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12/02/2015 online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo
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Caro Aluno
 
 
Seja bem vindo.
 
 
Nesta nossa disciplina trataremos de assuntos como Limites, Derivadas e Integrais,
com o objetivo principal de propiciar a você o conhecimento de ferramentas
matemáticas essenciais ligadas ao Cálculo e suas aplicações para analisar,
interpretar e aplicar essas ferramentas na resolução de problemas econômicos, e é
nossa expectativa que você aprenda bastante.
 
Considerando­se que será você quem administrará seu próprio tempo, nossa
sugestão é que você dedique ao menos 2 horas por semana para esta disciplina,
estudando os textos sugeridos e realizando os exercícios de auto­avaliação. Uma
boa forma de fazer isso é já ir planejando o que estudar, semana a semana.
 
Para facilitar seu trabalho, apresentamos na tabela abaixo, os assuntos que deverão
ser estudados e, para cada assunto, a leitura fundamental exigida e a leitura
complementar sugerida. No mínimo você deverá buscar entender bastante bem o
conteúdo da leitura fundamental, só que essa compreensão será maior, se você
acompanhar, também, a leitura complementar. Você mesmo perceberá isso, ao
longo dos estudos.
 
 
a – Conteúdos (assuntos) e leituras sugeridas
 
Assuntos/módulos Leituras Sugeridas
Fundamental Complementar
1 – Limites Capítulo 3 do Livro texto. Capítulo 2 do livro do
Weber, item 2.2
2 – Derivadas
 
Capítulo 4 do Livro texto. Capítulo 2 do livro do
Weber, itens 2.4, 2.6 e
2.8
3 – Aplicações das
derivadas em
Matemática
 
Capítulo 5 do Livro texto. Capítulo 4 do livro do
Medeiros (vol. 1), itens 1
a 5
4 – Aplicações das
derivadas em
Economia
 
Capítulo 2 do livro do
Weber, item 2.5
Capítulo 4 do livro do
Medeiros (vol. 1), itens 7
e 8
5 – Derivadas
parciais
 
Capítulo 9 do Livro texto,
itens 9.1 e 9.2
Capítulo 3 do livro do
Weber, item 3.2
6 – Aplicações das
derivadas parciais
em Economia.
Capítulo 2 do livro do
Weber, item 3.3
Capítulo 4 do livro do
Medeiros (vol. 2), item
3.1.13
7 – Integral
 
Capítulo 6 do Livro texto,
itens 6.1 a 6.4
Capítulo 4 do livro do
Weber, itens 4.2 e 4.4
8 – Aplicações das
integrais em
Economia
Capítulo 4 do livro do
Weber, itens 4.3 e 4.5
Capítulo 4 do livro do
Medeiros (vol. 1), item 8
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Nota: ver as referências bibliográficas, para maior detalhamento das fontes de consulta
indicadas
 
b – Avaliações
 
Como é de seu conhecimento, você estará obrigado a realizar uma série de
avaliações, cabendo a você tomar conhecimento do calendário dessas avaliações e
de proceder ao agendamento das datas das suas provas, dentro dos períodos
especificados.
 
Por outro lado, é importante destacar que uma das formas de você se preparar para
as avaliações é realizando os exercícios de auto­avaliação, disponibilizados para
você neste sistema de disciplinas on line. O que tem que ficar claro, entretanto, é
que os exercícios que são requeridos em cada avaliação não são repetições dos
exercícios da auto­avaliação.
 
Para sua orientação, informamos na tabela a seguir, os assuntos que serão
requeridos em cada uma das avaliações às quais você estará sujeito:
 
 
Conteúdos a serem exigidos nas avaliações
Avaliações Assuntos Exercícios de auto­avaliação
relacionados
NP1 Do módulo 1 até o módulo 4 Todos os exercícios do módulo 1
até o módulo 4
NP2 Do módulo 5 até o módulo 8 Todos os exercícios do módulo 5
até o módulo 8
Substitutiva Toda a matéria Todos os exercícios
Exame Toda a matéria Todos os exercícios
 
 
C – Referências bibliográficas
 
·         Livro texto
 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S. Introdução ao Cálculo – para
administração, economia e contabilidade. 1ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
 
·         Outras referências
 
CHIANG, C. A., WAINWRIGHT, K. Matemática para Economistas, 4ª ed. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2006.
 
SILVA, S. M. et al. Matemática: para cursos de Economia, Administração e
Ciências Contábeis. Vol. 1. 6ª ed. São Paulo: Atlas, 2010.
 
SILVA, S. M. et al. Matemática: para cursos de Economia, Administração e
Ciências Contábeis. Vol. 2. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 1997.
 
WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. 2ª ed. São Paulo:
Harbra, 1986.
 
 
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UNIP – Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 – Limites pág. 1 
Módulo 1 – Limites 
 
1. Introdução 
 
Nesta disciplina você vai estudar o cálculo diferencial e integral e suas aplicações em diversos problemas 
relacionados à Economia. 
O conceito de limite é conceito mais básico do cálculo e, portanto, é o seu ponto de partida. Uma boa 
compreensão desse conceito vai ajudar você a entender os demais assuntos com os quais trabalharemos nesta 
disciplina. 
A ideia de limite de uma função é de grande importância quando queremos estudar o comportamento da 
função nas vizinhanças de um ponto fora do seu domínio. 
Vejamos então a definição matemática de limite de uma função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos agora um exemplo: 
 
Considere a função f(x) = 2x + 5. Vamos estudar o comportamento dessa função quando x se aproxima de 1. 
Primeiro, considerando valores menores que 1 (à esquerda de 1): 
 
x 0 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 
f(x) 5 6 6,6 6,8 6,98 6,998 
 
Agora, considerando valores maiores que 1 (à direita de 1): 
 
x 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 
f(x) 9 8 7,4 7,2 7,02 7,002 
 
Como podemos ver, à medida que x se aproxima de 1 tanto à direita (valores maiores que 1) quanto à 
esquerda (valores menores que 1), f(x) se aproxima de 7. 
Logo, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
2. Definição formal de limite 
 
Limite de uma função é: 
 
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função definida para x pertencente a 
I – { a }. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a é L e escrevemos 
 
 
 
 
 
Se para todo ε > 0 existir um δ > 0 tal que 0 < |x – a | < δ então |f(x) – L| < ε. 
 
 
 
 
Dada uma função f(x) e um ponto a do seu domínio, dizemos que o limite da função é L se e somente 
se, quando x tende a a, isto é, se aproxima de a, os valores de f(x) se aproximam de L. 
Simbolicamente, escrevemos: 
1 
1 
UNIP – Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 – Limites pág. 2 
 
Em símbolos temos: 
 
 
 
 
 
Observe que nessa definição nada é mencionado sobre o valor da função quando x = a. Isso quer dizer que 
não é necessário que a função esteja definida em a. 
É também importante observar que no cálculo do limite de f(x) quando x tende a a o que nos interessa é o 
comportamento de f(x) nas cercanias do a (quando x se aproxima de a) e não o que ocorre com f(x) quando 
x=a. 
 
Veja esse outro exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que a função acima não está definida para x = 2, pois se substituirmos x por 2 encontraremos 0 no 
denominador, o que invalida a expressão. Entretanto, como x tende a 2 e não é 2, podemos fazer uma 
simplificação dessa expressão, obtendo outra expressão equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora fica mais fácil verificar que esse limite é igual a 5. 
 
 
 
 
3. Um limite importante: o limite exponencial fundamental 
 
Considere a função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa função é muito comum para designar curvas de crescimento. Uma aplicação típica dela é no cálculo do 
montante na Matemática Financeira. 
Vamos estudar o que acontececom essa função quando x cresce, ou seja, quando x assume valores cada vez 
maiores, tendendo ao infinito. 
A primeira constatação é que a fração 
 
 
 tende a 0. Entretanto, embora tenda a 0, seu valor não é exatamente 
0, o que faz com que a soma 
 
 
 não seja igual a 1, mas sim um pouco maior que 1. Como x aparece 
também no expoente, à medida que x aumenta de valor, o expoente fica cada vez maior, tendendo ao 
infinito. 
Essa função foi estudada pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783), que 
demonstrou que o limite dessa função quando x tende ao infinito é converge para um número irracional. Esse 
número ficou depois conhecido como número de Euler (e). 
 
 
 
UNIP – Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 – Limites pág. 3 
Veja na tabela abaixo alguns valores de f(x) para x cada vez maior: 
 
X f(x) 
1 2 
5 2,48832 
10 2,593742 
50 2,691588 
100 2,704814 
1.000 2,716925 
10.000 2,718149 
100.000 2,718268 
1.000.000 2,718280 
 
Observe que embora x vá aumentando sempre cada vez mais, o valor de f(x) aumenta cada vez menos, 
convergindo para um valor que, com 9 casas decimais, é 2,718281828. Assim, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse número e é muito usado como base de logaritmos. Tão usado que o logaritmo de base e recebe um 
nome e um símbolo específicos: logaritmo neperiano, símbolo LN. As funções financeiras costumam usar 
esse tipo de logaritmo, tanto que a calculadora financeira HP 12C não tem uma tecla para o logaritmo 
decimal, mas sim uma tecla para o logaritmo neperiano. 
 
4. Formulário: Limites 
 
Para facilitar o cálculo dos limites, vamos resumir as definições, propriedades e teoremas numa tabela 
prática, que poderá auxiliar você em seus estudos: 
 
4.1. Produtos notáveis 
 
Quadrado da soma 
Quadrado da diferença 
Produto da soma pela diferença 
Cubo da soma 
Cubo da diferença 
 
4.2. Fatorações 
 
Fator comum 
Diferença de quadrados 
Trinômio do 2° grau 
 
 
 
 
Soma de cubos 
Diferença de cubos 
Conjugado de 
é 
 
 
UNIP – Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 – Limites pág. 4 
Propriedades de limites 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja L um intervalo aberto que contém a e seja f uma função definida em L. Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja f e g funções tais que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3. Limites no infinito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4. Função exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. 
II. 
III. 
 
 
IV. 
 
 
V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. 
 
 
 
 
 , desde que quando n for par. 
VII. 
UNIP – Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 – Limites pág. 5 
4.5. Função logarítmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Exercícios resolvidos 
 
Exercício 1 
 
Considerando a função 
 
 
, que está definida para todo , isto é, não podemos calcular a 
imagem quando x assume o valor 2 (2 não está no domínio de f). 
Como a variável x não pode assumir o valor 2 então vamos estudar o comportamento de f quando x assume valores 
muito próximos de 2 (vizinhança) mas diferente de 2, através das tabelas de aproximações: 
 
1°) Aproximando do x=2 pela direita (maiores que 2) 
 
 
x 
 
 
 
3 5 
2,5 4,5 
2,2 4,2 
2,1 4,1 
2,01 4,01 
2,001 4,001 
2,0001 4,0001 
2,00001 4,00001 
2,000001 4,000001 
 
 
2°) Aproximando do x=2 pela esquerda (menores que 2): 
 
 
x 
 
 
 
 
1 3 
1,5 3,5 
1,9 3,9 
1,99 3,99 
1,999 3,999 
1,9999 3,9999 
1,99999 3,99999 
1,999999 3,999999 
1,9999999 3,9999999 
 
 
Observe que podemos aproximar f(x) de 2 o quando quisermos, basta tornarmos x suficientemente próximo 
de 2. 
 
Formalizando: O limite da função 
 
 
 quando x se aproxima de 2 é igual a 4. 
 
Simbolicamente: ou 
 
 
 
 
2 
2 
 
 
 
Limite lateral 
 
Quando x tende a 2 por valores maiores do que 2, dizemos que x 
tende a 2 pela direita e denotamos por 
 
 
 
 
Limite lateral 
 
Quando x tende a 2 por valores menores do que 2, dizemos que x 
tende a 2 pela esquerda e denotamos por 
 
UNIP – Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 – Limites pág. 6 
Uma outra maneira de calcular o 
 
 
 é encontrar uma função simplificada da função 
 
 
 
na qual x=2 faça parte do domínio, então calcular o limite dessa função simplificada para x tendendo a 2, 
como no exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então é uma função simplificada da função 
 
 
 
 
Calcular o limite da função simplificada equivale calcular o limite da função completa: 
 
Portanto o limite de f(x) é 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
 
Calcule o seguinte limite: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Primeiro, fatoramos o numerador: (x² – 16) = (x + 4).(x – 4) 
Em seguida, simplificamos o fator (x – 4) do numerador com o denominador (x – 4). 
A expressão fica equivalente ao limite de (x + 4) quando x tende a 4. 
De acordo com o teorema do limite da função polinomial, podemos substituir o x por 4 e aí teremos: 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
 
Determine os seguintes limites, caso eles existam: 
a) 
 
 é um polinômio assim, 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
Observe que esse limite tem a forma 
 
 
, onde f(x) e g(x) são polinômios e Consequentemente,temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4 
 
Determine 
 
 
, caso exista: 
Solução: 
 
Substituindo x por 1 na função, resultará em 6/0; assim, esse limite tem a forma a/0, com , e todo limite da forma 
a/0 não existe. Verifique essa afirmação a seguir: 
UNIP – Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 – Limites pág. 7 
Como o numerador é não-nulo quando x = 1 sabemos que x – 1 não é um fator do numerador, e não poderemos 
dividir o numerador e o denominador como fizemos no exemplo anterior. 
Fazendo a tabela por aproximação podemos confirmar que este limite não existe, os valores de f(x)/g(x) são ilimitados 
próximos de x = 1. 
À esquerda de À direita de 
X 
 
 
x 
 
 
0 -2 2 12 
0,5 -7,5 1,5 17,5 
0,7 -15,3 1,2 35,2 
0,9 -55,1 1,1 65,1 
0,99 -595,01 1,01 605,01 
0,999 -5.995,001 1,001 6.005,001 
0,9999 -59.999,0001 1,0001 60.005,0001 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 5 
 
Encontre o limite 
 
 e 
 
 , se eles existirem, para 
 
 
 
 
 
Solução: 
Calculando os limites laterais temos: 
 
 
 
 
Como 
 
 então não existe 
 
Graficamente: 
 
 
UNIP – Métodos Quantitativos em Economia Módulo 1 – Limites pág. 8 
 
 
Exercício 6 
 
Determine 
 
 
 
 
, caso exista: 
Solução: 
 
Para determinar esse limite iremos utilizar o limite fundamental exponencial 
 
 
 
 
 
E para isso vamos reescrever o 
 
 
 
 
 em função do limite fundamental exponencial: 
1º passo: trocar x por k na expressão temos: 
 
 
 
 
 
 
2º passo: igualar os termos 
 
 
 
 
 
 e isolar k 
 
 
3º passo: trocar k pelas igualdades encontradas no 2º passo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º passo: calcular o limite 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7 
 
Determine 
 
 
 
 
, caso exista: 
Solução: 
 
Para determinar esse limite iremos utilizar o limite fundamental exponencial 
 
 
 
 
 
E para isso vamos reescrever o 
 
 
 
 
 em função do limite fundamental exponencial: 
1º passo: trocar x por k na expressão temos: 
 
 
 
 
 
 
2º passo: igualar os termos 
 
 
 
 
 
 e isolar k 
 
 
 
 
 
 
3º passo: trocar k pelas igualdades encontradas no 2º passo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º passo: calcular o limite 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 2 – Derivadas pág. 1 
Módulo 2 – Derivadas 
 
1. Introdução 
 
Como o conceito de derivada está ligado à taxa de variação média de uma função vamos iniciar nosso 
estudo sobre derivadas descrevendo essa taxa. 
 
A taxa média de variação mede o ritmo de variação da imagem em relação à variação de x e é expressa por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A taxa média de variação depende do ponto de partida x0 e da variação de x, dada por x=x1-x0. 
 
Fazendo 
1 0x x x  
 e , ao substituir na fórmula acima temos: 
0 0( ) ( )f x x f xf
x x
 

 
 
 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Seja a função f(x) = x
2
, representada graficamente por: 
 
 
 
 
 
 
 
x0 x1 
f 
f(x0) 
f(x1) 
x 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 2 – Derivadas pág. 2 
 
 
 
2. Derivada: Conceito 
 
A derivada de uma função num ponto x0 pertencente ao domínio de f, mede a taxa de variação de f dada uma 
variação da variável independente x, definida da seguinte forma. 
 
1 0
1 0 0 0
0 0
1 0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim
x x x x
f x f x f x x f xf
x x x x    
  
 
  
 
Simbolicamente a derivada de f(x) no ponto x0 é expressa por: 
0 0 0
df dy
(´ ), ( ) ou ( )
dx dx
f x x x
 
 
 
 
 
 
 
3. Função derivada 
 
Função derivada de é o cálculo da derivada de em um ponto genérico x, o domínio dessa função 
é o conjunto dos valores de x para os quais existe a derivada de A principal vantagem em calcular a 
função derivada é que com ela poderemos calcular a derivada de em qualquer ponto , para isso basta 
substituir, na função derivada, x por . 
Exemplo: 
Determine a função derivada de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, se quisermos a derivada no ponto , basta calcular 
 , que é igual a - 4. 
 
Observe que quando x varia de 1 a 2, f varia de 1 a 4. 
Assim, a taxa de variação de f dada uma variação em 
x, é dada por: 
 
4 1
3
2 1
f
x
 
 
  
 
Isto significa que quando x varia de 1 unidade, 
começando de x0 = 1, f varia 3 unidades. 
A derivada de uma função num ponto é um limite e sua condição de existência é que o limite que 
define a derivada exista. 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 2 – Derivadas pág. 3 
4. Derivada das principais funções elementares 
 
4.1. Derivada da função constante 
Se (função constante), então , para todo x. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
4.2. Derivada da função potência 
Se ·, então 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3. Derivada da função logarítmica 
Se ·, então 
 
 
 
 
Se ·, então 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4. Derivada da função exponencial 
 Se , então . , para todo x real 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 2 – Derivadas pág. 4 
5. Regras de derivação 
 
Considere k uma constante: 
 
I. Se , então 
 
 
II. Se , então 
 
 
 
 
 
III. Se , então 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Se , então 
 
 
 
 
 
V. Se 
 
 
, então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Derivadas sucessivas 
 
 é a derivada de 
 é a derivada de , denominada por derivada segunda de 
 é a derivada de , denominada por derivada terceira de 
Analogamente, podemos definir derivada quarta, quinta e assim por diante. 
A derivada de ordem n de será representada por , se n for grande, evitandoo uso de muitas 
“linhas” 
 
Exemplo: 
Para , teremos as seguintes derivadas sucessivas: 
 
 
 
 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 2 – Derivadas pág. 5 
7. Regra de L’Hôpital 
 
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis, tais que 
 
 
 é da forma 
 
 
 
 
 
, então: 
 
 
 
 
 
 
, desde que exista o limite . 
 
Exemplos 
Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hopital: 
a) 
 
 
 
Como numerador e denominador tendem a 0, quando x tende a 2 a regra de L’Hopital, pode ser aplicada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
Como numerador e denominador tendem a 0, quando x tende a 2 a regra de L’Hospital, pode ser aplicada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
Tanto o numerador quanto o denominador tendem a , quando x tende a Logo, pela regra de L’Hospital: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Diferencial de uma função 
 
O diferencial de uma função (df), mede a variação da função a partir da taxa de variação da função num ponto, útel 
para calcular aproximadamente variações de f, para pequenos valores de . 
 
 
Exemplo: 
Consideremos a função e os pontos de abscissa 1 e 1,01. A variação de f entre os pontos dados é 
 
 
 
A diferencial de f no ponto de abscissa 1, para é 
Como e temos 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 3 – Aplicações das derivadas em Matemática pág. 1 
Módulo 3 – Aplicações das derivadas em Matemática 
 
1. Interpretação geométrica da derivada 
 
Como vimos no módulo 2 a definição de taxa de variação média de uma função é: 
1 0
1 0
( ) ( )f x f xf
x x x


  
 
 
E a definição de derivada de uma função num ponto é: f ’(x0) = 
1 0
1 0
1 0
( ) ( )
lim 
x x
f x f x
x x


 
 
No gráfico, esta relação equivale à tangente do ângulo correspondente à reta que une os pontos x0 e x1. 
 
Então, graficamente a derivada de uma função num ponto x0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente 
no ponto x0. 
 
 
Vejamos um exemplo: 
 
O gráfico abaixo corresponde a função f(x)=x
2 
e a derivada dessa função é f´(x)=2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f´(-2)=2.(-2)=-4 
 
O coeficiente angular da 
reta que tangencia o 
gráfico no ponto x = -2 é 
igual a -4. Isso indica 
que a reta tangente é 
decrescente. 
 
f´(-1)=2.(-1)=-2 
O coeficiente angular da 
reta que tangencia o 
gráfico no ponto x = -1 é 
igual a -2. Isso indica 
que a reta tangente é 
decrescente. 
f´(2)=2.(2)=4 
O coeficiente angular da 
reta que tangencia o 
gráfico no ponto x = 2 é 
igual a 4. Isso indica 
que a reta tangente é 
crescente. 
f´(1)=2.(1)=2 
O coeficiente angular da 
reta que tangencia o 
gráfico no ponto x = 1 é 
igual a 2. Isso indica 
que a reta tangente é 
crescente. 
f´(0)=2.(0)=0 
O coeficiente angular da reta que 
tangencia o gráfico no ponto x = 0 é 
igual a 0. Isso indica que a reta 
tangente é horizontal. 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 3 – Aplicações das derivadas em Matemática pág. 2 
2. Máximos e mínimos 
 
Por meio do estudo da primeira derivada é possível identificar intervalos de crescimento e decrescimento da 
função, a partir dos pontos de máximos e mínimos. 
 
Funções crescentes e decrescentes 
Se, para todo
]a, b[x
 tivermos f ’(x) > 0, então f(x) é crescente em todo intervalo 
]a, b[
. 
Se, para todo
]a, b[x
 tivermos f ’(x) < 0, então f(x) é decrescente em todo intervalo 
]a, b[
. 
 
Vejamos o exemplo a seguir: 
A primeira derivada da função: 3
2( ) 2 3 10
3
x
f x x x   
 é 
2'( ) 4 3f x x x  
 
As raízes da equação f’(x) (pontos onde a primeira derivada se anula) são x = 1 e x = 3. Ao fazer o estudo do sinal de 
f’(x) temos que a função f’(x) é crescente em
] , 1 [
, decrescente em
]1, 3[
e crescente em
[3, [
, como mostra
 
a figura abaixo: 
 
Como a função é crescente à esquerda de x = 1 e decrescente à direita de x = 1 significa que x = 1 é um ponto de 
máximo relativo de f, isto, é este ponto maximiza localmente a função. 
Aplicando o mesmo raciocínio no ponto x= 3 pode-se concluir que x=3 é ponto de mínimo local de f 
 
Os 
x
lim f(x) = 


 e 
x
lim f(x) = -

 
indicam que a função não tem pontos de mínimo e máximo absolutos. 
 
Agora, se f for contínua em [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) 
em algum c e d em [a, b]. 
Uma condição necessária para um ponto c, pertencente ao domínio de uma função, ser máximo ou mínimo local é 
que f ‘(c) = 0. 
 
3. Concavidade e Ponto de Inflexão 
 
O ponto de inflexão indica onde a concavidade da função muda, isto é, um ponto d é ponto de inflexão,se f ‘‘(d) = 0 e 
f ´´ tem um sinal à esquerda de d e outro à direita de d. 
 
Concavidade e Ponto de Inflexão 
Se f ’‘(x) > 0 para todo
]a, b[x
, gráfico de f(x) é côncavo para cima em [a, b]. 
Se f ’‘(x) < 0 para todo
]a, b[x
, gráfico de f(x) é côncavo para baixo em [a, b]. 
 
Vejamos o exemplo a seguir: 
 
Vamos estudar concavidade da função . Para isso, primeiro vamos determinar a primeira e 
segunda derivada da função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do sinal de f’’ 
 
 
Comportamento de concavidade de f 
 
 
 
Conclusão: a função f é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima em , e x = 2 é um 
ponto de inflexão, pois 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 3 – Aplicações das derivadas em Matemática pág. 3 
 
4. Máximos e Mínimos por meio da segunda derivada 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função 
 
 
 
 
 
 
Para isso vamos determinar a primeira derivada da função , e obter as suas raízes, que são x = 
1 e x = 4 
 
Em seguida, vamos determinar a segunda derivada da função . E calcular o valor da f´´(x) para x = 1 e 
x = 4 (raízes da primeira derivada): 
 
 
 
 
 
Sejam f, f ’, f ’’ contínuas em [a, b] e 
[a, b]c
com f ’(c) = 0. 
Se f ‘‘(c) > 0, então c é um ponto de mínimo e, se f ‘‘(c) < 0, então c é ponto de máximo de f. 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 4 – Aplicações das derivadas em Economia pág. 1 
Módulo 4 – Aplicações das derivadas em Economia 
 
1. Análise marginal 
 
A função marginal estuda o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x, como por exemplo: 
a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita 
e a função produtividade marginal é a derivada da função de produção e assim analogamente para outras 
diversas funções. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1 - custo marginal 
Seja a função custo total então a função custo marginal será dada por 
 . O custo marginal é aproximadamente à variação do custo da produção de uma unidade adicional a 
partir da unidade x. 
Assim, para calcular o custo da produção de uma unidade adicional a partir da 10ª unidade, basta calcular o custo 
marginal para x=10:Portanto, o custo de produção da 11ª unidade é aproximadamente igual ao custo marginal que 
representa . 
 
Exemplo 2 - receita marginal 
Seja a função receita então a função a receita marginal será dada por: 
 
Assim, para calcular a receita no ponto x=50, temos que: 
Portanto, o aumento da receita decorrente da venda da 51ª unidade representa aproximadamente 
 
Exemplo 3 - produtividade marginal 
Seja a função de produção, onde P é a quantidade (em quilo) produzidas por mês de um produto e x 
o trabalho mensal envolvido (medido em horas), então a produtividade marginal do trabalho será dada por: 
 
Se x=1000 então: 
Assim, se o número de horas aumentar de 1000 para 1001, o aumento na produção mensal será, aproximadamente, 
7,9 quilos. 
 
Exemplo 4 - Propensão marginal a consumir e poupar 
 
Propensão marginal a consumir é a derivada da a função consumo C(y), indicada por 
 , onde y é a 
renda disponível e C o consumo. 
Propensão marginal a poupar é a derivada da função poupança (S(y) = y – C(y)) indicada por 
 , 
onde y a renda disponível e S a poupança. 
 
Seja a função consumo de uma família, assim a função propensão marginal será dada por 
 
 
Para calcular o aumento do consumo se aumentarmos em uma unidade a renda disponível de 10 para 11, basta 
calcular: 
 . Assim, o aumento do consumo será aproximadamente igual a 0,25. 
Agora para saber qual será o aumento da poupança é necesário obter a função poupança dada por , ou 
seja, , e em seguida obter a função propensão marginal a poupar, dada por: 
 
 . Fazendo y=10 temos: 
 . Portanto, se a renda 
passar de 10 para 11, o aumento da poupança será aproximadamente 0,75. 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 4 – Aplicações das derivadas em Economia pág. 2 
2. Elasticidade 
 
A elasticidade da demanda no ponto é definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
p0 é preço x0 é a quantidade demandada 
 é a variação do preço a partir de p0 é a variação da quantidade demandada a partir de x0 
 
 
 é a variação porcentual no preço 
 
 
 é a variação porcentual na quantidade 
 
 
 é a derivada da quantidade em relação ao preço 
O módulo é introduzido na definição para que a elasticidade resulte em um número positivo. 
Logo, 
 
 
 
 
 
 , em que a derivada 
 
 
 é calculada no ponto (x0, p0). 
Se > 1, a demanda é dita elástica no ponto considerado; 
Se 0< <1 a demanda é dita inelástica; 
Se = 1, a demanda tem elasticidade unitária no ponto considerado. 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: 
Seja uma a equação de demanda então 
 
 
 
Assim a elasticidade da demanda no ponto será dada por: 
 
 
 
Portanto, se , então, 
 
 
 
 
Conclusão: se o preço for 20 e sofrer um aumento porcentual de 1%, a queda porcentual na demanda será de 
aproximadamente 1,5%. 
 
Exemplo 2: 
 
Seja uma a equação de oferta então 
 
 
 
Assim a elasticidade da oferta no ponto será dada por: 
 
 
 
Portanto, se , então, 
 
 
 
 
 
Conclusão: Para um acréscimo porcentual de 1% no preço, a partir de 2, o acréscimo percentual na quantidade 
ofertada será de aproximadamente 0,5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a função de oferta, define-se elasticidade da oferta em relação ao preço de modo análogo. 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 4 – Aplicações das derivadas em Economia pág. 3 
3. Mais alguns exemplos de aplicações das derivadas em economia 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
O custo mensal de um certo produto é dado por 
 
 
 Cada unidade do produto é vendida a $ 1,00. 
Para calcular a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal, é necessário obter a 
função lucro mensal dada por: 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
Derivando a função lucro, teremos 
 
 
 
 
 
Estudando o sinal da função lucro: 
 
Sinal de L’ 
 
Comportamento de L 
 
 
 
Como x representa a quantidade o valor negativo não convém, assim podemos concluir que o ponto de máximo 
relativo e absoluto é x=3. Portanto, para ter o máximo lucro a é necessário vender 3 unidades por mês. 
 
 
Exemplo 2: 
 
O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função Suponha que o nível de 
produção seja de 15 unidades, usando o diferencial de função, é possível calcular quanto varia o custo se forem 
produzidas 15,5 unidades. 
 
Solução: 
 
355,0).1015.4(
5,0).10.2(
10.2)('
2.10)(
.5,0155,15
).('
2.10.)(
2
2







dff
xdff
xxf
xxxf
unidadesx
xxffdf
xxxC
 
35 dff
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 5– Derivadas parciais pág. 1 
Módulo 5 – Derivadas parciais 
 
 
1. Função Derivada Parcial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular e aplica-se as mesmas regras de derivação utilizadas em funções de uma variável, porém y deve ser 
considerado como constante para o cálculo de ; e x como constante no cálculo de . 
 
Exemplo 1: 
Para calcular as derivadas parciais de em relação a x e em relação a y, temos: 
 
 
 
 
Para calcular a derivada parcial de f no ponto (3,4) basta substituir x por 3 e y por 4 em fx e fy: 
 
 
 
Exemplo 2: 
Para , temos as seguintes derivadas parciais: 
 
 
 
 
Para calcular as derivadas parciais no ponto (1,1) basta substituir x e y por 1: 
 
 
 
 
2. Exercícios resolvidos 
 
 
 
1) Determine as derivadas parciais para as seguintes funções e calcule-as nos pontos indicados: 
 
a) 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando as derivadas parciais no ponto (-1,2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 5– Derivadas parciais pág. 2 
 
 
b) 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando as derivadas parciais no ponto (2,-2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
Solução:Calculando as derivadas parciais no ponto (0,1): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Calculando as derivadas parciais no ponto (1,2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 6– Aplicações das derivadas parciais em economia pág. 1 
Módulo 6 – Aplicações das derivadas parciais em economia 
 
 
1. Seja a demanda de um produto A em função do seu preço p1 e do preço p2 de outro 
produto B. 
a) Calcular a demanda marginal do produto A em relação a seu preço e interpretar o resultado. 
 
 
 
O resultado negativo indica que a demanda de A diminui com o aumento de seu preço. 
 
b) Calcular a demanda marginal do produto A em relação ao preço de B e interpretar o resultado. 
 
 
 
O resultado positivo indica que a demanda de A aumenta com o aumento do preço de B. 
 
 
2. Suponha que a quantidade da carne de frango demandada diária num açougue seja função do seu preço unitário 
x (por kg) e do preço unitário y (por kg) da carne de boi, de acordo com a relação . 
Calcule 
 
 
 e 
 
 
 e interprete o resultado: 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação do resultado: 
Um aumento unitário no preço do kg da carne de frango (de 2 para 3) corresponde uma diminuição de 
aproximadamente 12kg na demanda da carne de frango (mantido o preço do kg da carne de boi em 3). 
 
Um aumento unitário no preço do kg da carne de boi (de 3 para 4) corresponde um aumento na demanda da 
carne de frango em aproximadamente 27 kg (mantido o preço do kg da carne de boi em 3). 
 
 
 
3. Seja uma função de produção, onde P é a quantidade colhida de arroz (em toneladas), x é o 
número de horas trabalhadas (em milhares) e y é o número de hectares plantados. Calcule: 
a) A produtividade marginal do trabalho 
 
 
 
 
  25,025,025,0175,0 ..5,1.75,0.2, yxyxyx
x
P  


 
 
 
b) A produtividade marginal da terra 
 
 
 
 
  75,075,0125,075,0 .5,025,0..2,  


yxyxyx
y
P
 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 6– Aplicações das derivadas parciais em economia pág. 2 
c) Calcule 
 
 
 
 
 
 e interprete o resultado: 
  66,132.5,13,2 25,025,0 

 
x
P
 
 
  37,032.5,03,2 75,075,0 

 
y
P
 
 
Interpretação: 
Um aumento unitário no número de horas trabalhadas (de 2 para 3) corresponde a um aumento de 
aproximadamente 1,66 toneladas na colheita de arroz (mantido o número de hectares plantados em 3). 
 
Um aumento unitário no número de hectares plantados (de 3 para 4) corresponde a um aumento de 
aproximadamente 0,37 toneladas na colheita de arroz (mantido o número de horas trabalhadas em 2 
milhares). 
 
 
4. Seja a função utilidade de um consumidor, onde x é quantidade consumida 
do produto A e y do produto B. 
a) Calcule a função utilidade marginal do produto A e do produto B: 
 
  yxyx
y
U
xyyx
x
U
2220,
2210,






 
 
b) Calcule 
 
 
 
 
 
 : 
 
  143.25.2105,3 


x
U
 
 
  165.23.2205,3 


y
P
 
 
 
5. Seja a função custo para produção para fabricar x unidades do produto A e y 
unidades do produto B. 
 
a) Calcule os custos marginais em relação a x e a y: 
 
 
  xyyyx
y
C
yxyx
x
C
62,
3650, 2






 
 
c) Calcule 
 
 
 
 
 
 : 
 
  1435.33.6505,3 2 


x
C
 
 
  805.3.65.25,3 


y
C
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 7– Integral pág. 1 
Módulo 7 – Integral 
 
 
1. Integral Indefinida 
 
Função primitiva é toda função f(x) cuja derivada é igual a f´(x) ou 
 
 
 
Exemplo: 
Uma função primitiva da função é 
Mas vale observar que não é a única primitiva de , pois a função , também 
é uma primitiva de . 
 
Conclusão: toda função do tipo é uma primitiva de , em que c é uma constante 
qualquer. 
 
Integral indefinida de f(x) é qualquer função primitiva de f(x) adicionada a uma constante arbitrária c. 
A notação de Integral indefinida é . O procedimento de determinação integral indefinida é chamado 
integração. 
Exemplo: 
 
 
 
Propriedades das integrais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
          
          
      
 
 



dxxfcdxxfcP
dxxfdxxfdxxfxfP
dxxfdxxfdxxfxfP
3
21212
21211
UNIP - Matemática para Economia Módulo 7– Integral pág. 2 
2. Integral definida 
 
Seja f(x) uma função contínua em [a, b] e g(x) uma de suas primitivas, a integral definida de f(x) entre os limites a e b, 
é definida como sendo a diferença g(b) – g(a), representada simbolicamente por: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Cálculo da integral definida 
 
 
: 
 
Solução: 
 é umas das primitivas da função dada, assim: 
 
 
 
 
 
Observe que o resultado não se altera se tomarmos qualquer outra primitiva, pois a constante irá se cancelar. 
 
2) Cálculo da integral definida: 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Cálculo da integral definida: 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 6– Aplicações das integrais em economia pág. 1 
Módulo 8 – Aplicações das integrais em economia 
 
 
 
Função Custo a partir da função custo marginal 
 
Dado que a função custo marginal é 
 e que o custo fixo é $80,00, é possível obter a função custo, a 
partir da integral da função custo marginal. 
 
Como 
 então 
 
Assim 
 
 
 
Como o custo fixo é $80,00, então a função custo é 
 
 
 
Função Receita e receita média partir da função receita marginal 
 
Sabendo-se que a receita marginal é , é possível obter a função receita a partir da integral da receita 
marginal. 
 
Como 
 então 
 
Assim 
 
 
 
Como para x = 0 a receita vale 0 então a constante c vale 0, assim a função receita é 
 
Agora para obter a função receita média basta dividir a função receita por x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto,a função receita é e a função receita média é igual a 
 
 
 
Função Consumo a partir da função propensão marginal a consumir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que a função propensão a consumir é dada por 
 , e quando y = 0 o consumo é igual a 
$70,00, é possível obter a função consumo a partir da integral da propensão a consumir. 
 
y é a renda disponível 
C(y) é a função consumo 
 
 é a propensão marginal a consumir 
S(y) = y – C(y) é a função poupança 
 
 é a propensão marginal a poupar 
 
UNIP - Matemática para Economia Módulo 6– Aplicações das integrais em economia pág. 2 
Como 
 então 
 
 
Assim 
 
 
 
Como para y = 0 o consumo é $70,00 então a função consumo é 
 
Veja como obter a função poupança e a propensão marginal a poupar: 
 
 
 
 
 
 
 
 (Função poupança) 
 
 
 
 
 
 (Função propensão marginal a poupar)