A figura abaixo representa o comprimento efetivo L´para cada tipo de apoio 
utilizado nas colunas: 
 
Muitos códigos e manuais de projeto dão fórmulas de colunas que empregam um 
coeficiente adimensional K denominado fator de comprimento efetivo. 
Com base nessa generalidade, a fórmula de Euler pode ser expressa como 
 
4.3. Projeto de colunas para cargas concêntricas 
A teoria apresentada aplica-se a colunas perfeitamente retas, feitas de material 
homogêneo e, em seu estado natural, livres de tensão. 
Porém, na prática, não existem colunas perfeitamente retas e a maioria delas 
tem tensões residuais que se devem a resfriamento não uniforme do material 
durante a fabricação. 
Para compensar esses efeitos, que variam de uma coluna para outra, muitos 
códigos e manuais de projeto especificam a utilização de fórmulas empíricas. 
 
 
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Cada fórmula será aplicável somente a uma faixa específica de índices de 
esbeltez e, para isso, convém observar cuidadosamenteos limites KL/r para os 
quais determinada fórmula é válida. 
Índice de esbeltez é a relação geométrica L/r que mede a flexibilidade da coluna, 
que serve para classificar colunas como compridas, intermediárias ou curtas. 
 
4.3.1. Colunas de aço 
As colunas feitas de aço estrutural são baseadas nas fórmulas da Structural 
Stability Research Council. Sobre elas foram aplicados coeficientes de segurança, 
resultando outras fórmulas utilizadas para construção de edifícios pela 
American Institute of Steel Construction (AISC). 
 
Onde: 
 
 
Colunas com índices de esbeltez menores que (KL/r)c são projetadas com base 
em uma fórmula empírica parabólica, sobre a qual é aplicado um coeficiente de 
segurança: cuja forma é 
 
 
 
 
 
 
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4.3.2. Colunas de alumínio 
O projeto de colunas de alumínio estrutural especificado pela Aluminium 
Association utiliza três equações, cujas fórmulas para uma liga comum (2014-
T6), usada na construção de edifícios são 
 
 
 
 
4.3.3. Colunas de madeira 
Colunas de madeira usadas na construção são projetadas com base nas fórmulas 
publicadas pela National Forest Products Association (NFPA) ou pelo 
American Institute of Timber Construction (AITC). As fórmulas utilizadas pela 
NFPA são: 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 4.2: 
A haste de aço ilustrada abaixo deve ser usada para suportar uma carga axial de 
80 kN. Se Eaço = 210 GPa e =360 MPa, determine o menor diâmetro da haste 
permitido pela especificação AISC. A haste está engastada em ambas as 
extremidades. 
 
 
 
EXERCÍCIO 4.3: 
Uma barra com 750mm de comprimento é usada para suportar uma carga de 
compressão axial de 60kN. A barra é apoiada por pinos nas extremidades e é 
feita de alumínio 2014-T6. Determine as dimensões da área da seção transversal 
se a largura for igual a duas vezes a espessura. 
 
EXERCÍCIO 4.4: 
Uma tábua com seção transversal 150mm x 40mm é usada para suportar uma 
carga axial de 20kN. Se considerarmos que ela é suportada por pinos no topo e 
na base, determine seu maior comprimento admissível L, de acordo com as 
especificações da NFPA. 
 
 
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 Exemplo 4.3 Exemplo 4.4 
 
EXEMPLO 4.5: Uma barra com 750mm de comprimento é usada para suportar 
uma carga de compressão axial de 60 kN, conforme a figura abaixo. A barra é 
apoiada por pinos nas extremidades e é feita de liga de alumínio 2014-T6. 
Determine as dimensões da seção transversal, se a largura for duas vezes a 
espessura. 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. O parafuso de aço A-36 é apertado dentro de um furo de modo que o 
torque de reação na haste AB pode ser expresso pela equação 
N .m/m, onde x é dado em metros. Se um torque T = N.m for aplicado 
à cabeça do parafuso, determine a constante k e a quantidade de torção 
nos 50mm de comprimento da haste. Considere que a haste tem raio 
constante de mm. Resposta: k = 1200 MPa e = 3,562 graus 
 
 
2. Um tubo de aço com diâmetro externo de 62,5mm é usado para 
transmitir 3 kW quando gira a 27 rev/minuto. Determine, com 
aproximação de múltiplos de 5mm, o diâmetro interno d do tubo se a 
tensão de cisalhamento admissível for τmax = 70 Mpa. Resposta: 
di=60mm 
 
 
 
3. A turbina desenvolve 150 kW de potência, que é transmitida às 
engrenagens de tal modo que C recebe 70% e D recebe 30%. Se a rotação 
do eixo de aço A de 100mm de diâmetro for = 800 rev/minuto, 
determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. O mancal 
 
 
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E permite que o eixo gire livremente em torno do seu eixo. 
Resposta:τmax=9,12 MPa 
 
 
 
4. Determine o maior valor que pode ser atribuído a P do carregamento 
acidental sobre a viga ilustrada abaixo, também submetida ao 
carregamento permanente de 10 kN/m, se o valor máximo absoluto que 
ela suporta não pode ser maior do que 200 kN.m no ponto C. Considere 
que o trem-tipo trafega em sentido único, da direita para a esquerda. 
 
 
 
5. Esboce a envoltória dos momentos e indique o valor do 
 
 
 
 
 
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6. Determine o deslocamento do ponto C da viga abaixo, submetida às 
cargas indicadas. Considere que o elemento é um T estrutural de aço A-36 
(E=200GPa) e I = 30(106)mm4. Resposta: Δc =1,56mm 
 
 
 
 
7. Determine o maior valor de P que pode ser aplicado na extremidade da 
viga ilustrada abaixo, sabendo que a deflexão máxima não poderá 
exceder a 0,1% do comprimento da viga quem tem 3m. A viga é feita de 
aço A-36 ( E=200 GPa) e seção transversal quadrada de lado a=20cm. 
Resposta: P=5kN 
 
 
 
 
8. A coluna de tubo de aço A-36 (E=200GPa) de 3,6mm tem diâmetro 
externo de 75mm e espessura de 6mm. Determine a carga crítica, se a base 
estiver engastada e o topo preso por pinos. Resposta: Pcr =242,4kN 
 
 
 
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9. A coluna de 3m tem as dimensões mostradas na figura. Determine a carga 
crítica se a haste for engastada e o topo estiver preso por pinos. Em = 12 
GPa, =35 Mpa. Resposta: Pcr =28 kN 
 
 
 
10. Determine a carga máxima distribuída que pode ser aplicada à viga de 
abas largas, de moro que a haste CD não sofra flambagem. A braçadeira é 
uma haste de aço A-36 (E=200GPa) com diâmetro de 50mm. Considere 
que =250Mpa. Resposta: w = 9,462kN/m 
 
 
 
11. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6. Determine sua espessura b, se 
a largura for 5b. Considere que ela está acoplada por pinos nas 
extremidades. Resposta: b =18,20mm 
 
 
 
 
 
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12. Usando as equações AISC, verifique se a coluna que tem a seção 
transversal mostrada na figura pode suportar uma força axial de 1500kN. 
A coluna tem comprimento de 4m, é feita de aço A-36 (E=200GPa) e suas 
extremidades são presas por pinos. Resposta: A coluna é adequada. 
 
 
 
 
13. A coluna de madeira tem seção transversal quadrada e consideramos que 
esteja acoplada por pinos no topo e na base. Se ela suportar uma carga 
axial de 250kN, determine suas dimensões laterais a com aproximação de 
múltiplos de 10mm. Use as fórmulas NFPA. Resposta: a =200 mm 
 
 
 
 
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14. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6 (E=73,1GPa). Determine sua 
espessura b, se a largura for 1,5b. Considere que ela está acoplada por 
pinos nas extremidades. Resposta: b=20,89 mm 
 
 
 
15. A coluna é feita de madeira e está engastada na base e livre no topo. Use 
as fórmulas NFPA para determinar o maior comprimento admissível, se 
ela suportar uma carga axial P = 10kN. Resposta: L =1,078m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APÊNDICE I – INCLINAÇÕES E DEFLEXÕES EM VIGAS 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
 
1) SUSSEKIND, José Carlos, 1947. 
Curso de Análise Estrutural/ José Carlos Sussekind, 6ª Ed., 1981 
Editora Globo – Porto Alegre/Rio de Janeiro2) HIBBELER, Russell Charles. 
Resistência dos Materiais/ Russel Charles Hibbeler, 7ª ed., 2010 
Pearson Prentice Hall – São Paulo 
 
3) BEER. Ferdinand P., DEWOLF, John T., JOHNSTON, E. Russell, Jr. 
Resistência dos Materiais/ Ferdinand Beer, John Dewolf & E. Russell 
Johnston, 5ª ed., 2011 
McGrawn Hilll – São Paulo