Lista3_álgebra

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UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul-INMA
A´lgebra Linear
5a¯ Lista de Exerc´ıcios
1. Quais das func¸o˜es definidas abaixo sa˜o transformac¸o˜es lineares?
(a) F : R2 → R2; F(x, y) = (1+ x, y)
(b) F : R2 → R2; F(x, y) = (y− x, 0)
(c) F : R3 → R3; F(x, y, z) = (x− y, x+ y, 0)
(d) F : R3 → R3; F(x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z)
(e) F : R4 → R3; F(x, y, z, t) = (x− t, y+ t, x+ z)
(f) F : Pn(R)→ Pn(R); F(p(x)) = xp ′(x)
2. Seja F : R3 → R3 tal que F(1, 0, 0) = (2, 3, 1), F(0, 1, 0) = (5, 2, 7), F(0, 0, 1) = (−2, 0, 7).
Determine F(x, y, z) para um vetor gene´rico (x, y, z) ∈ R3.
3. Existe um operador linear F : R3 → R3 tal que F(1, 1, 1) = (1, 2, 3),
F(1, 2, 3) = (1, 4, 9), F(2, 3, 4) = (1, 8, 27)? Justifique.
4. Para cada uma das transformac¸o˜es lineares abaixo, determine uma base para o nu´cleo e uma
para imagem. Confirmem os resultados utilizando o teorema do nucleo e da imagem.
(a) F : R3 → R; F(x, y, z) = x+ y− z
(b) F : R2 → R2; F(x, y) = (2x, x+ y)
(c) F : R3 → R4; F(x, y, z) = (x− y− z, x+ y+ z, 2x− y+ z,−y)
(d) F : P2(R)→ P2(R); F(p(x)) = x2p ′′(x)
(e) F : M2(R)→M2(R); F(X) = AX+ X, onde A= [1 4
2 3
]
(f) F : M2(R)→M2(R); F(X) = AX− XA, onde A= [1 2
0 1
]
5. Descreva explicitamente uma transformac¸a˜o linear de R3 em R3 cuja imagem seja o
subespac¸o gerado por (1, 0,−1) e (1, 2, 2).
6. Determine um operador linear do R4 cujo nu´cleo tenha dimensa˜o 1.
7. Mostre que cada um dos operadores lineares do R3 e´ invert´ıvel e determine o isomorfismo
inverso em cada caso.
(a) F(x, y, z) = (x− 3y− 2z, y− 4z, z)
(b) F(x, y, z) = (x, x− y, 2x+ y− z)
8. Para os operadores G, F : R3 → R3 definidos por G(x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z) e
F(x, y, z) = (x+ y, z+ y, z), determine:
(a) F ◦G;
(b) Ker(G ◦ F) e Im(G ◦ F);
(c) uma base e a dimensa˜o de Ker(F2 ◦G).
9. Seja F : R2 → R2 o operador dado por F(1, 0) = (2, 5) e F(0, 1) = (3, 4). Verifique se H = I+ F
e G = I+ F+ F2 sa˜o isomorfismos do R2.
10. Considere o operador linear F do R3 definido por F(1, 0, 0) = (1, 1, 1), F(0, 1, 0) = (1, 0, 1) e
F(0, 1, 2) = (0, 0, 4). F e´ invert´ıvel? Se for, determine o isomorfismo inverso.