A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
20 pág.
Atividade Estruturada Aplicação de Integral Imprópria

Pré-visualização | Página 1 de 3

Atividade Estruturada 
 Calculo II- CEL0498 
 
 
 
Título 
Aplicação de Integral Imprópria 
André Pereira Medeiros de Camargo 
 Matrícula 201702435989 
 
 
 
 
 
 
 Introdução 
 
As integrais impróprias são o resultado da aplicação da teoria dos limites 
à teoria de integrais. Os exercícios que envolvem integrais impróprias 
requerem habilidades na integração e no cálculo de limites. 
Integrais definidas em que um ou ambos os limites de integração tendem 
ao infinito não podem ser resolvidas por meio da Fórmula de Newton-
Leibniz, visto que esta requer o cálculo da primitiva em valores 
determinados. Tais integrais são chamadas integrais impróprias. Antes de 
prosseguir com o assunto será revista alguns conceitos fundamentais 
neste item. 
 
 Integral Gaussiana 
 
A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a 
integral da função Gaussiana e−x2 em toda a reta real. Seu nome é dado em 
homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale: 
 
Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, 
visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de 
interesse. 
A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro 
não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser 
demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada 
explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral 
indefinida elementar para, mas a integral pode ser calculada. 
 
 O gráfico de ƒ(x) = e−x2 e a área entre a função e o eixo x, que vale ⱱ 
 
 
 A integral de uma função gaussiana 
A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis, 
ou de forma equivalente. 
 
 Em coordenadas polares 
Uma forma simples se calcular, cuja idéia remonta a Siméon Denis Poisson[1] é 
considerar a função e−(x2 + y2) = e−r2 no plano R2, e calcular a mesma integral de duas 
formas: 
 por um lado, a integral dupla no sistema de coordenadas cartesiano se escreve 
um quadrado de integrais : 
 por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e 
vale 
Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado. 
 Demonstração 
A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma: Denotaremos a, 
integral por, como se segue: Essa integral é mais facilmente resolvida se a 
multiplicarmos pela Integral Observemos que essa multiplicação nos dá ,pois os 
valores das duas integrais em e em são exatamente os mesmos. A etapa seguinte 
consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que, É coerente notar 
que a região de integração é todo o plano portanto deve percorrer de 0 até e o ângulo 
de 0 à 2. Assim a integral é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator que, 
utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de integração) , será 
cancelado com o quociente 2. Podemos recorrer o Teorema de Fubini calculando 
primeiramente a integral em e depois integrando o resultado em da seguinte forma : 
 
 
. Soma de Riemann 
 
Soma de Riemann é a soma da área do gráfico de uma função, curva ou gráfico 
formada por vários retângulos cuja as bases são formadas por a = x0 < x1 < x2 ... < x7 = b 
e altura t1, t2 ... t7. Esta área é uma aproximação da área delimitada por uma função, 
curva ou gráfico através de retângulos. 
Área = Σ f(x).Δx. 
Calcula-se a área de cada retângulo e soma-se todas essas áreas juntas para aproximar 
ao valor de área pretendido para a função em questão. 
 
 
Dada uma função f limitada num intervalo [a,b], e uma partição P = {xo = a < x1 < x2 < ... 
< xn-2 < b = xn} desse intervalo, uma soma de Riemman é 
 
 
 Teorema Fundamental do Cálculo 
Antes de prosseguir com o assunto vamos rever esse teorema, pois irá facilitar a 
compreensão de integral imprópria. 
 
I) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja x qualquer número 
neste intervalo. 
Se F for uma função definida por , então F'(x) = f(x) 
 
Análise: 
F(x): é a primitiva da função f(x), também chamada de antiderivada de f(x), repare 
que, ƒF'(x)dx = F(x) + C → F'(x) = f(x), F(x) é uma família de f(x). 
O processo de obtenção de F(x) pode ser chamada de antidiferenciação. 
 
Exemplo: 
Se f(x) = x³/3, então sua derivada é: f'(x) = 3x²/3 = x². Nesse caso, uma das anti-
derivadas de x² é x³/3. 
Conclusão: a antiderivação é o processo pelo qual operamos a diferencial de uma 
função para encontrar a sua exata função primitiva. 
 
 
II) Se f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja F uma primitiva de f. 
Então: 
 
Este segundo teorema estabelece uma conexão entre as integrais indefinidas e as 
integrais definidas. Esta conexão é a fórmula também conhecida como fórmula de 
Newton-Leibniz. 
 
 
 Função Logarítmo Natural 
Mais um revisão que facilitará a compreensão. 
 
f(x) = loge b se, e somente se, e
b = x 
f(x) = Inx 
 
Propriedades 
Seja x, y ∈ (0,+∞) 
1) In1 = 0 
2) In(x.y) = In(x) + In(y) 
3) In(1/x) = -In(x) 
4) In(x/y) = In(x) - In(y) 
5) In(xn) = n.In(x) 
 
 
Derivada da Função Logarítmica Natural 
 
Seja f(x) a função logarítmica, isto é, f(x) = In(x) 
Partindo da definição de derivada tem-se: 
 
 
Como f(x) = In(x), substituindo: 
 
 
Por questão de praticidade, será usado h no lugar de Δx e y no lugar de f(x), isso é 
comum em cálculo. Usando as propriedades dos logaritmos, a equação acima pode ser 
escrita como: 
 
Usando uma variável auxiliar, v=h/x, e verificando que, se h tende a zero, o mesmo 
ocorre com v, assim: 
 
 
Como a função logaritmo é contínua para valores de v maiores que zero, o limite do 
logaritmo é o logaritmo do limite, assim: 
 
O limite entre parênteses, como também você já deve ter visto (ver nota ao lado), é: 
 
Como In(e)=1, pois é a base do logaritmo neperiano, então, finalmente, temos que: 
 
 
Faça o gráfico da função e verifique que, em torno de zero, a função tem o valor 
2,71828 que é a base dos logaritmos neperianos (e). 
 
 
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo 
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo a função logarítmica natural temos: 
Teorema: , então F'(x) = f(x) 
Portanto: 
Calculado no item 1.2.1: , integrando os dois lados tem-se: 
 
 
 Função logaritmo natural , também chamada de função neperiano é: 
In(0,+∞) → ℜ 
x |→ In(x) = 
Gráfico de 1/t: 
Podemos definir a função logaritmo natural como sendo uma área. Por exemplo para 1 
≤ x ≤ 2.5, temos o gráfico: 
 
 
Fazendo o cálculo experimentalmente acha-se o mesmo resultado para a integral da 
função logarítmica natural e a intragral da diferencial da função f(t) = 1/t. 
 
Formas indeterminadas 
 
Forma indeterminada 
Forma de limite: 
0/0 
 
∞/∞ 
 
 
 Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial 
Os teoremas de Rolle, de Lagrange, de Cauchy e a regra de L’Hospital são os quatro 
teoremas fundamentais do cálculo diferencial e são úteis no estudo das funções reais 
de variável real. 
 
 Teoremas de Rolle 
Este teorema dá condições sufucuentes para a existência de um número crítico. 
Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b) e se f(a) = f(b), então f'(c) = 0 para ao menos um número cem (a,b). 
 
 
Corolário 
Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e se f(a) = f(b), então f tem ao menos um ponto crítico no intervalo aberto (a,b). 
 
Definição: Um número c no domínio de uma função f é um número crítico de f se f'(c) 
= 0 ou f'(c) não existe. 
 
Teorema de Lagrange ou do Valo Médio 
 
Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.