Pesquisa Operacional III Prova 1 2018.1

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Universidade Federal Fluminense 
 
Profª. Lídia 
 
1 
PESQUISA OPERACIONAL III 
PROFª. LÍDIA 
Prova 1 
Nome _______________________________________________________ Data 03/05/2017 
Leia atentamente as seguintes instruções antes de realizar a prova: 
a. A prova é sem consulta. 
b. A prova pode ser feita a lápis e em qualquer ordem, mas as respostas finais devem estar a caneta. 
c. O desenvolvimento deve estar claro e detalhado, não se aceitarão respostas sem desenvolvimento 
em qualquer hipótese. 
d. A interpretação do enunciado faz parte da avaliação da questão. 
 
1. Um processo produtivo contém uma máquina que deteriora rapidamente em termos de qualidade 
quanto de produção sob condições de uso intenso, de modo que ela seja inspecionada no final de 
cada dia. Imediatamente após a inspeção, a condição da máquina é anotada e classificada em: 
Boa (como se fosse nova); operacional com deterioração mínima; operacional com deterioração 
importante; e não operacional (que é substituída por uma máquina boa como se fosse nova no dia 
seguinte). Assim, uma máquina só se torna Boa se ela estiver não operacional no dia anterior. Uma 
máquina Boa tem 7 chances em 8 de se tornar uma máquina com deterioração mínima, e se 
tornará uma máquina com deterioração máxima ou não operacional com as mesmas 
probabilidades. Uma máquina com deterioração mínima tem 3 chances em 4 de se manter nesse 
estado, ela pode se tornar uma com deterioração máxima ou não operacional com as mesmas 
chances. Finalmente, uma máquina com deterioração máxima tem as mesmas chances de 
permanecer nesse mesmo estado ou se tornar não operacional. 
 (2,5 p) 
a. Expresse essa situação como uma cadeia de Markov. 
b. Se os custos de manutenção das máquinas são 0 u.m., 1.000 u.m., 3000 u.m. e 6000 u.m. 
para cada estado respectivamente, qual será o custo esperado de manutenção por mês? 
Considere um mês de 30 dias. 
c. Quantos dias em média uma máquina poderá ser usada antes de ser substituída? 
d. Se no fim do dia uma máquina for avaliada com deterioração mínima, em quantos dias em 
média a máquina terá que ser substituída? 
 
2. Um produto é processado em duas máquinas sequenciais, M1 e M2, uma inspeção é realizada 
após uma unidade de produto ser concluída em uma das máquinas. Há 5% de chance de a unidade 
ser descartada (D) antes da inspeção. Após a inspeção (após a máquina 1, Ins1, ou após a 
máquina 2, Ins2) há 3% de chance de a unidade ser descartada e 7% de chance de ser devolvida à 
mesma máquina para retificação. Caso contrário, uma unidade que passa pela inspeção nas duas 
máquinas é boa, isto é, segue para a próxima máquina (M2) ou está finalizada (F). (2,5 p) 
a. Expresse como uma cadeia de Markov. 
b. Qual o número esperado de vezes que uma peça passa por 
cada máquina? 
c. Determine o número esperado de peças concluídas em um lote 
inicial de 1000 peças. 
 
3. Os caminhões de uma companhia de transportes chegam à estação de serviço da companhia, de 
acordo com um processo de Poisson, com uma taxa média de 10 por dia. A estação de serviço 
pode atender apenas um caminhão de cada vez, sendo o tempo de serviço exponencialmente 
distribuído, com média igual a 1/12 por dia. O custo de funcionamento da estação de serviço é de 
200 u.m. para a companhia, estimando-se em 50 u.m. o custo de imobilização de um caminhão na 
estação de serviço durante um dia. Pode-se reduzir o tempo de serviço médio para 1/15 por dia, 
com a compra de novo equipamento que substituiria o anterior, que se traduzirá num aumento do 
custo diário de funcionamento da estação de serviço para 240 u.m. (caso necessário, considere um 
expediente de 8 horas e caso a fila seja M/M/2 considere P0=0,11). 
 (2,5p) 
(I-N)
-1
= 
 M1 Ins1 M2 Ins2 
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2 
a. Caso o gerente esteja apenas preocupado com o tempo ocioso das máquinas, qual seria a 
máquina mais atraente? 
b. De um ponto de vista econômico, a atualização é atraente? 
Com a decisão anterior, responda: 
c. Qual o número de médio de caminhões sendo atendidos? 
d. Como está havendo uma reforma na garagem, há apenas espaço para um caminhão na fila, 
e o outros terão que aguardar na rua o que acarretaria uma multa para a companhia. Qual 
será a probabilidade da companhia levar uma multa? 
 
4. Considere uma pequena lanchonete, que pode ter no máximo 3 
pessoas. As taxas de chegada e de serviço se encontram na 
tabela ao lado. (2,5 p) 
a. Determine as probabilidades dos estados. 
b. A probabilidade do quarto cliente chegar e ter que ir para 
outra lanchonete. 
c. Calcule L, Lq, W e Wq. Quanto tempo demora um cliente até ser atendido? 
 
Formulário: 
0
0
1
1
1 1
M
j i ij
i
M
j
j
ij j
p , j
( I N ) , j



   
 
   


 
-1
-1
-1
(I - N) 
(I - N) .A
(I - N) .1 
 
 
 
𝑃[𝑇 ≤ 𝑡] = 1 − 𝑒−𝑡 L = W 
𝑃[𝑇 > 𝑡] = 𝑒−𝑡 Lq = Wq 
𝑃[𝑇 = 𝑛] =
𝑡𝑛𝑒−𝑡
𝑛!
 W = Wq + 1/ 
 
 
n
n=0
L= nP


 𝐿𝑞 = ∑ (𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛
∞
𝑛=𝑠 
 ̅ = ∑ 𝑖𝑃𝑖
∞
𝑖=0 
 
 
   
0
0
2
1
1
n
n
q
q
t
P
P P
L
L
W
W
P e
 






 

  
 

  
 

 









W>t
 
 
 
 
 











q
q
s
q
q
sn
n
n
n
L
W
L
W
S
P
L
LL
S
SnP
SS
SnP
n
P

















2
0
0
0
1!
/
,
!
/
0,
!
/
 
Estado 
Taxa de 
chegada 
Taxa de 
serviço 
0 4 - 
1 2 4 
2 1 5 
3 - 4