Álgebra Linear Unidade 3 Determinantes

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Prof.: Marcelo Duarte 
Álgebra Linear
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Unidade 3 - Determinantes
• O que são determinantes?
• Para que servem?
• O que representam?
• Aplicações práticas?
• Tipos?
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Unidade 3 - Determinantes
• Determinante de uma Matriz
– Seja M, uma matriz quadrada 2x2, definida por:
M = 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
– O número real det M, definido por det M = ad – bc é
chamado de determinante da matriz M.
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Unidade 3 - Determinantes
• Ordem de um Determinante
– Chama-se de ordem de um determinante a ordem da 
matriz a qual o mesmo corresponde. Por exemplo:
A = 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
– A ordem do det A é 3.
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Cálculo do Determinante de 2ª ordem
• Seja a matriz A:
A = 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
– Para calcular o det A, faz-se: det A = a11 . a22 – a21 . a12.
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Exemplos:
A =
3 4
1 5
:
det A = 3 . 5 -1 . 4 = 15 – 4 = 11
I =
1 0
0 1
:
det I = 1 . 1 -0 . 0 = 1 – 0 = 1
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Cálculo do Determinante de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
– Seja a matriz A:
A = 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Cálculo do Determinante de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
– Para calcular o det A, utiliza-se a seguinte regra:
a) Repetir as duas primeiras colunas à direita da terceira:
A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
b) Multiplicar os elementos da diagonal principal e das suas
paralelas, conservando o sinal do produto.
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Cálculo do Determinante de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
c) Multiplicar os elementos da diagonal secundária e das suas
paralelas, trocando o sinal do produto.
d) Somar, algebricamente, os dois resultados.
– Exemplos:
• Det A =
1 0 2
1 2 3
0 0 1
1 0
1 2
0 0
= 1.2.1+0.3.0+2.1.0-(0.2.2+0.3.1+1.1.0) = 2
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Exemplos:
• Det B =
2 1 2
1 3 1
4 1 1
2 1
1 3
4 1
= 2.3.1+1.1.4+2.1.1-(4.3.2+1.1.2+1.1.1) = -15
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Unidade 3 - Determinantes
• Propriedades dos Determinantes
– det A = det AT
– Se a matriz A possui uma linha ou coluna constituída de elementos 
todos nulos, o determinante é nulo (zero).
– Se a matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais, o 
determinante é nulo.
– Se na matriz A, duas linhas ou colunas têm seus elementos 
correspondentes proporcionais, o determinante é nulo.
det A =
𝑎11 𝑘𝑎11
𝑎21 𝑘𝑎21
= 0
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Unidade 3 - Determinantes
• Propriedades dos Determinantes
– O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é igual
ao produto dos elementos da diagonal principal.
• OBS.: Matriz triangular superior (MTS): zeros abaixo da diagonal principal;
• OBS.: Matriz triangular inferior (MTI): zeros acima da diagonal principal;
• MTS =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22 𝑎23
0 0 𝑎33
MTI =
𝑎11 0 0
𝑎21 𝑎22 0
𝑎31 𝑎32 𝑎33
– Trocando-se, entre si, duas linhas ou duas colunas de uma matriz A, o
seu determinante muda de sinal (fica multiplicado por -1).
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Unidade 3 - Determinantes
• Propriedades dos Determinantes
– Quando se multiplicam os elementos de uma linha ou de uma coluna
de uma matriz A, por um número real, o determinante fica
multiplicado por esse número.
• A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑘𝑎21 𝑘𝑎22 𝑘𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
, det A = k . det
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
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Unidade 3 - Determinantes
• Propriedades dos Determinantes
– Um determinante não se altera quando se somam, aos elementos de
uma linha ou de uma coluna, de uma matriz A, os elementos
correspondentes ao de outra linha ou coluna da matriz, previamente
multiplicados por uma constante diferente de zero.
• det A = det
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
= det
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21+ 𝑘𝑎11 𝑎22 + 𝑘𝑎12 𝑎23 + 𝑘𝑎13
𝑎31 𝑎32 𝑎33
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Cálculo do Determinante de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
– Desenvolvimento por linha:
a) Repetir as duas primeiras linhas abaixo da terceira:
A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
b) Continuar com o procedimento anterior (por coluna).
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Cálculo do Determinante de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
– Exemplos:
• Det A =
1 0 2
1 2 3
0 0 1
= 1.2.1+1.0.2+0.0.3-(0.2.2+1.0.3+1.0.1) = 2
1 0 2
1 2 3
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Unidade 3 - Determinantes
• Cálculo de um Determinante
– Exemplos:
• Det B =
2 1 2
1 3 1
4 1 1
= 2.3.1+1.1.2+4.1.1-(4.3.2+2.1.1+1.1.1) = -15
2 1 2
1 3 1
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Unidade 3 - Determinantes
Bibliografia:
• Básica:
– BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1993.
– STEINBRUCH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2ª ed. São 
Paulo: Atlas, 2001.
– LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – Coleção Schaum. 
4ª ed. São Paulo: Bookman, 2011.
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Unidade 3 - Determinantes
Bibliografia:
• Complementar:
– ANTON, Howard. Álgebra Linear com aplicações. 8ª ed. Ed. Bookman, 2001.
– CALLIOLI, C.; DOMINGUES, H.; COSTA, R. Álgebra Linear e aplicações. Rio de Janeiro: 
Saraiva, 2007.
– KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações. Editora 
LTC, 2006.
– SHOKRANIAN, Salahoddin. Exercícios em álgebra linear. Ed. Ciência Moderna, 2009.
– STRANG, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. 4ª Ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2010.
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