Regras Limites

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Ciências Econômicas - Métodos Quantitativos Prof Dra Deiby Santos Gouveia 
1 
 
Limites 
1. Propriedades de limite 
 
𝑆𝑒 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑒 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑒 𝑘 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 
 
- Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑥
0 + 𝑎1𝑥
1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 (função polinomial), então: 
 
 
 
 
 
- Seja L um intervalo aberto que contém a e seja f uma função definida em L. Temos que: 
 
 
 
 
 
- Limites Infinitos: Seja f e g funções tais que: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑐 ≠ 0 e lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 0. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Limites no Infinito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. lim𝑥→𝑎 𝑘 = 𝑘 
II. lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎 
III. lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ±lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀 
IV. lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) . lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿. 𝑀 
V. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝑀
, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0 𝑒 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
VI. lim𝑥→𝑎 √f(x)
n = √lim𝑥→𝑎 f(x) =
n
√L
n
 , desde que L > 0 quando n for par. 
VII. lim𝑥→𝑎 𝑘. 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ↔ lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= +∞ se 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
> 0 quando x se aproxima de a 
 
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= −∞ se 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
< 0 quando x se aproxima de a 
1 - Se C  R, lim𝑥→±∞ 𝑐 = 𝑐 ( indica que é válido para +  e para - ) 
 
2 - Se n é inteiro e positivo: 
 
lim𝑥→+∞ 𝑥
𝑛 = +∞ e lim𝑥→−∞ 𝑥
𝑛 = {
+∞ 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
−∞ 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
3 – Se n é inteiro e positivo: lim𝑥→±∞
1
𝑥𝑛
= 0 ( indica que é válido para +  e para - ) 
 
 
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Limite de uma função polinomial para x    
 
- Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑥
0 + 𝑎1𝑥
1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 (função polinomial), então: 
 
 
 
 
 
- Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑥
0 + 𝑎1𝑥
1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 e 𝑔(𝑥) = 𝑏0𝑥
0 + 𝑏1𝑥
1 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥
𝑚, então: 
 
 
 
 
 
 
Limite de uma função Exponencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite de uma função Logaritmica: 
 
- Seja b > 0 e ≠ 1 e a > 0, temos: 
 
 
 
 
 
Limite exponencial fundamental 
Logaritmos naturais 
log𝑏 𝑎 = 𝑥 ↔ 𝑏
𝑥 = 𝑎 
log𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑜𝑢 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙) 
 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑒𝑦 = 𝑥 
𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑥 
𝑒𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0 
𝑙𝑛 𝑒 = 1 
Para todos os números positivos a (a ≠ 0 e 1), temos: 
log𝑎 𝑥 =
𝑙𝑛 𝑥
𝑙𝑛 𝑎
 
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛 
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑎𝑛𝑥
𝑛
𝑏𝑚𝑥𝑚
=
𝑎𝑛
𝑏𝑚
𝑥𝑛−𝑚 
- Se a  R e 0 < a ≠ 1, então lim𝑥→0 𝑎
𝑥 = 1 
 
- Se a  R e 0 < a ≠ 1, então lim𝑥→𝑏 𝑎
𝑥 = 𝑎𝑏 
 
- Se a  R e a > 1, então {
 lim𝑥→+∞ 𝑎
𝑥 = +∞ 𝑒
lim𝑥→−∞ 𝑎
𝑥 = 0
 
 
 
- Se a  R e 0 < a < 1, então {
 lim𝑥→+∞ 𝑎
𝑥 = 0 𝑒
lim𝑥→−∞ 𝑎
𝑥 = +∞
 
lim
𝑥→𝑎
log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑎 
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Leis dos logaritmos: se x e y forem números positivos, então: 
log𝑎(𝑥. 𝑦) = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 
log𝑎 (
𝑥
𝑦
) = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 
log𝑎(𝑥
𝑟) = 𝑟. log𝑎 𝑥 ( onde r é qualquer número real) 
log𝑎 𝑥 =
log𝑐 𝑥
log𝑐 𝑎
 (𝑚𝑢𝑑𝑎𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒) 
 
O número 𝑒 ≈ 2,71828 é definido como sendo o limite: 
 
𝑒 = lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
 𝑒 = lim
𝑛→0
(1 + 𝑛)
1
𝑛