04 2014 2aparte

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4. Aplicações do equilíbrio de 
Nash – 2a parte: Localização 
e recursos comuns 
Teoria dos Jogos 
Faculdade de Economia, UFF 
Prof. Fábio D. Waltenberg 
 
Março de 2014 
Programa 
1. Localização 
 Versão simples 
 Aplicação à esfera política 
 Com custos de transporte 
2. Tragédia dos recursos de uso comum 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 3 
O jogo da localização 
 Dois quiosques A e B numa praia com 1km de 
extensão 
 Inicialmente, temos: 
 A localizada a 250 metros do km 0 
 B localizada a 750 metros do km 0 
 Quiosques poderão mudar de lugar 
 Os dois vendem o mesmo produto (biscoito globo?) 
ao mesmo preço 
 Não há razão para preferir comprar numa ou noutra 
 Só importa o seguinte: banhistas preferem comprar no 
quiosque mais próximo 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 4 
O jogo da localização 
 Os dois quiosques possuem os mesmos custos 
 Custos não são afetados pela localização escolhida 
 Competição apenas pelo número de compradores 
 Pressupostos complementares 
 Banhistas se distribuem uniformemente na praia 
 Cada banhista compra apenas um produto 
 Quanto maior a extensão da praia servida por 
um quiosque, maiores sua vendas (e lucros) 
 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 5 
O jogo da localização 
 Dadas essas premissas, a pergunta é: a 
localização inicial é de equilíbrio? 
 É um equilíbrio de Nash? 
 É ótimo de Pareto? 
 Imaginem que o quiosque A se deslocasse 
até a posição 749m, ficando ao lado de B 
 O que ocorreria? 
 Atenderia cerca de 75% dos clientes, 
enquanto B ficaria com cerca de 25%, certo? 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 6 
O jogo da localização 
 Qual é a resposta racional do quiosqueiro B? 
 Ficar parado é uma boa resposta? 
 Há uma única situação em que nenhum dos 
quiosques tem como mudar de localização e 
se beneficiar. Qual é? 
 Um ao lado do outro, no centro da praia 
 Cada quiosque fica com metade do mercado 
O jogo da localização 
 Portanto: um ao lado do outro, no centro da 
praia: 
 Cada quiosque fica com metade do mercado 
 É um equilíbrio de Nash? 
1. Cada quiosque adotou a melhor resposta à 
localização do outro 
2. Nenhum quiosqueiro tem incentivo para mudar 
 Daqui a pouco, uma aplicação interessante: 
programas de partidos políticos 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 7 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 8 
Em grupo... 
 Quatro jogadores que não podem se comunicar 
 Cada um, inclusive você, recebe 10 fichas 
 Você pode: 
 Manter um certo número de fichas 
 Depositar um certo número de fichas num cofre comum 
 O ganho de cada jogador é igual a: 
 R$20,00 x fichas mantidas + R$10,00 x número total de 
fichas depositado por todos os jogadores no cofre comum 
 Ex: Se você guardou 3 fichas e cada um dos outros três 
jogadores também, então, você ganhará 20x3 + 10x(7x4) 
 Quantas fichas você deposita no cofre comum? 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 9 
O teorema do eleitor mediano 
 Se você fosse candidato, que tipo de programa de 
governo você deveria apresentar aos eleitores, para 
maximizar as chances de ser eleito? 
 (Corrupção, compra de votos e práticas afins ignoradas!) 
 Imaginem que o debate político se dê em torno de 
uma única dimensão 
 Ex: orçamento do Programa Bolsa Família (PBF) deve ser 
expandido, mantido ou reduzido? 
 Eleitores escolhem candidato cujo programa 
encontra-se mais próximo da sua posição preferida 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 10 
O teorema do eleitor mediano 
 Imaginem que os eleitores se distribuam 
uniformemente ao longo de um espectro ideológico 
(contínuo)… 
 …que vai da extrema esquerda 
 (ex: favoráveis a uma forte expansão do PBF) 
 … à extrema direita 
 (ex: favoráveis a uma draconiana redução do PBF) 
 … passando pelo centro 
 (ex: favoráveis a um PBF próximo ao dos moldes atuais) 
 … e todas as nuances entre esses pontos extremos 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 11 
O teorema do eleitor mediano 
 Eleitor mediano é aquele que divide a distribuição 
em duas partes iguais 
 Como temos distribuição uniforme, é fácil localizar o eleitor 
mediano: no centro do espectro ideológico 
 Mais concretamente: 
 Dois candidatos: “Azul” e “Branco” 
 Quem tem mais votos, recebe recompensa 1 (vence a 
eleição) 
 O outro recebe recompensa -1 (derrota) 
 Se candidatos dividem eleitorado entre si, recompensa é 0 
(eleição termina empatada) 
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O teorema do eleitor mediano 
 Pressuposto: 
 Assim como o banhista compra no quiosqueiro 
mais próximo do seu guarda-sol… 
 … o eleitor vota no candidato cujo programa está 
mais próximo da sua posição ideal 
 Ex: se meu ponto ideal é 0,5, prefiro votar num 
candidatos que apresentem programas 
correspondentes às posições 0,3 ou 0,7 a votar 
noutros cujos programas sejam 0,8 ou 0,2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 13 
O teorema do eleitor mediano 
 Suponha que “Azul” escolha programa 0,3 
 “Branco” poderia se localizar em 0,31 e ganhar todo o eleitorado 
à direita de 0,3 
 Cobriria espectro político maior 
 Voto útil: eleitor que tenha como ponto ideal 1 não aprecia o 
programa do candidato “Branco” (0,31), mas o do candidato 
“Azul” (0,3) é pior ainda aos seus olhos! 
 Em que posição um candidato terá maior chance de vencer? 
 No centro do espectro ideológico 
 (Resta saber que política corresponde exatamente ao centro do 
espectro ideológico) 
 Equilíbrio de Nash: dois candidatos escolhem programas de 
governo semelhantes 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 14 
(Política por economistas) 
 John E. Roemer, “Political Competition: Theory and 
Applications”, Harvard Univ. Press, 2006 
1. Political Competition over a Single Issue: The Case of Certainty 
2. Modeling Party Uncertainty 
3. Unidimensional Policy Spaces with Uncertainty 
4. Applications of the Wittman Model 
5. Endogenous Parties: The Unidimensional Case 
6. Political Competition over Several Issues: The Case of Certainty 
7. Multidimensional Issue Spaces and Uncertainty: The Downs Model 
8. Party Factions and Nash Equilibrium 
9. The Democratic Political Economy of Progressive Taxation 
10. Why the Poor Do Not Expropriate the Rich in Democracies 
11. Distributive Class Politics and the Political Geography of Interwar 
Europe 
12. A Three-Class Model of American Politics 
13. Endogenous Parties with Multidimensional Competition 
14. Toward a Model of Coalition Government 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 15 
Em grupo... 
 Quais são os 
equilíbrios de 
Nash do jogo ao 
lado? 
Jogador 2: 
 
Jogador 1: 
t m r 
U 5, 3 0, 4 3, 5 
M 4, 0 5, 5 4, 0 
D 3, 5 0, 4 5, 3 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 16 
O jogo da localização com 
custos de transporte 
 Voltamos aos quiosqueiros da praia 
 Mesmas posições iniciais: 250m e 750m 
 Nova suposição: custo de deslocamento (ou de 
transporte) para os banhistas que desejam adquirir 
seu biscoito é função da distância 
 Banhista considera preço do biscoito e desutilidade 
de caminhar até o quiosque 
 Preço total, p* = p + td 
 Onde p é o preço do biscoito, d é a distância entre guarda-
sol e quiosque, e t é o custo de transporte por unidade de 
distância percorrida 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 17 
O jogo da localização com 
custos de transporte 
 Para uma distância suficientemente grande, 
alguns banhistas preferirão não se deslocar 
 Seja um preço de reserva, V, o preço total 
máximo que a pessoa estádisposta a pagar 
 Banhista comprará biscoito se p* ≤ V 
 Ou seja: p + td ≤ V 
 Ou ainda: d ≤ (V - p)/t 
 Suponha que V seja o mesmo para todos os 
banhistas 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 18 
O jogo da localização com 
custos de transporte 
 Para algum quiosqueiro vale a pena sair da posição 
inicial (250m e 750m)? 
 Na direção dos extremos da praia? 
 Não, porque perderia os clientes do centro (ou teria que 
reduzir preços para atraí-los, reduzindo seu lucro) 
 Na direção do centro? 
 Não, porque perderia os clientes do extremo (ou teria que 
reduzir preços e lucro cairia) 
 Posição inicial representa um equilíbrio de Nash 
 Diferente do resultado do jogo sem custos de transporte 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 19 
Em grupo… 
O jogo da moeda Jogador 2 
A B 
Jogador 1 A 1, -1 -1, 1 
B -1, 1 1, -1 
 Imagine que o jogo acima se repita 100 vezes 
1. Sendo você o Jogador 1, quantas vezes você 
jogaria A e quantas vezes você jogaria B? 
2. Por que? (Em especial, indique o comportamento 
que você espera do Jogador 2!) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 20 
Aula passada 
 Cada pessoa jogará contra todos os colegas 
 Comunicação estritamente proibida!!! 
 Cada pessoa deverá escolher número entre 
0 e 100 
 O vencedor será aquele que escolher o 
número mais próximo da metade da média 
de todos os números escolhidos pelos 
demais 
1. Que número você escolhe? 
2. Agora imagine que todos os colegas fossem 
homo economicus, que número você escolheria? 
21 
Aula passada 
 Antes de ver resultados de vocês, vejamos 
resultados da literatura para este jogo que é 
conhecido como… 
 Jogo do concurso de beleza… 
 Na literatura, os números escolhidos 
costumam se situar entre 25 e 35 
 Faz sentido? 
 
22 
Questão 1 
0 
1 
1 
6 
6 
7 
10 
12 
12 
13 
13 
15 
15 
15 
17 
20 
20 
23 
25 
25 
25 
Questão 1 
25 
25 
25 
25 
25 
25 
30 
30 
37 
40 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
23 
• Média: 26,049 
• (Em 2011: 26,93) 
 
• Metade da 
média: 13,024 
 
Questão 1 
0 
1 
1 
6 
6 
7 
10 
12 
12 
13 
13 
15 
15 
15 
17 
20 
20 
23 
25 
25 
25 
Questão 1 
25 
25 
25 
25 
25 
25 
30 
30 
37 
40 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
50 
24 
Aula passada 
 Primeira ideia dos jogadores, possivelmente, seria 
anunciar 50 
 Porém, antecipam que outros jogadores pensarão o 
mesmo, percebendo assim, que 50 é uma estratégia 
dominada  50/2 = 25 
 Antecipando que outros escolherão 25, esta torna-se 
dominada também e há tendência a uma nova redução 
 25/2 = 12,5 
 E assim por diante: 12,5  6,25  …  ??? 
 Há algum equilíbrio? 
25 
Aula passada 
 Se todos anunciam zero, a média é 0/2 = 0 
 Alguém tem interesse em “desviar”, isto é, anunciar 
outro valor? 
 Ex: 45 alunos anunciam o valor 0 e apenas 1 anuncia 
o valor 1  média/2 = 0,022 
 45 alunos vencem e dividem o prêmio; enquanto o 
46º aluno perde sozinho… (e se arrepende) 
 A partir da combinação de estratégias (0, 0, …, 0), 
ninguém tem interesse em desviar unilateralmente 
 Única situação estável (equilíbrio de Nash) é aquela em 
que todos anunciam zero 
26 
Aula passada 
 E como explicar a dissonância entre 
 Resultado teórico previsto (0 como EN), e 
 Resultados observados... 
 ...da literatura (por volta de 30) 
 ...de vocês (por volta de 26)? 
1. Ou os jogadores não aplicam o raciocínio até as 
últimas consequências... 
2. Ou então antecipam que demais não o farão 
 Afinal, que raciocínio é o mais sofisticado: anunciar 
zero ou algum valor positivo...? 
27 
Aula passada 
 Jogadores perfeitamente racionais, capazes de 
raciocínio sofisticado 
 …como aqueles que escolheram 1 ou 0… 
 ...perderam 
 O desafio mais importante aqui é avaliar raciocínio 
médio 
 Em outras palavras, para vencer, é preciso: 
 Que o raciocínio vá além daquele do jogador médio 
 Mas não “muito além”!!! 
 (Ou “ainda mais além”...: raciocínio “ultra-sofisticado...”) 
28 
Aula passada 
 Por que jogo se chama “jogo do concurso de beleza”? 
 John Maynard Keynes, Teoria Geral… 
 Comportamento de investidores é comparado ao de 
leitores... 
 ... que participavam de concurso de beleza promovido pelos 
jornais da época 
 Tinham que escolher os 6 rostos mais bonitos entre 100 
diferentes 
 O vencedor seria aquele cuja classificação ficasse mais 
próxima da classificação média de todos os participantes 
29 
Aula passada 
 Keynes explicava que os leitores (ou 
investidores) não deveriam escolher os 
rostos (ou investimentos)... 
 ... que, pessoalmente, consideravam os 
mais atrativos, mas deveriam guiar-se: 
1. Por suas antecipações das preferências 
alheias 
2. Pelas antecipações das antecipações 
alheias 
 Resta ainda analisarmos a questão b… 
30 
Questões 1 e 2 
0 0 
1 1 
1 1 
6 0 
6 1 
7 7 
10 8 
12 0 
12 25 
13 0 
13 1 
15 0 
15 1 
15 8 
17 25 
20 20 
20 25 
23 50 
25 0 
25 0 
25 0 
25 0 
Questões 1 e 2 
25 0 
25 0 
25 25 
25 25 
25 "jogo sem fim" 
30 50 
30 50 
37 0 
40 100 
50 0 
50 0 
50 25 
50 25 
50 49 
50 50 
50 50 
50 50 
50 50 
50 50 
• Média: 19,300 
• Metade da média: 9,650 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 31 
Diferenciação de produtos 
 Há diferenciação de produtos quando os 
consumidores percebem produtos de 
diferentes marcas como diferentes, ainda 
que sirvam ao mesmo fim 
 São substitutos imperfeitos 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 32 
Diferenciação de produtos 
 Diferenciação horizontal: variação no 
produto em resposta a diferenças de gosto 
(com preços iguais) 
 Ex: carro mais ou menos esportivo 
 Diferenciação vertical: variação no produto 
em resposta a diferenças de poder aquisitivo 
 Ex: carro com mais ou menos acessórios (e preço 
diferente) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 33 
Diferenciação de produtos 
 Adquirir produto mais distante das suas 
preferências é percebido como um custo às 
pessoas 
 Custo será tanto maior quanto mais o 
produto se distanciar daquilo que as pessoas 
consideram ideal 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 34 
Diferenciação de produtos 
 Quiosqueiro A poderia tentar diferenciar o 
seu produto, a fim de: 
 Atrair banhistas do outro extremo da praia 
e/ou 
 Fazer com que os banhistas próximos aceitassem 
pagar mais pelo seu biscoito 
 O mesmo vale para o político X: procura 
diferenciar sua plataforma política 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 35 
Aula passada 
1. Você é um flamenguista 
chamado “Jogador 1”. Você 
joga contra um 
botafoguense chamado 
“Jogador 2”. Você não vai 
com a cara dele e vice-
versa. O que você 
escolhe? 
2. Você joga, com um amigo 
de infância, que ainda hoje é 
seu melhor amigo. O que 
você acha que ele vai 
escolher: γ ou δ? O que você 
escolhe: α ou β? 
Jogador 2 
X Y 
Joga-
dor 1 
X 0, 0 -2, 1 
Y 1, -2 -8, -8 
Seu amigo de 
infância 
 γ δ 
Você α 2, -3 -7, -7 
 β 1, 1 -3, 2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 36 
Aula passada 
 Equilíbrios de Nash: 
 (X, Y), (Y, X) 
 (α, γ), (β, δ) 
 
 
Jogador 2 
X Y 
Joga-
dor 1 
X 0, 0 -2, 1 
Y 1, -2 -8, -8 
Seu amigo de 
infância 
 γ δ 
Você α 2, -3 -7, -7 
 β 1, 1 -3, 2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 37 
Aula passada 
 Literatura: 
 Jogo (sem as “histórias”): 
maioria respondeX e β 
 Em termos de estrutura 
jogos iguais 
 Ambos chicken game 
 Quase todos vocês 
responderam: 
 Y, γ, β 
 “História” contada afetou 
escolhas 
 Deveria ter afetado? 
 
Jogador 2 
X Y 
Joga-
dor 1 
X 0, 0 -2, 1 
Y 1, -2 -8, -8 
Seu amigo de 
infância 
 γ δ 
Você α 2, -3 -7, -7 
 β 1, 1 -3, 2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 38 
Aula passada 
 Se jogador antecipa 
comportamento 
 Hostil: decide punir outro jogador 
 Amistoso: recompensa o outro 
 “Equilíbrio equitativo”: conjunto de 
estratégias e crenças tais que: 
 Nenhum jogador tem interesse em 
mudar unilateralmente de 
estratégia, dadas as estratégias 
alheias e suas crenças sobre as 
intenções alheias 
 As previsões feitas pelos 
jogadores revelam-se corretas 
[supomos que são corretas aqui, 
em razão das histórias contadas] 
Jogador 2 
X Y 
Joga
-dor 
1 
X 0, 0 -2, 1 
Y 1, -2 -8, -8 
Seu amigo 
de infância 
 γ δ 
Você α 2, -3 -7, -7 
 β 1, 1 -3, 2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 39 
A tragédia do uso comum 
 Considere uma área de pastagem, cuja 
propriedade é “de uso comum”, por parte 
de todos os habitantes do vilarejo 
 Os moradores podem criar gado na área 
comum 
 Quando c vacas são criadas, quantidade 
total de leite é f(c) 
 Com f ’>0 e f ”<0  rendimento marginal 
decrescente 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 40 
A tragédia do uso comum 
c 
Leite 
f(c) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 41 
A tragédia do uso comum 
 Considere uma área de pastagem, cuja 
propriedade é “de uso comum”, por parte de 
todos os habitantes do vilarejo 
 Os moradores podem criar gado na área 
comum 
 Quando c vacas são criadas, quantidade total 
de leite é f(c) 
 Com f ’>0 e f ”<0  rendimento marginal 
decrescente 
 O que os moradores deveriam fazer para 
maximizar a renda total? 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 42 
A tragédia do uso comum 
 Seja $1 o preço do leite, e seja $pc o custo 
de se criar uma vaca 
 O problema de otimização, do ponto de 
vista coletivo (do vilarejo) será então: 
max ( ) ( ) .
c
cc f c p c

 
0

Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 43 
A tragédia do uso comum 
max ( ) ( ) .
c
cc f c p c

 
0

O número de vacas ótimo, c*, que 
maximiza a renda, satisfaz: 
 f c pc( )
isto é, o ganho de renda marginal da 
última vaca criada deve ser igual ao 
custo marginal de criá-la 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 44 
A tragédia do uso comum 
c 
Leite 
f(c) 
pcc 
decl. = 
f’(c*) 
c* 
decl. 
= pc 
Lucro máximo 
f(c*) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 45 
A tragédia do uso comum 
 Quando c = c*, o lucro médio por vaca criada 
é: 
 
 
porque f ’ > 0 e f ” < 0. Vejamos no gráfico… 
( *)
*
( *) *
*
( *)
*
c
c
f c p c
c
f c
c
pc c

   0
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 46 
A tragédia do uso comum 
c 
Leite 
f(c) 
pcc 
decl. = 
f’(c*) 
c* 
f(c*) 
Em c*, declividade 
de f(c*)/c* é maior 
que a declividade 
da reta laranja (pc) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 47 
A tragédia do uso comum 
 Quando c = c*, o ganho médio por vaca 
criada é: 
 
 
porque f ’ > 0 e f ” < 0. Portanto, há lucro 
para aquele que introduzir nova vaca na 
área de pastagem 
 Como ninguém é dono da área comum, o 
acesso é ilimitado 
( *)
*
( *) *
*
( *)
*
c
c
f c p c
c
f c
c
pc c

   0
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 48 
A tragédia do uso comum 
c 
Leite 
f(c) 
pcc 
decl. = 
f’(c*) 
c* 
f(c*) 
c
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 49 
A tragédia do uso comum 
 A entrada continua até o ponto em 
que o lucro de se criar mais uma 
vaca torna-se zero; isto é, até que: 
( ) ( ) ( )
.
c
c
f c p c
c
f c
c
pc c

   0
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 50 
A tragédia do uso comum 
c 
Leite 
f(c) 
pcc 
decl. = 
f’(c*) 
c* 
f c
c
pc
( )


f(c*) 
Área comum é – “tragicamente” – sobre-utilizada 
c
Em c^, declividade 
de f(c^)/c^ = à da 
reta laranja (pc) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 51 
A tragédia do uso comum 
 Razão para tal “tragédia” é simples: 
 Quando um morador adiciona uma vaca à área 
comum, sua renda aumenta, mas a renda de 
cada um dos demais criadores cai… 
 O morador que adiciona a vaca extra não 
leva em conta o custo que impõe aos demais 
moradores 
 Isto é, a externalidade negativa 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 52 
A tragédia do uso comum 
 Equilíbrio de Nash (simétrico): 
 Se eu não criar vaca, outro morador criará... 
 Dado que outro vai criar, melhor resposta 
para mim é criar, até que o valor da minha 
criação se iguale ao custo 
 Todos pensam desta forma, conduzindo ao 
“trágico equilíbrio” 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 53 
Produto 
médio (AP) 
Produto 
marginal (MP) 
A B 
Em A: MP = custo 
de criar uma vaca 
(ponto c*) 
Em B: AP = custo 
de criar uma vaca 
(ponto c^) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 54 
A tragédia do uso comum 
 Tragédias do uso comum no mundo 
contemporâneo: 
 pesca excessiva em alto-mar 
 desflorestamento e exploração econômica de 
áreas públicas (“sem dono”) 
 sobre-utilização de parques públicos, ou da 
praia em dia de sol 
 congestionamentos de trânsito 
 (Exemplos: ler Varian pp. 690-693)