Potencial Elétrico - Slides

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10/03/2015
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Potencial Elétrico
Professor: Leonardo Bruno.
Conteúdo
1. Energia potencial elétrica
2. Potencial elétrico
3. Determinação do potencial elétrico
4. Superfícies equipotenciais
5. Gradiente do potencial
1. Energia Potencial Elétrica
Ambas as forças são 
conservativas. Ou seja, o trabalho 
é independe da trajetória
Força 
Gravitacional
Força 
Elétrica
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹𝑑 = 𝑞0𝐸𝑑
𝑊𝑎→𝑏 = −∆𝑈 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = 𝑞0𝐸𝑑
(trabalho realizado por uma força 
conservativa)
Campo elétrico 
uniforme
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1. Energia Potencial Elétrica: 
entre duas cargas puntiformes
𝑊𝑎→𝑏 = 
𝑟𝑎
𝑟𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑟
𝑊𝑎→𝑏 = 
𝑟𝑎
𝑟𝑏
𝐹𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑟 = 
𝑟𝑎
𝑟𝑏
𝐹𝑟𝑑𝑟
𝑊𝑎→𝑏 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑞0 
𝑟𝑎
𝑟𝑏 1
𝑟2
𝑑𝑟
𝑈 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞𝑞0
𝑟
Exemplo
1. Suponha que um pósitron ( 𝑚 = 9,11 × 10−31 𝑘𝑔 e +𝑒 = 1,60 ×
10−19 𝐶) esteja se movendo nas vizinhanças de uma partícula alfa, que possui
carga +2𝑒 = 3,20 × 10−19𝐶. A partícula alfa possui massa aproximadamente
7000 vezes maior do que a massa do pósitron, de modo que vamos
considerar a partícula alfa em repouso em algum sistema de referência
inercial. Quando o pósitron está a uma distância igual a 1,0 × 10−10 𝑚 da
partícula alfa, ele se afasta da partícula alfa com uma velocidade igual a 3,0 ×
106 𝑚/𝑠. (a) qual é a velocidade do pósitron quando ele está a uma distância
de 2,0 × 10−10 𝑚 da partícula alfa? (b) Qual é a velocidade do pósitron
quando ele está a uma distância muito grande da partícula alfa?
1. Energia potencial elétrica: entre 
diversas cargas
𝑈 =
𝑞0
4𝜋𝜀0
𝑞1
𝑟1
+
𝑞2
𝑟2
+⋯
𝑈 =
𝑞0
4𝜋𝜀0
 
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Qualquer campo elétrico produzido por 
uma distribuição de cargas estáticas dá 
origem a uma força conservativa
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Exemplo
2. Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo 𝑂𝑥, 𝑞1 = −𝑒 no
ponto 𝑥 = 0 e 𝑞2 = +𝑒 no ponto 𝑥 = 𝑎. (a) Calcule o trabalho realizado por
uma força externa para trazer uma terceira carga puntiforme 𝑞3 = +𝑒 do
infinito até o ponto 𝑥 = 2𝑎. (b) Calcule a energia potencial total do sistema
constituído pelas três cargas.
2. Potencial Elétrico
• Energia Potencial por 
unidade de carga
• Unidade
– Volt (V)
– 1 𝑉 = 1𝐽/𝐶
𝑉 =
𝑈
𝑞0
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟
Para um conjunto 
de cargas
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Para uma 
distribuição 
contínua de cargas
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑑𝑞
𝑟
2.1. Potencial a partir do Campo 
Elétrico
𝑊𝑎→𝑏 = 
𝑎
𝑏
 𝐹 ∙ 𝑑 𝑙
𝑊𝑎→𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝑞0𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝐸𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑙
O potencial elétrico de 𝑎 em relação a 𝑏, é
igual ao trabalho realizado pela força
elétrica quando uma carga UNITÁRIA se
desloca de 𝑎 até 𝑏
O potencial elétrico de 𝑎 em relação a 𝑏, é
igual ao trabalho realizado contra a força
elétrica para deslocar lentamente uma
carga UNITÁRIA de 𝑏 até 𝑎
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Exemplo
3. Um próton (carga +𝑒 = 1,602 𝑋 10−19 𝐶) se move ao longo de uma
linha reta de uma ponto 𝑎 até um ponto 𝑏 no interior de um acelerador
linear, sendo 𝑑 = 0,50 𝑚 a distância percorrida. O campo elétrico é
uniforme ao longo dessa linha e possui módulo 𝐸 = 1,5 × 107 𝑉/𝑚 = 1,5 ×
107𝑁/𝐶 no sentido de a para b. Determine (a) a força sobre o próton; (b) o
trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico; (c) a diferença de potencial
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏.
Exemplo
4. Um dipolo elétrico é constituído
por duas cargas puntiformes 𝑞1 =
12 𝑛𝐶 e 𝑞2 = −12 𝑛𝐶 , sendo a
distância entre elas igual a 10 𝑐𝑚 .
Calcule os potenciais nos pontos a, b e
c somando os potenciais produzidos
pelas cargas individuais.
Exemplo
5. Calcule a energia potencial
associada à carga puntiforme de
+ 4 𝑛𝐶 quando ela é colocada
nos pontos a, b e c, indicados na
figura ao lado.
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Exemplo
6. Na figura abaixo uma partícula de poeira, com massa 𝑚 = 5,0 ×
10−9 𝑘𝑔 e carga 𝑞0 = 2,0 𝑛𝐶, parte do repouso no ponto 𝑎 e se
desloca em linha reta até o ponto 𝑏. Qual é sua velocidade escalar 𝑣
no ponto 𝑏?
3. Determinação do potencial elétrico: 
Exemplo
7. Determine o potencial em qualquer altura 𝑦 entre as placas
paralelas carregadas com cargas opostas, figura abaixo.
Exemplo
8. Calcule o potencial a uma distância 𝑟 de um fio carregado muito
longo, com uma densidade de carga linear (carga por unidade de
comprimento) igual a 𝜆.
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Exemplo
9. Uma carga elétrica está distribuída uniformemente em torno de um
anel fino de raio 𝑎, com uma carga total 𝑄. Calcule o potencial em um
ponto 𝑃 situado sobre o eixo do anel a uma distância 𝑥 do centro do
anel.
Exemplo
10.Uma carga elétrica 𝑄 está
distribuída uniformemente ao
longo de um fio retilíneo ou sobre
uma barra fina, de comprimento
2a. Calcule o potencial ao longo da
reta perpendicular passando no
centro da barra em um ponto 𝑃,
situado a uma distância 𝑥 de seu
centro.
4. Superfície Equipotencial
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4. Superfície Equipotencial
5. Gradiente de potencial
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
− 
𝑎
𝑏
𝑑𝑉 = 
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
−𝑑𝑉 = 𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
−𝑑𝑉 = 𝐸𝑥𝑑𝑥 + 𝐸𝑦𝑑𝑦 + 𝐸𝑧𝑑𝑧
𝐸𝑥 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝐸𝑦 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝐸𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝐸 = − 𝑖
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑬 = −𝜵𝑽
Exemplo
11.O potencial de uma carga puntiforme 𝑞 a uma distância radial 𝑟 é
dado por 𝑉 = 𝑞/4𝜋𝜖0𝑟. Calcule o vetor campo elétrico a partir dessa
expressão de 𝑉.
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Exemplo
12.Para um anel de raio 𝑎 e carga 𝑄, o potencial em um ponto 𝑃 ao
longo do eixo do anel e situado a uma distância 𝑥 do centro do anel é
dado por: 𝑉 =
1
4𝜋𝜖0
𝑄
𝑥2+𝑎2
. Determine o campo elétrico no ponto 𝑃.